Pyramide med fire punkter i rommet

Punktene $A(0,0,0)$ , $B(5,0,0)$ , $C(4,2,0)$ og $T(0,0,5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide med punktene A, B, C og T

Regn ut volumet av pyramiden.

Regn ut arealet av $\triangle BCT$ .

Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Fasit

$\underline{\underline{V = \dfrac{25}{3}}}$

$\underline{\underline{A = \dfrac{15}{2}}}$

$\underline{\underline{h = \dfrac{10}{3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp vektorene fra $A$ :

\vec{AB} = (5, 0, 0), \quad \vec{AC} = (4, 2, 0), \quad \vec{AT} = (0, 0, 5)

Volumet av en tetraeder (pyramide med tre kanter fra samme hjørne) er

V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot \left( \vec{AC} \times \vec{AT} \right) \right|

Vi beregner først kryssproduktert $\vec{AC} \times \vec{AT}$ :

\vec{AC} \times \vec{AT} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0,\ 0 \cdot 0 - 4 \cdot 5,\ 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (10, -20, 0)

Deretter skalarproduktet:

\vec{AB} \cdot (10, -20, 0) = 5 \cdot 10 + 0 \cdot (-20) + 0 \cdot 0 = 50

Volumet blir:

V = \frac{1}{6} \cdot |50| = \frac{50}{6} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{25}{3}}}}

Vi setter opp vektorene fra $B$ :

\vec{BC} = C - B = (4-5,\ 2-0,\ 0-0) = (-1, 2, 0)

\vec{BT} = T - B = (0-5,\ 0-0,\ 5-0) = (-5, 0, 5)

Kryssprodukt:

\vec{BC} \times \vec{BT} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0,\ 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5,\ (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5)) = (10, 5, 10)

Lengden:

|\vec{BC} \times \vec{BT}| = \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15

Arealet av $\triangle BCT$ er halvparten av dette:

A = \frac{1}{2} \cdot 15 = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{15}{2}}}}

Vi bruker sammenhengen mellom volumet, grunnflaten og høyden i en pyramide:

V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h

Her er $A = \dfrac{15}{2}$ arealet av grunnflaten $\triangle BCT$ og $h$ er avstanden fra $A$ til dette planet. Vi løser for $h$ :

\frac{25}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot h

h = \frac{25/3}{1/3 \cdot 15/2} = \frac{25/3}{15/6} = \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{15} = \frac{25 \cdot 6}{3 \cdot 15} = \frac{150}{45} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{10}{3}}}}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 3
Temaer: vektorer, geometri, volum, areal
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet