Vanntank med kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et firma produserer vanntanker. Carl har undersøkt en av tankene og funnet ut at dersom tanken er full og kranen åpnes, vil det etter $x$ minutter være $V(x)$ liter vann igjen i tanken, der

V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 10

Bestem $V(0)$ , og gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$ .

Hvor lang tid går det fra kranen åpnes, til det er 400 L vann igjen i tanken?

Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut av tanken per minutt mens den tømmes?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 3$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

$\underline{\underline{V(0) = 1000 \, \mathrm{L}}}$ — tanken er full med 1000 liter.

Se graf under.

$\underline{\underline{x \approx 5{,}13 \mathrm{~min}}}$

$\underline{\underline{100 \, \mathrm{L/min}}}$

$\underline{\underline{V'(3) \approx -149 \, \mathrm{L/min}}}$ — vannet renner ut med ca. 149 liter per minutt etter 3 minutter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 0$ i formelen:

V(0) = (10 - 0{,}1 \cdot 0^2)^3 = 10^3 = \mathbf{1000}

$V(0) = 1000 \, \mathrm{L}$ .

Dette betyr at tanken inneholder 1000 liter vann når kranen åpnes (ved $x = 0$ minutter), altså er tanken full med 1000 liter.

Vi tegner grafen til $V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3$ for $0 \leq x \leq 10$ i GeoGebra. De røde stiplede linjene viser løsningen fra oppgave c).

Graf av V(x) med punkt der V = 400 L

Grafen starter i $(0, 1000)$ og synker til $(10, 0)$ . Tømmingen går saktere i begynnelsen og raskere mot slutten.

Vi leser av grafen (se de røde stiplede linjene) at kurven krysser $V = 400$ ved $x \approx 5{,}1$ .

Vi kan også løse likningen:

V(x) = 400

(10 - 0{,}1x^2)^3 = 400

10 - 0{,}1x^2 = \sqrt[3]{400} \approx 7{,}37

0{,}1x^2 = 10 - 7{,}37 = 2{,}63

x^2 = 26{,}3

x \approx 5{,}13

Det tar ca. $\underline{\underline{5{,}13 \mathrm{~min}}}$ fra kranen åpnes til det er 400 L vann igjen i tanken.

Tanken starter med $V(0) = 1000 \, \mathrm{L}$ og er tom etter $V(10) = 0 \, \mathrm{L}$ . Tømmingen skjer over 10 minutter.

\text{Gjennomsnittlig utstrømning} = \frac{V(0) - V(10)}{10 - 0} = \frac{1000 - 0}{10} = 100 \, \mathrm{L/min}

I gjennomsnitt renner $\underline{\underline{100 \, \mathrm{L/min}}}$ ut av tanken mens den tømmes.

Vi deriverer $V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3$ ved hjelp av kjerneregelen:

V'(x) = 3 \cdot (10 - 0{,}1x^2)^2 \cdot (-0{,}2x)

Vi setter inn $x = 3$ :

V'(3) = 3 \cdot (10 - 0{,}1 \cdot 9)^2 \cdot (-0{,}2 \cdot 3)

= 3 \cdot (10 - 0{,}9)^2 \cdot (-0{,}6)

= 3 \cdot 9{,}1^2 \cdot (-0{,}6)

= 3 \cdot 82{,}81 \cdot (-0{,}6)

\approx -149

$\underline{\underline{V'(3) \approx -149 \, \mathrm{L/min}}}$ .

Den momentane vekstfarten er $-149 \, \mathrm{L/min}$ ved $x = 3$ . Det negative fortegnet betyr at vannmengden avtar. Etter 3 minutter renner vannet ut med en hastighet på ca. 149 liter per minutt.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2019, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjoner, Modellering, Graf, Vekstfart, Derivasjon

Vanntank med kubikkfunksjon

Sync på tvers av enheter

Vanntank med kubikkfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave