Figurtall med klosser etter fast mønster

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurtallene m_1, m_2 og m_3

Sondre lager figurer med klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du $m_1$ , $m_2$ og $m_3$ .

Følg samme mønster, og tegn $m_4$ . Hvor mange klosser trenger Sondre for å lage $m_5$ og for å lage $m_6$ ?

Sett opp en modell som viser hvor mange klosser Sondre trenger for å lage $m_n$ , uttrykt ved $n$ . Bruk modellen til å bestemme hvor mange klosser han trenger for å lage $m_{20}$ .

Fasit

$m_5 = 37$ klosser, $m_6 = 50$ klosser

$\underline{\underline{m_n = n^2 + 2n + 2}}$ , $m_{20} = \underline{\underline{442}}$ klosser

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall klosser i de tre første figurene:

Figur	Antall klosser
$m_1$	$5$
$m_2$	$10$
$m_3$	$17$

Vi ser at økningen fra figur til figur er:

10 - 5 = 5, \qquad 17 - 10 = 7

Økningen øker med $2$ for hvert steg. $m_4$ får vi ved å legge til $9$ :

m_4 = 17 + 9 = 26

m_5 = 26 + 11 = 37

m_6 = 37 + 13 = 50

Sondre trenger $\underline{\underline{37}}$ klosser for å lage $m_5$ og $\underline{\underline{50}}$ klosser for å lage $m_6$ .

Siden økningen mellom leddene øker jevnt (med $2$ hver gang), er dette en kvadratisk tallfølge. Vi prøver en formel på formen

m_n = an^2 + bn + c

Vi setter inn de tre kjente verdiene:

\begin{cases} a + b + c = 5 & (n=1) \\ 4a + 2b + c = 10 & (n=2) \\ 9a + 3b + c = 17 & (n=3) \end{cases}

Vi trekker likning 1 fra likning 2:

3a + b = 5

Vi trekker likning 2 fra likning 3:

5a + b = 7

Vi trekker disse fra hverandre:

2a = 2 \implies a = 1

Da er $b = 5 - 3 \cdot 1 = 2$ , og $c = 5 - 1 - 2 = 2$ .

Formelen blir

m_n = n^2 + 2n + 2

Vi kan også skrive dette som $m_n = (n+1)^2 + 1$ , som passer med hvordan figuren er bygd opp: to ben og en topp som danner et nesten kvadratisk mønster.

Kontroll:

$m_1 = 1 + 2 + 2 = 5$ ✓
$m_2 = 4 + 4 + 2 = 10$ ✓
$m_3 = 9 + 6 + 2 = 17$ ✓

Vi bruker formelen til å finne $m_{20}$ :

m_{20} = 20^2 + 2 \cdot 20 + 2 = 400 + 40 + 2 = 442

Sondre trenger $\underline{\underline{442}}$ klosser for å lage $m_{20}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y E2015, del 2, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Tallfølger

Figurtall med klosser etter fast mønster

Sync på tvers av enheter

Figurtall med klosser etter fast mønster

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave