Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en frøpose står det at spireevnen er $85\ \%$ . Det er $200$ frø i hver pose. La $X$ være antall frø som spirer, i en tilfeldig frøpose. Vi antar at $X$ er binomisk fordelt.

Bestem $P(X \le 175)$ .

Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn $85\ \%$ . Hun ville derfor utføre en hypotesetest. Hun ville teste nullhypotesen

H_0: p = 0{,}85

mot den alternative hypotesen

H_1: p < 0{,}85

Hun sådde derfor $200$ frø. Det viste seg at $160$ av frøene spirte.

Avgjør om Noras mistanke er berettiget, ved å utføre hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på $5\ \%$ .

Nora har ikke programvare til å utføre binomiske beregninger. Hun må derfor gjøre en hypotesetest med en normaltilpasning av $X$ .

Gå ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \le 175) \approx 0{,}863}}$

p-verdi $= 0{,}034 < 0{,}05$ $\Rightarrow$ forkast $H_0$ . Noras mistanke er berettiget.

Med normaltilnærming (kontinuitetskorreksjon): p-verdi $\approx 0{,}030 < 0{,}05$ $\Rightarrow$ forkast $H_0$ . Samme konklusjon.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 200$ og $p = 0{,}85$ .

Vi bruker GeoGebra sannsynlighetskalkulator til å beregne

P(X \le 175)

\underline{\underline{P(X \le 175) \approx 0{,}863}}

Vi setter opp hypotesene:

H_0\colon p = 0{,}85 \qquad H_1\colon p < 0{,}85

Signifikansnivå: $\alpha = 5\ \%$ .

Nora observerte at $160$ av $200$ frø spirte. P-verdien er sannsynligheten for å få et like ekstremt eller mer ekstremt resultat, gitt at $H_0$ er sann:

\text{p-verdi} = P(X \le 160 \mid p = 0{,}85)

Vi beregner med GeoGebra sannsynlighetskalkulator:

\text{p-verdi} \approx 0{,}034

Siden $0{,}034 < 0{,}05$ forkaster vi $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn } 85\ \%.}}$

Siden $n = 200$ er stort, kan vi tilnærme $X$ med en normalfordeling.

Under $H_0$ er $X$ tilnærmet normalfordelt med

\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}85 = 170

\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05

Vi standardiserer med kontinuitetskorreksjon (siden $X$ egentlig er diskret):

z = \frac{160{,}5 - \mu}{\sigma} = \frac{160{,}5 - 170}{5{,}05} \approx -1{,}88

Se linjene 1–5 i GeoGebra CAS nedenfor for beregningen av $\mu$ , $\sigma$ og $z$ -verdiene:

Med kontinuitetskorreksjon:

\text{p-verdi} = P(Z \le -1{,}88) \approx 0{,}030

Uten kontinuitetskorreksjon (standardiserer mot $160$ ):

z = \frac{160 - 170}{5{,}05} \approx -1{,}98 \qquad \Rightarrow \qquad P(Z \le -1{,}98) \approx 0{,}024

Begge gir p-verdi $< 0{,}05$ , og vi forkaster $H_0$ .

Alternativt via kritisk verdi: vi forkaster $H_0$ hvis observert verdi er lavere enn

\mu - 1{,}645 \cdot \sigma = 170 - 1{,}645 \cdot 5{,}05 \approx 161{,}7

Siden $160 < 161{,}7$ forkaster vi $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Konklusjon: Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn } 85\ \%.}}$

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2017, del 2, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling

Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Sync på tvers av enheter

Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave