Kubikktall

De fem første kubene

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n+1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .

Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.

Fasit

$S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}$ og $S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right)$

$S_{50}=1625625$

Løsningsforslag

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{aligned} S_{1}&=1^{3}\\ S_{2}&=1^{3}+2^{3}=S_{1}+2^{3}\\ S_{3}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}=S_{2}+3^{3} \end{aligned}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

\underline{\underline{S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}}}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

Regresjonsanalyse i GeoGebra: regnearket inneholder n fra 1 til 9 i kolonne A og summene 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296 og 2025 i kolonne B. Polynomregresjon av fjerde grad gir y = 0,25x⁴ + 0,5x³ + 0,25x², og kurven går gjennom alle punktene.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n}=\underline{\underline{\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right)}}

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50}=1 \, 625 \, 625$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktig rekursiv sammenheng gir 1 poeng og riktig eksplisitt formel gir 1 poeng.

Kandidater som lager et program med den eksplisitte formelen, får ingen uttelling. Program med en god strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2024, del 2, oppgave 4
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekursiv sammenheng, Figurtall, Programmering, Rekker, Regresjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Kubikktall

Sync på tvers av enheter

Kubikktall

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave