Normalfordeling og lyspærer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Levetiden $X$ til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid $\mu = 2000 \mathrm{~timer}$ og med et standardavvik $\sigma = 400 \mathrm{~timer}$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.

Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn $x$ timer. Bestem $x$ .

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X$ ? Begrunn svaret.

Fire normalfordelingsgrafene A, B, C og D

Fasit

$P(X < 1600) \approx 0{,}1587 = 15{,}87\ \%$

$x = 1488\ \text{timer}$

Graf C

LøsningsforslagKI-generert

X er normalfordelt med $\mu = 2000$ og $\sigma = 400$ .

Vi standardiserer og slår opp i tabellen for standard normalfordeling:

P(X < 1600) = P\!\left(Z < \frac{1600 - 2000}{400}\right) = P(Z < -1{,}00)

Fra tabellen leser vi av $P(Z < -1{,}00) = 0{,}1587$ .

Sannsynligheten er ca. 15,87 %.

Vi ønsker $x$ slik at $P(X > x) = 0{,}90$ .

P(X > x) = 0{,}90 \implies P(X < x) = 0{,}10

Vi standardiserer:

P\!\left(Z < \frac{x - 2000}{400}\right) = 0{,}10

Fra tabellen finner vi $z$ -verdien som gir $P(Z < z) = 0{,}10$ . Vi ser at $P(Z < -1{,}28) \approx 0{,}1003$ , så $z \approx -1{,}28$ .

Da er:

\frac{x - 2000}{400} = -1{,}28 \implies x = 2000 + (-1{,}28) \cdot 400 = 2000 - 512 = 1488

$x = 1488$ timer.

X er normalfordelt med $\mu = 2000$ og $\sigma = 400$ . Grafen skal ha:

Toppunkt (symmetriakse) ved $x = 2000$
Ca. 99 % av arealet innenfor $\mu \pm 3\sigma = [800,\ 3200]$ , men den smalner raskt utenfor $\mu \pm 2\sigma = [1200,\ 2800]$

Graf A har sentrum ved 2000, men er altfor bred (stor spredning). Graf B har sentrum ved ca. 1200. Graf D har sentrum ved ca. 2500. Graf C har sentrum ved 2000 og riktig spredning.

Graf C illustrerer $X$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 1, oppgave 9
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Normalfordeling og lyspærer

Sync på tvers av enheter

Normalfordeling og lyspærer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave