Kuben har side $a+b$. Når vi deler hver av de tre kantene i en del med lengde $a$ og en del med lengde $b$, blir kuben delt i $2\cdot 2\cdot 2=8$ mindre, rette prismer. Hvert av de åtte prismene har da sidekanter som enten er $a$ eller $b$ i hver av de tre retningene (lengde, bredde og høyde).

Volumet av et rett prisme er lengde $\cdot$ bredde $\cdot$ høyde. Vi får disse kombinasjonene av sidekanter:

• $a\cdot a\cdot a=a^3$ (alle tre kantene er $a$) — dette er prisme $2$.
• $a\cdot a\cdot b=a^{2}b$ (to av kantene er $a$, én er $b$) — dette er prisme $1$. Det finnes tre slike prismer, siden det er tre måter å velge hvilken av de tre kantene som skal være $b$ (prisme $1$, $4$ og $7$ i figuren).
• $a\cdot b\cdot b=a{b}^2$ (én kant er $a$, to er $b$) — tre slike prismer, siden det er tre måter å velge hvilken kant som skal være $a$ (prisme $3$, $5$ og $8$ i figuren).
• $b\cdot b\cdot b=b^3$ (alle tre kantene er $b$) — dette er prisme $6$.

Volumene til de åtte prismene:

Summen av volumet til alle de åtte prismene må være like stor som volumet av hele kuben, som er ${(a+b)}^3$. Vi summerer:

Så enkelt som mulig blir summen av volumene til de åtte prismene:

Vi regner ut ${(a+b)}^n$ for $n=0,1,2$ og $3$.

For $n=0$ og $n=1$ er svaret gitt direkte:

For $n=2$ bruker vi første kvadratsetning:

For $n=3$ ganger vi ${(a+b)}^2$ med $(a+b)$ én gang til:

Dette stemmer overens med svaret vi fant i oppgave a) ved å summere volumene av de åtte prismene.

Vi setter opp koeffisientene foran leddene i hver utregning i en tabell, og sammenligner med Pascals talltrekant:

Sammenhengen: Koeffisientene foran leddene når vi regner ut ${(a+b)}^n$, er nøyaktig de samme tallene som står i rad $n$ i Pascals talltrekant.