Vi taster inn funksjonen $f(x)=x^3-6x^2+3x+18$ i et graftegningsprogram og bruker verktøyene for nullpunkt og ekstremalpunkt.

Av grafen leser vi av:

• Nullpunkter: $x\approx -\mathrm{1,37}$, $x=3$, $x\approx \mathrm{4,37}$
• Toppunkt: $\approx (\mathrm{0,27},\mathrm{18,39})$
• Bunnpunkt: $\approx (\mathrm{3,73},-\mathrm{2,39})$

Vi bruker CAS til å løse $f(x)=0$, derivere $f$ og løse $f^{\prime }(x)=0$ for å finne eksakte verdier.

Nullpunkter. CAS gir (linje 2)

Ekstremalpunkter. Den deriverte er $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+3$ (linje 3), og $f^{\prime }(x)=0$ gir (linje 4)

Innsatt i $f$ (linje 5 og 6) får vi

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra pluss til minus i $x=2-\sqrt{3}$, er dette et toppunkt. Tilsvarende skifter $f^{\prime }$ fra minus til pluss i $x=2+\sqrt{3}$, så dette er et bunnpunkt.

Toppunkt: $(2-\sqrt{3},6\sqrt{3}+8)$ Bunnpunkt: $(2+\sqrt{3},-6\sqrt{3}+8)$

Tangentene har stigningstall $3$, altså er $f^{\prime }(x)=3$. Vi løser dette i CAS (linje 7 i utklippet over):

Vi finner berøringspunktene ved å regne ut $f(0)$ og $f(4)$ (linje 8 og 9):

Tangent i $x=0$: Berøringspunktet er $(0,18)$, og likningen for tangenten blir

Tangent i $x=4$: Berøringspunktet er $(4,-2)$, og likningen for tangenten blir

De to tangentlikningene er $\underline{\underline{y=3x+18}}$ og $\underline{\underline{y=3x-14}}$.

Vi tegner de to tangentene $t_1(x)=3x+18$ (rød) og $t_2(x)=3x-14$ (blå) i samme koordinatsystem som grafen til $f$.

Vi ser at $t_1$ tangerer grafen i toppunktsområdet nær $x=0$, og $t_2$ tangerer grafen nær bunnpunktet ved $x=4$, i tråd med at $f^{\prime }(x)=3$ nettopp i disse to punktene.