Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Årstall	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Prosent mannlige røykere	42	37	34	31	25	19

Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985–2010.

Sett $x = 0$ i 1985, $x = 5$ i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme

1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Kommenter modellenes gyldighetsområde.

Fasit

a1) $\underline{\underline{f(x) = -0{,}88x + 42{,}3}}$

a2) $\underline{\underline{g(x) = 42{,}9 \cdot 0{,}973^x}}$

Lineær: $\underline{\underline{\approx 11{,}5 \,\%}}$ . Eksponentiell: $\underline{\underline{\approx 16{,}5 \,\%}}$ .

Lineær: under $5 \,\%$ fra $\underline{\underline{2027}}$ . Eksponentiell: under $5 \,\%$ fra $\underline{\underline{2064}}$ .

Den lineære modellen gir negativ andel etter ca. 2033 og er urealistisk på lang sikt. Den eksponentielle modellen nærmer seg 0, men gir aldri negativ andel — den er mer realistisk, men ekstrapolering langt frem er usikker.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å finne regresjonsmodeller og lese av verdier fra grafene.

Vi setter inn datapunktene $(x, y)$ der $x$ er antall år etter 1985:

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$
$y$ (%)	$42$	$37$	$34$	$31$	$25$	$19$

Vi ber GeoGebra finne lineær regresjon og eksponentiell regresjon for datapunktene.

1) Lineær modell:

\textcolor{steelblue}{f(x) = -0{,}88x + 42{,}3}

Svar: $\underline{\underline{f(x) = -0{,}88x + 42{,}3}}$

2) Eksponentiell modell:

\textcolor{seagreen}{g(x) = 42{,}9 \cdot 0{,}973^x}

Svar: $\underline{\underline{g(x) = 42{,}9 \cdot 0{,}973^x}}$

Grafene med datapunktene (røde) er vist nedenfor. Den blå linjen er den lineære modellen og den grønne kurven er den eksponentielle modellen. Den røde vannrette linjen viser $y = 5$ .

Lineær og eksponentiell modell for andel mannlige røykere

Vi setter inn $x = 35$ (år 2020 er 35 år etter 1985) i begge modellene.

Lineær modell:

f(35) = -0{,}88 \cdot 35 + 42{,}3 = -30{,}8 + 42{,}3 = 11{,}5

Eksponentiell modell:

g(35) = 42{,}9 \cdot 0{,}973^{35} \approx 16{,}5

Svar: Ifølge den lineære modellen vil ca. $\underline{\underline{11{,}5 \,\%}}$ av norske menn røyke i 2020. Ifølge den eksponentielle modellen vil ca. $\underline{\underline{16{,}5 \,\%}}$ røyke. Det vil si at de to modellene gir ganske ulike prognoser for 2020.

Vi vil finne når andelen blir lavere enn $5 \,\%$ , altså løse $f(x) = 5$ og $g(x) = 5$ .

Lineær modell ( $f(x) = 5$ ):

-0{,}88x + 42{,}3 = 5

-0{,}88x = 5 - 42{,}3 = -37{,}3

x = \frac{-37{,}3}{-0{,}88} \approx 42{,}4

$x \approx 42{,}4$ tilsvarer ca. $1985 + 42{,}4 \approx 2027$ .

Eksponentiell modell ( $g(x) = 5$ ): Vi leser av fra grafen (eller løser med GeoGebra) at $g(x) = 5$ når $x \approx 78{,}8$ , som tilsvarer $1985 + 78{,}8 \approx 2064$ .

Svar: Ifølge den lineære modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn $5 \,\%$ rundt $\underline{\underline{2027}}$ . Ifølge den eksponentielle modellen vil dette først skje rundt $\underline{\underline{2064}}$ .

Begge modellene bygger på målinger fra perioden 1985–2010, og de passer rimelig bra til dataene i denne perioden.

Den lineære modellen har et viktig problem: den gir negativ andel røykere etter ca. $x \approx 48$ , det vil si rundt år $2033$ . Det er åpenbart urealistisk — andelen kan ikke bli negativ. Modellen er derfor ikke gyldig for ekstrapolering langt frem i tid.

Den eksponentielle modellen nærmer seg 0 asymptotisk, det vil si at den aldri gir negativ andel. Den er derfor mer realistisk på lang sikt. Likevel er det stor usikkerhet i å bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget (ekstrapolere). Det er ikke sikkert at trenden fortsetter på samme måte langt ut i fremtiden.

Konklusjon: Begge modellene er gyldige som beskrivelse av perioden 1985–2010. For prognoser langt inn i fremtiden er den eksponentielle modellen mer realistisk, men all ekstrapolering er usikker.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner

Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Sync på tvers av enheter

Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave