Ubestemt integral h24

Regn ut integralet

\int x^{2} \cdot \ln x \, \mathrm{d}x

Fasit

$\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C$

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at $x^{2}$ er den faktoren som skal integreres, og $\ln x$ er faktoren som skal deriveres.

Hvordan velge hva som skal deriveres og integreres

I lignende oppgaver har vi ofte valgt å derivere den faktoren som er et polynomuttrykk, slik at faktoren blir null etter at vi har derivert en eller flere ganger. I dette tilfellet er det likevel lurt å velge å integrere polynomfaktoren, siden $\ln x$ er litt vanskelig å integrere. I tillegg ser vi et veldig flott mønster med at $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ og vi dermed får en rad i DI-systemet som vi kan integrere produktet av.

	D	I
$+$	$\ln x$	$x^{2}$
$-$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{3}x^{3}$

Vi ser at produktet i rad 2 er $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3}x^{3}$ , som vi kan integrere.

Vi kan altså sette opp

\begin{aligned} \int x^{2} \ln x \, \mathrm{d}x &= \ln x \cdot \frac{1}{3}x^{3} - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{3} x^{3} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{3} x^{3}\ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^{3}+C\\ &=\underline{\underline{\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C}} \end{aligned}

Sensorveiledning

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningen. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det er en del av helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 1a
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: integral, delvis integrasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner