Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er gitt ved

K(x)=700 \cdot e^{\frac{x}{200}}, \quad\quad x\in \left< 0,500 \right]

Bestem $K'(150)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden. Hva blir denne enhetskostnaden?

Bedriften selger alle varene den produserer. Inntekten $I(x)$ kroner ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved

I(x)=80x-0{,}10x^{2}

Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?

Fasit

7,41 kr. Ca kostnad for å øke produksjonen fra 150 til 151 enheter per dag.

200 enheter. Enhetskostnaden er 9,51 kr.

$x \in \left< 10,500 \right]$

Løsningsforslag

Løsning i CAS av oppgave 2 del 2

Se linje 2 i utklippet.

Grensekostnaden $K'(150)=7{,}41$ . Kostnaden ved å øke produksjonen fra 150 enheter til 151 er omtrent 7,4 kroner.

Enhetskostnadene er $E(x)=\frac{K(x)}{x}$ . Vi har lavest enhetskostnad når $E(x)=K'(x)$ . Jeg satt opp likningen i linje 4 i utklippet og regnet ut enhetskostnaden i linje 5.

Vi har lavest enhetskostnader ved produksjon av 200 enheter. Da er enhetskostnaden 9,51 kroner.

Jeg løser ulikheten $I>K$ i linje 7. Siden definisjonsmengden til $K$ er $D_{K} \in \langle 0,500]$ så vil $I>K$ når $x \in [10,500]$ .

Bedriften må produsere og selge fra og med 10 enheter til og 500 enheter for å gå med overskudd.

Sensorveiledning

Kandidaten må både finne verdi og tolke svaret for å få uttelling.

1 poeng for å finne produksjonsmengden og 1 poeng for å finne enhetskostnaden.

For å få full uttelling må kandidaten ta hensyn til definisjonsmengden.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2025, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: økonomi, grenseinntekt og grensekostnad, enhetskostnad, overskudd, derivasjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene