Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad

La $K(x)$ være kostnadsfunksjonen til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare, og la $E(x)$ være enhetskostnaden. La $x_0$ være antallet enheter som gir den laveste enhetskostnaden. Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden for $x=x_0$ .

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har de laveste enhetskostnadene når $E'(x)=0$ . Vi kan altså sette opp

\begin{aligned} E'(x)&=0\\ \left( \frac{K(x)}{x} \right)'&=0\\ \frac{K'(x) \cdot x-K(x) \cdot 1}{x^{2}}&=0\\ K'(x) \cdot x - K(x)&=0\\ K'(x)&=\frac{K(x)}{x} \\ K'(x)&=E(x) \end{aligned}

Hvis $x_{0}$ er antallet enheter som gir lavest enhetskostnader så ser vi at dette må være lik grensekostnaden, altså $K'(x_{0})=E(x_{0})$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2024, del 1, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: bevis, enhetskostnad, grenseinntekt og grensekostnad, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene