Vi finner skjæringspunktene ved å løse $f(x) = g(x)$:

Vi løser $2x^2(x-3) = 0$ og får $x = 0$ (dobbelt rot) og $x = 3$ (enkel rot).

At $x = 0$ er et tangentpunkt følger av at $x = 0$ er dobbelt rot. Vi kan også vise det direkte: $f'(x) = 6x^2 - 12x + 2$, så $f'(0) = 2$. Siden $g'(x) = 2$ har $f$ og $g$ samme stigningstall ved $x = 0$. Punktet er $(0,\, g(0)) = (0, 3)$.

At $x = 3$ er et ordinært skjæringspunkt følger av at det er enkel rot. Vi kan se det ved at $f'(3) = 6 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 2 = 54 - 36 + 2 = 20 \neq 2 = g'(3)$; grafene har ulike stigningstall der. Punktet er $(3,\, g(3)) = (3, 9)$.

Vi undersøker $F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ og $G(x) = cx + d$.

Dette uttrykket har alltid $x = 0$ som dobbelt rot (forutsatt $a \neq 0$). En dobbelt rot betyr at grafene berører hverandre uten å krysse, altså at de tangerer hverandre.

Vi kan verifisere: $F'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$, og $F'(0) = c = G'(0)$. Grafene har altså samme stigningstall i $x = 0$, og de møtes i punktet $(0, d)$.

Påstanden stemmer: Grafene til $F$ og $G$ tangerer alltid hverandre i punktet $(0, d)$.

Fra del b) vet vi at $F(x) - G(x) = x^2(ax + b)$, som gir skjæringspunktet ved $x = -\dfrac{b}{a}$ (i tillegg til tangentpunktet $x = 0$).

Vendepunktet til $F$ finner vi ved å sette $F''(x) = 0$:

Vi ser sammenhengen:

Sammenhengen Lise har funnet: $x$-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til $F$ og $G$ er alltid tre ganger $x$-koordinaten til vendepunktet til $F$.

Begrunnelse: Dette følger direkte av faktoriseringen $F(x) - G(x) = x^2(ax + b)$, som gir skjæringspunktet ved $x = -b/a$, kombinert med at vendepunktet til en tredjegradsfunksjon $ax^3 + bx^2 + \cdots$ alltid ligger ved $x = -b/(3a)$. Disse to verdiene er alltid i forholdet $3:1$.