Bestemme koeffisienter i tredjegradsfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx

Om grafen til $f$ får du vite at

Bruk disse opplysningene til å sette opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Løs likningssystemet.

Fasit

Se løsningsforslag

$a = -1$ , $b = 4$ , $c = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ og $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ .

Punkt $(1, 6)$ :

f(1) = a + b + c = 6 \quad \text{(I)}

Punkt $(-1, 2)$ :

f(-1) = -a + b - c = 2 \quad \text{(II)}

Toppunkt med $x = 3$ betyr $f'(3) = 0$ :

f'(3) = 27a + 6b + c = 0 \quad \text{(III)}

Vi legger sammen (I) og (II):

(a + b + c) + (-a + b - c) = 6 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2b = 8 \quad \Rightarrow \quad b = 4

Vi setter $b = 4$ inn i (I): $a + c = 2$ , altså $c = 2 - a$ (IV).

Vi setter $b = 4$ og (IV) inn i (III):

27a + 24 + (2 - a) = 0 \quad \Rightarrow \quad 26a + 26 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1

Fra (IV): $c = 2 - (-1) = 3$ .

\underline{\underline{a = -1, \quad b = 4, \quad c = 3}}

Funksjonen er $f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 5
Poeng: 4
Temaer: funksjonsdrøfting, likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon