Differansene øker med $2$ for hver figur (oddetall: 3, 5, 7, …). Vi fortsetter mønsteret:

Utregning:

• Figur 4: $10 + 7 = 17$
• Figur 5: $17 + 9 = 26$
• Figur 6: $26 + 11 = 37$
• Figur 7: $37 + 13 = 50$
• Figur 8: $50 + 15 = 65$

Rikke påstår at antall blå kvadrater i figur $n$ er $n^2 + 1$. Vi skal vise dette geometrisk for figur 2, 3 og 4 ved å tenke oss at kvadratene er plassert annerledes.

Nøkkelideen: Vi kan alltid dele opp figuren i et $n \times n$-kvadrat pluss 1 ekstra kvadrat.

Figur 2 ($n = 2$): $2^2 + 1 = 5$ kvadrater.

Plasser 4 kvadrater i et $2 \times 2$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $4 + 1 = 5$ kvadrater. ✓

Figur 3 ($n = 3$): $3^2 + 1 = 10$ kvadrater.

Plasser 9 kvadrater i et $3 \times 3$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $9 + 1 = 10$ kvadrater. ✓

Figur 4 ($n = 4$): $4^2 + 1 = 17$ kvadrater.

Plasser 16 kvadrater i et $4 \times 4$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $16 + 1 = 17$ kvadrater. ✓

Dette viser at Rikkes påstand stemmer: antall blå kvadrater i figur $n$ er alltid $n^2$ (ett fullstendig kvadrat) pluss $1$ ekstra kvadrat.

Vi teller antall grønne kvadrater i de første figurene fra bildet:

Dette er et nytt mønster — ikke det samme som for de blå kvadratene. Differansene er $4, 6, 8, \ldots$ (de øker med $2$), så antallet vokser som en andregradsfølge. Vi setter $G(n) = an^2 + bn + c$ og bruker de tre første verdiene:

Trekker vi likningene fra hverandre, får vi $3a + b = 4$ og $5a + b = 6$, altså $a = 1$, $b = 1$ og $c = 0$.

Vi kan også forstå dette geometrisk: hver grønn figur er satt sammen av et $n \times n$-kvadrat ($n^2$ kvadrater) pluss $n$ ekstra kvadrater. Vi kontrollerer:

• Figur 1: $1^2 + 1 = 2$ ✓
• Figur 2: $2^2 + 2 = 6$ ✓
• Figur 3: $3^2 + 3 = 12$ ✓
• Figur 4: $4^2 + 4 = 20$ ✓

Antall grønne kvadrater i figur $n$ er $\underline{\underline{G(n) = n^2 + n}}$.