Satellitt truffet av romsøppel og bremset med ionemotor

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En satellitt med masse $260 k g$ går i sirkelbane $550 k m$ over jordoverflata.

Kalkulator

Vis at farten til satellitten er $7,59 k m / s$ .

En bit romsøppel med masse $37 g r a m$ treffer satellitten med en fart som er like stor og motsatt rettet som farten til satellitten. Søppelbiten blir sittende fast i satellitten etter kollisjonen.

Satellitt og romsøppelbit med motsatt rettede farter i sirkelbane rundt jorda

Kalkulator

Vis at farten til satellitten forblir omtrent uendret.

Vi ønsker å sende satellitten ned i atmosfæren slik at den brenner opp. For å senke farten bruker vi ionemotoren på satellitten. Vi regner med at jordas atmosfære starter $100 k m$ over jordoverflata.

Satellitt som skyter ut ioner i fartsretningen, med atmosfæregrensen innenfor banen

Kalkulator

Vis at farten til satellitten må bremses til $7,27 k m / s$ for at satellitten skal komme inn i atmosfæren med en fart på $7,80 k m / s$ .

Ionene skytes ut med en fart på $45 k m / s$ i forhold til jorda i samme retning som satellittens fart. Anta at alle ionene skytes ut på en gang.

Kalkulator

Hvor stor masse med ioner må skytes ut hvis satellitten skal bremses ned til $7,27 k m / s$ i den opprinnelige banen?

Fasit

$v = \sqrt{\frac{γ M}{r}} = 7,59 k m / s$

$v^{'} = 7,586 k m / s$ , en endring på bare $2 m / s$ (omtrent $0,03 %$ )

Energibevaring gir $v = 7,27 k m / s$

$m = 2,2 k g$

LøsningsforslagKI-generert

Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften fra jorda, og den er sentripetalkraften i sirkelbanen:

γ \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{γ M}{r}}

Med jordas middelradius og masse fra faktavedlegget er banens radius $r = 6,371 \cdot 10^{6} m + 0,550 \cdot 10^{6} m = 6,921 \cdot 10^{6} m$ , og

v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{- 11} N \cdot m^{2} / k g^{2} \cdot 5,974 \cdot 10^{24} k g}{6,921 \cdot 10^{6} m}} = 7,59 \cdot 10^{3} m / s = 7,59 k m / s

Under kollisjonen er kreftene mellom satellitten og søppelbiten indre krefter i systemet. Kollisjonen varer svært kort, så impulsen fra gravitasjonen i løpet av kollisjonen er neglisjerbar, og den totale bevegelsesmengden er bevart.

Vi velger satellittens fartsretning som positiv. Søppelbiten har farten $- v$ og blir sittende fast (fullstendig uelastisk støt):

m_{s} v - m_{b} v = (m_{s} + m_{b}) v^{'}

v^{'} = \frac{m_{s} - m_{b}}{m_{s} + m_{b}} \cdot v = \frac{260 k g - 0,037 k g}{260 k g + 0,037 k g} \cdot 7588 m / s = 7586 m / s

Farten minker med omtrent $2 m / s$ , som er $0,03 %$ av farten. Søppelbiten har så liten masse i forhold til satellitten at farten forblir omtrent uendret.

Etter nedbremsingen følger satellitten en ellipsebane innover mot jorda. Utenfor atmosfæren virker bare gravitasjonskraften, så den mekaniske energien er bevart. Vi kaller farten i den opprinnelige banen $v_{1}$ ( $r_{1} = 6,921 \cdot 10^{6} m$ ) og farten ved atmosfæregrensen $v_{2} = 7,80 k m / s$ ( $r_{2} = 6,371 \cdot 10^{6} m + 0,100 \cdot 10^{6} m = 6,471 \cdot 10^{6} m$ ):

\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - γ \frac{M m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - γ \frac{M m}{r_{2}}

Massen $m$ faller bort, og vi løser for $v_{1}$ :

v_{1} = \sqrt{v_{2}^{2} - 2 γ M (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}})}

2 γ M (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}}) = 2 \cdot 6,67 \cdot 10^{- 11} \cdot 5,974 \cdot 10^{24} \cdot (\frac{1}{6,471 \cdot 10^{6}} - \frac{1}{6,921 \cdot 10^{6}}) m^{2} / s^{2} = 8,01 \cdot 10^{6} m^{2} / s^{2}

v_{1} = \sqrt{{(7800 m / s)}^{2} - 8,01 \cdot 10^{6} m^{2} / s^{2}} = 7269 m / s \approx 7,27 k m / s

Satellitten mister potensiell energi på veien ned og får større fart, så den må bremses til $7,27 k m / s$ i banen for å ha $7,80 k m / s$ ved atmosfæren.

Når ionemotoren skyter ionene forover, dytter satellitten ionene forover, og ionene dytter satellitten bakover like hardt (Newtons 3. lov). Kreftene er indre krefter i systemet satellitt + ioner, og utskytingen skjer på en gang, så bevegelsesmengden i fartsretningen er bevart.

Før utskytingen har hele systemet massen $M_{s} = 260 k g$ (de $37 g$ fra søppelbiten har ingen betydning) og farten $v_{0} = 7,59 k m / s$ . Etter utskytingen har ionene massen $m$ og farten $u = 45 k m / s$ , og satellitten har massen $M_{s} - m$ og farten $v_{1} = 7,27 k m / s$ :

M_{s} v_{0} = (M_{s} - m) v_{1} + m u

m = M_{s} \cdot \frac{v_{0} - v_{1}}{u - v_{1}} = 260 k g \cdot \frac{7,59 k m / s - 7,27 k m / s}{45 k m / s - 7,27 k m / s} = 2,2 k g

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 H2021. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 H2021, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Satellittbaner, Bevegelsesmengde, Støt, Energibevaring

Satellitt truffet av romsøppel og bremset med ionemotor

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Satellitt truffet av romsøppel og bremset med ionemotor

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Satellitt truffet av romsøppel og bremset med ionemotor

Satellitt truffet av romsøppel og bremset med ionemotor

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer