To bestemte integraler

Del 1 · oppgave 1
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

To bestemte integraler

Regn ut integralene

∫−11(4x3−x) dx\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, dx

∫0ln⁡2e2x dx\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, dx

Fasit

0‾‾\underline{\underline{0}}

32‾‾\underline{\underline{\dfrac{3}{2}}}

LøsningsforslagKI-generert

Integranden f(x)=4x3−xf(x) = 4x^3 - x er en odde funksjon, siden

f(−x)=4(−x)3−(−x)=−4x3+x=−f(x)f(-x) = 4(-x)^3 - (-x) = -4x^3 + x = -f(x)

Integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall [−a,a][-a, a] er alltid null. Derfor er

∫−11(4x3−x) dx=0\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, \mathrm{d}x = \textbf{0}

Alternativt kan vi beregne direkte. En antiderivert er F(x)=x4−x22F(x) = x^4 - \dfrac{x^2}{2}, og

[x4−x22]−11=(1−12)−(1−12)=12−12=0‾‾\left[ x^4 - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \underline{\underline{0}}

En antiderivert av e2xe^{2x} er e2x2\dfrac{e^{2x}}{2}. Vi får

∫0ln⁡2e2x dx=[e2x2]0ln⁡2=e2ln⁡22−e02\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{\ln 2} = \frac{e^{2\ln 2}}{2} - \frac{e^{0}}{2}

Siden e2ln⁡2=eln⁡4=4e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4, blir dette

=42−12=2−12=32‾‾= \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \underline{\underline{\frac{3}{2}}}
Oppgavedata
Hentet fra
R2 V2023, del 1, oppgave 1
Temaer
integral
Kompetansemål
  • Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer