Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kalkulator

Løs likningssystemet

\begin{matrix} 5 x + 4 y & = 9 \\ 6 x + 7 y & = 13 \end{matrix}

Et likningssystem med to ukjente, $x$ og $y$ , kan skrives på formen

\begin{matrix} a x + b y & = c \\ d x + e y & = f \end{matrix}

der $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ og $f$ er konstanter.

Ada Lovelace laget formler for løsning av et likningssystem med to ukjente:

x = \frac{c e - b f}{a e - b d} og y = \frac{a f - c d}{a e - b d}

Kalkulator

Bruk formlene til Ada Lovelace ovenfor til å løse likningssystemet

\begin{matrix} 5 x + 4 y & = 9 \\ 6 x + 7 y & = 13 \end{matrix}

For hånd

Løs likningssystemet

\begin{matrix} a x + b y & = c \\ d x + e y & = f \end{matrix}

og vis at du får formlene til Ada Lovelace som løsninger.

Fasit

$x = 1, y = 1$

Se løsningsforslaget for utledningen av formlene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

\begin{matrix} 5 x + 4 y & = 9 \\ 6 x + 7 y & = 13 \end{matrix}

med innsettingsmetoden. Først isolerer vi $y$ i den første likningen:

\begin{matrix} 5 x + 4 y & = 9 \\ 5 x + 4 y - 5 x & = 9 - 5 x \\ 4 y & = 9 - 5 x \\ \frac{4 y}{4} & = \frac{9 - 5 x}{4} \\ y & = \frac{9 - 5 x}{4} \end{matrix}

Så setter vi dette uttrykket for $y$ inn i den andre likningen:

\begin{matrix} 6 x + 7 y & = 13 \\ 6 x + 7 \cdot \frac{9 - 5 x}{4} & = 13 \end{matrix}

Vi ganger begge sider med $4$ for å bli kvitt brøken:

\begin{matrix} 4 \cdot (6 x + 7 \cdot \frac{9 - 5 x}{4}) & = 4 \cdot 13 \\ 24 x + 7 (9 - 5 x) & = 52 \\ 24 x + 63 - 35 x & = 52 \\ - 11 x + 63 & = 52 \\ - 11 x + 63 - 63 & = 52 - 63 \\ - 11 x & = - 11 \\ \frac{- 11 x}{- 11} & = \frac{- 11}{- 11} \\ x & = 1 \end{matrix}

Vi setter $x = 1$ inn i uttrykket for $y$ :

y = \frac{9 - 5 \cdot 1}{4} = \frac{4}{4} = 1

Kontroll: $6 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 13$ . Stemmer.

$x = 1, y = 1$

Her er $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 9$ , $d = 6$ , $e = 7$ og $f = 13$ . Vi setter tallene inn i formlene til Ada Lovelace:

x = \frac{c e - b f}{a e - b d} = \frac{9 \cdot 7 - 4 \cdot 13}{5 \cdot 7 - 4 \cdot 6} = \frac{63 - 52}{35 - 24} = \frac{11}{11} = 1

y = \frac{a f - c d}{a e - b d} = \frac{5 \cdot 13 - 9 \cdot 6}{5 \cdot 7 - 4 \cdot 6} = \frac{65 - 54}{11} = \frac{11}{11} = 1

Vi får samme svar som i a): $x = 1$ og $y = 1$ .

$x = 1, y = 1$

Vi løser det generelle likningssystemet

\begin{matrix} a x + b y & = c \\ d x + e y & = f \end{matrix}

på nøyaktig samme måte som i a), med bokstaver i stedet for tall. Først isolerer vi $y$ i den første likningen:

\begin{matrix} a x + b y & = c \\ a x + b y - a x & = c - a x \\ b y & = c - a x \\ \frac{b y}{b} & = \frac{c - a x}{b} \\ y & = \frac{c - a x}{b} \end{matrix}

Så setter vi dette inn i den andre likningen og ganger begge sider med $b$ for å bli kvitt brøken:

\begin{matrix} d x + e y & = f \\ d x + e \cdot \frac{c - a x}{b} & = f \\ b \cdot (d x + e \cdot \frac{c - a x}{b}) & = b \cdot f \\ b d x + e (c - a x) & = b f \\ b d x + e c - a e x & = b f \\ b d x + e c - a e x - e c & = b f - e c \\ b d x - a e x & = b f - e c \\ x (b d - a e) & = b f - e c \\ \frac{x (b d - a e)}{(b d - a e)} & = \frac{b f - e c}{(b d - a e)} \\ x & = \frac{b f - e c}{b d - a e} \end{matrix}

Vi ganger teller og nevner med $- 1$ for å få samme form som Ada Lovelaces formel:

x = \frac{b f - e c}{b d - a e} = \frac{- (e c - b f)}{- (a e - b d)} = \frac{c e - b f}{a e - b d}

Dette er nøyaktig formelen til Ada Lovelace for $x$ .

Nå setter vi dette uttrykket for $x$ inn i $y = \frac{c - a x}{b}$ og setter alt på felles brøkstrek $b (a e - b d)$ :

\begin{matrix} y & = \frac{c - a \cdot \frac{c e - b f}{a e - b d}}{b} \\ = \frac{c (a e - b d) - a (c e - b f)}{b (a e - b d)} \\ = \frac{c a e - c b d - a c e + a b f}{b (a e - b d)} \\ = \frac{- c b d + a b f}{b (a e - b d)} \\ = \frac{b (a f - c d)}{b (a e - b d)} \\ = \frac{a f - c d}{a e - b d} \end{matrix}

Dette er nøyaktig formelen til Ada Lovelace for $y$ . Vi har dermed vist at den generelle løsningen av likningssystemet gir formlene

x = \frac{c e - b f}{a e - b d} og y = \frac{a f - c d}{a e - b d}

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2017, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Likningssystem, Algebra, Bevis, Formler

Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente

Ada Lovelaces formler for likningssystem med to ukjente

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer