Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vilkårlig trekant $OAB$ settes inn i et koordinatsystem med siden $OA$ langs $x$ -aksen. Koordinatene til hjørnene er $O(0,\,0)$ , $A(a,\,0)$ og $B(b,\,c)$ .

Medianene $OM_1$ , $AM_2$ og $BM_3$ skjærer hverandre i $S$ . Se figuren.

Trekant OAB med medianer og skjæringspunkt S

Vis at koordinatene til midtpunktene er

M_1\!\left(\frac{a+b}{2},\,\frac{c}{2}\right), \quad M_2\!\left(\frac{b}{2},\,\frac{c}{2}\right) \quad \text{og} \quad M_3\!\left(\frac{a}{2},\,0\right)

Forklar at det finnes tall $x$ og $y$ slik at

\overrightarrow{OS} = x \cdot \overrightarrow{OM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{AM_2}

Vis at spørsmål b) gir oss likningssettet

x \cdot \frac{a+b}{2} = a + y \cdot \left(\frac{b}{2} - a\right) \quad \text{og} \quad x \cdot \frac{c}{2} = y \cdot \frac{c}{2}

Finn $x$ og $y$ .

Forklar at koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene er

S\!\left(\frac{a+b}{3},\,\frac{c}{3}\right)

Bestem forholdene

\frac{|\overrightarrow{OS}|}{|\overrightarrow{OM_1}|}, \quad \frac{|\overrightarrow{AS}|}{|\overrightarrow{AM_2}|} \quad \text{og} \quad \frac{|\overrightarrow{BS}|}{|\overrightarrow{BM_3}|}

Kommenter.

Bestem koordinatene til punktet $B$ i det tilfellet at $O(0,\,0)$ , $A(6,\,0)$ og $S(1,\,4)$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2009, del 2, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Bevis, Geometri

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Sync på tvers av enheter

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave