Stykkevis funksjon og kontinuitet

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & x \le -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 4x \quad & -2 < x < k \\ 4 & x \ge k \end{cases} \quad \text{der } k \in \langle -2, \rightarrow \rangle

Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x=-2$ .

Bestem $k$ slik at $f$ er kontinuerlig når $x=k$ .

Fasit

Ikke kontinuerlig (venstregrense $= -6$ , høyregrense $= 0$ )

$k = -1$ , $k = -\sqrt{2}$ eller $k = \sqrt{2}$

Løsningsforslag

Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i $x = -2$ :

\lim_{x \to -2^-} (2x - 2) = 2(-2) - 2 = -6

\lim_{x \to -2^+} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 2(-8) + 2(4) - 4(-2) = -16 + 8 + 8 = 0

Siden $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -6 \neq 0 = \lim_{x \to -2^+} f(x)$ eksisterer ikke grenseverdien i $x = -2$ .

$f$ er ikke kontinuerlig i $x = -2$ .

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = k$ må:

\lim_{x \to k^-} (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 4

2k^3 + 2k^2 - 4k = 4

k^3 + k^2 - 2k - 2 = 0

Vi faktoriserer:

k^2(k+1) - 2(k+1) = (k^2-2)(k+1) = 0

k = \sqrt{2}, \quad k = -\sqrt{2}, \quad k = -1

Alle tre verdiene er større enn $-2$ og dermed i gyldighetsområdet $k \in \langle -2, \rightarrow \rangle$ .

$\underline{\underline{k = \sqrt{2}}}$ , $\underline{\underline{k = -\sqrt{2}}}$ eller $\underline{\underline{k = -1}}$

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidatene kommunisere godt med et matematisk språk.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: kontinuitet, funksjoner, delt forskrift
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige