Vanntank i form av kjegle med potensfunksjonsmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kjegleformet vanntank med høyde 10 m

En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10 m høy. Se skissen ovenfor. En pumpe fyller $18 \mathrm{~m^3}$ vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannivået i tanken ved ulike tidspunkt. Når vannivået er 10 m, er tanken full.

Antall timer etter at fyllingen startet	1	2	4	6	8	10
Vannivå (meter)	$3{,}3$	$4{,}2$	$5{,}2$	$6{,}0$	$6{,}6$	$7{,}1$

La $x$ være antall timer etter at fyllingen startet, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $H$ gitt ved

H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}

er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

Hvor mange timer går det før tanken er full? Hvor mange liter vann er det i tanken da?

Fasit

Modellverdiene avviker med maks $0{,}04 \, \mathrm{m}$ fra tabellverdiene — modellen passer godt.

$\underline{\underline{x \approx 28{,}5 \mathrm{~timer}}}$ og $\underline{\underline{V \approx 513\,000 \mathrm{~liter}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og funksjonen $H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}$ i GeoGebra.

Regresjonsmodell for vannivå i kjegleformet tank

Vi ser at kurven til $H$ går gjennom eller svært nær alle de røde datapunktene. Vi kan også sjekke ved å sette inn tabellverdiene:

$x$ (timer)	Tabellverdi (m)	$H(x) = 3{,}31 \cdot x^{0{,}33}$ (m)	Avvik
1	$3{,}3$	$3{,}31$	$0{,}01$
2	$4{,}2$	$4{,}16$	$0{,}04$
4	$5{,}2$	$5{,}24$	$0{,}04$
6	$6{,}0$	$5{,}99$	$0{,}01$
8	$6{,}6$	$6{,}59$	$0{,}01$
10	$7{,}1$	$7{,}10$	$0{,}00$

Avvikene er svært små (maks $0{,}04 \, \mathrm{m}$ ), så modellen passer godt med tallene i tabellen.

Tanken er full når vannivået er $H = 10 \, \mathrm{m}$ . Vi bruker GeoGebra til å lese av der kurven $H(x)$ møter den vannrette linjen $y = 10$ (grønt punkt i grafen).

Vi ser at dette skjer ved $x \approx 28{,}5$ timer.

Vi kan også løse dette med regresjonsmodellen:

3{,}31 \cdot x^{0{,}33} = 10

x^{0{,}33} = \frac{10}{3{,}31} \approx 3{,}021

x = 3{,}021^{\frac{1}{0{,}33}} \approx 28{,}5 \mathrm{~timer}

Det tar omtrent $\underline{\underline{28{,}5 \mathrm{~timer}}}$ før tanken er full. Det vil si at pumpen har pumpet i ca. 28,5 timer.

Pumpen fyller $18 \, \mathrm{m^3}$ per time, så volumet når tanken er full er:

V = 18 \, \mathrm{m^3/time} \cdot 28{,}5 \mathrm{~timer} \approx 513 \, \mathrm{m^3}

513 \, \mathrm{m^3} = 513\,000 \mathrm{~liter}

Det er omtrent $\underline{\underline{513\,000 \mathrm{~liter}}}$ vann i tanken når den er full. Det tilsvarer ca. 513 kubikkmeter vann.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2018, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Regresjon, Modellering, Volum

Vanntank i form av kjegle med potensfunksjonsmodell

Sync på tvers av enheter

Vanntank i form av kjegle med potensfunksjonsmodell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave