Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Du får vite dette om en funksjon $f$

Bestem $f(x)$ .

To andre funksjoner, $g$ og $h$ , er gitt ved $g(x) = x$ og $h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4$ for $x>0$ .

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til $g$ og $h$ .

Fasit

$f(x)=-\frac{2}{x}+3$

$4-3 \ln 3$

Løsningsforslag

Vi kan finne antideriverte til $f'(x)$ ved å integrere.

f(x)=\int \frac{2}{x^{2}} \, \mathrm{d}x =2 \int x^{-2} \, \mathrm{d}x =2 \cdot \frac{1}{-1} x^{-1} +C = -\frac{2}{x} + C

Funksjonen vår må også gå gjennom $(2,2)$ , derfor kan vi sette opp en likning for å bestemme $C$ :

\begin{aligned} f(2)&=-\frac{2}{2}+C \\ 2&=-1 + C \\ 2 + 1 &= C \\ C&=3 \end{aligned}

\underline{\underline{ f(x)=-\frac{2}{x}+3 }}

Vi skal finne arealet mellom $g$ og $h$ . Vi finner først skjæringspunktet mellom grafene ved å sette dem lik hverandre og løse.

\begin{aligned} g&=h \\ x &= -\frac{3}{x}+4 \\ x^{2} &= -3 +4x \\ x^{2}-4x+3 &= 0 \\ \underbrace{ (x-1)(x-3) }_{ \text{Heltallsmetode} } &= 0 \\ x =1 &\vee x =3 \end{aligned}

Det avgrensede arealet ligger altså mellom $x=1$ og $x=3$ .

Vi setter opp integralet:

\begin{aligned} \int_{1}^{3} \left( h(x) - g(x)\right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( \left( -\frac{3}{x}+4 \right) - (x) \right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( -\frac{3}{x} -x +4 \right) \, \mathrm{d}x \\ \left[-3 \ln |x| - \frac{1}{2}x^{2} + 4x \right]_{1}^{3} \\ \left( - 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 3^{2} + 4 \cdot 3\right) - \left(- 3 \ln 1 - \frac{1}{2} 1^{2} + 4 \cdot 1\right) \\ \left(- 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 9 +12 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} + 4 \right) \\ -3 \ln 3 -\frac{9}{2} +12 +\frac{1}{2}-4 \\ -3 \ln 3 - \frac{8}{2} +8\\ -3 \ln 3 -4 + 8 \\ - 3 \ln 3 +4 \\ 4 - 3 \ln 3 \end{aligned}

Arealet er $\underline{\underline{ 4 - 3 \ln 3 }}$ .

Sensorveiledning

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å bruke initialbetingelsene riktig.

4 poeng

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng. Kandidater som gjør en liten regnefeil kan få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2026, del 1, oppgave 2
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integrasjon, antiderivasjon, areal mellom grafer
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer