Energiforbruk og strømpris i enebolig

Energiforbruk og strømpris i enebolig

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen FF gitt ved

F(x)=0,3x4+9x362x250x+1960,0x12F(x) = -0{,}3x^4 + 9x^3 - 62x^2 - 50x + 1960 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12

er en modell som tilnærmet viser det elektriske energiforbruket F(x)F(x) kWh per måned i en enebolig xx måneder etter 1. januar 2020.

Tegn grafen til FF.

I hvilke måneder var energiforbruket høyere enn 1500 kWh ifølge modellen?

Bestem den momentane vekstfarten til FF når x=10x = 10. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Prisen for elektrisk energi varierer med tiden på året. Funksjonen PP gitt ved

P(x)=0,78x29,2x+96,0x12P(x) = 0{,}78x^2 - 9{,}2x + 96 \quad , \quad 0 \leq x \leq 12

er en modell som tilnærmet viser den gjennomsnittlige prisen P(x)P(x) øre per kWh for elektrisk energi i måned xx.

Forklar at F(x)P(x)F(x) \cdot P(x) er et uttrykk for gjennomsnittlige energikostnader for eneboligen i måned xx.

Hvilken måned var de gjennomsnittlige energikostnadene for eneboligen lavest?

Fasit

Graf av FF[0,12][0, 12].

Januar, februar, mars og desember.

F(10)=210kWh/ma˚ned\underline{\underline{F'(10) = 210 \, \mathrm{kWh} \text{/måned}}} — forbruket øker med ca. 210kWh210 \, \mathrm{kWh} per måned i november.

Produktet gir kWh \cdot øre/kWh = øre, som er en kostnad.

August (x=7x = 7) hadde lavest gjennomsnittlig energikostnad.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn noen xx-verdier for å få et bilde av grafen, og tegner deretter FF i et koordinatsystem for 0x120 \leq x \leq 12:

xxMånedF(x)F(x) (kWh)
0Januar1960
1Februar1857
2Mars1679
3April1471
4Mai1267
5Juni1098
6Juli983
7August939
8September971
9Oktober1081
10November1260
11Desember1495
12Januar1763

I et regneark kan vi lage kolonnen med xx-verdier (0–12) og bruke formelen

= -0,3*A2^4 + 9*A2^3 - 62*A2^2 - 50*A2 + 1960

for å beregne F(x)F(x) i kolonnen ved siden av, og deretter lage et linjediagram.

Grafen til F for 0 \leq x \leq 12 med linjen y = 1500. Grafen ligger over 1500 før x \approx 2{,}86 og etter x \approx 11{,}02

Grafen viser at forbruket er høyest om vinteren og lavest om sommeren (rundt august).

Vi leser av (eller beregner) hvor grafen er over linjen F(x)=1500F(x) = 1500.

Fra tabellen ser vi at F(2)=1679>1500F(2) = 1679 > 1500 og F(3)=1471<1500F(3) = 1471 < 1500, så grafen krysser 1500 mellom mars og april. Vi ser også at F(11)=1495<1500F(11) = 1495 < 1500 mens F(12)=1763>1500F(12) = 1763 > 1500, så grafen krysser 1500 igjen tidlig i desember.

Ifølge modellen var energiforbruket høyere enn 1500 kWh i januar, februar, mars og desember.

Den deriverte av FF er

F(x)=1,2x3+27x2124x50F'(x) = -1{,}2x^3 + 27x^2 - 124x - 50

Vi setter inn x=10x = 10:

F(10)=1,2103+271021241050F'(10) = -1{,}2 \cdot 10^3 + 27 \cdot 10^2 - 124 \cdot 10 - 50 =1200+2700124050=210= -1200 + 2700 - 1240 - 50 = \mathbf{210}

F(10)=210kWh/ma˚ned\underline{\underline{F'(10) = 210 \, \mathrm{kWh} \text{/måned}}}

Praktisk tolkning: I november (x=10x = 10) øker energiforbruket med ca. 210kWh210 \, \mathrm{kWh} per måned. Det vil si at forbruket er på vei oppover mot vintermånedene.

F(x)F(x) gir energiforbruket i kWh i måned xx, og P(x)P(x) gir gjennomsnittlig pris i øre per kWh i måned xx.

Energikostnad = energiforbruk ×\times pris per enhet, altså

kostnad=F(x)kWhP(x)ørekWh=F(x)P(x)øre\text{kostnad} = F(x) \, \mathrm{kWh} \cdot P(x) \, \frac{\text{øre}}{\mathrm{kWh}} = F(x) \cdot P(x) \, \text{øre}

Derfor er F(x)P(x)F(x) \cdot P(x) et uttrykk for de gjennomsnittlige energikostnadene (i øre) for eneboligen i måned xx.

Vi lager en ny kolonne i regnearket for K(x)=F(x)P(x)K(x) = F(x) \cdot P(x) med formelen

= (-0,3*A2^4 + 9*A2^3 - 62*A2^2 - 50*A2 + 1960) * (0,78*A2^2 - 9,2*A2 + 96)
xxMånedK(x)K(x) (øre)
0Januar188 160
1Februar162 610
2Mars135 545
3April110 920
4Mai90 833
5Juni76 276
6Juli67 723
7August65 540
8September70 237
9Oktober82 544
10November103 320
11Desember133 297
12Januar172 653

Den laveste verdien i tabellen er K(7)=65540øreK(7) = 65\,540 \, \text{øre}, som tilsvarer august (x=7x = 7 måneder etter 1. januar 2020).

De gjennomsnittlige energikostnadene for eneboligen var lavest i august\underline{\underline{\text{august}}}.

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som klart
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
Esc
Tilbake / avslutt