Figurtall med svarte og hvite kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurtall 1, 2 og 3 med svarte og hvite kvadrater

Ovenfor ser du de tre første figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse.

Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4.

Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradssuttrykk $S(n)$

Bestem $S(n)$

Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

$\underline{\underline{256}}$

$\underline{\underline{n^4}}$

$\underline{\underline{S(n) = 3n^2}}$

$\underline{\underline{8n^4}}$

LøsningsforslagKI-generert

Strukturen i figurene

Vi begynner med å kartlegge mønsteret. Hver figur $n$ er et stort kvadrat sammensatt av $n^2$ svarte kvadrater og hvite kvadrater (enhetskvadrater med areal 1).

Vi teller sidelengden (antall små kvadrater langs én kant) i de tre figurene: figur 1 er $3 \times 3$ , figur 2 er $12 \times 12$ og figur 3 er $27 \times 27$ .

Figur $n$	Sidelengde	Antall svarte kvadrater	Størrelse på hvert svart kvadrat
$1$	$3$	$1^2 = 1$	$1 \times 1$
$2$	$12$	$2^2 = 4$	$2 \times 2$
$3$	$27$	$3^2 = 9$	$3 \times 3$

Hvert svart kvadrat i figur $n$ har sidelengde $n$ , altså areal $n^2$ . Antallet svarte kvadrater er $n^2$ .

Totalt svart areal i figur 4:

\underbrace{4^2}_{\text{antall svarte}} \cdot \underbrace{4^2}_{\text{areal hvert}} = 16 \cdot 16 = 256

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur 4 er $\underline{\underline{256}}$ .

I figur $n$ er det $n^2$ svarte kvadrater, og hvert har areal $n^2$ . Det totale svarte arealet er:

\textcolor{steelblue}{n^2} \cdot \textcolor{tomato}{n^2} = n^4

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{n^4}}$ .

Antall hvite kvadrater i den nederste raden er det samme som sidelengden av det store kvadratet (nederste rad er helhvit). Vi teller sidelengden for de tre figurene:

Figur 1: nederste rad har $3$ hvite kvadrater.
Figur 2: nederste rad har $12$ hvite kvadrater.
Figur 3: nederste rad har $27$ hvite kvadrater.

Vi ser at verdiene $3,\ 12,\ 27$ er $3 \cdot 1^2,\ 3 \cdot 2^2,\ 3 \cdot 3^2$ . Mønsteret er altså $S(n) = 3n^2$ .

Vi kan bekrefte med et generelt andregradsuttrykk $S(n) = an^2 + bn + c$ :

S(1) = a + b + c = 3

S(2) = 4a + 2b + c = 12

S(3) = 9a + 3b + c = 27

Trekker første fra andre: $3a + b = 9$ . Trekker andre fra tredje: $5a + b = 15$ . Trekker disse fra hverandre: $2a = 6$ , altså $a = 3$ . Da er $b = 9 - 3 \cdot 3 = 0$ , og $c = 3 - 3 - 0 = 0$ .

Dermed er:

S(n) = 3n^2

$\underline{\underline{S(n) = 3n^2}}$

Hvert hvitt kvadrat har areal $1$ , så det totale hvite arealet er antall hvite enhetsceller, altså totalt areal minus svart areal. Det totale arealet er sidelengden i annen, $S(n)^2$ , og det svarte arealet er $n^4$ (fra oppgave b):

\text{Hvitt areal} = S(n)^2 - n^4 = (3n^2)^2 - n^4 = 9n^4 - n^4 = 8n^4

Vi kan kontrollere mot kjente verdier:

$n = 1$ : $3^2 - 1 = 8$ (totalt $9$ , svart $1$ , hvit $8$ ✓)
$n = 2$ : $12^2 - 16 = 128$ (totalt $144$ , svart $16$ , hvit $128$ ✓)
$n = 3$ : $27^2 - 81 = 648$ (totalt $729$ , svart $81$ , hvit $648$ ✓)

Det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{8n^4}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2015, del 2, oppgave 8
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Andregradslikninger, Tallfølger

Figurtall med svarte og hvite kvadrater

Sync på tvers av enheter

Figurtall med svarte og hvite kvadrater

Strukturen i figurene

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave