Avbetalingslån og sparerente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner. Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.

Forklar at dersom terminbeløpet er $x$ kroner, så vil

\frac{x}{1{,}016} + \frac{x}{1{,}016^2} + \cdots + \frac{x}{1{,}016^{36}} = 8025

Løs denne likningen.

Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet.

Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?

Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen.

Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.

Fasit

$x \approx 295$ kr

Månedlig bankrente $\approx 1{,}5\,\%$

Månedlig sparerente $\approx 0{,}70\,\%$

LøsningsforslagKI-generert

Frida betaler 36 månedlige terminbeløp på $x$ kroner. Det første beløpet betales om én måned.

Nåverdien av hvert terminbeløp:

Beløpet som betales om $k$ måneder, er verdt $\dfrac{x}{1{,}016^k}$ kroner i dag.

Nåverdien av alle 36 terminbeløpene til sammen er:

\frac{x}{1{,}016} + \frac{x}{1{,}016^2} + \cdots + \frac{x}{1{,}016^{36}}

Dette skal være lik kjøpesum + engangsgebyr = $7995 + 30 = 8025$ kroner:

\frac{x}{1{,}016} + \frac{x}{1{,}016^2} + \cdots + \frac{x}{1{,}016^{36}} = 8025

Løsning: Venstresiden er en geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{x}{1{,}016}$ , kvotient $k = \dfrac{1}{1{,}016}$ og $n = 36$ ledd.

Summen er:

S = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} = \frac{x}{1{,}016} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{1{,}016}\right)^{36}}{1 - \frac{1}{1{,}016}} = x \cdot \frac{1 - 1{,}016^{-36}}{0{,}016}

Vi setter inn og løser:

x \cdot \frac{1 - 1{,}016^{-36}}{0{,}016} = 8025

x = \frac{8025 \cdot 0{,}016}{1 - 1{,}016^{-36}} \approx \frac{128{,}4}{0{,}4352} \approx 295

Terminbeløpet er 295 kroner.

I banken låner Frida selve kjøpesummen på 7995 kroner (engangsgebyret på 30 kroner gjaldt bare butikkens avbetalingsordning). Nåverdien av de 36 terminbeløpene på 289 kroner skal være lik lånebeløpet:

289 \cdot \frac{1 - (1+r)^{-36}}{r} = 7995

Denne likningen løses numerisk. Vi prøver $r = 0{,}015$ :

289 \cdot \frac{1 - 1{,}015^{-36}}{0{,}015} \approx 289 \cdot 27{,}66 \approx 7995

Den månedlige bankrenten er $\underline{\underline{r \approx 0{,}015}}$ , det vil si $1{,}5\,\%$ .

Elise setter inn 650 kroner månedlig. Etter den 12. innbetalingen har hun 8 107 kroner.

Sluttverdien av 12 termininnbetalinger med månedlig rente $i$ er:

650 \cdot \frac{(1+i)^{12} - 1}{i} = 8107

Vi løser numerisk. Vi prøver $i = 0{,}0070$ :

650 \cdot \frac{1{,}0070^{12} - 1}{0{,}0070} \approx 650 \cdot 12{,}47 \approx 8107

Den månedlige sparerenten er $i \approx 0{,}0070$ , det vil si ca. 0,70 %.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 2, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Sparing, Rente, Geometrisk rekke

Avbetalingslån og sparerente

Sync på tvers av enheter

Avbetalingslån og sparerente

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave