Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}

Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$ .

En klubb har 7 medlemmer. Noen av medlemmene skal være med i en arbeidsgruppe.

Påstand: Det er flere mulige forskjellige arbeidsgrupper med 4 medlemmer enn det er mulige forskjellige arbeidsgrupper med 3 medlemmer.

Fasit

Usann – påstanden gjelder ikke når $x = d$ også er nullpunkt for telleren.

Usann – antall grupper med 4 av 7 er like mange som antall grupper med 3 av 7 (begge er 35).

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om alle funksjoner på formen

f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d}

har en vertikal asymptote $x = d$ .

En vertikal asymptote $x = d$ oppstår bare dersom nevneren er null i $x = d$ og telleren ikke er null i samme punkt. Hvis $x = d$ er nullpunkt for begge, kanselleres faktoren, og det er et hull i grafen – ikke en asymptote.

Vi velger $a = 1$ , $b = -d$ , $c = 0$ . Da er

f(x) = \frac{x^2 - dx}{x - d} = \frac{x(x - d)}{x - d} = x, \quad x \neq d

Denne funksjonen er en rett linje med et hull i $x = d$ , og har ingen vertikal asymptote.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

Vi teller antall mulige arbeidsgrupper med kombinatorikk.

Antall arbeidsgrupper med 4 av 7 medlemmer:

\binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

Antall arbeidsgrupper med 3 av 7 medlemmer:

\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

Begge gir 35 mulige arbeidsgrupper. Dette er ikke tilfeldig: symmetrien i Pascals trekant gir $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ , og her er $\binom{7}{4} = \binom{7}{3}$ fordi $4 + 3 = 7$ .

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ – det er like mange mulige arbeidsgrupper med 4 som med 3 medlemmer.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2026, del 1, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: rasjonale funksjoner, kombinatorikk, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk