Potensregresjon for volum og radius S1 V26

Eva har kjøpt et sett med kopper. Koppene er tilnærmet sylinderformede. Alle har samme høyde, men de har ulik radius. Eva har målt de ulike radiene og volumene. Se tabellen nedenfor.

Radius (cm)	3,5	3,6	3,8	4,5	4,7	4,9
Volum (mL)	440	470	530	730	830	900

Lag en modell på formen

V(x) = a\cdot x^b

for sammenhengen mellom radius $x$ og volumet $V$ .

Bestem $V'(4)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Hvor mye øker volumet dersom radien dobles ifølge modellen fra oppgave a?

Fasit

$V(x) \approx 31{,}96 \cdot x^{2{,}0968}$

$V'(4) \approx \mathbf{306{,}6} \, \mathrm{mL/cm}$ . Når radien er 4 cm, øker volumet med ca. 306,6 mL per cm økning i radius.

Volumet øker med ca. $\mathbf{328 \, \%}$ (faktoren er $2^{2{,}0968} \approx 4{,}28$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og utfører potensregresjon med RegPot. Modellen blir

V(x) = a \cdot x^b

Se linje 1 i CAS-utklippet under (parameterverdiene $a \approx 31{,}96$ og $b \approx 2{,}0968$ er funnet med potensregresjon).

\underline{\underline{V(x) \approx 31{,}96 \cdot x^{2{,}0968}}}

Vi definerer den deriverte $V'(x)$ og evaluerer i $x = 4$ (linje 3–4 i CAS):

V'(x) = a \cdot b \cdot x^{b-1} \approx 67{,}01 \cdot x^{1{,}0968}

\underline{\underline{V'(4) \approx 306{,}6 \, \mathrm{mL/cm}}}

Tolkning: Når koppen har radius $x = 4 \, \mathrm{cm}$ , vil volumet øke med omtrent $306{,}6 \, \mathrm{mL}$ for hver centimeter økning i radius.

Hvis radien dobles fra $x$ til $2x$ , får vi

\frac{V(2x)}{V(x)} = \frac{a \cdot (2x)^b}{a \cdot x^b} = 2^b

Vi beregner $2^{2{,}0968}$ i linje 5 i CAS:

2^{b} \approx 4{,}28

Volumet blir altså $4{,}28$ ganger så stort, som tilsvarer en økning på

4{,}28 - 1 = 3{,}28 = \underline{\underline{328 \, \%}}

CAS-utregning for potensregresjon, derivasjon og dobling av radius

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2026, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: regresjon, derivasjon, modellering, potenser
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene