Levetid for batterier og hypotesetest

En bedrift produserer batterier til hodelykter. Bedriften påstår at levetiden for batteriene er 30 timer når hodelykten brukes med full lysstyrke.

Vi antar at levetiden for batteriene er normalfordelt med $\mu = 30$ timer og $\sigma = 3$ timer.

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har en levetid på mindre enn 27 timer.

Forbrukerrådet har mistanke om at forventet levetid er mindre enn 30 timer. Derfor blir ni tilfeldig valgte batterier testet. Levetida til batteriene viser seg å være 29, 31, 32, 27, 29, 25, 23, 30 og 26 timer.

Vi antar fortsatt at levetiden til batteriene er normalfordelt med $\sigma = 3$ timer.

Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at den forventede levetiden er mindre enn 30 timer. Bruk et signifikansnivå på $5 \text{ \%}$ .

Fasit

$\underline{\underline{P(X < 27) \approx 0{,}1587}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}0228 < 0{,}05$ , så vi forkaster $H_0$ . Det er grunnlag for å hevde at forventet levetid er mindre enn 30 timer.

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være levetiden til et tilfeldig valgt batteri. $X$ er normalfordelt med $\mu = 30$ og $\sigma = 3$ .

Vi standardiserer og finner sannsynligheten:

P(X < 27) = P\!\left(Z < \frac{27 - 30}{3}\right) = P(Z < -1) \approx \underline{\underline{0{,}1587}}

from scipy.stats import norm
norm.cdf(27, loc=30, scale=3)  # → 0.1587

Vi setter opp hypotesene for en ensidig test:

H_0\colon \mu = 30 \qquad H_1\colon \mu < 30

Vi beregner gjennomsnittet av de ni målte levetidene:

\bar{y} = \frac{29+31+32+27+29+25+23+30+26}{9} = \frac{252}{9} = 28 \text{ timer}

Under $H_0$ er gjennomsnittet $\bar{Y}$ av $n = 9$ uavhengige observasjoner normalfordelt med

\mu_{\bar{Y}} = 30 \qquad \sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1

$p$ -verdien er sannsynligheten for å observere et gjennomsnitt like lavt som eller lavere enn $\bar{y} = 28$ , gitt at $H_0$ er sann:

p\text{-verdi} = P(\bar{Y} < 28) = P\!\left(Z < \frac{28 - 30}{1}\right) = P(Z < -2) \approx 0{,}0228

from scipy.stats import norm
norm.cdf(28, loc=30, scale=1)  # → 0.0228

Siden $p\text{-verdi} \approx 0{,}0228 < \alpha = 0{,}05$ forkaster vi $H_0$ .

Konklusjon: På $5\,\%$ signifikansnivå er det grunnlag for å hevde at forventet levetid for batteriene er mindre enn 30 timer.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 2, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest

Levetid for batterier og hypotesetest

Sync på tvers av enheter

Levetid for batterier og hypotesetest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave