Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}

Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$ .

En klubb har 7 medlemmer. Noen av medlemmene skal være med i en arbeidsgruppe.

Påstand: Det er flere mulige forskjellige arbeidsgrupper med 4 medlemmer enn det er mulige forskjellige arbeidsgrupper med 3 medlemmer.

Fasit

Usann – påstanden gjelder ikke når $x = d$ også er nullpunkt for telleren.

Usann – antall grupper med 4 av 7 er like mange som antall grupper med 3 av 7 (begge er 35).

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om alle funksjoner på formen

f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d}

har en vertikal asymptote $x = d$ .

En vertikal asymptote $x = d$ oppstår bare dersom nevneren er null i $x = d$ og telleren ikke er null i samme punkt. Hvis $x = d$ er nullpunkt for begge, kanselleres faktoren, og det er et hull i grafen – ikke en asymptote.

Vi velger $a = 1$ , $b = -d$ , $c = 0$ . Da er

f(x) = \frac{x^2 - dx}{x - d} = \frac{x(x - d)}{x - d} = x, \quad x \neq d

Denne funksjonen er en rett linje med et hull i $x = d$ , og har ingen vertikal asymptote.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

Vi teller antall mulige arbeidsgrupper med kombinatorikk.

Antall arbeidsgrupper med 4 av 7 medlemmer:

\binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

Antall arbeidsgrupper med 3 av 7 medlemmer:

\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

Begge gir 35 mulige arbeidsgrupper. Dette er ikke tilfeldig: symmetrien i Pascals trekant gir $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ , og her er $\binom{7}{4} = \binom{7}{3}$ fordi $4 + 3 = 7$ .

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ – det er like mange mulige arbeidsgrupper med 4 som med 3 medlemmer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må argumentere riktig dersom det skal gis poeng. Å vise med et konkret moteksempel gir full uttelling.

Kandidater må argumentere dersom det skal gis poeng. Kandidaten må kommentere om dette er et ordnet eller uordnet utvalg for å få uttelling. Her kan påstand være både sann og usann avhengig av forutsetningen kandidaten tar.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2026, del 1, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Kombinatorikk, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk

Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26

Sync på tvers av enheter

Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave