Eksponentialfunksjon for tomflasker

I august 2022 satte elevene i 3PBB seg som mål å samle inn tomflasker for 25 000 kroner før 1. juni 2023. De brukte funksjonen $P$ gitt ved

P(x)=1600 \cdot 1{,}045^{x} \quad , \quad 0\leq x\leq 9

som en modell for hvor stort beløp kroner de måtte samle inn hver måned for å nå målet.

I modellen svarte $x=0$ til august, $x=1$ til september og så videre.

Gjør rede for hva modellen forteller om elevenes plan for å nå målet.

Hvor stort beløp regnet elevene med å samle inn i mai 2023 ifølge modellen? Elevene laget programmet nedenfor.

def P(x):
    return 1600 * 1.045 ** x     # Definerer funksjonen P

sum_pant = 0

x = 0

while x <= 9:
    
    sum_pant = sum_pant + P(x)
    
    x = x + 1
    
print(sum_pant)

Bruk programmet til å vise at elevene ikke vil nå målet med den planen de har lagt. Foreslå justeringer av modellen som vil gjøre at de kan nå målet.

Fasit

Starter på 1600 kr i august, øker 4,5 % per måned

$P(9) \approx 2378 \, \mathrm{kr}$

Programmet summerer til ca. 19 661 kr < 25 000 kr. Øk startbeløpet til ca. 2034 kr.

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $P(x) = 1600 \cdot 1{,}045^x$ beskriver planen slik:

I august ( $x = 0$ ) regner elevene med å samle inn $P(0) = 1600 \, \mathrm{kr}$
Vekstfaktoren 1,045 betyr at beløpet øker med 4,5 % for hver måned
Planen strekker seg over 10 måneder ( $x = 0$ til $x = 9$ ), dvs. august til mai

Mai svarer til $x = 9$ :

P(9) = 1600 \cdot 1{,}045^9 \approx 1600 \cdot 1{,}486 \approx 2378 \, \mathrm{kr}

Ifølge modellen regnet elevene med å samle inn ca. $\underline{\underline{2378 \, \mathrm{kr}}}$ i mai 2023.

Programmet summerer $P(x)$ for $x = 0, 1, 2, \ldots, 9$ . Resultatet er ca. 19 661 kr, som er langt under målet på 25 000 kr. Elevene vil ikke nå målet med den opprinnelige planen.

Mulige justeringer:

Øke startbeløpet. For å samle inn 25 000 kr totalt med samme vekstfaktor (4,5 %) trenger man ca. 2034 kr i august – mot 1600 kr i den opprinnelige planen.
Øke vekstfaktoren (raskere økning per måned).

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2023, del 2, oppgave 6
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: eksponentialfunksjoner, geogebra, programmering, eksponentiell vekst, modellering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane