Luktintensitet og logaritmer

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$ . Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ( $\mathrm{OU/m^3}$ ).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ( $I$ )	Vurdering
$< 1$	uproblematisk
$1$ – $2$	akseptabelt
$2$ – $3$	kan aksepteres kortvarig
$3$ – $4$	plagsom lukt, bør begrenses
$> 4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 \mathrm{~OU/m^3}$ og $1400 \mathrm{~OU/m^3}$ .

Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Fasit

Ja ( $I$ mellom $3{,}48$ og $4{,}10$ )

$8{,}5 \leq C \leq 44 \, \mathrm{OU/m^3}$

Løsningsforslag

Vi beregner luktintensiteten $I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3$ for begge grenseverdiene:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5a

CAS gir:

$I(500) \approx 3{,}48$ : «plagsom lukt, bør begrenses»
$I(1400) \approx 4{,}10$ : «plagsomt, tiltak kreves»

Prøvene viser luktintensiteter i området $3{,}48$ til $4{,}10$ , noe som tilsvarer kategoriene «plagsom» og «tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage.

For at luktintensiteten skal bli akseptabel, trenger vi $1 \leq I \leq 2$ . Vi løser i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5b

CAS gir:

$I = 2$ gir $C \approx 44$
$I = 1$ gir $C \approx 8{,}5$

Nye prøver må vise luktverdier i intervallet $\underline{\underline{8{,}5 \leq C \leq 44 \, \mathrm{OU/m^3}}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

Sensorveiledning

1 poeng for å regne ut verdiene og 1 poeng for å vurdere om de har grunnlag for å klage.

1 poeng for finne verdien og 1 poeng for å tolke svaret. Bruk av glider for å finne svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 2, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: logaritmer, modellering
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger