Romsonden er bare påvirket av gravitasjonskraften fra månen. Gravitasjonskraften er en konservativ kraft, så den mekaniske energien er bevart. I et gravitasjonsfelt fra en kuleformet masse $M$ er den potensielle energien

der $r$ er avstanden fra månens sentrum. Vi setter lik mekanisk energi i avstanden $r_1$ (900 km over overflata) og ved overflata ($r=R$):

Massen $m$ forkortes bort, og vi får

Med $R=\mathrm{1,737}\cdot {10}^6\mathrm{m}$, $r_1=R+900\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,637}\cdot {10}^6\mathrm{m}$ og $\gamma M=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2=\mathrm{4,902}\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$:

Gravitasjonsakselerasjonen $a=\gamma {\displaystyle \frac{M}{r^2}}$ øker når romsonden kommer nærmere månen. Akselerasjonen er altså ikke konstant, og vi kan ikke bruke bevegelseslikningene for konstant akselerasjon. Vi løser bevegelsen numerisk med Eulers metode: i hvert lite tidssteg $\mathrm{\Delta }t$ regner vi akselerasjonen som konstant, oppdaterer farten med $a\mathrm{\Delta }t$ og posisjonen med $v\mathrm{\Delta }t$.

Vi lar $r$ være avstanden fra månens sentrum og $v$ farten mot månen (positiv inn mot månen). Da øker $v$ og minker $r$ for hvert steg. Løkka går så lenge romsonden ikke har nådd overflata, altså så lenge $r>R$.

gamma = 6.67e-11     # gravitasjonskonstanten i N m^2/kg^2
M = 7.35e22          # månens masse i kg
R = 1737e3           # månens radius i m

r = R + 900e3        # startavstand fra månens sentrum i m
v = 1440             # startfart mot månen i m/s
t = 0                # tid i s
dt = 0.001           # tidssteg i s

while r > R:
    a = gamma*M/r**2     # akselerasjon mot månen
    v = v + a*dt
    r = r - v*dt         # avstanden minker fordi romsonden faller mot månen
    t = t + dt
print(f"Tid: {t:.0f} s, fart ved nedslag: {v:.0f} m/s")

Utskrift:

Tid: 535 s, fart ved nedslag: 2000 m/s

Det tok $\underline{\underline{535\mathrm{s}}}$, omtrent $9$ minutter, fra romsonden var $900\mathrm{k}\mathrm{m}$ over overflata til den traff månen. At programmet gir farten $2000\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ved nedslaget, stemmer med a) og er en god kontroll av koden.

I en sirkelbane er gravitasjonskraften fra månen den eneste kraften på romsonden, og den virker som sentripetalkraft:

Farten i sirkelbanen er $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$. Innsatt får vi

Banen går $900\mathrm{k}\mathrm{m}$ over overflata, så $r=\mathrm{2,637}\cdot {10}^6\mathrm{m}$:

Rundetiden er $\underline{\underline{\mathrm{1,22}\cdot {10}^4\mathrm{s}}}$, som er omtrent $\mathrm{3,38}$ timer.