Optimal pris for størst inntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Dersom prisen på en bestemt vare er $p$ kroner per enhet, vil etterspørselen $q$ være gitt ved

q(p) = 500 \cdot e^{-0{,}04p}

Inntekten $I$ (i kroner) er

I(p) = p \cdot q(p)

Bestem den prisen som gir størst inntekt.

Vi kan også bestemme prisen $p$ som en funksjon av $q$ .

Vis at

p(q) = -25 \cdot \ln\left(\frac{q}{500}\right)

Bestem $p'(25)$ . Hva forteller dette svaret oss?

Fasit

$p = 25 \text{ kr}$

Vist ved å løse $q = 500e^{-0{,}04p}$ for $p$

$p'(25) = -1$ . Ved etterspørsel $q = 25$ synker prisen med ca. 1 kr per ekstra enhet etterspurt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $I(p) = p \cdot q(p) = 500p \cdot e^{-0{,}04p}$ .

Vi deriverer $I(p) = 500p \cdot e^{-0{,}04p}$ med produktregelen:

\begin{aligned} I'(p) &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} + 500p \cdot \left(-0{,}04\right) \cdot e^{-0{,}04p} \\ &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} \cdot \left(1 - 0{,}04p\right) \end{aligned}

Vi setter $I'(p) = 0$ . Siden $500 \cdot e^{-0{,}04p} > 0$ for alle $p$ , må

1 - 0{,}04p = 0 \implies p = \frac{1}{0{,}04} = 25

Vi sjekker fortegnskiftet: $I'(p) > 0$ for $p < 25$ og $I'(p) < 0$ for $p > 25$ , så dette er et maksimum.

Prisen som gir størst inntekt er $\underline{\underline{p = 25 \text{ kr}}}$ .

Vi starter med $q = 500e^{-0{,}04p}$ og løser for $p$ :

\begin{aligned} q &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} \\ \frac{q}{500} &= e^{-0{,}04p} \\ \ln\!\left(\frac{q}{500}\right) &= -0{,}04p \\ p &= \frac{\ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right)}{-0{,}04} = -25 \cdot \ln\!\left(\frac{q}{500}\right) \end{aligned}

Dermed er $\underline{\underline{p(q) = -25 \cdot \ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right)}}$ .

Vi deriverer $p(q) = -25 \cdot \ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right) = -25 \cdot \left(\ln q - \ln 500\right)$ :

p'(q) = -25 \cdot \frac{1}{q} = -\frac{25}{q}

Ved $q = 25$ :

p'(25) = -\frac{25}{25} = \mathbf{\underline{\underline{-1}}}

Tolkning: Når etterspørselen er 25 enheter, vil én ekstra etterspurt enhet føre til at prisen synker med ca. 1 kr.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter