Treningsfunksjon og integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria trener på et apparat i et treningssenter. La $f(x)$ være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, $x$ minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x \qquad , \qquad x \geq 0

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min.

Det samlede energiforbruket $E$ , målt i kilojoule (kJ), i de første $t$ minuttene av treningen er gitt ved

E(t) = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x

Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.

Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.

Fasit

Se graf.

$f(3) \approx 43{,}1$ kJ/min. Treningseffekten er 50 kJ/min etter ca. $x \approx 7{,}6$ min.

$E(10) = \int_0^{10} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 430{,}5$ kJ.

$t \approx 24{,}5$ min.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner til å tegne grafen til $f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x$ .

Graf av treningsfunksjonen med markert punkt (3, 43,1) og skjæring med y = 50

Vi leser av grafen ved $x = 3$ :

f(3) = 42(1 - e^{-3}) + 1{,}05 \cdot 3 \approx 43{,}1 \text{ kJ/min}

For å finne når treningseffekten er 50 kJ/min tegner vi linjen $y = 50$ og finner skjæringspunktet med grafen til $f$ . Vi leser av at $f(x) = 50$ når $x \approx 7{,}6$ min.

Det samlede energiforbruket de første 10 minuttene er

E(10) = \int_0^{10} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 430{,}5 \text{ kJ}

Vi beregner dette numerisk med graftegneren (CAS/integralkommando).

Vi må løse likningen

E(t) = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x = 1300

Vi løser likningen numerisk. Prøver med $t = 24$ :

E(24) = \int_0^{24} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 1268 \text{ kJ}

Prøver med $t = 25$ :

E(25) = \int_0^{25} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 1336 \text{ kJ}

Vi ser at svaret er mellom 24 og 25. Numerisk løsning gir $t \approx 24{,}5$ min.

Maria må trene i ca. 24,5 minutter for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Modellering, Funksjoner

Treningsfunksjon og integrasjon

Sync på tvers av enheter

Treningsfunksjon og integrasjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave