Polynomdivisjon og ulikhet

Polynomet $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 19x + 30

Utfør polynomdivisjonen $P(x) : (x - 2)$ .

Løs ulikheten $P(x) \geq 0$ .

Forkort brøken

\frac{x^3 - 19x + 30}{x^3 - 2x^2 - 9x + 18}

Fasit

$P(x) : (x-2) = x^2 + 2x - 15$

$x \in [-5{,}\ 2] \cup [3{,}\ \to\rangle$

$\dfrac{x+5}{x+3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører polynomdivisjonen $P(x) : (x - 2)$ :

\begin{aligned} &\quad (x^3 - 19x + 30) : (x - 2) = x^2 + 2x - 15 \\[4pt] &\quad\underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ &\quad\quad 2x^2 - 19x \\ &\quad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\ &\quad\quad\quad -15x + 30 \\ &\quad\quad\quad \underline{-(-15x + 30)} \\ &\quad\quad\quad\quad 0 \end{aligned}

Vi får $P(x) = (x-2)(x^2 + 2x - 15)$ .

Vi faktoriserer $x^2 + 2x - 15$ :

x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

Dermed er $P(x) = (x-2)(x+5)(x-3)$ med nullpunkter $x = -5$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

Vi lager en fortegnslinje:

	$x < -5$	$-5 < x < 2$	$2 < x < 3$	$x > 3$
$P(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

\underline{\underline{P(x) \geq 0 \quad \text{for} \quad x \in [-5{,}\ 2] \cup [3{,}\ \to\rangle}}

Vi faktoriserer nevneren. Vi prøver $x = 2$ :

Q(2) = 8 - 8 - 18 + 18 = 0 \quad \checkmark

Vi utfører $Q(x) : (x-2)$ og får $Q(x) = (x-2)(x^2 - 9) = (x-2)(x-3)(x+3)$ .

Dermed:

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(x-2)(x+5)(x-3)}{(x-2)(x-3)(x+3)} = \underline{\underline{\frac{x+5}{x+3}}}

der $x \neq 2$ og $x \neq 3$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 3
Poeng: 6
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon