Addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{3 x}{x^{2} - 4}

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

Fasit

$\frac{x}{x^{2} - 4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer først hver nevner:

x^{2} + 2 x = x (x + 2), x^{2} - 2 x = x (x - 2), x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

Uttrykket blir da

\frac{x - 2}{x (x + 2)} + \frac{2}{x} + \frac{x + 2}{x (x - 2)} - \frac{3 x}{(x - 2) (x + 2)}

Felles nevner for alle fire brøkene er $x (x - 2) (x + 2)$ . Vi utvider hver brøk:

\frac{(x - 2) (x - 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{2 (x - 2) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} - \frac{3 x \cdot x}{x (x - 2) (x + 2)}

Vi setter alt over én brøkstrek og regner ut telleren:

\frac{{(x - 2)}^{2} + 2 (x - 2) (x + 2) + {(x + 2)}^{2} - 3 x^{2}}{x (x - 2) (x + 2)}

Vi regner ut hvert ledd i telleren:

{(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4 x + 4, {(x + 2)}^{2} = x^{2} + 4 x + 4, 2 (x - 2) (x + 2) = 2 (x^{2} - 4) = 2 x^{2} - 8

Summen av telleren blir

(x^{2} - 4 x + 4) + (2 x^{2} - 8) + (x^{2} + 4 x + 4) - 3 x^{2} = (x^{2} + 2 x^{2} + x^{2} - 3 x^{2}) + (- 4 x + 4 x) + (4 - 8 + 4) = x^{2}

Dermed står vi igjen med

\frac{x^{2}}{x (x - 2) (x + 2)}

Vi forkorter bort en faktor $x$ (gyldig så lenge $x \neq 0$ ):

\frac{x}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{x}{x^{2} - 4}

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{3 x}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4}

Uttrykket er definert for $x \neq 0, x \neq 2, x \neq - 2$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Algebra, Brøk, Rasjonale funksjoner

Innstillinger