Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jod-131 er et radioaktivt stoff som blant annet blir brukt i medisinske undersøkelser. Siden stoffet er radioaktivt, vil det brytes ned over tid.

Funksjonen $N$ gitt ved

N(x) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x}, \qquad x \geq 0

viser massen $N(x)$ mikrogram jod-131 som er igjen i en beholder etter $x$ dager.

Bestem $N(0)$ , og gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Tegn grafen til $N$ .

Vi snakker ofte om at radioaktive stoff har en halveringstid. Halveringstiden er tiden det tar før halvparten av et stoff er brutt ned.

Bestem halveringstiden til jod-131.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, N(6))$ og $(40, N(40))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $N$ i punktet $(20, N(20))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Fasit

$\underline{\underline{N(0) = 5{,}0 \, \text{µg}}}$ — startmassen i beholderen

$\underline{\underline{T_{1/2} = 8 \mathrm{~dager}}}$

$\underline{\underline{k \approx -0{,}083 \, \text{µg/dag}}}$

$\underline{\underline{N'(20) \approx -0{,}077 \, \text{µg/dag}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 0$ inn i funksjonsuttrykket:

N(0) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125 \cdot 0} = 5{,}0 \cdot 1 = 5{,}0

$N(0) = \underline{\underline{5{,}0 \, \text{µg}}}$

Praktisk tolkning: Da forsøket startet (dag 0) var det $5{,}0$ mikrogram jod-131 i beholderen.

Vi regner ut noen punkter og tegner grafen:

$Grafen til N(x) = 5{,}0 \cdot (1/2)^{0{,}125x} for x \geq 0 – en avtagende eksponentialkurve fra (0, 5{,}0) som nærmer seg 0$

Grafen er en avtagende eksponentialkurve som starter i $(0,\, 5{,}0)$ og nærmer seg 0.

Halveringstiden er den verdien av $x$ der $N(x) = \frac{N(0)}{2} = 2{,}5$ . Vi setter opp likningen:

5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x} = 2{,}5

\left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x} = \frac{1}{2}

Siden basen er $\frac{1}{2}$ og høyre side også er $\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^1$ , må eksponenten være lik 1:

0{,}125x = 1

x = \frac{1}{0{,}125} = 8

Halveringstiden er $\underline{\underline{8 \mathrm{~dager}}}$ .

Praktisk tolkning: Etter 8 dager er halvparten av jod-131 i beholderen brutt ned.

Vi regner ut $N(6)$ og $N(40)$ :

N(6) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125 \cdot 6} = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}75} \approx 2{,}973 \, \text{µg}

N(40) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125 \cdot 40} = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 5{,}0 \cdot \frac{1}{32} = 0{,}15625 \, \text{µg}

Stigningstallet til sekanten:

k = \frac{N(40) - N(6)}{40 - 6} = \frac{0{,}15625 - 2{,}973}{34} \approx \frac{-2{,}817}{34} \approx -0{,}083 \, \text{µg/dag}

Stigningstallet er $\underline{\underline{k \approx -0{,}083 \, \text{µg/dag}}}$ .

Praktisk tolkning: Fra dag 6 til dag 40 ble det i gjennomsnitt brutt ned ca. $0{,}083$ mikrogram jod-131 per dag.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i det punktet. Vi deriverer $N(x)$ :

N(x) = 5{,}0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x} = 5{,}0 \cdot e^{0{,}125x \cdot \ln\!\left(\frac{1}{2}\right)}

N'(x) = 5{,}0 \cdot \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 0{,}125 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125x}

Vi setter inn $x = 20$ :

N'(20) = 5{,}0 \cdot \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 0{,}125 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}125 \cdot 20}

N'(20) = 5{,}0 \cdot (-0{,}6931) \cdot 0{,}125 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}5} \approx -0{,}4332 \cdot 0{,}1768 \approx -0{,}077 \, \text{µg/dag}

Stigningstallet til tangenten er $\underline{\underline{N'(20) \approx -0{,}077 \, \text{µg/dag}}}$ .

Praktisk tolkning: Akkurat på dag 20 blir det brutt ned ca. $0{,}077$ mikrogram jod-131 per dag (momentan endringsrate).

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter