Logaritmiske likninger og logbaser

Løs likningen

(\lg x)^2 - 2\lg x = 8

Bestem $a$ slik at

\log_a \frac{1}{64} = -3

Fasit

$x = 10\,000$ og $x = 0{,}01$

$a = 4$

Løsningsforslag

Vi setter $u = \lg x$ og skriver om likningen:

\begin{aligned} u^2 - 2u - 8 &= 0\\ (u-4)(u+2) &= 0 \\ u = 4 \quad &\text{eller} \quad u = -2 \end{aligned}

Tilbake til $x$ :

\lg x = 4 \implies x = 10^4 = \underline{\underline{10\,000}}

\lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = \underline{\underline{0{,}01}}

Vi bruker definisjonen av logaritme:

\log_a \frac{1}{64} = -3 \implies a^{-3} = \frac{1}{64} \implies a^3 = 64 \implies a = \sqrt[3]{64}

$\underline{\underline{a = 4}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å finne verdiene til $\lg x$ og 1 poeng for å finne verdiene til $x$ . Kandidatene må finne begge løsningene for å få full uttelling.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 1, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: logaritmer, likninger
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger