Hypotesetest - vannflasker S2 V26

Henrik kjøper ofte flasker med vann. Produsenten oppgir at flaskene inneholder $1{,}50 \mathrm{~L}$ med et standardavvik på $0{,}01 \mathrm{~L}$ .

Henrik påstår at flaskene inneholder mindre vann enn dette. Han kjøper en kasse med 24 flasker og måler vannmengden i alle.

Flasken med minst vann inneholder $1{,}48 \mathrm{~L}$ . Henrik mener at dette viser at påstanden hans er riktig.

Du kan anta at vannmengden i flaskene er normalfordelt.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske fra denne produsenten inneholder $1{,}48 \mathrm{~L}$ vann eller mindre.

Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke dette som argument for at påstanden hans er riktig, selv om han har funnet en flaske med lite vann.

Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.

Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler Henrik kan bruke for å gjennomføre testen.

Fasit

2,28 %

–

$H_{0}: \mu=1{,}5 \quad \text{mot} \quad H_{1}: \mu<1{,}5$

–

Løsningsforslag

Vi har normalfordeling med $\mu = 1{,}50$ og $\sigma = 0{,}01$ .

z= \frac{1{,}48-\mu}{\sigma}=\frac{1{,}48-1{,}50}{0{,}01}=\frac{-0{,}02}{0{,}01}=-2

Normalfordelingstabellen gir oss:

\Phi(-2)=P(Z \leq -2)= 0{,}0228

Sannsynligheten for at det er mindre enn 1,48 L i en tilfeldig valgt flaske er 2,28 % (forutsatt at produsentens opplysninger om forventningsverdi og standardavvik stemmer).

Henrik har målt 24 flasker, og det er den flasken med minst vann av disse han trekker frem. Sannsynligheten i deloppgave a) gjelder for én tilfeldig valgt flaske, ikke for minimumsverdien blant 24.

Fra a) vet vi at hver flaske har 2,28 % sannsynlighet for å inneholde 1,48 L eller mindre. Når Henrik måler 24 flasker, vil vi i gjennomsnitt forvente $24 \cdot 0{,}0228 \approx 0{,}5$ slike flasker per kasse. Med andre ord vil omtrent annenhver kasse inneholde minst én flaske under 1,48 L — selv om produsentens opplysninger stemmer helt.

Henrik kan derfor ikke bruke denne ene observasjonen som argument for påstanden sin. Han må heller se på gjennomsnittet av alle de 24 målingene (se deloppgave d).

Nullhypotesen er at produsenten har rett i sine påstander, mens den alternative hypotesen er flaskene inneholder mindre enn $1{,}5 \mathrm{~L}$ .

H_{0}: \mu=1{,}5 \quad \text{mot} \quad H_{1}: \mu<1{,}5

Henrik må først bestemme seg for et signifikansnivå. Her passer det godt å velge $\alpha=0{,}05$ .

Hver flaske har et standardavvik på 0,01 L. Hvis vi skal bruke gjennomsnittet av vannet i flaskene så har vi altså summen av vannet i 24 flasker delt på 24:

\bar{X} = \frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+ \dots + X_{24}}{24}

Etter sentralgrensesetningen vil $\bar{X}$ være normalfordelt med $E(\bar{X})= E(X)=1{,}5$ og $SD( \bar{X} )= \frac{\sigma}{\sqrt{ n }}=\frac{0{,}01}{\sqrt{ 24 }}$ .

Siden $5^{2}=25$ så må $\sqrt{ 24 } \approx 5$ og $SD(\bar{X}) \approx \frac{0{,}01}{5}=0{,}002$ .

Ifølge normalfordelingstabellen så tilsvarer et signifikansnivå på 0,05 omtrent $z$ -verdien 1,645.

Vi kan altså forkaste $H_{0}$ dersom

\begin{aligned} \bar{X}<1{,}5 - 1{,}645 \cdot SD(\bar{X}) \\ \bar{X}<1{,}5 - 1{,}645 \cdot \frac{0{,}01}{\sqrt{ 24 }}\\ \bar{X} < 1{,}5 - 1{,}645 \cdot 0{,}002 \\ \bar{X} < 1{,}5 - 0{,}00329 \\ \bar{X} <1{,}49671 \end{aligned}

Hvis gjennomsnittsinnholdet er 1,49671 L eller mindre så kan Henrik forkaste nullhypotesen.

Sensorveiledning

Kandidaten må lese av verdien i tabellen for å få uttelling.

En litt upresis forklaring kan også gi uttelling

5 poeng

Kandidaten må sette opp både nullhypotese og ensidig alternativ hypotese for å få uttelling.

Forklaringen må inkludere signifikansnivå og formlene for forventningsverdi og standardavvik for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2026, del 1, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: normalfordeling, hypotesetest, sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen