Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved produksjon av en vare er etterspørselen $E(p)$ enheter per uke uttrykt ved

$$E(p)=-0{,}5p+80 \qquad p\in[10,\,70]$$

Prisen $p$ per enhet er gitt i kroner.

Inntektene per uke kan uttrykkes ved funksjonen $I(p)$. Produksjonen legges opp slik at det produseres like mange enheter som det selges. Kostnadene knyttet til produksjonen er gitt ved funksjonen

$$K(x)=8x^2-1200x+45\,600$$

der $x=E(p)$ er antall produserte og solgte enheter.

a)

Vis at funksjonsuttrykkene til $I(p)$ og $K(p)$ er gitt ved

$$I(p)=-0{,}5p^2+80p$$ $$K(p)=2p^2-40p+800$$

b)

Hvilken pris gir størst overskudd?

c)

Hvor mange enheter per uke produseres det når overskuddet er størst?

Ved produksjon av en annen vare er etterspørselen per uke gitt ved

$$g(x)=200\cdot e^{0{,}02x} \qquad x\in[1,\,26]$$

$x=1$ betyr uke nr. 1, og $x=2$ betyr uke nr. 2 i produksjonstiden osv. Også for denne varen produseres det like mange enheter per uke som det selges.

d)

Tegn grafen til $g$. I hvilken uke er etterspørselen $270$ enheter? Finn svaret både grafisk og ved regning.

e)

Hvor mange enheter produseres det i løpet av det halve året?