Påstand om områder avgrenset av grafer

Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

To funksjoner er gitt ved $f(x)=x^{3}-x^{2}-ax$ , der $a \in \mathbb{R}$ , og $g(x)=-x^{2}+x$

Påstand: Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a>-1$ .

Fasit

Påstanden er sann

Løsningsforslag

$f$ og $g$ kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden $f$ er en tredjegradsfunksjon og $g$ er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Bestemmelse av skjæringspunktet mellom funksjoner i CAS

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at $a>-1$ gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Bestemmelse av arealet mellom grafene

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer fram til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 2, oppgave 3b
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: funksjoner, areal under graf, integral, areal mellom graf, argumentasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner