Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall nummer $n$ er gitt ved formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , $n \in \mathbb{N}$

Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene.

Det finnes en sammenheng mellom $T(m+n)$ og $T(m) + T(n)$ , $n \in \mathbb{N}$ , $m \in \mathbb{N}$

Sett $m = 2$ og $n = 8$ og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut

$T(2 + 8)$ , $T(2) + T(8)$ og

T(2 + 8) - (T(2) + T(8))

Sett inn andre verdier for $m$ og $n$ og undersøk hva $T(m+n) - (T(m) + T(n))$ blir. Prøv å formulere en generell regel.

Bruk formelen for $T(n)$ til å skrive uttrykket

T(m+n) - (T(m) + T(n))

så enkelt som mulig.

Fasit

Se tabell under.

$T(10) - (T(2)+T(8)) = 16 = 2 \cdot 8$ . Generell regel: $T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn$ .

$\underline{\underline{T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og beregner de 12 første trekanttallene:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$T(n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

Med $m = 2$ og $n = 8$ leser vi av tabellen:

T(2+8) = T(10) = 55

T(2) + T(8) = 3 + 36 = 39

T(2+8) - (T(2)+T(8)) = 55 - 39 = \textcolor{seagreen}{16}

Vi merker oss at $\textcolor{seagreen}{16} = 2 \cdot 8 = m \cdot n$ . Vi prøver noen andre verdier:

$m$	$n$	$T(m+n)$	$T(m)+T(n)$	$T(m+n)-(T(m)+T(n))$	$m \cdot n$
3	4	$T(7) = 28$	$6+10 = 16$	$12$	$12$
1	5	$T(6) = 21$	$1+15 = 16$	$5$	$5$
3	3	$T(6) = 21$	$6+6 = 12$	$9$	$9$

Generell regel: $T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn$

Vi setter inn formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ for hvert ledd:

T(m+n) - (T(m)+T(n))

= \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} - \left(\frac{m(m+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}\right)

= \frac{(m+n)(m+n+1) - m(m+1) - n(n+1)}{2}

Vi utvider telleren:

\textcolor{steelblue}{(m+n)(m+n+1)} = m^2 + mn + m + mn + n^2 + n = m^2 + 2mn + n^2 + m + n

\textcolor{tomato}{m(m+1)} = m^2 + m

\textcolor{tomato}{n(n+1)} = n^2 + n

Setter inn:

= \frac{(m^2 + 2mn + n^2 + m + n) - (m^2 + m) - (n^2 + n)}{2}

= \frac{m^2 + 2mn + n^2 + m + n - m^2 - m - n^2 - n}{2}

= \frac{2mn}{2} = mn

Vi har dermed bevist at

\boxed{T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn}

Verifisering med GeoGebra CAS:

Vi definerer $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og lar CAS forenkle $T(m+n) - (T(m)+T(n))$ :

GeoGebra CAS bekrefter at T(m+n)-(T(m)+T(n)) = mn

CAS bekrefter at uttrykket forenkler til $\textbf{n} \cdot \textbf{m}$ , det vil si $mn$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter