Gabriels horn og omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{x} \quad , \quad x \in \left[1,\, a\right]

Vi dreier grafen til $f$ $360°$ om $x$ -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.

Graf av f(x)=1/x og tilhørende omdreiningslegeme (Gabriels horn)

Bestem volumet $V(a)$ av omdreiningslegemet.

Bestem $\displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$ . Omdreiningslegemet har overflateareal $O(a)$ . Forklar at $O(a) > \displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$ .

Vi lar $a \to \infty$ . Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.

Bestem $\displaystyle\lim_{a \to \infty} O(a)$ og $\displaystyle\lim_{a \to \infty} V(a)$ dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svarene.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter