Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = e^x(6 - e^x)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $f$ .

Vis at $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ . Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.

Fasit

$\underline{\underline{x = \ln 6}}$

Se løsningsforslag.

Toppunkt $\underline{\underline{(\ln 3,\ 9)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har nullpunkter når en av faktorene $e^{x}$ eller $(6-e^{x})$ er lik $0$ . $e^{x}$ kan aldri være $0$ , derfor trenger vi kun sjekke når $6-e^{x}=0$ .

6-e^{x}=0 \iff 6 = e^{x} \implies \ln 6 = x

$f$ har nullpunkt når $\underline{\underline{ x=\ln 6 }}$ .

Vi skriver om funksjonen som $f(x) = 6e^x - e^{2x}$ og deriverer ledd for ledd:

\begin{aligned} f'(x) &= 6e^x - 2e^{2x} \\ &= 2(3e^{x}-e^{x}\cdot e^{x}) \\ &= 2e^x(3 - e^x) \end{aligned}

Vi setter $f'(x) = 0$ :

2e^x(3 - e^x) = 0

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , må:

3 - e^x = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3

Vi lager et fortegnsskjema for $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$ :

$x$	$(-\infty,\ \ln 3)$	$\ln 3$	$(\ln 3,\ \infty)$
$2e^x$	$+$	$+$	$+$
$3 - e^x$	$+$	$0$	$-$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f$	$\nearrow$	topp	$\searrow$

Siden $f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = \ln 3$ , er dette et toppunkt.

Funksjonsverdien i toppunktet:

f(\ln 3) = e^{\ln 3}\cdot(6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9

Grafen har ett toppunkt: $\underline{\underline{ (\ln 3,\ 9) }}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2026, del 1, oppgave 2
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer