Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen $T$ til et objekt etter $t$ minutter være gitt ved

\ln(T - T_0) = -k \cdot t + r

hvor $T_0$ er romtemperaturen, og der $k$ og $r$ er konstanter.

I et rom med temperatur $22\degree\text{C}$ setter vi en kopp med kaffe. Ved tidspunktet $t = 0$ er temperaturen i kaffen $82\degree\text{C}$ . Etter 2 minutter er temperaturen $66\degree\text{C}$ .

Hvor lang tid tar det før temperaturen i kaffen er mindre enn $40\degree\text{C}$ ?

Fasit

Etter ca. 7,76 minutter (etter litt over 7 minutter og 45 sekunder) er temperaturen lavere enn 40 °C.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker Newtons avkjølingslov på formen

\ln(T - T_0) = -k \cdot t + r

med $T_0 = 22$ .

Bestem $r$ :

Ved $t = 0$ er $T = 82$ :

\ln(82 - 22) = -k \cdot 0 + r \implies r = \ln(60)

Bestem $k$ :

Etter 2 minutter er $T = 66$ :

\ln(66 - 22) = -k \cdot 2 + \ln(60)

\ln(44) = -2k + \ln(60)

k = \frac{\ln(60) - \ln(44)}{2}

CAS gir $k \approx 0{,}1551$ .

Finn tidspunktet for $T = 40$ :

Vi setter $T = 40$ og løser for $t$ :

\ln(40 - 22) = -k \cdot t + \ln(60)

\ln(18) = -kt + \ln(60)

t = \frac{\ln(60) - \ln(18)}{k} = \frac{2(\ln(60) - \ln(18))}{\ln(60) - \ln(44)}

CAS gir

t \approx 7{,}76 \text{ minutter}

Temperaturen i kaffen er altså lavere enn 40 °C etter litt over 7 minutter og 45 sekunder.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2022, del 2, oppgave 6
Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Eksponentialfunksjon, Likninger

Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Sync på tvers av enheter

Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave