S2 — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 408 oppgaver i S2 (Samfunnsfaglig matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/s2-raadata-losning/
Matematikk S2 bygger videre på S1 og gir et godt grunnlag for videre studier innen økonomi og samfunnsfag.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat04-02/kompetansemaal-og-vurdering/kv296?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT4-01/Hele/Kompetansemaal/matematikk-s2
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Integraler med substitusjon S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet (KM3125); Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av $e^{2x}+x$ og ubestemt integral av $(\ln x)^2/x$ ved substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integraler-med-substitusjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) \, \mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int \frac{(\ln x)^2}{x} \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal mellom grafer
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet (KM3125); Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Finne $f$ fra $f'(x)=2/x^2$ og punkt $(2,2)$, deretter areal mellom $g(x)=x$ og $h(x)=-3/x+4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antiderivasjon-og-areal-mellom-grafer/
### Oppgavetekst
Du får vite dette om en funksjon $f$
- Funksjonen er definert for $x>0$
- $f'(x) = \dfrac{2}{x^2}$
- Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 2)$
a) Bestem $f(x)$.
To andre funksjoner, $g$ og $h$, er gitt ved $g(x) = x$ og $h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4$ for $x>0$.
b) Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til $g$ og $h$.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp aritmetisk rekke for sidelengder og geometrisk rekke for areal i to tårnmodeller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-treplatetarn/
### Oppgavetekst
I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde $5 \mathrm{~m}$.
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $0{,}1 \mathrm{~m}$ kortere enn sidelengden til treplaten under.
a) Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal $19 \mathrm{~m}^2$.
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $10\,\%$ kortere enn sidelengden til treplaten under.
b) Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Binomisk fordeling - billettkontroll S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124)
- **Kort beskrivelse:** Forventningsverdi og varians i binomisk fordeling, samt sammenligne forventet kostnad uten billett mot billettpris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-billettkontroll/
### Oppgavetekst
Silas skal ta bussen 20 ganger. Sannsynligheten for billettkontroll på en busstur er $5\,\%$. Vi lar $X$ være antall kontroller på de 20 bussturene.
a) Bestem forventningsverdien $E(X)$ og variansen $\text{Var}(X)$.
Hver busstur koster $65 \mathrm{~kr}$, og Silas får en bot på $1470 \mathrm{~kr}$ dersom han blir tatt i en kontroll.
b) Vis at det sannsynligvis vil lønne seg for Silas å kjøpe billetter.
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Hypotesetest - vannflasker S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Sentralgrenseteoremet
- **Kompetansemål:** Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144); Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighet i normalfordeling, drøfte gyldighet av observasjon og formulere hypotesetest på gjennomsnittet av $n=24$ flasker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-vannflasker/
### Oppgavetekst
Henrik kjøper ofte flasker med vann. Produsenten oppgir at flaskene inneholder $1{,}50 \mathrm{~L}$ med et standardavvik på $0{,}01 \mathrm{~L}$.
Henrik påstår at flaskene inneholder mindre vann enn dette. Han kjøper en kasse med 24 flasker og måler vannmengden i alle.
Flasken med minst vann inneholder $1{,}48 \mathrm{~L}$. Henrik mener at dette viser at påstanden hans er riktig.
Du kan anta at vannmengden i flaskene er normalfordelt.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske fra denne produsenten inneholder $1{,}48 \mathrm{~L}$ vann eller mindre.
b) Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke dette som argument for at påstanden hans er riktig, selv om han har funnet en flaske med lite vann.
c) Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.
d) Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler Henrik kan bruke for å gjennomføre testen.
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Inntektsfunksjon, Overskudd, Enhetskostnad, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne overskudd for to varer ut fra grafer, lese av prisforskjell, og bruke tangent til å finne minste enhetskostnad og funksjonsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnads-og-inntektsfunksjoner-graftolkning/
### Oppgavetekst
En bedrift modellerer kostnader og inntekter ved produksjon og salg av $x$ enheter av to ulike varer. Figuren nedenfor viser grafene til kostnads- og inntektsfunksjonene.
Kostnadsfunksjonene er modellert som andregradsfunksjoner, og inntektsfunksjonene er modellert som lineære funksjoner.
Verdiene langs andreaksen er kroner.
a) Hvilken av varene vil kunne gi størst overskudd? Husk å begrunne svaret. Hvor mange enheter av denne varen må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?
b) Bestem prisforskjellen mellom vare 1 og vare 2.
Bedriften vil se nærmere på modellene for vare 2. Figuren nedenfor viser grafene til inntektsfunksjonen $I_2$, kostnadsfunksjonen $K_2$ og tangentene til $K_2$ i punktene $(0, K_2(0))$ og $(40, K_2(40))$.
c) Forklar hvordan du kan bruke figuren til å bestemme lavest mulig enhetskostnad, og bestem denne enhetskostnaden.
d) Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykkene $K_2(x)$ og $I_2(x)$.
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Programmering og normalfordeling - simulering S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Simulering, Normalfordeling
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Tolke simuleringsprogram for to normalfordelinger og resonnere om hvordan endringer i grenseverdi og antall simuleringer påvirker sannsynligheten for utfallet «B vinner».
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-og-normalfordeling-simulering/
### Oppgavetekst
Øystein har skrevet programkoden nedenfor.
```python ln
from numpy.random import normal
#normal(forventningsverdi, standardavvik) gir en tilfeldig verdi fra en normalfordeling
SIMULERINGER = 100
GRENSE = 110
A_vinner = 0
B_vinner = 0
for i in range(SIMULERINGER):
A = normal(80, 20)
B = normal(70, 30)
if A > GRENSE or B > GRENSE:
if A > B:
A_vinner = A_vinner + 1
else:
B_vinner = B_vinner + 1
if A_vinner > B_vinner:
print("A vinner")
elif B_vinner > A_vinner:
print("B vinner")
else:
print("Uavgjort")
```
Øystein har også skissert tetthetsfunksjonen til normalfordelingene A og B fra programmet. Se figuren nedenfor.
a) Forklar kort hva programkoden gjør.
Det er størst sannsynlighet for at programmet skriver ut «B vinner». Øystein ønsker å endre programkoden slik at denne sannsynligheten blir enda større.
b) Forklar hvordan Øystein kan endre på verdien i variabelen SIMULERINGER i linje 4, for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».
c) Forklar hvordan Øystein kan endre på verdien i variabelen GRENSE i linje 5 for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Vekstfart
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivere eksponentialfunksjoner, løse $f'(t)=8$ med CAS og finne $t$ der $f'(t)=g'(t)$ for to kulturer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakteriekulturer-eksponentialvekst/
### Oppgavetekst
En gruppe forskere observerer utviklingen i to bakteriekulturer.
Antall millioner bakterier $f$ i den første bakteriekulturen $t$ dager etter at observasjonene startet, er gitt ved
$$
f(t) = 2{,}2 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}
$$
a) Bestem $f'(8)$ og løs likningen $f'(t) = 8$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
Antall millioner bakterier $g$ i den andre bakteriekulturen $t$ dager etter at observasjonene startet, er gitt ved
$$
g(t) = 1{,}2 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2}
$$
b) Når er veksten i de to bakteriekulturene like stor? Hvor stor er denne veksten?
---
## V2026 del 2 oppgave 2 — BSU og annuitetslån - boligkjøp S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Sparing, Annuitetslån, Rente
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Sum av geometrisk rekke for sparebeløp, og bestemme rente på forbrukslån ved å løse annuitetsformelen numerisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bsu-og-annuitetslan-boligkjop/
### Oppgavetekst
> **Info**
> Boligsparing for ungdom (BSU)
> Boligsparing for ungdom (BSU) er en spareform for deg som er under 34 år. Du kan spare inntil 27 500 kroner i året, og få skattefradrag. Totalt sparebeløp er 300 000 kroner.
>
> Det er bare du som ikke allerede eier bolig som kan få skattefradrag ved å spare til BSU.
>
> *Kilde: Boligsparing for ungdom (BSU) – skatteetaten*
Kasper har spart penger på en BSU-konto i 5 år. Han har satt inn $\text{kr } 27\,500$ på kontoen 1. januar hvert år fra og med 2021 til og med 2025. Rentesatsen har vært $5{,}40\,\%$ i hele perioden.
a) Bruk en geometrisk rekke til å regne ut hvor mye Kasper har på BSU-kontoen 31.12.2025.
Kasper har funnet en leilighet han ønsker å kjøpe. Han kontakter banken for å ordne med finansiering. I tillegg til beløpet han har på BSU-kontoen, får han låne $2\,600\,000$ kroner av banken.
Han vil også kjøpe møbler og kjøkkeninnredning, og tar opp et forbrukslån på $150\,000$ kroner til en mye høyere rentesats.
- Nedbetalingstiden på huslånet er $30$ år.
- Nedbetalingstiden på forbrukslånet er $10$ år.
- Begge lånene er annuitetslån.
- Rentesatsen på huslånet er $5\,\%$.
- Terminbeløpene betales årlig, og første innbetaling er etter ett år.
Kasper regner ut at han må betale $200\,000$ kroner i terminbeløp for begge lånene.
b) Hvor høy er rentesatsen på forbrukslånet?
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Inntektsfunksjon, Kostnadsfunksjon, Regresjon, Optimering, Logistisk funksjon
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Maksimere inntekt $I(p)=p\cdot E(p)$, regresjon på kostnadstabell og bruk av salgsmodell for å vurdere om totalt salg når 45 000 enheter på et år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-kostnader-og-salgsprognose/
### Oppgavetekst
En nyoppstartet bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den ukentlige etterspørselen $E$ er gitt ved
$$
E(p) = 2700 - p^2, \qquad p \in [10, 45]
$$
der $p$ er prisen i kroner per enhet.
a) Bestem et uttrykk for inntekten $I(p)$. Hvilken pris gir høyest inntekt?
Tabellen nedenfor viser noen ukentlige kostnader $K$ ved å produsere $x$ enheter.
| Antall enheter | 50 | 100 | 300 | 600 | 1000 |
|:-----------------|-----:|-----:|------:|------:|------:|
| Kostnader (kroner) | 5775 | 6600 | 10400 | 17600 | 30000 |
b) Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å vise at bedriften må produsere og selge $875$ enheter i uken for at overskuddet skal bli størst mulig.
Bedriften registrerer salget de 8 første ukene.
| Uke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:--------------------------|----:|----:|----:|----:|----:|----:|----:|----:|
| Antall solgte enheter per uke | 680 | 750 | 790 | 820 | 840 | 855 | 860 | 865 |
Bedriften har som mål å produsere og selge $45\,000$ enheter totalt det første året. De antar at salget vil fortsette å følge samme trend som de første 8 ukene.
c) Vil bedriften klare å nå målet sitt?
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Rekursiv rekke og konvergens S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Tallfølger, Konvergens, Programmering
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Skrive program som genererer rekursiv følge $a_n=(a_{n-1}-1)^2$, og utforske hvilke heltallige startverdier som gir konvergent rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekursiv-rekke-og-konvergens/
### Oppgavetekst
En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen
$$
a_n = (a_{n-1} - 1)^2
$$
a) Lag et program som skriver ut de 6 første leddene i rekken dersom $a_1 = 5$.
b) Avgjør om det finnes et heltall $a_1$ som gjør at rekken blir konvergent.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Integraler S2 v25
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av eksponential pluss polynom; ubestemt integral via variabelskifte $u=x^2-x-6$ der telleren er $u'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integraler-s2-v25/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Bestem f ut fra den deriverte
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Tolkning av integraler, Areal under graf, Bestemt integral
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $f(x)=1/x^2+C$ fra $f'$, så finne $C=2/7$ fra arealkravet $\int_1^2 f\,dx = 11/14$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-f-ut-fra-den-deriverte/
### Oppgavetekst
Bestem et uttrykk for funksjonen $f$ når du får vite at
- $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$
- Arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=1$ og $x=2$ er $\frac{11}{14}$. Dette arealet ligger over $x$-aksen.
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Sannsynlighetsfordeling til brettspill
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians og standardavvik, Forventningsverdi
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut sannsynlighetsfordeling for spesiell terning (tre seksere), vise $\text{E}(X)=4$ og beregne $\text{Var}(X)=13/3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighetsfordeling-til-brettspill/
### Oppgavetekst
Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne terningen viser.
Table: {.tall}
| $k$ | 1 | 2 | 3 | 6 |
| :------: | :-----------: | :-: | :-: | :-: |
| $P(X=k)$ | $\frac{1}{6}$ | | | |
a) Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at $E(X)=4$.
b) Bestem $\text{Var}(X)$.
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Ukjente programmer S2 v25
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Rekursiv sammenheng
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Tolke to Python-programmer: finne mønster i tallfølge $a_{n+1}=a_n+n+2$ og identifisere delsum av tilhørende rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjente-programmer-s2-v25/
### Oppgavetekst
En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:
```python ln
a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
print(a)
a = a + (i + 2)
```
a) Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med.
Hva blir resultatet når koden kjøres?
Eleven har også skrevet denne koden:
```python ln
a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
S = S + a
a = a + (i + 2)
print(S)
```
b) Hva ønsker eleven nå å finne ut?
Hva blir resultatet når koden kjøres?
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Enhetskostnad, Grenseinntekt og grensekostnad, Overskudd
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Avlese enhetskostnad ($E(180)=82{,}89$) og grensekostnad ($K'(180)=138$) fra tangenter; finne pris som gir max overskudd ved $x=180$ via $I'=K'$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetskostnader-og-grensekostnader-fra-graf-v25/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon $K$ og to rette linjer.
Linjen $y=138x-9920$ tangerer grafen $K$ i punktet $\left( 180, \,14\,920 \right)$.
a) Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det blir produsert 180 enheter. Husk å begrunne svarene.
Vi setter prisen per enhet til $p$ kroner, slik at inntekten $I(x)$ kroner er gitt ved $I(x)=p \cdot x$.
b) Bestem prisen $p$ slik at overskuddet vil bli størst mulig ved produksjon og salg av 180 enheter
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Hypotesetest bensin
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Standard normalfordeling, Normalfordeling, Sentralgrenseteoremet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Ensidig hypotesetest av gjennomsnittet fra $n=25$ via sentralgrenseteoremet; $z=2$ gir $p=0{,}0228<0{,}05$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-bensin/
### Oppgavetekst
Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på $20 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$, med et standardavvik på $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$.
Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.
a) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.
Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt $21 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$. Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik $2{,}5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$.
b) Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på 5 \%.
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Grenseinntekt og grensekostnad på del 2
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Tolkning av integraler, Samlet mengde, Grenseinntekt og grensekostnad, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Andregradsregresjon for kostnad; grenseinntekt og grensekostnad med tolkning, og tolke $\int_{20}^{30} K'\,dx = K(30)-K(20)$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseinntekt-og-grensekostnad-pa-del-2/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke.
Tabellen nedenfor viser kostnaden ved ulike produksjonsmengder.
| Produksjon <br> (enheter per uke) | 10 | 20 | 40 | 50 |
| :-------------------------------- | :-: | :-: | :--: | :--: |
| Kostnad (kroner) | 400 | 850 | 2070 | 2890 |
En modell for kostnaden $K(x)$ kroner kan skrives på formen
$$
K(x)=a x^2+b x+c
$$
a) Vis at $K^{\prime}(x)=1,23 x+25$
Inntekten $I(x)$ kroner per uke er gitt ved
$$
I(x)=3000 \cdot \ln (5 x)
$$
b) Bestem $I^{\prime}(35)$ og $K^{\prime}(35)$.
Gi en praktisk tolkning av svarene.
c) Bestem $\int_{20}^{30} K^{\prime}(x) d x$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## V2025 del 2 oppgave 2 — Normalfordelt hoppkonkurranse
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Simulering, Programmering, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Tre uavhengig normalfordelte hoppere: halesannsynligheter, kombinasjon via multiplikasjonsprinsippet, og simulering av hvem som hopper lengst.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelt-hoppkonkurranse/
### Oppgavetekst
Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse.
Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.
| | Forventningsverdi | Standardavvik |
| :----: | :---------------: | :-----------: |
| Birger | 70 meter | 20 meter |
| Maren | 80 meter | 5 meter |
| Espen | 75 meter | 10 meter |
a) Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.
I første omgang hoppet Maren 83 meter.
b) Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.
I andre omgang gjør alle et nytt hopp.
c) Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Logistisk salg av brannvarslingssystemer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk salgsmodell: finne $t$ for $B(t)=N/2$, derivert og tolkning; konstruere ny modell fra bæreevne, startverdi og vendepunkt.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-salg-av-brannvarslingssystemer/
### Oppgavetekst
Sikkerhetsselskapet SaifY skal lansere et nytt brannvarslingssystem i en by med 2 millioner husstander. SaifY regner med at antallet husstander som har brannvarslingssystemet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $B$ gitt ved
$$
B(t)=\frac{1700000}{1+500 e^{-0,07 t}}
$$
a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?
b) Bestem $B^{\prime}(52)$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
Det viser seg at konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et brannvarslingssystem med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til SaifY.
Etter å ha hørt om planene til UnSaif antar SaifY at
- de totalt vil få solgt brannvarslingssystemet sitt til en million husstander
- fire tusen husstander har brannvarslingssystemet når det lanseres
- flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65
c) Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter $t$ uker.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Noras sparing og lån
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Sparing, Regneark, CAS, Rekker, Annuitetslån
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Sparing med årlige innskudd i 30 år, annuitetslån med ukjent rente, og sparing med 6 % økende innskudd — alt løst som rekker i CAS/Excel.
- **Kilde:** Eksamen S2 høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/noras-sparing-og-lan/
### Oppgavetekst
Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.
Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.
Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 \%.
a) Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?
Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.
Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.
b) Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?
Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 \% per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 \% per år.
Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.
c) Vil Nora nå målet sitt?
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Vis at rekke blir ln 2
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Utforskning, Integrasjon, Uendelig rekke, Rekker, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Leddvis integrasjon av geometrisk rekke $\sum x^k$; variabelskifte på $\int \frac{1}{1-x}\,dx$; sette $x=1/2$ for å få $\ln 2$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-rekke-blir-ln-2/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$
Det kan vises at
$$
\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x
$$
Bruk denne sammenhengen til å vise at
$$
\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2
$$
I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Ubestemt integral S2 H2025
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Delvis integrasjon av $\int x e^{x} \, dx$ med DI-metoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral-s2-h2025/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int e^{x} \cdot x \, \mathrm{d}x
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — S2 H2025 ulike rekker del 1
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk sum, konvergensområde for geometrisk rekke, og samlet sprettavstand via uendelige geometriske rekker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/s2-h2025-ulike-rekker-del-1/
### Oppgavetekst
Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken
$$
-3+0+3+\ldots+69
$$
a) Bestem summen av rekken.
Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken
$$
5+5 \cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)+5 \cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2+\ldots
$$
b) Bestem konvergensområdet til rekken.
En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er $75 \%$ av høyden den falt fra.
c) Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Tolkning av integraler, Integrasjon, Areal under graf
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Tolke og beregne areal mellom $f(x)=x^3+x^2-2x$ og $x$-aksen; argumentere for at $\int_a^1 f\,dx=0$ har to løsninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolkning-av-integral-og-areal-fra-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=x^3+x^2-2 x$.
a) Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.
1.
$$
\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
2.
$$
\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
3.
$$
\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x+\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
4.
$$
\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
b) Regn ut arealet av det markerte området på figuren.
Kristian ønsker å finne en verdi $a<0$, som er slik at $\int_a^1 f(x) d x=0$.
Han bruker en kalkulator og finner at $a \approx -0{,}6$.
Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.
c) Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Sannsynlighet for poengtap ved poengspill
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Varians og standardavvik, Forventningsverdi, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Diskret sannsynlighetsfordeling fra 4-sidet terning; forventningsverdi med tolkning, og varians.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-poengtap-ved-poengspill/
### Oppgavetekst
I et spill kan du få poeng ved å kaste en terning med fire sider. De fire sidene har ulik farge. Den ene siden er gul, den andre grønn, den tredje rød og den fjerde blå.
- Gul side gir ingen poeng.
- Grønn side gir ett poeng.
- Blå side gir to poeng.
- Rød side gir tre poeng.
Du starter med 10 poeng, og hvert kast koster 2 poeng.
La $x$ være endringen i poeng for hvert kast, det vil si poengene fra kastet fratrukket de to poengene kastet koster.
a) Skriv av tabellen under og fyll inn det som mangler
Table: {.tall}
| $x$ | $\Box$ | $-1$ | $\Box$ | $\Box$ |
| :------: | :-------: | :-----------: | :-------: | :-------: |
| $P(X=x)$ | $\Box$ | $\frac{1}{4}$ | $\Box$ | $\Box$ |
b) Bestem $\text{E}(X)$. Hva forteller dette svaret?
c) Bestem $\text{Var}(X)$.
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Finn riktig graf for normalfordelingene
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Graftolkning, Sentralgrenseteoremet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Gjenkjenne normalfordelingsgraf fra $(\mu, \sigma)$; bruke sentralgrenseteoremet til å finne $\text{SD}(\bar{X})$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finn-riktig-graf-for-normalfordelingene/
### Oppgavetekst
På en skole med mange elever er høyden til elevene tilnærmet normalfordelt med en forventningsverdi på 170 cm og et standardavvik på 5 cm.
Vi trekker ut én tilfeldig elev fra skolen og måler hvor høy eleven er.
a) Hvilken figur nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?
Vi trekker ut 25 tilfeldige elever fra skolen, måler hvor høye elevene er, og regner ut gjennomsnittshøyden.
b) Hvilken figur nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?
Husk å begrunne svarene dine.
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Logistisk plantesalg
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Logistisk funksjon, Tolkning av integraler, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon av salgsdata; vendepunkt via $I''=0$ og samlet inntekt via bestemt integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-plantesalg/
### Oppgavetekst
Et hagesenter ønsker å satse på salg av en ny type planter. De startet salget av plantene i uke 17. Utover våren økte salget. I tabellen nedenfor ser du inntekten fra salget av plantene de første ukene.
| Uke | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| :--------------- | :--: | :--: | :----: | :----: | :----: | :---: | :----: | :----: |
| Inntekt (kr/uke) | 2900 | 4400 | 12 200 | 23 400 | 28 800 | 34600 | 41 000 | 40 800 |
a) Bruk informasjonen i tabellen til å lage en modell I på formen
$$
I(t)=\frac{B}{1+a \cdot e^{-k t}}
$$
for inntekten $I(t)$ kroner per uke, $t$ uker etter uke 17.
Vurder modellens gyldighetsområde.
b) Når økte inntekten mest, ifølge modellen? Hvor mye økte inntekten med på dette tidspunktet?
c) Løs likningen
$$
\int_0^x I(t) \mathrm{~d}t =65000
$$
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Overskudd, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Grensekostnad via $K'(x)$, enhetskostnadminimum via $E(x)=K'(x)$, og overskuddsintervall fra $I(x)>K(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnader-enhetskostnader-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er gitt ved
$$
K(x)=700 \cdot e^{\frac{x}{200}}, \quad\quad x\in \left< 0,500 \right]
$$
a) Bestem $K'(150)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
b) Bestem produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden. Hva blir denne enhetskostnaden?
Bedriften selger alle varene den produserer. Inntekten $I(x)$ kroner ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved
$$
I(x)=80x-0{,}10x^{2}
$$
c) Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — Hypotesetester om komponenter som er defekte
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk ensidig hypotesetest; finne minste utvalgsstørrelse $n$ som gir ønsket signifikansnivå.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetester-om-komponenter-som-er-defekte/
### Oppgavetekst
En bedrift har en maskin som lager elektroniske komponenter. Firmaet MASK, som leverte maskinen til bedriften, oppgir at andelen feilproduserte komponenter vil være 1 % eller mindre.
Bedriften tester maskinen ved å lage 20 komponenter. Det viser seg at det er feil på én komponent. Bedriften klager til MASK og påstår at maskinen lager en høyere andel feilproduserte komponenter enn oppgitt.
a) Bruk hypotesetesting og argumenter for om klagen er velbegrunnet.
MASK sender en kontrollør til bedriften. Kontrolløren tester mange komponenter fra maskinen og finner også feil på én komponent. Kontrolløren påstår at med det antallet komponenter han har testet, så er det mer enn 95 % sannsynlighet for at andelen feilproduserte komponenter er 1 % eller mindre.
b) Hva er det minste antallet komponenter kontrolløren kan ha testet for å påstå dette?
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Mathias sine lån for å kjøpe bil
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Rekker, Annuitetslån, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån som sum av diskonterte terminbeløp; bestemme terminbeløp, rentesats og total rentekostnad i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mathias-sine-lan-for-a-kjope-bil/
### Oppgavetekst
Mathias ønsker å kjøpe seg en bil. Han går innom nærmeste bilforhandler, der han ser to ulike biler som vekker interesse.
Mathias har ingen egenkapital og må derfor låne hele beløpet. Bilforretningen gir Mathias følgende to tilbud for bilene:
> Tilbud 1: Dieselbil
> En brukt dieselbil. Pris 357 000 kroner. Nedbetalingstid 8 år, med én termin per år. Første innbetaling etter ett år. Rentesats 4 %.
> Tilbud 2: Elbil
> En ny elbil. Pris 450 000 kroner. Nedbetalingstid 10 år, med én termin per år og terminbeløp på 52 000 kroner. Første innbetaling etter ett år.
a) Sett opp en geometrisk rekke som viser hvor mye Mathias må betale for den brukte dieselbilen.
Bruk rekken til å bestemme terminbeløpene Mathias må betale dersom han kjøper bilen.
b) Bestem rentesatsen Mathias får dersom han velger å kjøpe elbilen.
c) Hvilket tilbud fører til at Mathias må betale mest renter totalt?
---
## H2025 del 2 oppgave 5 — Programmering av Willys spareplan
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Programmering, Sparing
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Formulere rekursiv sammenheng $B_{n+1}=B_n+3+n$ og programmere while-løkke til saldo overstiger 100 000 kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-av-wiggos-spareplan/
### Oppgavetekst
Wiggo har en spareplan. De fem første dagene sparer han følgende beløp:
Dag 1: 1 krone
Dag 2: 5 kroner
Dag 3: 10 kroner
Dag 4: 16 kroner
Dag 5: 23 kroner
Etter disse fem dagene har han 55 kroner på konto. Wiggo ønsker å fortsette med denne sparingen i samme mønster i dagene framover.
Beskriv den rekursive sammenhengen mellom sparebeløpene.
Lag et program som bruker denne rekursive sammenhengen til å vise hvor mange dager Wiggo må spare før han har 100000 kroner på konto.
Husk å legge ved skjermbilde av både programkoden og resultatet du får når du kjører programmet.
---
## H2025 del 2 oppgave 6 — Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Simulering, Sannsynlighet, Programmering, Uendelig rekke, Forventningsverdi
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at summen av «sannsynlighet for at kastet er nødvendig» gir forventningsverdien; simulere samlet øynesum i Python.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/simulering-av-antall-terningkast-for-a-fa-samme-antall-oyne-i-to-kast-pa-rad/
### Oppgavetekst
Ane har en vanlig sekssidet terning. Hun ønsker å finne ut hvor mange ganger hun i gjennomsnitt må kaste terningen for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Hun har laget tabellen nedenfor.
Table: Sannsynlighet for at et kast er nødvendig { .tall }
| Kast nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| :--------------------------------------- | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
| Sannsynlighet for at kastet er nødvendig | 1 | 1 | $\frac{5}{6}$ | $\left(\frac{5}{6}\right)^2$ | $\left(\frac{5}{6}\right)^3$ | $\left(\frac{5}{6}\right)^4$ | ⋯ |
a) Forklar at
$$
1+1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\ldots
$$
vil gi det forventede antallet kast Ane må gjøre for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
Bestem denne verdien.
b) Bruk simulering til å bestemme forventningsverdien til summen av antall øyne Ane vil få på terningen i kastene hun bruker for å få det samme antallet øyne i to kast på rad.
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Bestemt integral og areal
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal under graf, Bestemt integral
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av $-x^3+3x$; areal mellom graf og $x$-akse ved å splitte på nullpunkt $x=0$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2024
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral-og-areal/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x)=-x^{3}+3x
$$
a) Regn ut integralet
$$
\int_{-1}^{0} f(x) \, dx
$$
b) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=-1$ og $x=1$
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Ubestemt integral v24
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Ubestemt integral med variabelskifte $u=x^2+1$ som forkorter $2x$-faktoren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral-v24/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int \left( x^{2}+1 \right)^{3} \cdot 2x \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Ukjent program S2 v24
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Aritmetisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python while-løkke som delsum av aritmetisk rekke $a_n=4n-2$; finne første $n$ der $s_n>200$ ved å løse $s_n=200$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-s2-v24/
### Oppgavetekst
En elev har laget programmet under.
```python ln
n = 0
S = 0
while S <= 200:
n = n + 1
S = S + 4*n - 2
print(n)
```
a) Forklar hva eleven prøver å finne ut.
b) Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Normalfordelt laks
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standard normalfordeling, Normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling på del 1: finne $\sigma$ fra oppgitt haleinnslag (11,5 %) via $z$-tabell, og beregne $P(X<4500)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelt-laks/
### Oppgavetekst
Hos en lakseoppdretter er slaktevekten til laksen normalfordelt med forventningsverdi 4700 gram. Det viser seg at $11{,}5 \,\%$ av laksen som slaktes, veier mer enn 5300 gram.
a) Vis at standardavviket for vekten til en vilkårlig laks er omtrent 500 gram.
b) Bestem sannsynligheten for at en vilkårlig laks veier mindre enn 4500 gram
---
## V2024 del 1 oppgave 5 — Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Enhetskostnad, Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $K'(x_0)=E(x_0)$ når $E'(x_0)=0$ ved å derivere $E(x)=K(x)/x$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-enhetskostnad-er-like-grensekostnad-ved-laveste-enhetskostnad/
### Oppgavetekst
La $K(x)$ være kostnadsfunksjonen til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare, og la $E(x)$ være enhetskostnaden. La $x_0$ være antallet enheter som gir den laveste enhetskostnaden. Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden for $x=x_0$.
---
## V2024 del 1 oppgave 6 — Hildes terningkast
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Forventningsverdi, Normalfordeling, Standard normalfordeling, Utforskning, Sentralgrenseteoremet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Forventningsverdi for terning; finne $n$ slik at $\sqrt{n}\cdot SD(X)=17$ ved å bruke 68 %-regelen om 1 standardavvik.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hildes-terningkast/
### Oppgavetekst
Hilde kaster en terning med seks sider. La $X$ være antall øyne hun får på terningen.
a) Bestem forventningsverdien $E(X)$
Hilde regner ut at standardavviket $SD(X)=1{,}7$. Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.
b) Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Logistisk vekst for et produkt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Logistisk funksjon, Samlet mengde, Integrasjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk salgsmodell: raskest vekst i vendepunkt; samlet salg via integral; bestemme pris fra $\int_0^{52} f(t)\,dt \cdot p=10^6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekst-for-et-produkt/
### Oppgavetekst
For et år siden begynte en butikk å selge et nytt produkt. Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(t)=\frac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}
$$
er en god modell for antallet enheter butikken har solgt av produktet per uke, $t$ uker etter at produktet kom i salg.
a) Når økte slaget raskest, ifølge modellen, og hvor mye økte salget da?
b) Hvor lang tid gikk det før det samlede salget passerte 2000 enheter, ifølge modellen?
Inntekten fra salget av produktet har vært 1 000 000 kroner det første året.
c) Hvilken pris har butikken solgt produktet for?
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Hypotesetest om legemiddel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk hypotesetest om legemiddel: punktsannsynlighet, $p$-verdi ved $n=10$, og finne minste antall treff for forkast ved $n=200$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-om-legemiddel/
### Oppgavetekst
Et smertestillende legemiddel, A, er tilgjengelig på markedet. Legemiddelet demper smerte for mange pasienter, men ikke for alle.
- Sannsynligheten for at legemiddel A virker på en pasient, er 75 %.
- Vi tester legemiddel A på $n$ pasienter.
- Legemiddel A virker på $X$ av disse pasientene.
a) Hvilken sannsynlighetsfordeling har $X$? Begrunn svaret ditt.
Regn ut $P(X=9)$ når $n=12$.
Et nytt legemiddel, B, skal også dempe smerte hos pasienter.
- Legemiddel B er testet ut på 10 pasienter.
- Legemiddel B virket på 9 av disse 10 pasientene.
b) La $p$ være sannsynligheten for at B virker på en pasient. Gjennomfør en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Bruk denne til å vurdere om du kan si at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn A.
Legemiddel B blir gitt til 200 pasienter.
c) Hvor mange pasienter må legemiddel B minst virke på for at vi skal kunne konkludere med at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn legemiddel A? Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Olivias annuitetslån
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Rekker, Regneark, CAS, Annuitetslån
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån: bestemme terminbeløp, utvidet lån med ekstra låneopptak, og ny nedbetalingstid ved fast terminbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/olivias-annuitetslan/
### Oppgavetekst
Olivia tar opp et annuitetslån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig. Hun velger årlige terminer og en nedbetalingstid på 25 år. Det første terminbeløpet skal betales om ett år. Renten er på 5,5 % per år.
a) Hvor store blir de årlige terminbeløpene?
Etter 5 år vil Olivia utvide lånet for å pusse opp badet. Hun håper å få låne 500 000 kroner ekstra til samme rente, men hun vil ikke forlenge nedbetalingstiden på lånet.
b) Hvor store blir de nye terminbeløpene?
Olivia vet at dersom de nye terminbeløpene blir for store, må hun forlenge nedbetalingstiden.
c) Hvor lang blir nedbetalingstiden dersom hun betaler 200 000 kroner hver termin etter at hun har utvidet lånet?
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Kubikktall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Figurtall, Programmering, Rekker, Regresjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Rekursiv sammenheng $S_{n+1}=S_n+(n+1)^3$ for kubikktall; eksplisitt formel via regresjon; programmere $S_{50}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikktall/
### Oppgavetekst
De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$, se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.
a) Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n+1}$. Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$.
b) Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Sveins kurv med baller
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Utforskning, Programmering
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for 9R og 6B av 15 trukket; utforske hvilken kurvstørrelse som maksimerer sannsynligheten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sveins-kurv-med-baller/
### Oppgavetekst
Svein har en kurv med røde og blå baller. Det er like mange baller av hver farge i kurven. Svein tar 15 baller tilfeldig fra kurven. Han ser etterpå at han trakk 9 røde og 6 blå baller.
a) Bestem sannsynligheten for at han får dette resultatet dersom han starter med 30 baller i kurven.
b) Hva er det mest sannsynlige antallet baller som lå i kurven?
---
## H2024 del 1 oppgave 1a — Ubestemt integral h24
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1a
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Delvis integrasjon av $\int x^2 \ln x\,dx$; integrere $x^2$ og derivere $\ln x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral-h24/
### Oppgavetekst
a) Regn ut integralet
$$
\int x^{2} \cdot \ln x \, \mathrm{d}x
$$
---
## H2024 del 1 oppgave 1b-c — Integral med ukjent grense
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1b-c
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Likninger, Bestemt integral, Tolkning av integraler
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Løse $\int_{-1}^x (3t^2-1)\,dt=0$ manuelt: anti-derivere, sette inn, og løse $x^3-x=0$ for $x=0 \vee x=1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-med-ukjent-grense/
### Oppgavetekst
b) Bestem $x$ når
$$
\int_{-1}^{x} \left( 3t^{2}-1 \right) \, \mathrm{d}t = 0, \quad x>-1
$$
c) Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Aritmetiske og geometriske rekker h24
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk summeformel, kvotient fra uendelig geometrisk sum, og omskrive periodisk desimaltall som uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetiske-og-geometriske-rekker-h24/
### Oppgavetekst
a) Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\dots+399$.
b) Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_{1}=12$ og sum $= 18$.
c) Vis at tallet $0{,}75757575\dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\dots=\frac{58}{33}$.
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Varians i diskret sannsynlighetsfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians og standardavvik
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Finne ukjent utfall $b$ fra $\text{E}(X)=2$ og beregne $\text{Var}(X)$ fra tabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varians-i-diskret-sannsynlighetsfordeling/
### Oppgavetekst
Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$.
| $x$ | 0 | 1 | 4 | $b$ |
| :------: | :------: | :------: | :------: | :------: |
| $P(X=x)$ | $0{,}30$ | $0{,}40$ | $0{,}10$ | $0{,}20$ |
$E(X)=2$.
Vis at $b=6$, og bestem $\text{Var}(X)$.
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Figurer som viser normalfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Standard normalfordeling, Binomisk fordeling, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere riktig normalfordelingsgraf fra $\mu, \sigma$ — både som normaltilnærming til binomisk ($\text{Var}=np(1-p)$) og direkte gitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurer-som-viser-normalfordeling/
### Oppgavetekst
En gartner sår 1000 frø. Frøene har en spireevne på 70 %.
a) Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten for antall frø som spirer?
Husk å begrunne svaret ditt.
En stokastisk variabel er normalfordelt med $E(X)=50$ og $\sigma=10$.
b) Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten til denne stokastiske variabelen?
Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Grensekostnad og enhetskostnad del 1
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Derivasjon, Overskudd
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Finne $x$ der $K'(x)=E(x)$ algebraisk fra andregrads $K$; maksimere overskudd via $I'(x)=K'(x)$ med konstant pris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-enhetskostnad-del-1/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ i kroner er gitt ved
$$
K(x)=0{,}3x^{2}+10x+3000
$$
Her er $x$ antall enheter produsert og solgt per uke.
a) For hvilken $x$-verdi er grensekostnaden lik enhetskostnaden? Gi en praktisk tolkning av svaret.
Bedriften regner med å selge varen for 400 kr per enhet.
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Marcos logistiske løpetrening
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Regresjon, Samlet mengde, Integrasjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk modell for løpedistanse: vise at modellen passer, finne vendepunkt med raskest vekst, og samlet km via bestemt integral + gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/marcos-logistiske-lopetrening/
### Oppgavetekst
Marco skal løpe maraton og starter løpetrening. I tabellen nedenfor ser du hvor mange kilometer han løp noen av ukene etter at han startet treningen.
| Uker etter treningsstart $(t)$ | 1 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| :---------------------------------- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| Antall kilometer løpt per uke $(L)$ | 14 | 32 | 80 | 115 | 145 |
a) Vis at funksjonen $L$ gitt ved
$$
L(t)=\frac{156{,}31}{1+12{,}21 e^{-0{,}24 t}}
$$
er en god modell for sammenhengen mellom uker etter treningsstart ($t$) og antall kilometer løpt per uke ($L$).
Forklar hvorfor en modell av denne typen kan passe godt til denne praktiske situasjonen.
b) Når økte antallet løpte kilometer per uke raskest, ifølge modellen?
Hvor stor var økningen da?
Marco merket etter noen uker at løpeskoene begynte å bli slitt, og at han trengte nye sko. Han bestemte seg for ả kjøpe nye sko etter å ha løpt totalt 500 km.
c) Hvor mange uker hadde Marco løpt da han kjøpte seg nye sko?
Hvor mange kilometer hadde han løpt i gjennomsnitt per uke før dette?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Hypergeometrisk hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk hypotesetest om kjønnsbias i intervjuutvalg; $p=0{,}038<0{,}05$ forkaster $H_0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypergeometrisk-hypotesetest/
### Oppgavetekst
En bedrift skal ansette en ny person i en stilling og har fått 100 godt kvalifiserte søkere. 60 av søkerne er kvinner, og 40 av søkerne er menn. Ledelsen i bedriften rekker ikke å intervjue alle, derfor blir 8 kvinner og 12 menn tilfeldig invitert til intervju av ledelsen.
Fagforeningen lurer på om dette faktisk er tilfeldig, eller om ledelsen bevisst velger menn. De ber deg gjennomføre en hypotesetest med signifikansnivå 5 %.
a) Formuler nullhypotesen $H_{0}$ og alternativhypotesen $H_{1}$ for testen. Forklar hvorfor en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling er mest passende for denne testen.
b) Gjennomfør hypotesetesten og vurder om det er grunnlag for å si at ledelsen bevisst velger menn.
---
## H2024 del 2 oppgave 3a — Påstand om sum av rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3a
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Konvergens, Geometrisk rekke, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om $x=1/e$ gir konvergens i uendelig geometrisk rekke; beregne $k=\ln(1/e)-1=-2$ og konkludere at rekka divergerer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastand-om-sum-av-rekke/
### Oppgavetekst
Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
En uendelig geometriske rekke er gitt ved $1+\left( \ln x -1 \right) + \left( \ln x -1 \right)^{2}\dots$
**Påstand**: Dersom $x=\frac{1}{e}$ vil summen av rekka være $\frac{1}{3}$.
---
## H2024 del 2 oppgave 3b — Påstand om områder avgrenset av grafer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3b
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Areal under graf, Integrasjon, Areal mellom grafer, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Vise at to funksjoner med parameter $a$ avgrenser like store områder; finne skjæringspunkter og integrere mellom dem i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastand-om-omrader-avgrenset-av-grafer/
### Oppgavetekst
Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
To funksjoner er gitt ved $f(x)=x^{3}-x^{2}-ax$, der $a \in \mathbb{R}$, og $g(x)=-x^{2}+x$
**Påstand**: Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a>-1$.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Rekursiv formel og programmering
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekursiv sammenheng, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Finne rekursiv formel $a_{n+1}=a_n+n^2$ fra tallfølge; programmere sum av 30 ledd via for-løkke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekursiv-formel-og-programmering/
### Oppgavetekst
a) Bestem en rekursiv formel for tallfølgen $1, 2, 6,15,31,56,\dots$
b) Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de 30 første leddene i tallfølgen.
Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Oles studielån
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Annuitetslån, Rekker, CAS
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Studielån som annuitetslån: terminbeløp over 30 år, rentesats for 25 år, og nedbetalingstid med 5 % økende terminbeløp etter 12 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oles-studielan/
### Oppgavetekst
Ole vil studere i Tyskland og skal fullføre en mastergrad i løpet av 5 år. Han undersøker hva han kan få i stipend og lån fra Lånekassen for å dekke opphold og skolepenger.
Etter 5 år vil det samlede lånebeløpet være 799 273 kr. Rentesatsen er 5,242 % per år.
Rentene i Lånekassen begynner først å løpe rett etter fullført studium. Første avdrag betales ett år etter at du har fullført studiet. Nedbetalingstid er maks 30 år med én termin per år.
a) Vis at terminbeløpene Ole må betale, blir 53 437 kr dersom han velger maks nedbetalingstid.
Det er forventet at rentesatsen blir lavere fremover. Ole regner litt på det og tenker at med den forventede rentesatsen kan han klare å betale ned lånet på 25 år, med det samme terminbeløpet som i oppgave a).
b) Hva må rentesatsen være hvis han skal klare det?
Ole tenker at han etter hvert kan klare å betale et større terminbeløp. Han ser for seg at han betaler samme terminbeløp som i oppgave a) de 12 første årene. Deretter øker han terminbeløpet med 5 % per termin resten av nedbetalingstiden. Han antar at rentesatsen vil være 5,242 % per år gjennom hele perioden.
c) Hvor mange år vil det ta før lånet er nedbetalt, dersom Ole klarer dette?
---
## H2024 del 2 oppgave 6 — Etterspørsel av vare
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Økonomi, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Beregne etterspørsel $E(30)$ og invertere $E(p)=x$ til $p(x)$ for å finne inntekt $I(x)=x\cdot p(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ettersporsel-av-vare/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ i kroner er gitt ved
$$
K(x)=0{,}2x^{2}+50x+1500
$$
der $x$ er antall enheter.
Etterspørselen etter varen er gitt ved
$$
E(p)=300e^{-0{,}01p}
$$
der $p$ er prisen per vare i kroner
a) Regn ut $E(30)$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
b) Finn et uttrykk $I(x)$ for inntekten som en funksjon av antall solgte enheter.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Bestemt integral 2
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\int_0^1 (e^x+3x^2)\,dx = e$ ved antiderivasjon og innsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral-2/
### Oppgavetekst
$$
\int_{0}^{1}\left(e^{x}+3 x^{2}\right) \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Grensekostnader fra graf v23
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Derivasjon, Funksjoner, Grenseinntekt og grensekostnad, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Grafisk avlesning av grensekostnad via tangent ved $x=40$; finne $x$ der $I'=K'$ fra stigningstallene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnader-fra-graf-v23/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved produksjon og salg av en vare.
a) Forklar hvordan du ut fra den grafiske framstillingen kan bestemme en tilnærmet verdi for grensekostnaden når det blir produsert 40 enheter. Omtrent hvor stor er denne grensekostnaden?
b) Forklar hvordan du, ved å se på stigningstallet i ulike punkt på grafene, kan avgjøre hvor mange enheter som må produseres for at overskuddet skal bli størst mulig.
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians og standardavvik, Forventningsverdi
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ukjent $k$ fra $\sum P(X=x)=1$; regne $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ fra tabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forventningsverdi-og-varians-fra-sannsynlighetsfordeling-2/
### Oppgavetekst
En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|:--------:| --- |:-------:|:-------:|:-------:|
| $P(X=x)$ | $k$ | $0{,}3$ | $k-0,2$ | $0{,}1$ |
a) Vis at $P(X>1)=0{,}3$
b) Bestem $E(X)$ og $\operatorname{Var}(X)$.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Ukjent program del 1 S2
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Aritmetisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-program som aritmetisk summering; beregne $s_{100}$ for $a_1=3,\, d=4$ manuelt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-del-1-s2/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet følgende kode:
```python ln
a = 3
d = 4
N = 10
S = 0
for i in range(N):
S = S + a
a = a + d
print(S)
```
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
b) Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4 ?
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Modellere daglig legemiddeldose som uendelig geometrisk rekke med $k=0{,}9$; grenseverdi $s=70$ mg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-rekke-med-virkestoff-fra-legemiddel/
### Oppgavetekst
Knut må hver dag ta en tablett som inneholder $7 \,\mathrm{mg}$ av et virkestoff. I kroppen brytes 10 prosent av dette virkestoffet ned hvert døgn. Knut har lest at det kan være skadelig å ha mer enn $100 \,\mathrm{mg}$ av virkestoffet i kroppen. Legen beroliger Knut med at dette ikke vil skje med den dosen Knut tar.
Avgjør om det legen sier, stemmer.
---
## V2023 del 1 oppgave 6 — Levetiden til normalfordelte batterier
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Standard normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling på del 1: beregne $P(X>600)$ via $z$-tabell, løse $P(X<t)=0{,}242$ for $t$, og velge rett graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/levetiden-til-normalfordelte-batterier/
### Oppgavetekst
Levetiden $X$ til et tilfeldig valgt batteri er normalfordelt med forventet levetid 500 timer og standardavvik 50 timer.
a) Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri vil ha en levetid på mer enn 600 timer.
Sannsynligheten er 75,8 prosent for at levetiden til et tilfeldig valgt batteri er mer enn $t$ timer.
b) Bestem $t$.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X$ ? Husk å argumentere for svaret.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Annuitetslån
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Rekker, Regneark, Annuitetslån
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån: beregne terminbeløp via terminfaktor; restlån etter 24 terminer i regneark.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan/
### Oppgavetekst
Anders tok opp et annuitetslån på 150 000 kroner for å kjøpe en bil. Lånet hadde en nedbetalingstid på 36 måneder med én termin per måned. Det hadde en månedlig rentesats på 0,49 prosent.
a) Hva var terminbeløpet?
Like etter at Anders hadde betalt inn terminbeløp 24 ble bilen totalskadet, og forsikringsselskapet betalte ut 55000 kroner.
b) Var dette nok til å betale ned restlånet?
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Logistisk funksjon, Derivasjon, Funksjoner, Tolkning av integraler, Integrasjon, Samlet mengde
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon på markedsdata; beregne og gi praktisk tolkning av integraler, sumrekke og deriverttilnærming.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjon-pa-storrelsen-av-det-norske-musikkstrommemarkedet/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008-2018.
| År | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 | 2018 |
| --------- |:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Strømming | 2 | 70 | 246 | 456 | 582 | 655 |
a) Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008-2018 og årene etterpå. Velg $x$-verdier slik at $F(0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Nedenfor ser du fire formler.
$$
I=\int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x) \mathrm{d} x, \quad G=\frac{1}{5} \int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x) \mathrm{d} x, \quad S=\sum_{i=0}^{10} F(i), \quad D=\frac{F(5{,}001)-F(5)}{0{,}001}
$$
b) Bestem $I, G, S$ og $D$.
c) Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Hypotesetest med smak av cola
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk ensidig hypotesetest på colasmaking: punktsannsynlighet, $p$-verdi og finne kritisk verdi ved $n=30$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-med-smak-av-cola/
### Oppgavetekst
Marte mener hun kan smake om en colatype er Coca-Cola eller Pepsi-Cola. Birger ønsker å teste om dette kan stemme, ved å gjennomføre en blindtest.
Han fyller tilfeldig 10 glass med cola, og Marte skal smake på dem for å avgjøre hvilken colatype hvert av glassene inneholder.
La $X$ være antall riktige svar Marte gir når hun smaker på 10 glass med tilfeldig colatype.
a) Bestem $P(X=6)$ dersom Marte bare tipper tilfeldig på en colatype for hvert av de 10 glassene. Hvilke antagelser gjør du når du regner ut denne sannsynligheten?
Marte svarer så godt hun kan, og får riktig i 8 av de 10 tilfellene.
b) Avgjør ved hjelp av hypotesetesting om det er grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne de to colatypene. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
Birger synes 10 glass er litt lite i blindtesten. Han vil derfor gjøre en ny blindtest med 30 glass.
c) Hvor mange riktige svar må Marte minst gi for å overbevise Birger om at hun kan gjenkjenne de to colatypene? Bruk også her et signifikansnivå på 5 prosent.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Hildegunns ukepenger
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Rekker, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne aritmetisk og geometrisk ukelønn i regneark; finne uke der tilbud 2 passerer tilbud 1 ukentlig og samlet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hildegunns-ukepenger/
### Oppgavetekst
Foreldrene til Hildegunn/David[^1] vil gi hen ukepenger. De gir hen to ulike tilbud. I tilbud 1 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $a_{n}$ som hen får i uke $n$, er gitt ved den rekursive formelen
$$
a_{n}=a_{n-1}+10
$$
I tilbud 2 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $b_{n}$ som hen får i uke $n$, er gitt ved den rekursive formelen
$$
b_{n}=b_{n-1} \cdot 1,05
$$
a) Bestem det ukentlige beløpet hen får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
b) Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
c) Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1 ?
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Bestemt integral 3
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Tolkning av integraler
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\int_{-1}^1 (x^3+2x)\,dx = 0$ og tolke at arealene over og under $x$-aksen er like.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral-3/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int_{-1}^{1} \left( x^{3}+2x \right) \, \mathrm{d}x
$$
Hva forteller svaret deg?
---
## H2023 del 1 oppgave 2a — Uendelig geometrisk rekke
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2a
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Finne $k=1/2$ fra $s=8$ og $a_1=4$ i uendelig geometrisk rekke; beregne $s_4=15/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots$ konvergerer mot 8.
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at $a_{1}=4$
---
## H2023 del 1 oppgave 2b — Aritmetisk rekke
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2b
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Aritmetisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Finne $a_4$ fra $a_1+a_4+a_7=114$ ved å utnytte at $a_1=a_4-3d$ og $a_7=a_4+3d$ i aritmetisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke er $a_{1}+a_{4}+a_{7}=114$.
Bestem $a_{4}$.
---
## H2023 del 1 oppgave 3 — Grensekostnader og enhetskostnader fra graf
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Graftolkning, Derivasjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Avlese enhetskostnad og grensekostnad fra tangenter på $K$; argumentere for at min enhetskostnad = tangent gjennom origo.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnader-og-enhetskostnader-fra-graf/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon $K$ sammen med tre rette linjer.
De tre rette linjene er grafene til funksjonene $f$, $g$, $h$ der
$$
\begin{aligned}
f(x)&=31x+2030\\
g(x)&=60x\\
h(x)&=81{,}75x
\end{aligned}
$$
To av linjene tangerer grafen til $K$. Vi kaller tangeringspunktene $A$ og $B$.
a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.
b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er 31 kroner.
c) Bestem den minste enhetskostnaden.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Ukjent program h23
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Numerisk integrasjon, Integrasjon, Areal under graf
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-program som numerisk areal-estimat med `abs(f(x))`; beregne eksakt areal ved integrasjon og symmetri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-h23/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet koden nedenfor
```python ln
N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N
def f(x):
return x**2-1
S = 0
for i in range(N):
xi = start + i*dx
S = S + abs(f(xi))*dx # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)
print(S)
```
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.
b) Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.
---
## H2023 del 1 oppgave 5 — Tunge kuler i kasse
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Diskret sannsynlighetsfordeling med tre utfall: $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$; sum av to uavhengige trekninger $Y=X_1+X_2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tunge-kuler-i-kasse/
### Oppgavetekst
I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg.
a) Vis at $E(X)=6 \,\text{kg}$. Regn ut variansen til $X$.
Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_{1}$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_{2}$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y=X_{1}+X_{2}$.
b) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$.
c) Bestem $P(Y>10)$.
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Modell for etterspørsel av vare
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Modellering, Regresjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon på etterspørsel; maksimere $I(x)=p(x)\cdot x$ via $I'=0$, og finne $I'=K'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-ettersporsel-av-vare/
### Oppgavetekst
Tabellen viser den daglige etterspørselen etter en vare for ulike priser.
| Pris (kroner) | Etterspørsel |
| ---- | ---- |
| 10 | 237 |
| 20 | 111 |
| 30 | 49 |
| 40 | 22 |
| 50 | 12 |
a) Lag en modell $q$ som kan brukes til å beskrive sammenhengen mellom prisen $p$ (i kroner) og den daglige etterspørselen. Vurder gyldighetsområdet til modellen.
b) Hva bør prisen for varen være dersom bedriften skal selge 70 enheter per dag?
For en annen vare viser det seg at $p=79-12{,}2\ln x$.
Her er $x$ den daglige etterspørselen når varen koster $p$ kroner.
c) Hva må prisen være dersom inntektene skal bli størst mulig?
Kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}021x^{2}+10x+910
$$
d) Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at grenseinntektene skal bli lik grensekostnadene?
Gi en praktisk tolkning av svaret
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Miriam og Hermods sparing
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rekker, Regneark
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Årlig sparing med renter i regneark; vise sluttsum, målsøke fast innskudd og finne årlig økning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/miriam-og-hermods-sparing/
### Oppgavetekst
Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.
a) Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.
Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.
b) Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.
Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.
c) Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?
---
## H2023 del 2 oppgave 3 — Normalfordelte vinterdekk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Sentralgrenseteoremet, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling for bremselengder; sannsynligheter, kritisk verdi, sentralgrenseteoremet for gjennomsnitt, og hypotesetest.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelte-vinterdekk/
### Oppgavetekst
En dekkprodusent påstår at bremselengden for en type vinterdekk under bestemte forhold er 83 meter.
La $X$ være bremselengden ved en tilfeldig måling under disse forholdene. Gå ut fra at $X$ er normalfordelt med $\mu=83 \,\text{m}$ og $\sigma=3{,}0\, \text{m}$.
a) Bestem sannsynligheten for at bremselengden ved en tilfeldig valgt måling er lengre enn 87 meter.
b) Bestem $k$ slik at $P(X< k)=0{,}9$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er mindre enn 84 meter.
Noen mener at bremselengden er lengre enn 83 meter. De ville derfor gjennomføre en test under de samme bestemte forholdene, for å sjekke om det er hold i dekkprodusentens påstand.
Det ble gjennomført 15 målinger. Resultatet av målingene (i meter) er gitt i tabellen nedenfor.
| | | | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 86,4 | 85,5 | 82,9 | 81,9 | 84,0 |
| 86,4 | 82,3 | 85,9 | 77,7 | 83,0 |
| 86,9 | 88,3 | 86,2 | 80,5 | 84,8 |
d) Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er hold i mistanken.
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Rekursiv sammenheng mellom pentagontall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Programmering, Rekker, Figurtall
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Finne rekursiv sammenheng $P_n=P_{n-1}+(n-1)\cdot 5$ fra figurtall; programmere $P_{1000}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekursiv-sammenheng-mellom-pentagontall/
### Oppgavetekst
Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_{n}$ være antall kuler i figur $n$.
De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51
a) Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_{n}$ og $P_{n-1}$.
b) Lag et program som regner ut $P_{1000}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a)
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Simulering, Normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Python-simulering av blandet normalfordeling (gutt/jente) for å estimere $P(X<84)$; bruker `random.gauss` og `random.randint`.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/simuler-sannsynlighet-for-hoyden-til-24-maneder-gammelt-barn/
### Oppgavetekst
Høyden $X$ til en tilfeldig valgt jente på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $E(X) = 87$ cm og standardavvik $\text{SD}(X) = 3{,}3$ cm.
Høyden $Y$ til en tilfeldig valgt gutt på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $E(Y) = 88$ cm og standardavvik $\text{SD}(Y) = 3{,}1$ cm.
Lag et program som du kan bruke til å anslå sannsynligheten for at høyden til et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er mindre enn 84 cm. Gå ut ifra at det er like mange jenter som gutter i populasjonen.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av tre funksjoner: ledd-for-ledd (ln), produktregel med kjerneregel ($xe^{-2x^2}$), og brøkregel ($2x/(x^2+1)$).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3x^3 + \ln x
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot e^{-2x^2}
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Vis nullpunkt ved innsetting, polynomdivisjon og faktorisering; eksakte ekstrema med andregradsformel; vendetangent ved f''(x)=0; skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-nullpunkter-og-vendetangent/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10
$$
a) Vis at $x = 1$ er et nullpunkt til $f$. Bestem de andre nullpunktene til $f$.
b) Bestem eksakte verdier for $x$-koordinatene til eventuelle toppunkter og til eventuelle bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem likningen til vendetangenten til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk rekke: likningssystem for d og a1, beregn S6. Geometrisk rekke: finn k=±½, beregn S6 for begge tilfeller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-med-betingelser/
### Oppgavetekst
I en rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$.
a) Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.
Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.
b) Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Virkestoff i tablett
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Endelig geometrisk rekke for virkestoff etter 4 tabletter; grenseverdi av uendelig geometrisk rekke for langsiktig mengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/virkestoff-i-tablett/
### Oppgavetekst
En tablett inneholder 125 mg av et virkestoff. Elise tar én tablett hver dag i en periode. Kroppen til Elise bryter ned 20 prosent av virkestoffet hvert døgn.
a) Hvor mye virkestoff har Elise i kroppen like etter at hun har tatt den fjerde tabletten?
b) Hvor mye virkestoff vil det være i kroppen til Elise dersom hun fortsetter å ta en tablett hver dag over en lang tidsperiode?
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Grensekostnad og enhetskostnad bedrift
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Økonomi
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Sett K'(x)=grensekostnad for å finne produksjonsmengde, sammenlign K'(x) med pris, minimer E(x)=K(x)/x ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-enhetskostnad-bedrift/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. De daglige kostnadene $K$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av denne varen er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}2x^2 + 80x + 720, \quad 0 < x < 400
$$
Ledelsen i bedriften har funnet ut at med dagens produksjonsmengde vil det koste 160 kroner å øke den daglige produksjonsmengden med 1 enhet.
a) Hvor mange enheter produserer bedriften daglig?
Bedriften får solgt varen for 180 kroner per enhet.
b) Vil det lønne seg å øke produksjonen til mer enn 300 enheter per dag?
c) Bestem den daglige produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Laveste daglige inntekt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Optimering, Økonomi, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Deriver I(p)=p·q(p)=10000p/ln(p) med brøkregelen, finn stasjonært punkt p=e, sjekk endepunkter i lukket intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laveste-daglige-inntekt/
### Oppgavetekst
Dersom en bedrift selger en vare for $p$ kroner per enhet, vil den daglige etterspørselen $q$ være gitt ved
$$
q(p) = \frac{10\,000}{\ln p}, \quad p \in [2, 10]
$$
Bestem den laveste daglige inntekten bedriften kan få ved salg av denne varen.
---
## V2022 del 1 oppgave 7 — Torskefileter i poser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling, Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Beregn E(X) og vis Var(X), bruk linearitet til E(S) og Var(S), begrunn normalapproksimering via sentralgrensesetningen og beregn P(S≥822).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/torskefileter-i-poser/
### Oppgavetekst
Caroline driver et cateringfirma og kjøper ofte poser med frosne torskefileter. La $X$ være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.
| $k$ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
a) Regn ut forventningsverdien til $X$. Hva forteller dette svaret?
b) Vis at variansen til $X$ er 1,2.
La $S$ være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Vi antar at antall torskefileter i de ulike posene er uavhengig av hverandre.
c) Begrunn at $\text{E}(S) = 840$, og at $\text{Var}(S) = 144$.
En uke trenger Caroline 822 torskefileter. Hun bestiller derfor 120 poser.
d) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at Caroline får nok torskefileter denne uken.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Immunitet og logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Regresjon, Integrasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon på tabelldata, løs likning for t, begrunn grenseverdi, tegn N(t), integrer N(t) og tolke svaret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/immunitet-og-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.
Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.
| $t$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prosentandel immune | 6 | 21 | 41 | 68 | 81 |
Her er $t = 1$ slutten av januar 2021, $t = 2$ slutten av februar 2021 og så videre.
a) Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for situasjonen.
b) Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?
c) Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.
I en annen by er $N$ gitt ved
$$
N(t) = \frac{2\,300e^{-0{,}61t}}{(1 + 40e^{-0{,}61t})^2}
$$
en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, $t$ måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at $N(1)$ er prosentandelen nye immune i januar 2021, $N(2)$ er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.
d) Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$.
e) Bestem $\displaystyle\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t$. Hva forteller svaret i denne situasjonen?
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Kaffefabrikken og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling med gitt μ og σ: beregn sannsynligheter, finn μ fra persentilkrav, kombiner uavhengige, sett opp og gjennomfør venstresidig z-test.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffefabrikken-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Kaffefabrikken har en maskin som fyller kaffe i poser. La $X$ være mengden kaffe i en tilfeldig pose. Det viser seg at $X$ er normalfordelt med en forventningsverdi lik 250 gram og standardavvik lik 5 gram.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom 245 gram og 255 gram kaffe.
Kaffefabrikken har den siste tiden fått klager på at det er for lite kaffe i posene. De bestemmer seg for å justere pakkemaskinen slik at det blir mer kaffe i posene. Forventningsverdien blir da større, men vi kan anta at standardavviket fortsatt er 5 gram.
b) Hva må forventningsverdien minst være dersom høyst 5 prosent av posene skal veie mindre enn 250 gram?
For å være på den sikre siden justerer Kaffefabrikken maskinen slik at den i gjennomsnitt fyller 260 gram i hver pose. De selger kaffe i esker med 10 poser i hver eske. Vi antar at mengden kaffe i hver pose er uavhengig av hverandre.
c) Hva er sannsynligheten for at ingen av posene i en tilfeldig valgt eske inneholder mindre enn 250 gram kaffe?
Ledelsen på Kaffefabrikken mistenker at det er noe galt med innstillingen til pakkemaskinen. De tror at forventningsverdien er mindre enn 260 gram.
d) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste ledelsens mistanke.
I en stikkprøve viste det seg at gjennomsnittsvekten til 50 tilfeldige poser var 258,4 gram.
e) Gjennomfør hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er grunnlag for ledelsens mistanke.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Sparing og annuitetslån Camilla
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Lån, Rekker, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke for sparekonto, annuitetsformel for terminbeløp, løs annuitetslikning for ukjent rentefot i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-og-annuitetslan-camilla/
### Oppgavetekst
Camilla ønsker å arbeide som frivillig nødhjelpsarbeider etter at hun er ferdig med videregående skole. Hun har planlagt dette i 2 år. I denne perioden har hun spart 5000 kroner i måneden på en fastrentekonto. Den månedlige rentefoten på denne kontoen er 0,2 prosent.
a) Hvor mye hadde Camilla på kontoen like etter at hun satte inn det 24. beløpet?
Etter at Camilla kommer hjem, ønsker hun å kjøpe seg en bruktbil. Hun vurderer å ta opp et forbrukslån på 100 000 kroner. En bank tilbyr henne et lån med en månedlig rentefot på 1,5 prosent. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer. Første innbetaling skal skje én måned etter låneopptaket.
b) Hvor stort terminbeløp må Camilla betale?
Dersom moren til Camilla stiller sikkerhet for lånet, kan banken tilby et lån med bedre betingelser. Dette lånet skal også nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer, og første innbetaling skal skje én måned etter låneopptak. Terminbeløpet Camilla må betale på dette lånet, er 2926 kroner.
c) Hva er den månedlige rentefoten til dette lånet?
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Deriver eksponential- og logaritmefunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $e^{2x}+x^3$ med kjerneregelen og $\ln(x^2+4)$ med kjerne- og logaritmeregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-eksponential-og-logaritmefunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = e^{2x} + x^3
$$
b)
$$
g(x) = \ln(x^2 + 4)
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Begrunn at uendelig rekke konvergerer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme kvotienten til geometrisk rekke, begrunne konvergens med $|k|<1$ og beregne uendelig sum med formel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/begrunn-at-uendelig-rekke-konvergerer/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
36-24+16-\frac{32}{3}+\cdots
$$
Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og eksponentiallikning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere kubikkpolynom med polynomdivisjon, løse polynomunlikhet med fortegnsanalyse, og løse eksponentiallikning ved substitusjon og ny polynomdivisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-eksponentiallikning/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 8
$$
a) Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at
$$
f(x) = -2(x+1)(x-2)^2
$$
b) Løs ulikheten $f(x) \leq 0$.
c) Løs likningen
$$
e^{3x} - 3e^{2x} + 4 = 0
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Pris per kilo frukt og grønnsaker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineært $3\times3$-likningssystem for pris per kg epler, poteter og moreller ved eliminasjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pris-per-kilo-frukt-og-gronnsaker/
### Oppgavetekst
Tre kunder er innom frukt- og grønnsakhandleren for å kjøpe epler, poteter og moreller.
Den første kunden betaler til sammen 155 kroner for 1 kg epler, 2 kg poteter og 500 g moreller. Den andre kunden betaler til sammen 330 kroner for 2 kg epler, 5 kg poteter og 1 kg moreller. Den tredje kunden betaler til sammen 195 kroner for $1{,}5 \mathrm{~kg}$ epler, 3 kg poteter og 500 g moreller.
Bestem prisen per kilogram for epler, for poteter og for moreller.
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Idas jakke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Sparing
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp aritmetisk rekke for ukentlige sparebeløp og løse for minste differanse slik at sum etter 10 ledd er minst 1900 kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/idas-jakke/
### Oppgavetekst
Ida sparer til en jakke som koster 1900 kroner.
Hun sparer 100 kroner den første uken. Hun vil øke sparebeløpet med et fast beløp hver uke slik at hun får råd til jakken etter 10 sparebeløp.
Hvor mye må Ida minst øke sparebeløpet med hver uke for å få råd til jakken?
---
## H2022 del 1 oppgave 6 — Kostnad per enhet og størst overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Etterspørsel, Økonomi
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Minimere enhetskostnad ved derivasjon av $K(x)/x$, deretter maksimere overskudd ved å uttrykke $O$ som funksjon av pris og derivere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-per-enhet-og-storst-overskudd/
### Oppgavetekst
Kostnadene $K$ per dag ved produksjon av en vare er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}2x^2 + 600x + 8000, \quad 0 < x < 2000
$$
Her er $x$ antall produserte enheter per dag, og $K(x)$ er gitt i kroner.
a) Bestem den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.
Etterspørselen avhenger av prisen $p$ på varen. Det viser seg at etterspørselen er gitt ved
$$
e(p) = 12\,000 - 10p
$$
b) Bestem den prisen som vil gi størst daglig overskudd.
---
## H2022 del 1 oppgave 7 — Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter, bevise uttrykk for $f'$ med produktregelen og identifisere graf via nullpunkter og fortegnsanalyse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-med-eksponentialfaktor/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 4(x^2 - 5x + 4) \cdot e^{-\frac{1}{2}x}
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Vis at $f'(x) = -2(x^2 - 9x + 14) \cdot e^{-\frac{1}{2}x}$.
Nedenfor ser du fire grafer. En av dem er grafen til $f$.
c) Avgjør hvilken av grafene som er grafen til $f$. Husk å begrunne svaret.
---
## H2022 del 1 oppgave 8 — Lykkehjulet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Normalfordeling, Binomisk fordeling, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124)
- **Kort beskrivelse:** Begrunne binomisk og normalfordelt $X$, beregne sannsynligheter med normalapproksimering og finne kritisk verdi via invers normalfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lykkehjulet/
### Oppgavetekst
Et lykkehjul har fem felter. Et av feltene er grønt, og de fire andre er røde. Når du snurrer lykkehjulet, er sannsynligheten for at det stopper på hvert av de fem feltene 0,2.
Tenk deg at du skal snurre lykkehjulet 100 ganger. La $X$ være antall ganger lykkehjulet stopper på det grønne feltet.
a) Forklar at $X$ er binomisk fordelt med $\mu_{X} =20$ og $σ_{X} =4$.
b) Forklar at $X$ er tilnærmet normalfordelt.
c) Bestem sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på det grønne feltet mer enn 25 ganger.
d) Bestem den minste verdien $k$ kan ha dersom $P(X \geq k) \leq 0{,}01$. Hva forteller dette svaret deg i denne situasjonen?
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Bakterievekst i avfall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Derivasjon, Optimering, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Analysere eksponentialmodell for bakterievekst med og uten dempingsfaktor; finne maksimum og vendepunkt ved derivasjon, og bestemme minste parametverdi via likning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakterievekst-i-avfall/
### Oppgavetekst
Ved en avfallsplass vil det i et spesifikt avfall utvikles en bakteriekultur. Ved naturlig vekst vil antall bakterier $N$ (i millioner) være gitt ved
$$
N(t) = 0{,}8 \cdot e^{0{,}35t}
$$
Her er $t$ antall dager etter at avfallet ble levert.
Dersom antall bakterier overstiger 15 millioner, regnes avfallet som helsefarlig.
a) Hvor lang tid tar det før avfallet blir helsefarlig dersom bakteriekulturen vokser naturlig?
For å dempe bakterieveksten tilsettes det en gitt mengde av et stoff. Antall bakterier i avfallet vil da følge modellen $B$ gitt ved
$$
B(t) = 0{,}8 \cdot e^{0{,}35t - 0{,}01t^2}
$$
b) Avgjør om avfallet noen gang vil bli helsefarlig dersom denne mengden av stoffet tilsettes.
c) Når øker antall bakterier raskest ifølge modellen $B$? Hvor stor er bakterieveksten per dag da?
Bedriften ønsker å redusere stoffmengden som tilsettes.
En generell modell $S$ for antall bakterier etter $t$ dager er gitt ved
$$
S(t) = 0{,}8 \cdot e^{0{,}35t - k \cdot t^2}
$$
Her er $k$ en konstant som er avhengig av hvor mye stoff som tilsettes.
d) Hva er den laveste verdien $k$ kan ha, dersom avfallet ikke skal bli helsefarlig?
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Sparing og annuitetslån
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Lån, Sparing, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sparesaldo med geometrisk rekke, vise annuitetsformel ved å diskontere terminbeløp, og løse for høyeste rente i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-og-annuitetslan/
### Oppgavetekst
Da Anniken fylte 15 år, satte hun $30\,000$ kroner inn på en konto med en fast månedlig rentesats på $0{,}1$ prosent. Hver måned etter dette satte hun inn 500 kroner på kontoen. Det siste innskuddet gjorde hun den dagen hun fylte 20 år.
a) Hvor mye hadde hun på kontoen etter innskuddet på 20-årsdagen?
Anniken skal kjøpe leilighet og tar opp et annuitetslån på 2 millioner kroner. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på $2{,}4$ prosent. Første innbetaling er om ett år.
b) Vis at det årlige terminbeløpet er $94\,286$ kroner.
Anniken frykter en renteoppgang. Hun kan maksimalt betale et terminbeløp på $110\,000$ kroner.
c) Bestem den høyeste rentesatsen hun har råd til å betale.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Sjokoladeplater og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for normalfordelt vekt (enkeltplate, eske, kartong) og gjennomføre ensidig z-test for mistanke om for lav gjennomsnittsvekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sjokoladeplater-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
En fabrikk lager sjokoladeplater som skal veie 200 gram. La $X$ være vekten til en tilfeldig sjokoladeplate. Vi går ut fra at $X$ er normalfordelt med $\mu = 200$ gram og $\sigma = 4$ gram.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sjokoladeplate veier mindre enn 195 gram.
Sjokoladeplatene blir pakket i esker på 10 plater.
b) Bestem sannsynligheten for at alle platene i en eske veier mer enn 195 gram.
Eskene blir pakket i kartonger, 10 esker i hver kartong. Det er altså 100 sjokoladeplater i en kartong.
Ledelsen ved sjokoladefabrikken krever at en kartong skal veie mellom $19\,900$ gram og $20\,100$ gram.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong er innenfor vektkravet til ledelsen.
Ledelsen har mistanke om at maskinen som lager sjokoladeplatene, er stilt inn slik at sjokoladeplatene veier for lite. De vil plukke ut 100 tilfeldige sjokoladeplater i en kontroll.
d) Sett opp en hypotesetest som du kan bruke for å avgjøre om det er hold i mistanken.
Ledelsen velger tilfeldig ut 100 sjokoladeplater. Det viser seg at gjennomsnittsvekten til disse er $199{,}1$ gram. Vi antar at standardavviket fremdeles er 4 gram.
e) Utfør hypotesetesten, og avgjør om det er hold i mistanken. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
---
## E2022 del 1 oppgave 1a — Bestemt integral
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1a
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\int_0^1 (4x^2+3)\,dx$ ved standard antiderivasjon av polynom.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int _{0}^1 (4x^2+3) \, dx
$$
---
## E2022 del 1 oppgave 1b — Ubestemt integral
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1b
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx$ ved variabelskifte $u=x^2+2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int 4x\sqrt{ x^2+2 }\, dx
$$
---
## E2022 del 1 oppgave 2 — Aritmetisk mur
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Definere aritmetisk rekke og summere $1+2+\cdots+20$ med aritmetisk summeformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-mur/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva det vil si at en rekke $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ er aritmetisk.
b) En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.
---
## E2022 del 1 oppgave 3 — Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/summen-av-ukjent-uendelig-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.
Summen av tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .
Bestem summen av de fire første leddene.
---
## E2022 del 1 oppgave 4 — Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameter $k$ fra normaliseringskrav, så $E(X)$ og $\mathrm{Var}(X)$ via standardformler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forventningsverdi-og-varians-fra-sannsynlighetsfordeling/
### Oppgavetekst
En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|:--------:|:-------:|:---:|:----:|:----:|
| $P(X=x)$ | $0{,}2$ | $k$ | $2k$ | $5k$ |
a) Forklar hvorfor $k$ må være 0,1. Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$.
b) Bestem variansen $\text{Var}(X)$
---
## E2022 del 1 oppgave 5 — Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Varians og standardavvik, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Gjenkjenne $15{,}9 \%$ som $P(Z \leq -1)$, bestemme $\mu$ og $\sigma$, så standardisere for $P(X>180)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-forventningsverdi-og-standardavvik-fra-prosenter/
### Oppgavetekst
I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$.
I denne fordelingen er 15,9 prosent av elevene lavere enn 173 cm og 15,9 prosent av elevene er høyere enn 183 cm.
a) Bestem $\mu$ og $\sigma$.
b) Hvor stor andel av elevene er høyere enn 180 cm?
---
## E2022 del 1 oppgave 6 — Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at maksimalt overskudd krever $I'(x)=K'(x)$ ut fra $O(x)=I(x)-K(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/argumenter-for-hvorfor-sette-grensekostnad-lik-grenseinntekt/
### Oppgavetekst
Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.
---
## E2022 del 1 oppgave 7 — Ukjent programkode
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Utforskning, Funksjoner, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Tolke pythonkode som venstre Riemann-sum for $\int_0^2 (x^2+2)\,dx$ og beregne eksakt verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-programkode/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet følgende kode
```python ln
from math import sqrt # importerer kvadratrotfunksjon
a = 0
b = 2
n = 10000
def f(x):
return x**2 + 2
I = 0
h = (b - a)/n
for i in range(n):
I = I + f(a + i*h)*h
print(round(I,3))
```
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
b) Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?
---
## E2022 del 2 oppgave 1 — Logistisk modell for oljefondet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Regresjon, Økonomi
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon, vurdere asymptote, finne år for raskest vekst (vendepunkt), foreslå alternativ modell og sammenligne derivert i 2023.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-for-oljefondet/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», for noen år.
| År | 2000 | 2004 | 2008 | 2012 | 2016 | 2020 | 2021 |
| ------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :---: | :---: |
| Markedsverdi (milliarder kroner) | 386 | 1016 | 2275 | 3816 | 7510 | 10914 | 12340 |
a) Lag en logistisk funksjon $g$ som gir oss en god modell for markedsverdien $x$ år etter 2000.
b) Vil markedsverdien noen gang bli mer enn $20\,000$ milliarder kroner ifølge modellen $g$?
c) I hvilket år vokste markedsverdien raskest ifølge modellen $g$?
En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden.
d) Foreslå en annen modell $h$ som du mener kan være rimelig å bruke for verdien av fondet, dersom antagelsen til politikeren legges til grunn.
e) Hvor mye raskere vil verdien av fondet øke per år i 2023 ifølge modellen $h$ sammenliknet med modellen $g$?
---
## E2022 del 2 oppgave 2 — Levetiden til lyspærer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Integrasjon, Bevis
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Kontinuerlig ssh-tetthet – vise $k = 0{,}005$ via $\int_0^\infty f = 1$, beregne $P(T > 400)$, og $\mu = \int_0^\infty t f(t)\,dt$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/levetiden-til-lyspaerer/
### Oppgavetekst
Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at
$$
P(T\leq t)= \int_{-\infty}^{t} f(x) \, \mathrm{d}x
$$
der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(t)=\begin{cases}
k\cdot e^{-0{,}005t}\text{,} \quad & t>0 \\
0\text{,} & t\leq 0
\end{cases}
$$
a) Vis at $k=0{,}005$.
b) Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?
Forventningsverdien $\mu$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved
$$
\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) \, \mathrm{d}x
$$
c) Bestem forventningsverdien til $T$.
---
## E2022 del 2 oppgave 3 — Hypotesetest med terninger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Ensidig binomisk hypotesetest for dobbeltseks ($p=1/36$, $n=100$); vurdere $P(X \geq 7)$ og synliggjøre forutsetninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-med-terninger/
### Oppgavetekst
Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun testet derfor de to terningene ved å kaste dem 100 ganger og telle opp antall ganger begge terningene gav seksere.
Det viste seg begge terningene gav seksere sju ganger.
Bruk det du har lært om hypotesetesting og sannsynlighet til å avgjøre om Sigrid kan ha grunn til mistanken. Synliggjør de forutsetningene du mener er nødvendige for utregningene dine.
---
## E2022 del 2 oppgave 4 — Rente på avbetalingstilbud
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Lån, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Annuitet: løse $20\,000 = 729 \cdot \frac{1-(1+r)^{-36}}{r}$ numerisk i CAS for månedsrenten $r$; årsrente $(1+r)^{12}-1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rente-pa-avbetalingstilbud/
### Oppgavetekst
Bjarne skal kjøpe et hjemmekinoanlegg. Anlegget koster $20\,000$ kroner. Han velger å kjøpe det på avbetaling. Han må da betale $729$ kroner per måned i $36$ måneder. Første innbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.
Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet. Hva er årsrenten?
---
## E2022 del 2 oppgave 5 — Hanois tårn
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Utforskning, Mønstre
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Utforske Hanois tårn; etablere $F(n)=2F(n-1)+1$ rekursivt og finne eksplisitt formel $F(n)=2^n-1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hanois-tarn/
### Oppgavetekst
Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.
Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.
Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.
Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte $n$ disker kaller vi $F(n)$.
a) Bestem $F(3)$.
Det er en rekursiv sammenheng mellom $F(n)$ og $F(n-1)$.
b) Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme $F(10)$.
Det finnes også en eksplisitt formel for $F$.
c) Undersøk og finn denne formelen.
---
## E2022 del 2 oppgave 6 — Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Simulering, Sannsynlighet, Normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kort beskrivelse:** Simulere høyden til en tilfeldig valgt elev (jente eller gutt, vektet etter antall) med normaltrekning i Python; estimere $P(H>175)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/simuler-sannsynlighet-for-hoyde-over-175-cm/
### Oppgavetekst
På en skole er det 323 jenter og 301 gutter. La $X$ være høyden til en tilfeldig valgt jente og $Y$ være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at $X$ og $Y$ er normalfordelte med $\mu_{X}=168 \,\mathrm{cm}$, $\mu_{Y}=180\,\mathrm{cm}$, $\sigma_{X}=6\,\mathrm{cm}$ og $\sigma_{Y}=8\,\mathrm{cm}$.
Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn 175 cm. Bestem denne sannsynligheten.
> **Tips**
> Programmeringshjelp
> *Denne hjelpen ble ikke gitt i oppgaveteksten!*
> For å trekke ut en tilfeldig normalfordelt elev så må du bruke et ekstern bibliotek som `numpy` eller `random`. Med `import random` kan du bruke følgende kode lagre høyden til én tilfeldig jenteelev som `X`: 👇
> `X = random.gauss(168, 6)`
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med logaritme og eksponential
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivere logaritmefunksjon ledd for ledd og brøk med eksponential ved kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-logaritme-og-eksponential/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^4 - 4\ln x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{e^{2x}}{x + 1}
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Summer av rekker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sum av aritmetisk rekke med summeformel og sum av konvergent uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/summer-av-rekker/
### Oppgavetekst
Nedenfor er det gitt en aritmetisk og en geometrisk rekke.
Bestem summen til hver av rekkene.
a)
$$
-6 - 1 + 4 + 9 + 14 + \cdots + 189
$$
b)
$$
72 - 36 + 18 - 9 + \cdots
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og ulikhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon P(x):(x-2), fortegnsanalyse for P(x) >= 0, og forkorting av brøk ved full faktorisering av teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-ulikhet/
### Oppgavetekst
Polynomet $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 19x + 30
$$
a) Utfør polynomdivisjonen $P(x) : (x - 2)$.
b) Løs ulikheten $P(x) \geq 0$.
c) Forkort brøken
$$
\frac{x^3 - 19x + 30}{x^3 - 2x^2 - 9x + 18}
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Logistisk funksjon fra graf
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $A$ og $B$ fra asymptote og startverdi, og verifisere $k=0{,}5$ via tangentens stigningstall avlest fra graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-funksjon-fra-graf/
### Oppgavetekst
På figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$, der $f(x)$ er på formen
$$
f(x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{-kx}}, \quad k > 0
$$
I samme figur har vi også tegnet inn tangenten til grafen til $f$ i punktet $(0, 2)$. Vi har også tegnet inn linjen $y = 10$, som er en asymptote til grafen til $f$.
a) Bestem tallene $A$ og $B$.
b) Gjør nødvendige beregninger og vis at $k = 0{,}5$.
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Bestemme koeffisienter i tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse 3x3 likningssystem fra to punkter og toppunktbetingelsen f'(3)=0 for å bestemme a, b og c.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-koeffisienter-i-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx
$$
Om grafen til $f$ får du vite at
- den går gjennom punktet $(1, 6)$
- den går gjennom punktet $(-1, 2)$
- den har et toppunkt med $x$-koordinat lik 3
a) Bruk disse opplysningene til å sette opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme $a$, $b$ og $c$.
b) Løs likningssystemet.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Logaritmefunksjon med drøfting
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Full drøfting av f(x) = (ln x)^2 - 2 ln x - 3: nullpunkter ved substitusjon u = ln x, bunnpunkt, vendepunkt og skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-med-drofting/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x - 3, \quad D_f = \langle 0, \to \rangle
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Vis at $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x}$ og bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
Disse potensene av $e$ kan komme til nytte når du skal skissere grafen:
$e^{-1} \approx 0{,}4$, $e^1 \approx 2{,}7$, $e^2 \approx 7{,}4$ og $e^3 \approx 20{,}1$
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Sauevekt og normalfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Integrasjon, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling med standardisering; tolke integral som sannsynlighet; sentralgrenseteoremet for gjennomsnitt av 25 sauer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sauevekt-og-normalfordeling/
### Oppgavetekst
Vi antar at vekten $X$ til en tilfeldig sau av en bestemt rase er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 60$ kg og standardavvik $\sigma = 6$ kg.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sau veier mellom 57 og 63 kg.
Normalfordelingskurven til $X$ er grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x - 60)^2}{72}}
$$
b) Bestem verdien av integralet $\displaystyle\int_{69}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$. Hva forteller denne verdien oss?
c) Lag en skisse av grafen til $f$. Synliggjør resultatene fra oppgave a) og oppgave b) på skissen.
En bonde har mange sauer av denne rasen. Han velger tilfeldig 25 sauer som han vil sende til slakt. Slaktebilen har en lastekapasitet på 1550 kg.
d) Bestem sannsynligheten for at slaktebilen kan ta med seg alle de 25 sauene.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — Enhetskostnad og prisreduksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Enhetskostnad, Optimering, Økonomi
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Minimere E(x) via derivasjon, maksimere overskudd O(x), og bestemme ny pris slik at maks overskudd blir 100 000 kr.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetskostnad-og-prisreduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. De månedlige enhetskostnadene, $E$, ved å produsere og selge $x$ enheter av denne varen er gitt ved
$$
E(x) = \frac{9000}{x} + 0{,}02x + 160, \quad x \in [100, 3000]
$$
a) Tegn grafen til $E$.
b) Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at enhetskostnaden skal bli minst mulig?
Varen selges for 270 kroner per enhet.
c) Bestem hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?
Bedriften vil sette ned prisen på varen for å øke sin markedsandel. Eieren av bedriften går med på dette, men krever at overskuddet må være minst 100 000 kroner per måned.
d) Hvilken pris per enhet vil gjøre at det største overskuddet kan bli 100 000 kroner? Hvor mange enheter må de selge da?
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Spareavtale og aksjefond
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rekker, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke for spareavtale med fast rente; finne n for S_n > 50 000; løse for ukjent rentefot numerisk i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spareavtale-og-aksjefond/
### Oppgavetekst
For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.
a) Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?
b) Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?
For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner.
c) Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Bruddstyrke fiskesene
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling og z-standardisering; sannsynlighet for gjennomsnitt av 25 spoler; venstresidig hypotesetest med kritisk verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bruddstyrke-fiskesene/
### Oppgavetekst
En leverandør selger en type sene for fiske. De oppgir at bruddstyrken $X$ for senen i en tilfeldig valgt spole av denne typen er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 56$ kg og standardavvik $\sigma = 2{,}3$ kg.
a) Hva er sannsynligheten for at senen i en tilfeldig valgt spole tåler minst 53 kg?
Tenk deg at du skal gjøre målinger av bruddstyrken til senen i 25 tilfeldig valgte spoler av denne typen.
b) Bestem sannsynligheten for at senen i alle de 25 spolene tåler mer enn 50 kg.
La $\bar{X}$ være gjennomsnittet til målingene.
c) Bestem $P(\bar{X} \leq 55)$.
Leverandøren har en mistanke om at bruddstyrken er lavere enn 56 kg. De ønsker derfor å gjennomføre en hypotesetest der de vil teste senen i 25 tilfeldig valgte spoler.
d) Sett opp en hypotesetest som du kan bruke for å avgjøre om det er grunnlag for leverandørens mistanke.
Vi går ut fra at standardavviket til bruddstyrken fremdeles er $\sigma = 2{,}3$ kg. Vi vil bruke et signifikansnivå på 5 prosent.
e) Hva er den høyeste gjennomsnittlige verdien for bruddstyrken til senene i 25 tilfeldig valgte spoler, som gjør at vi kan konkludere med at det er grunnlag for leverandørens mistanke?
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med eksponential og logaritme
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Direkte derivasjon av $x^3 + e^x$ og kjerneregel på $\ln(x^3+1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-eksponential-og-logaritme/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^3 + e^x
$$
b)
$$
g(x) = \ln(x^3 + 1)
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Faktorteoremet, polynomdivisjon, ulikhet med fortegnslinje, og substitusjon $u = e^x$ for å løse eksponentiallikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-med-ulikhet-og-eksponentiallikning/
### Oppgavetekst
Polynomet $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 2x^2 - 31x - 28
$$
a) Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at $P(x)$ ikke er delelig med $(x - 1)$.
b) Utfør polynomdivisjonen $P(x) : (x + 1)$.
c) Løs ulikheten $P(x) \geq 0$.
d) Løs likningen $e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0$.
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke med sumformel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ledd og sum i aritmetisk rekke fra sumformelen $S_n = 2n^2 + n$ ved differansemetoden og løse $a_n = 399$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-sumformel/
### Oppgavetekst
En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ har sum $S_n = 2n^2 + n$.
a) Bestem $a_1$ og $a_{10}$.
b) Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$.
c) Bestem summen av rekken når $a_n = 399$.
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Grensekostnad og grenseinntekt bedrift
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne K'(x) og I'(x) for å avgjøre lønnsomhet, sette lik for optimalt volum, og integrere K'(x) for å finne K(400).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-grenseinntekt-bedrift/
### Oppgavetekst
Når en bedrift produserer og selger $x$ enheter per dag, er grensekostnaden $K'$ og grenseinntekten $I'$ gitt ved
$$
K'(x) = 0{,}4x + 500 \quad \text{og} \quad I'(x) = -0{,}3x + 850
$$
Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag.
a) Avgjør om en økning i den daglige produksjonsmengden vil kunne gi et større overskudd for bedriften.
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
Bedriftens daglige kostnader $K$ består av en fast del på 50 000 kroner og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden.
c) Hva er de daglige kostnadene ved produksjon av 400 enheter?
---
## H2021 del 1 oppgave 5 — Logaritmefunksjon ln x delt på x
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Kvotientregelen på $\ln x / x$, bestemme ekstrema via fortegnsanalyse, og utnytte sammenhengen $g = 3 - 6e \cdot f$ for ekstrema til $g$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-ln-x-delt-pa-x/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{\ln x}{x}
$$
a) Vis at $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
b) Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 3 - 6e \cdot f(x)
$$
c) Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $g$.
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Vekten til poteter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Normalfordeling, Graftolkning, Areal under graf
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter fra normalfordeling, tolke integralet av tetthetsfunksjonen praktisk, og beregne forventet antall i utvalg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekten-til-poteter/
### Oppgavetekst
Vi lar $X$ være vekten til en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen til Jostein. Vi antar at $X$ er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 200 gram og standardavvik 40 gram.
Jostein skal ta opp poteter. Han plukker en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen.
a) Bestem sannsynligheten for at poteten veier mellom 180 gram og 220 gram
Normalfordelingskurven til $X$ er grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x)=\frac{1}{40\sqrt{ 2\pi }}\cdot e^{-\frac{(x-200)^{2}}{3200}}
$$
b) Bestem $\int_{0}^{150} f(x) \, dx$ og gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Lag en skisse av grafen til $f$. Bruk skissen til å visualisere resultatene fra oppgave a og oppgave b.
Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter fra kjøkkenhagen.
d) Hvor mange av disse potetene kan han regne med at den veier minst 300 gram?
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Timelønner for idrettstrener
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse 3×3 likningssystem for timelønner fra månedlige arbeidstimer og lønnsdata i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/timelonner-for-idrettstrener/
### Oppgavetekst
Solveig jobber som trener for en idrettsklubb. Timelønnen avhenger av om hun jobber på dagtid, på kveldstid eller i helgene.
Tabellen gir en oversikt over hvor mye Solveig tjente de tre første månedene i 2021.
| | Dag (timer) | Kveld (timer) | Helg (timer) | Lønn (kroner) |
|---|---|---|---|---|
| Januar | 45 | 21 | 14 | 17 830 |
| Februar | 28 | 35 | 24 | 21 470 |
| Mars | 33 | 18 | 12 | 14 280 |
Bruk opplysningene til å bestemme timelønnen til Solveig når hun jobber på dagtid.
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Camillas aksjefond
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rekker, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Beregne fremtidig verdi av spareinnskudd som geometrisk rekke, med to ulike innskuddsserie og kombinert renteberegning i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/camillas-aksjefond/
### Oppgavetekst
Camilla er 11 år. Da hun ble født, bestemte foreldrene seg for å gi henne 6000 kroner hver gang hun hadde bursdag. Pengene ble plassert i et aksjefond. Første beløp ble satt inn den dagen hun fylte 1 år. Dette fortsatte de med hvert år til og med det året hun ble 10 år. Aksjefondet ga en årlig gjennomsnittlig avkastning på 6 prosent.
a) Hva var verdien på Camillas andel i aksjefondet dagen før hun fylte 11 år?
På elleveårsdagen økte de beløpet de satte inn i fondet til 12 000 kroner. Deretter vil de øke det årlige beløpet med 5 prosent hvert år, helt til og med den dagen Camilla fyller 20 år. Det vil si at de på tolvårsdagen vil sette inn 12 600 kroner, på trettenårsdagen vil de sette inn 13 230 kroner, og så videre.
Vi antar at avkastningen på aksjefondet fortsatt vil være 6 prosent per år.
b) Hva vil verdien på Camillas andel i aksjefondet være like etter at det siste beløpet blir satt inn?
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Selvbetjeningskasse og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling med normalapproksimering, sette opp og gjennomføre venstresidig hypotesetest med signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/selvbetjeningskasse-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
I en selvbetjeningskasse i en matbutikk blir i gjennomsnitt hver tiende kunde trukket tilfeldig ut til kontroll. Dette kan vi betrakte som et binomisk forsøk med $p = 0{,}1$.
a) Bestem sannsynligheten for at fem kunder etter hverandre ikke blir trukket ut til kontroll.
La $X$ være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene som bruker selvbetjeningskassen en tilfeldig dag.
b) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ og variansen $\text{Var}(X)$.
c) Bestem $P(X \geq 25)$.
Ledelsen i butikkjeden har mistanke om at færre enn 10 prosent av kundene blir kontrollert.
d) Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.
Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange kunder som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 579 kunder brukte selvbetjeningskassen den dagen. Av disse ble 47 trukket ut til kontroll.
e) Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Virussmitte og logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Integrasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametre i logistisk modell fra tre datapunkter, tolke grenseverdi, og integrere Gauss-formet smittemodell numerisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/virussmitte-og-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
Et virus sprer seg i et land. Da virusutbruddet ble oppdaget, var allerede 1,5 prosent av befolkningen smittet. En forsker mente at dersom det ikke ble satt inn tiltak, ville 22 prosent av befolkningen ha blitt smittet etter 20 døgn og 44 prosent etter 30 døgn.
Andelen som har blitt smittet $t$ døgn etter at viruset ble oppdaget, kan modelleres med en funksjon $g$ på formen
$$
g(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$
a) Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme $N$, $a$ og $k$.
b) Hvor stor andel av befolkningen ville blitt smittet ifølge denne modellen?
Det ble satt inn tiltak mot viruset den dagen utbruddet ble oppdaget. Vi kan gå ut fra at andelen nye registrerte smittede i løpet av døgn $t$ etter at utbruddet ble oppdaget, er gitt ved modellen
$$
f(t) = 0{,}0070 \cdot e^{-\frac{(t - 18)^2}{300}}, \quad t \geq 0
$$
c) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem.
d) Hvilket døgn vil smitten øke raskest ifølge modellen $f$?
e) Hvor stor andel av befolkningen blir smittet av dette viruset?
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Enkel derivasjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon ledd for ledd av polynom og $e^x$, og kvotientregelen på $\ln(2x)/x^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enkel-derivasjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^3 + 3e^x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\ln(2x)}{x^2}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Likningssystem med tre ukjente
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Løse $3 \times 3$ lineært likningssystem ved eliminasjonsmetoden (for hånd eller CAS).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-tre-ukjente/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
6x - y + 3z = 12
$$
$$
5x + 3y + z = 11
$$
$$
3x + 2y + z = 10
$$
Løs likningssystemet.
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Summeformel for aritmetisk rekke og konvergens/sum av uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-sum-og-uendelig-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Bestem summen av den aritmetiske rekken
$$
-8 - 3 + 2 + 7 + \cdots + 987
$$
b) Begrunn at den uendelige geometriske rekken nedenfor konvergerer, og bestem summen av rekken
$$
80 - 20 + 5 - \frac{5}{4} + \cdots
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Polynom og ulikhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Bruke faktorsatsen, faktorisere tredjegradspolynom og løse polynomunlikhet, deretter forkorte rasjonalt uttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynom-og-ulikhet/
### Oppgavetekst
Et polynom $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7
$$
a) Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$.
b) Løs ulikheten $P(x) \geq 0$.
c) Forkort brøken
$$
\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Tredjegradsfunksjon og vannstand
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Modellering, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjon (ekstrema, skisse), og anvende på vannstandsmodell for å finne maksimum og størst vekst via vendepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-og-vannstand/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 7)
$$
a) Vis at grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(5, -32)$.
Bestem eventuelle andre toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Lag en skisse av grafen til $f$.
Vi skal nå studere vannstanden under en vårflom i en elv. Vannstanden er høyden (i meter) på vannet målt på en utplassert skala.
En modell $g$ for vannstanden er gitt ved
$$
g(x) = -0{,}10 \cdot f(x), \quad D_g = [2, 6]
$$
Her er $x$ antall dager etter at flommen startet.
c) Når var vannstanden på sitt høyeste, og hva var vannstanden da?
d) Når økte vannstanden mest, og hvor raskt økte den da?
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Kostnadsfunksjon og tangent
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Enhetskostnad, Derivasjon, Økonomi, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Lese K'(x) og E(x) av graf, bevise formel for E'(x) med kvotientregelen, og beregne og tolke E'(100).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-og-tangent/
### Oppgavetekst
For en bedrift koster det $K(x)$ kroner å produsere $x$ enheter av en vare per dag.
Enhetskostnaden er
$$
E(x) = \frac{K(x)}{x}
$$
Figuren nedenfor viser grafen til $K$ og tangenten til grafen i punktet $(100, 1200)$.
a) Bruk figuren nedenfor til å bestemme $K'(100)$ og $E(100)$.
b) Vis at den deriverte av enhetskostnaden kan skrives som
$$
E'(x) = \frac{K'(x) - E(x)}{x}
$$
c) Bestem $E'(100)$. Hva forteller dette tallet oss?
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Gule drops i poser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Normalfordeling, Sannsynlighet, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124)
- **Kort beskrivelse:** Vise E(X) og Var(X) for binomisk fordeling, normalapproksimasjon, skisse og finne symmetrisk 90 %-intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gule-drops-i-poser/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer drops. 20 % av dropsene er gule, og resten er røde. Dropsene blir tilfeldig fordelt i poser. Det er 100 drops i hver pose.
La $X$ være antall gule drops i en tilfeldig valgt pose.
Vi kan anta at $X$ er en binomisk fordelt variabel.
a) Vis at $\text{E}(X) = 20$ og $\text{Var}(X) = 16$.
I resten av oppgaven går vi ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt.
b) Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose.
c) Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$. Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b).
d) Bestem $a$ slik at $P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90$.
Hva forteller intervallet $[20 - a, 20 + a]$ oss i denne situasjonen?
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Fremskrittspartiet og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Hypotesetest, Normalfordeling, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk/normalapproksimasjon, sette opp og gjennomføre ensidig hypotesetest på proporsjon med signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fremskrittspartiet-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Ved stortingsvalget i september 2017 fikk Fremskrittspartiet 15,2 % av stemmene. Vi lar $X$ være antall personer som stemte Fremskrittspartiet blant 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg.
Vi kan betrakte $X$ som en binomisk fordelt variabel.
a) Bestem $P(X \geq 240)$.
En avis hadde mistanke om at oppslutningen til Fremskrittspartiet hadde gått ned. I april 2020 ble 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg, spurt hvilket parti de ville ha stemt på om det hadde vært valg i dag.
b) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste avisens mistanke.
Det viste seg at 13,8 % av de spurte ville ha stemt på Fremskrittspartiet.
c) Gjennomfør hypotesetesten. Bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å si at Fremskrittspartiet har fått mindre oppslutning. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Rottebestand og logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Regresjon, Modellering, Geogebra
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon på tabelldata, finne vendepunkt og vekstrate for logistisk funksjon, og konstruere logistisk modell fra gitte betingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rottebestand-og-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
I 2019 registrerte forskere antall rotter i en bypark noen dager i perioden fra og med 31. mai til og med 20. juli. Se tabellen.
| Antall dager etter 31. mai | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall rotter | 6 | 15 | 37 | 72 | 104 | 126 |
a) La $t$ være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for antall rotter i parken.
Modellen $f$ gitt ved
$$
f(t) = \frac{120}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}12t}}
$$
viser hvor mange rotter det var i den samme parken $t$ dager etter 31. mai i 2018.
b) Når økte antall rotter raskest, ifølge modellen $f$?
Hvor raskt økte rottebestanden da?
I en annen park ble det i 2019 registrert 20 rotter den 31. mai. Anta at rottebestanden også i denne parken følger en logistisk modell. Anta videre at veksten i antall rotter var størst den 15. juli, og at bestanden stabiliserte seg på 200.
c) Hvor mange rotter var det i denne parken den 30. juli, ifølge disse antakelsene?
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Overskuddsfunksjon og prisfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Økonomi, Etterspørsel
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Tegne overskuddsfunksjon, finne produksjonsmengde ved maksimalt overskudd, og bestemme lineær prisfunksjon fra to krav via likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-og-prisfunksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter av varen per dag, er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}03x^2 + 20x + 500, \quad 0 \leq x \leq 250
$$
Inntekten $I$ i kroner dersom bedriften selger $x$ enheter per dag, er gitt ved
$$
I(x) = -0{,}14x^2 + 74x, \quad 0 \leq x \leq 250
$$
a) Tegn grafen til overskuddsfunksjonen.
b) Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge per dag for å få størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?
For en annen vare antar vi at salgsprisen i kroner per enhet ved produksjon av $x$ enheter er gitt på formen
$$
p(x) = ax + b
$$
Her er $a$ og $b$ to reelle tall.
Kostnadsfunksjonen for denne varen er $K$ som gitt ovenfor.
c) Bestem $a$ og $b$ slik at overskuddet er
- størst ved produksjon og salg av 175 enheter
- 5625 kr ved produksjon av 175 enheter
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Annuitetslån og serielån
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Rekker, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån: terminbeløp via nåverdi, restgjeld etter 10 terminer, konvertere til serielån og summere 20 terminbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-og-serielan/
### Oppgavetekst
Caroline skal kjøpe en leilighet og har skaffet et annuitetslån på 2 500 000 kr i en bank. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på 2,7 %. Første innbetaling er om ett år.
a) Hvor mye må Caroline totalt betale til banken i løpet av hele låneperioden?
Rett etter innbetaling av det 10. terminbeløpet får Caroline banken til å gjøre lånet om til et serielån. Da gjenstår 20 årlige terminer før lånet er nedbetalt, den første om ett år. Rentesatsen er fortsatt 2,7 %.
b) Vis at de årlige avdragene på serielånet blir 93 820 kroner.
c) Bestem summen av de 20 terminbeløpene for serielånet.
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sammensatte funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med kjerneregelen, produktregelen og kvotientregelen, inkludert $e^x$ og $\ln x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sammensatte-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2e^x + 3\ln x
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot (2x + 5)^4
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{e^{2x}}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Sum av aritmetisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Finne antall ledd i aritmetisk rekke fra $a_1$ og $a_n$, og anvende summeformelen $s_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-aritmetisk-rekke/
### Oppgavetekst
Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme
$$
-7 - 3 + 1 + 5 + \ldots + 389
$$
Bestem summen.
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Geometrisk rekke og sparing
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Økonomi, Sparing
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sum av uendelig geometrisk rekke og sette opp nåverdirekke for 20 fremtidige utbetalinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-sparing/
### Oppgavetekst
I en uendelig geometrisk rekke er $a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}04}$.
a) Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.
Frode har blitt bestefar. Han ønsker å gi barnebarnet Benjamin 10 000 kroner i gave hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Frode oppretter i den forbindelse en konto der han vil sette inn et engangsbeløp i dag som vil dekke alle de 20 framtidige utbetalingene. Kontoen har en fast årlig rentefot på 2,0 %.
b) Sett opp en rekke som du kan bruke til å regne ut hvor mye Frode må sette inn på kontoen sin i dag for å kunne gjennomføre de 20 utbetalingene. (Du behøver ikke å regne ut beløpet.)
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Polynom med delelighetskriterium
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Algebra, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Bruke faktorsetningsteoret til å begrunne delbarhet og forkorte rasjonalt uttrykk ved polynomdivisjon og faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynom-med-delelighetskriterium/
### Oppgavetekst
Et polynom $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 12x - 16
$$
a) Begrunn, uten å utføre polynomdivisjon, at $P(x)$ er delelig med $(x + 2)$, men ikke med $(x - 2)$.
b) Forkort brøken
$$
\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 5 — Tredjegradsfunksjon med vendetangent
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Stigningstall
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjon med andrederiverte for å klassifisere ekstremalpunkter og bestemme vendepunkt med vendetangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-vendetangent/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 12x - 16
$$
a) Bestem koordinatene til toppunktet og bunnpunktet på grafen til $f$.
b) Bestem koordinatene til vendepunktet og en likning for vendetangenten til grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$ sammen med vendetangenten.
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Enhetskostnad og grensekostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Økonomi, Enhetskostnad, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Utlede enhetskostnad og grensekostnad fra $K(x)$, og finne minimum enhetskostnad ved å derivere $E(x)$ og løse $E'(x)=0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetskostnad-og-grensekostnad/
### Oppgavetekst
Kostnaden $K$ (i kroner) for en vare er gitt ved
$$
K(x) = x^2 + 8x + 100
$$
Her er $x$ antall produserte enheter av varen per dag.
a) Bestem et uttrykk for enhetskostnaden og et uttrykk for grensekostnaden.
b) Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?
---
## H2020 del 1 oppgave 7 — Tomatfrø og normalfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling, Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Beregne forventningsverdi og standardavvik for diskret fordeling, bruke sentralgrenseteoremet for sum av 49 variable og beregne sannsynlighet med normalfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tomatfro-og-normalfordeling/
### Oppgavetekst
Et gartneri selger poser med tomatfrø. La $X$ være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.
| $k$ | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | 0,1 | 0,1 | 0,6 | 0,1 | 0,1 |
a) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$, og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 1$.
Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?
Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49. La $X_i$ være antall frø i pose nummer $i$. Vi antar at $X_i$-ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen
$$
S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{49}
$$
b) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.
Vis at $\text{E}(S) = 392$ og $\text{SD}(S) = 7{,}0$.
Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i.
c) Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.
---
## H2020 del 1 oppgave 8 — Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Finne definisjonsmengde til $\ln(x^2-2x)$ og vise med derivasjon at funksjonen verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-uten-ekstremalpunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \ln(x^2 - 2x)
$$
a) Bestem definisjonsmengden til $f$.
b) Bruk derivasjon til å vise at $f$ verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Netflix-inntekter og integral
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Integrasjon, Modellering, Graftolkning, Tolkning av integraler
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Tegne eksponentialfunksjonsmodell, finne år der vekstrate overstiger terskelverdi ved å løse $I'(x)=160$, og tolke bestemt integral som samlet inntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/netflix-inntekter-og-integral/
### Oppgavetekst
De årlige inntektene $I$ (i milliarder kroner) til selskapet Netflix er tilnærmet gitt ved
$$
I(x) = 6{,}594 \cdot e^{0{,}234x}
$$
Her er $x$ antall år etter 2005. Det vil si at $I(0)$ er inntektene i 2005, $I(1)$ er inntektene i 2006, og så videre.
a) Bruk funksjonen $I$ til å lage en grafisk framstilling av inntektene til Netflix for årene fra og med 2005 til og med 2030.
b) I hvilket år vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder kroner per år?
c) Bestem $\displaystyle\int_0^{15} I(x) \, \mathrm{d}x$. Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Logaritmer, Modellering
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Arbeide med eksponentiell etterspørselsfunksjon — løse likning, verifisere prosentvis endring analytisk og beregne prisreduksjon med logaritme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ettersporselsfunksjon-og-prisreduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en vare. Etterspørselen $q$ per uke for denne varen er gitt ved
$$
q(p) = 1400 \cdot e^{-0{,}024p}, \quad p \in [10, 100]
$$
Her er $p$ prisen i kroner for én enhet av varen.
a) Bestem prisen per enhet når etterspørselen er 500 enheter per uke.
Maria, som er salgsansvarlig i bedriften, påstår at dersom prisen per enhet økes med 1 krone, vil etterspørselen gå ned med 2,4 %, uavhengig av hva prisen per enhet er i utgangspunktet.
b) Gjør beregninger, og avgjør om påstanden til Maria stemmer med modellen $q$.
Bedriften ønsker å tømme lagerbeholdningen og vil derfor sette ned prisen på varen.
c) Hvor mange kroner må prisen per enhet settes ned for at etterspørselen skal dobles?
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Levetid til temperaturfølere
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Binomisk fordeling, Hypotesetest, Standard normalfordeling, Statistikk
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Kombinere normalfordeling, binomisk fordeling med normalapproksimasjon og ensidig hypotesetest for gjennomsnitt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/levetid-til-temperaturfolere/
### Oppgavetekst
En produsent leverer en bestemt type temperaturfølere. Vi lar $X$ være levetiden til en tilfeldig valgt temperaturføler av denne typen. Produsenten oppgir at $X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 12$ år og standardavvik $\sigma = 1{,}5$ år.
a) Vis at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt temperaturføler har en levetid som er kortere enn 10 år, er $p \approx 0{,}0912$.
Når produsenten bytter ut en defekt temperaturføler, noterer de hvor lang levetid den har hatt. Når produsenten gjennomfører en kvalitetskontroll av de defekte temperaturfølerne, plukker de tilfeldig ut 225 følere.
I en tilfeldig kvalitetskontroll lar vi $Y$ være antall enheter som har hatt en levetid som er kortere enn 10 år. Vi går ut fra at $Y$ er binomisk fordelt.
b) Bestem $P(Y \geq 21)$
Produsenten har mistanke om at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det de oppgir. De vil derfor gjennomføre en kvalitetskontroll.
c) Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.
I kvalitetskontrollen viser det seg at den gjennomsnittlige levetiden til de 225 temperaturfølerne var 11,78 år.
d) Utfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken til produsenten. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
---
## H2020 del 2 oppgave 4 — Virkestoff og halveringstid
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker, Modellering, Eksponentiell vekst
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Beregne stabil virkestoffmengde som sum av uendelig geometrisk rekke, og finne maksimal tablettstørrelse og ny stabil mengde ved endret halveringstid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/virkestoff-og-halveringstid/
### Oppgavetekst
Marit har i mange år tatt medisiner. Hver dag tar hun én tablett som inneholder 20 mg av et virkestoff. I løpet av ett døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.
a) Vis at Marit har i underkant av 80 mg av virkestoffet i kroppen like etter at hun har tatt den daglige tabletten sin.
Det viser seg at Marit ikke tåler mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen. Hun må derfor få nye tabletter, som inneholder mindre av virkestoffet.
b) Hvor mye virkestoff kan det være i hver tablett for at Marit skal unngå å få mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen?
I en annen medisin har virkestoffet en halveringstid på 66 timer. Det vil si at det går 66 timer fra en bruker tar en tablett, til det kun er halvparten av virkestoffet fra tabletten igjen i kroppen.
En bruker har tatt én tablett med 10 mg av virkestoffet hver dag over en lang tidsperiode.
c) Hvor mye av virkestoffet vil brukeren ha i kroppen like etter at han har tatt den daglige tabletten sin?
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre typer funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-typer-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 5x^4 - 10 + e^x
$$
b)
$$
g(x) = 2x \cdot \ln x
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{8}{1 + e^{-2x}}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Polynom med faktorisering
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynom-med-faktorisering/
### Oppgavetekst
Et polynom $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4
$$
a) Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$.
b) Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Fjerdegradspolynom med faktorer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fjerdegradspolynom-med-faktorer/
### Oppgavetekst
Et polynom $Q$ er gitt ved
$$
Q(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 12
$$
Du får oppgitt at $(x + 1)$, $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q(x)$.
a) Vis at dette gir likningssystemet
$$
a - b + c = -11
$$
$$
a + b + c = 11
$$
$$
8a + 4b + 2c = -4
$$
b) Bestem $a$, $b$ og $c$.
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Aritmetisk rekke med formel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-formel/
### Oppgavetekst
a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme
$$
1 + 7 + 13 + 19 + \cdots + 295
$$
For en annen aritmetisk rekke gjelder
$$
a_5 - a_2 = 12
$$
$$
a_1 + a_2 + a_3 = 18
$$
b) Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$.
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Sprettball og uendelig rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sprettball-og-uendelig-rekke/
### Oppgavetekst
En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett.
Bestem den totale distansen ballen har tilbakelagt fra den slippes, til den faller til ro.
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med transformasjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-transformasjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 4)
$$
a) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = -2 \cdot f(x) + 3
$$
d) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $g$.
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Terningspill med to terninger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Forventningsverdi
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-med-to-terninger/
### Oppgavetekst
Vi har to terninger som begge har seks sider. Den ene er en vanlig terning, mens den andre har fire sider som viser ett øye, én side som viser to øyne, og én side som viser tre øyne.
Vi lar $X$ være summen av antall øyne vi får når vi kaster de to terningene.
a) Skriv av tabellen, og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.
| $k$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | $\dfrac{4}{36}$ | $\dfrac{5}{36}$ | $\dfrac{6}{36}$ | $\dfrac{6}{36}$ | | $\dfrac{6}{36}$ | | $\dfrac{1}{36}$ |
b) Vis at $\text{E}(X) = 5$.
De to terningene brukes i et pengespill.
- Dersom summen av antall øyne blir 5 eller mindre i ett kast, gis det ingen gevinst.
- Dersom summen av antall øyne blir 6, 7 eller 8 i ett kast, gis det 72 kroner i gevinst.
- Dersom summen av antall øyne blir 9 i ett kast, gis det 360 kroner i gevinst.
Vi lar $Y$ være gevinsten du får når du kaster terningene én gang.
c) Anslå om du kan forvente å gå i overskudd i det lange løp dersom det koster 40 kroner for hver gang du kaster terningene.
---
## V2019 del 1 oppgave 8 — Normalfordeling med ukjente parametere
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-med-ukjente-parametere/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.
La $X$ være normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 1$ og varians $\sigma^2 = 4$.
a) Bestem $P(2 < X < 3)$.
Om en annen normalfordelt stokastisk variabel $Y$ får du vite at $P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228$ og $P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668$.
b) Bestem $\mu$ og $\sigma$.
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Sjørøverskatt med mynter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sjoroverskatt-med-mynter/
### Oppgavetekst
En sjørøverskatt har mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling. Myntene veier henholdsvis 5 g, 8 g og 12 g. Du får vite at
- skatten inneholder 85 mynter
- den samlede verdien er på 356 skilling
- den samlede vekten er 633 g
a) Bruk opplysningene til å sette opp tre likninger med tre ukjente.
b) Bruk CAS til å løse likningssystemet du satte opp i oppgave a).
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Harer på øy
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Regresjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/harer-pa-oy/
### Oppgavetekst
På en øy ble det satt ut 50 harer. Tabellen nedenfor viser hvor mange harer det var på øya etter 0, 10, 20 og 30 uker.
| Antall uker etter utsettingen | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| Antall harer | 50 | 104 | 156 | 184 |
Antall harer på øya $t$ uker etter at harene ble satt ut, kan ifølge en forsker modelleres med en funksjon $g$ på formen
$$
g(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$
a) Bruk regresjon til å bestemme $N$, $a$ og $k$.
b) Hvilken informasjon gir tallet $N$ i denne situasjonen?
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Etterspørsel og grensekostnad vare
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Eksponentialfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ettersporsel-og-grensekostnad-vare/
### Oppgavetekst
En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen $q$ gitt ved
$$
q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}, \quad t \in [0, 52]
$$
er en god modell for etterspørselen etter varen per uke, $t$ uker etter lanseringen.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $q$.
Enhetsprisen for varen settes lik 50 kroner det første året.
b) Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.
c) Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen.
Etter at varen har vært i markedet i ett år, vil enhetsprisen $p$ kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen $x$. Vi går ut fra at $p$ er gitt ved
$$
p(x) = -0{,}01x + 60, \quad x \in [500, 2000]
$$
Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er
$$
K'(x) = 0{,}02x + 25, \quad x \in [500, 2000]
$$
d) Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Annuitetslån og serielån Pia
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lån, Rekker, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-og-serielan-pia/
### Oppgavetekst
Pia vurderer å låne 800 000 kroner. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.
a) Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet.
Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.
Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene.
| Termin | Avdrag | Renter | Terminbeløp | Restlån |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 40 000 | 24 000 | 64 000 | 760 000 |
| 2 | 40 000 | 22 800 | 62 800 | 720 000 |
| 3 | 40 000 | 21 600 | 61 600 | 680 000 |
b) Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge.
Bestem summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet.
En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kroner. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kroner.
c) Bestem den faste rentesatsen per år for dette lånet.
---
## V2019 del 2 oppgave 5 — Hypotesetest om russetid
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Normalfordeling, Hypotesetest
- **Kompetansemål:** Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144); Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet $P(X\le 7)$ når 27 elever trekkes; finne forkastningsgrense $c$ slik at $P(X\le c) < 0{,}05$ i binomisk hypotesetest.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-om-russetid/
### Oppgavetekst
Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.
Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er $p=0{,}32$ og er uavhengig av de andre elevenes fravær.
a) Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.
Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.
$$
\begin{aligned}
H_{0}&: \quad p=0{,}32 \\
H_{1}&: \quad p<0{,}32
\end{aligned}
$$
De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %.
Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.
b) Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at $H_{0}$ skal forkastes?
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Deriver tre ulike funksjoner med kjerneregelen, produktregelen og brøkregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \dfrac{1}{2} \ln x
$$
b)
$$
g(x) = 3x \cdot e^{2x}
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Aritmetisk rekke med sum
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Bestem formel for $a_n$ fra to kjente ledd, og bruk summeformelen for aritmetisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-sum/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke er $a_1 = -8$ og $a_4 = 7$.
a) Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$.
b) Vis at $a_{40} = 187$, og bestem summen av de 40 første leddene i rekken.
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Uendelig geometrisk rekke og desimaltall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Bestem konvergens og sum av uendelig geometrisk rekke, og skriv repeternede desimaltall som brøk via geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-og-desimaltall/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots
$$
a) Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.
b) Forklar at desimaltallet $0{,}135135135\ldots$ kan skrives som den uendelige geometriske rekken
$$
\frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + \cdots
$$
Bruk dette til å skrive tallet $0{,}135135135\ldots$ som en brøk.
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Likningssystem med parameter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Sett inn kjent løsning $x=-2$ i systemet, bestem $y$ og $z$, og finn parameteren $a$ fra første likning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-parameter/
### Oppgavetekst
Gitt likningssystemet
$$
a \cdot x - 2y + z = 4
$$
$$
2x + z = 6
$$
$$
3x + 3y + z = 7
$$
Du får vite at $x = -2$ er en del av løsningen.
Bruk dette til å bestemme verdien av $a$.
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Faktorisering, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Faktoriser tredjegradsfunksjon med polynomdivisjon, bestem ekstrema og vendetangent, skisser graf, og løs likning ved substitusjon $u=\ln x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-funksjonsdrofting/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 3x^2 - 4
$$
a) Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at $f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 1)$.
b) Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$.
c) Bestem likningen til vendetangenten til grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
e) Løs likningen $(\ln x)^3 + 3(\ln x)^2 - 4 = 0$.
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Logistisk vekstmodell for gås
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127)
- **Kort beskrivelse:** Bestem parameter i logistisk modell fra startverdi, tolke bæreevne og identifisere vendepunkt som raskest vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekstmodell-for-gas/
### Oppgavetekst
På en øy er hekkebestanden $h$ til en type gås $t$ år etter at en telling startet, gitt ved
$$
h(t) = \frac{100}{1 + a \cdot e^{-0{,}0693t}}
$$
Du får oppgitt at $h(0) = 20$ og $h''(20) = 0$
a) Bestem tallet $a$.
b) Hvilken informasjon gir tallet 100 i denne modellen?
c) Når øker hekkebestanden raskest?
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — Insektskader på epletrær
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling, Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler (KM3145)
- **Kort beskrivelse:** Beregn forventningsverdi og varians fra tabell, bruk sentralgrensesetningen for sum av uavhengige variable, og beregn sannsynlighet med normalfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/insektskader-pa-epletraer/
### Oppgavetekst
En bestemt type insekt kan skade barken på et epletre.
La $X$ være antall skader som slike insekter har påført barken på et tilfeldig valgt epletre. På en bestemt eplegård er sannsynlighetsfordelingen til $X$ gitt i tabellen nedenfor.
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | 0,45 | 0,30 | 0,10 | 0,10 | 0,05 |
a) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$. Hva forteller $\text{E}(X)$ oss i denne situasjonen?
b) Vis at $\text{Var}(X) = 1{,}4$.
På eplegården velger vi tilfeldig ut 400 epletrær og nummererer dem fra 1 til 400. Vi lar $X_i$ være antall insektskader på tre nummer $i$. Vi antar at $X_i$-ene er uavhengige.
Det totale antallet insektskader som finnes på de 400 trærne, er da gitt ved den stokastiske variabelen
$$
S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{400}
$$
c) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.
Bestem $\text{E}(S)$ og $\text{Var}(S)$.
Ved tilsyn på en eplegård blir 50 tilfeldig valgte trær kontrollert. Dersom det i gjennomsnitt er mer enn 1,2 skader per tre, får eplegården pålegg om å sette i verk tiltak.
På en bestemt eplegård er $Y$ det totale antallet insektskader på 50 tilfeldig valgte trær. Egne undersøkelser viser at $\mu_Y = 50$ og $\sigma_Y = 8$.
d) Bestem sannsynligheten for at denne eplegården må sette i verk tiltak dersom de får tilsyn.
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Juleprodukter på bondegård
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sett opp 3x3-likningssystem fra tekstbeskrivelse og løs med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/juleprodukter-pa-bondegard/
### Oppgavetekst
En bondegård produserer juleprodukter. De har kalkuner, griser og juletrær.
- Til sammen er det 1284 dyr og juletrær på gården.
- Det samlede antall føtter er 2599. Vi antar at alle kalkunene har to føtter, alle grisene fire føtter og alle juletrærne én fot.
- Det er dobbelt så mange kalkuner som det er griser og juletrær til sammen.
a) Bruk opplysningene til å sette opp tre likninger med tre ukjente.
b) Bruk CAS til å løse likningssystemet i oppgave a).
Hvor mange griser er det på gården?
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Inntektsfunksjon med eksponential
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Optimer inntektsfunksjon $I(p)=1500pe^{-0{,}05p}$, konverter til $I(x)$ via logaritme, og maksimer overskudd med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntektsfunksjon-med-eksponential/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Når prisen er $p$ kroner per enhet, er inntekten $I$ kroner per uke gitt ved
$$
I(p) = 1500p \cdot e^{-0.05p}, \quad p \in [10, 80]
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $I$.
b) Bestem den prisen som gir høyest inntekt.
La $x$ være antall solgte enheter av varen en uke.
c) Vis at $I(x) = 20x \cdot \ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)$
Den faste kostnaden for produksjonen er 2000 kroner per uke. I tillegg koster det 15 kroner for hver enhet bedriften produserer.
d) Bestem det største overskuddet bedriften kan få per uke.
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Løpstid til Krigsskolen
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123); Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet (KM3144)
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheter med normalfordeling, finn persentilverdi, og sett opp og gjennomfør ensidig hypotesetest for gjennomsnittsverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lopstid-til-krigsskolen/
### Oppgavetekst
Denne oppgaven handler om gutter som søker opptak på Krigsskolen.
Vi lar $X$ være tiden en tilfeldig valgt gutt bruker når han løper 3000 meter. Vi antar at $X$ er normalfordelt. Forventningsverdien er 12 minutter og 43 sekunder. Standardavviket er 54 sekunder.
Et av kravene for å komme inn på Krigsskolen er at man løper 3000 meter på under 13 minutter.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gutt greier tidskravet på 3000-metersløpet.
Pål har som mål å være blant de 5 prosent raskeste på 3000-metersløpet.
b) Hvor lang tid kan han høyst bruke hvis han skal nå dette målet?
Et spesielt treningsprogram ser ut til å ha god effekt på hvor raskt man løper 3000 meter. Vi ønsker å utføre en hypotesetest for å finne ut om treningsprogrammet har så god effekt som man tror.
Vi velger tilfeldig ut 25 gutter som søker opptak til Krigsskolen, og lar dem gjennomføre programmet før de skal løpe 3000-metersløpet.
c) Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.
Gjennomsnittstiden blir 12 minutter og 27 sekunder. Vi regner fortsatt at standardavviket er 54 sekunder for løpstiden til en tilfeldig gutt som søker opptak.
d) Utfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å si at treningsprogrammet har god effekt. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Lønnsøkning og videreutdanning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk vekst, Økonomi
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Beregn og sammenlign summer av geometriske rekker for to lønnsscenarioer, og bruk CAS til å finne break-even-tidspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsokning-og-videreutdanning/
### Oppgavetekst
Svein jobber som lærer. I 2019 har han en årslønn på 478 400 kroner. Han regner med å få en årlig lønnsøkning på 4,0 % per år i årene framover.
a) Vis at Sveins samlede inntekt i årene 2020–2029 da vil bli i overkant av 5,97 millioner kroner.
Svein vurderer å videreutdanne seg i årene 2020 og 2021. Han vil da ikke ha noen inntekt disse to årene. Han regner så med å få en årslønn på 574 000 kroner i 2022 og en årlig lønnsøkning på 4,0 % hvert år etterpå.
b) Bestem den samlede inntekten i årene 2020–2029 dersom han tar videreutdanningen.
Selv om han vil få høyere årslønn dersom han tar videreutdanning, vil det ta noen år før den samlede inntekten i årene etter 2019 blir større enn om han ikke tar videreutdanning.
c) Bruk CAS til å bestemme hvor lenge han må jobbe etter at han er ferdig med videreutdanningen, for at den samlede inntekten fra og med 2020 skal bli minst like stor som om han ikke tar videreutdanning.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Derivere tre funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere polynom, kvotient med $e^x$ (kvotientregel) og $\ln(x^2+4x)$ (kjerneregel).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivere-tre-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2x^3 - 4x + 1
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{x}{e^x}
$$
c)
$$
h(x) = \ln(x^2 + 4x)
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Lineært likningssystem med tre ukjente
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse lineært likningssystem med tre ukjente ved innsetting eller eliminasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-tre-ukjente/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
5x + y + 2z &= 0 \\
2x + 3y + z &= 3 \\
3x + 2y - z &= -3
\end{aligned}
$$
Løs likningssystemet ovenfor.
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Faktorisere polynom og løse ulikhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Vise delelighet med $(x-1)$, faktorisere tredjegradspolynom og løse $P(x)>0$ med fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisere-polynom-og-lose-ulikhet/
### Oppgavetekst
Et polynom $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15
$$
a) Forklar at $P(x)$ er delelig med $(x-1)$.
b) Løs ulikheten $P(x) > 0$.
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — Aritmetisk følge formel og sum
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne $a_n = a_1 + (n-1)d$ fra to ledd og summere de 100 første med aritmetisk summeformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-folge-formel-og-sum/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk følge er $a_1 = 2$ og $a_4 = 14$.
a) Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$.
b) Regn ut $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100}$.
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Geometrisk rekke og periodisk desimaltall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Begrunne konvergens ($|k|<1$), summere uendelig geometrisk rekke og skrive $0{,}\overline{24}$ som brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-periodisk-desimaltall/
### Oppgavetekst
a) Forklar at den geometriske rekken $3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{16} + \cdots$ konvergerer. Bestem summen av rekken.
b) Forklar at desimaltallet $0{,}242424\ldots$ kan skrives som den uendelige geometriske rekken
$$
\frac{24}{100} + \frac{24}{100^2} + \frac{24}{100^3} + \cdots
$$
Bruk dette til å skrive tallet $0{,}242424\ldots$ som en brøk.
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Logistisk funksjon vis at alltid stigende
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte logistisk funksjon $f(x)=\frac{6}{1+e^{-x}}$: vise at den er stigende, avgrenset, har vendepunkt og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-funksjon-vis-at-alltid-stigende/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{6}{1 + e^{-x}}
$$
a) Vis at grafen til $f$ alltid er stigende.
b) Begrunn at $0 < f(x) < 6$ for alle verdier av $x$.
c) Vis ved regning at grafen til $f$ har vendepunkt i $(0, 3)$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2018 del 1 oppgave 7 — Binomisk fordeling ved kuletrekking
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Forventningsverdi
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at antall røde kuler er binomisk fordelt og finne $E(X)=np$ og $\text{Var}(X)=np(1-p)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-ved-kuletrekking/
### Oppgavetekst
I en eske er det fire blå og seks røde kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig én kule og legge den tilbake i esken. Dette skal du gjøre ti ganger.
Vi lar $X$ være antallet røde kuler som du trekker.
a) Forklar at $X$ er binomisk fordelt.
b) Bestem $E(X)$ og $\text{Var}(X)$.
---
## V2018 del 1 oppgave 8 — Normalfordelt vekt av rugbrød
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Standardisere normalfordelt vekt og bruke $z$-tabell for ett brød og for gjennomsnittet av 100 brød.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelt-vekt-av-rugbrod/
### Oppgavetekst
Baker Nilsen lager rugbrød. Vi går ut fra at vekten av rugbrødene er normalfordelt med $\mu = 1{,}00 \mathrm{~kg}$ og $\sigma = 0{,}05 \mathrm{~kg}$.
a) Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom $0{,}90 \mathrm{~kg}$ og $1{,}10 \mathrm{~kg}$.
Rugbrødene sendes til butikkene på paller med 100 rugbrød på hver pall.
b) Bestem sannsynligheten for at vekten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom $99{,}5 \mathrm{~kg}$ og $100{,}5 \mathrm{~kg}$.
---
## V2018 del 1 oppgave 9 — Topp- og bunnpunkt for transformert funksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne ekstremalpunkter til $g(x)=-5f(x)+3$ fra ekstremalpunktene til $f$ (negativ faktor bytter topp/bunn).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-for-transformert-funksjon/
### Oppgavetekst
Om en funksjon $f$ vet vi at grafen har toppunkt i $(2, 3)$ og bunnpunkt i $(3, -4)$.
En annen funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = -5 \cdot f(x) + 3
$$
Bestem topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Overskuddsmodell og grensekostnad for bedrift
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Verifisere overskuddsmodell, tegne graf, finne mengde der grensekostnad = grenseinntekt og laveste pris uten underskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsmodell-og-grensekostnad-for-bedrift/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer $x$ enheter av en vare per dag. Den daglige kostnaden (i kroner) er gitt i tabellen nedenfor, for noen utvalgte verdier av $x$.
| $x$ | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| :---------------------------- | :-- | :-- | :-- | :--- | :--- | :--- |
| Daglige kostnader (i kroner) | 500 | 751 | 898 | 1249 | 2108 | 3752 |
Vi regner med at bedriften får solgt hele produksjonsmengden for 80 kroner per enhet.
a) Vis at funksjonen $O$ gitt ved
$$
O(x) = -0{,}05x^3 + 2{,}0x^2 + 41x - 501
$$
er en god modell for det daglige overskuddet til bedriften ved produksjon av $x$ enheter.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til overskuddsfunksjonen $O$.
c) Hvilken daglig produksjonsmengde gir at grensekostnaden er lik grenseinntekten? Hva forteller dette oss?
På grunn av økt konkurranse må bedriften sette ned prisen per enhet.
d) Hva er den laveste prisen de kan ta per enhet og likevel unngå å gå med underskudd? Hvor mange enheter må de i så fall produsere?
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Sparing og uttak med geometriske rekker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Sparing, Rekker, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp sparesum som geometrisk rekke, så beregne årlig uttak ved annuitet, ved evig rekke og tidspunkt ved voksende uttak.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-og-uttak-med-geometriske-rekker/
### Oppgavetekst
Eirik vil spare penger fram til han blir pensjonist. Han ønsker å spare 40 000 kroner i året i 15 år framover. Han planlegger å gjøre sitt første innskudd 1. juli 2018.
Eirik forventer at den årlige avkastningen vil være 5 % i hele perioden.
a) Sett opp en geometrisk rekke som viser hvor stort beløp Eirik har på kontoen ett år etter siste innbetaling. Bruk CAS til å vise at summen av denne rekken er $906\,299{,}67$ kroner.
Eirik vurderer tre alternative måter å disponere pengene på.
> **Info**
> Alternativ I
> Det oppsparte beløpet tas ut i 15 like store beløp 1. juli hvert år fra og med 2033 til og med 2047.
> **Info**
> Alternativ II
> Det oppsparte beløpet brukes til å opprette et fond. Fondet skal den 1. juli hvert år betale ut et fast beløp til et godt formål. Første utbetaling er i 2033. Disse utbetalingene skal pågå i all framtid.
> **Info**
> Alternativ III
> Eirik tar ut 30 000 kroner i 2033. Deretter øker han det årlige uttaksbeløpet med 10 % hvert år. Alle uttakene skjer den 1. juli.
I resten av oppgaven antar vi at den årlige avkastningen vil være 5 % per år i all framtid.
b) Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ I?
c) Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ II?
d) Når er kontoen til Eirik tom dersom han følger planen i alternativ III?
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Normalfordelt flaskevekt, binomisk for esker, og baklengs finne ny forventningsverdi som oppfyller kravet via invers normalfordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelt-flaskevekt-og-justert-forventningsverdi/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en type medisin som selges på flasker. De antar at vekten $X$ av flaskene er normalfordelt med forventningsverdi $250{,}0 \mathrm{~g}$ og standardavvik $3{,}0 \mathrm{~g}$. Bedriften sier at en flaske veier for lite når den veier mindre enn $245{,}0 \mathrm{~g}$.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite.
Flaskene blir pakket i esker. Hver eske inneholder 15 flasker. La $Y$ være antall flasker som veier for lite, i en tilfeldig valgt eske. Da er $Y$ binomisk fordelt.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt eske skal inneholde én eller flere flasker som veier for lite.
Bedriften har som målsetting at maksimalt 10 % av eskene skal ha flasker som veier for lite. For å nå dette målet må de justere forventningsverdien til $X$. Vi antar at standardavviket forblir uforandret ved justeringen.
c) Grunngi at sannsynligheten for at en flaske veier for lite, må være høyst $0{,}70 \%$ dersom de skal kunne nå målsettingen.
d) Hva må forventningsverdien til $X$ være for at kravet i oppgave c) skal bli oppfylt?
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $e^{2x}$ (kjerneregel), $(x^4-1)/x^2$ (forenkle først) og $x^3 \cdot \ln x$ (produktregel).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h18/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = e^{2x}
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2}
$$
c)
$$
h(x) = x^3 \cdot \ln x
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Konvergente geometriske rekker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Finne kvotient $k$, vurdere konvergens ($|k|<1$) og bruke $s = a_1/(1-k)$ for uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergente-geometriske-rekker/
### Oppgavetekst
Avgjør om de geometriske rekkene er konvergente. Bestem i så fall summen.
a)
$$
54 + 18 + 6 + 2 + \cdots
$$
b)
$$
4 - 8 + 16 - 32 + \cdots
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke og innsamlingsløp
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk rekke med $a_1=10$, $d=5$; løse $a_n=100$ for antall ledd og bruke summeformelen for 25 ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-innsamlingslop/
### Oppgavetekst
Russen ved en skole vil arrangere et løp til inntekt for et godt formål. De løper rundt et lite vann. Lise har gjort avtale med en bedrift. Bedriften vil gi 10 kroner for den første runden hun løper. For hver ny runde vil de øke beløpet med 5 kroner. Det vil si at de vil gi
- 10 kroner for runde 1
- 15 kroner for runde 2
- 20 kroner for runde 3
- og så videre
a) Hvor mange runder må Lise løpe dersom hun skal tjene 100 kroner på den siste runden?
b) Hvor mye må bedriften gi totalt dersom Lise løper 25 runder?
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Faktorisering og forkorting av brøk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Vise at $(x-1)$ er faktor via $f(1)=0$, faktorisere tredjegradspolynom og finne $d$ som gir felles faktor med $x^2-4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-og-forkorting-av-brok/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4
$$
a) Vis at $(x - 1)$ er en faktor i $f(x)$.
b) Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.
Vi har gitt brøken
$$
\frac{x^3 - 5x^2 + 8x + d}{x^2 - 4}
$$
c) For hvilke verdier av $d$ kan brøken forkortes?
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Optimal pris for størst inntekt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Optimering, Etterspørsel
- **Kort beskrivelse:** Maksimere inntekt $I(p)=p\cdot 500e^{-0,04p}$ ved $I'(p)=0$, vise omvendt funksjon $p(q)$ og tolke $p'(25)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimal-pris-for-storst-inntekt/
### Oppgavetekst
Dersom prisen på en bestemt vare er $p$ kroner per enhet, vil etterspørselen $q$ være gitt ved
$$
q(p) = 500 \cdot e^{-0{,}04p}
$$
Inntekten $I$ (i kroner) er
$$
I(p) = p \cdot q(p)
$$
a) Bestem den prisen som gir størst inntekt.
Vi kan også bestemme prisen $p$ som en funksjon av $q$.
b) Vis at
$$
p(q) = -25 \cdot \ln\left(\frac{q}{500}\right)
$$
c) Bestem $p'(25)$. Hva forteller dette svaret oss?
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Bestem tredjegradspolynom fra opplysninger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp likningssystem fra nullpunkt, ekstremalpunkt og skjæring, løse for $a,b,c,d$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-tredjegradspolynom-fra-opplysninger/
### Oppgavetekst
Et tredjegradspolynom kan skrives på formen
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$
der $a$, $b$, $c$ og $d$ er konstanter.
Om funksjonen $f$ får du vite at
- $x = 1$ og $x = -2$ er nullpunkter til funksjonen
- $x = 1$ er et ekstremalpunkt
- grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $y = 2$
a) Forklar at opplysningene ovenfor gir likningssystemet
$$
\begin{aligned} a + b + c + d &= 0 \\ -8a + 4b - 2c + d &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \\ d &= 2 \end{aligned}
$$
b) Bestem et uttrykk for $f(x)$.
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Terningspill med forventning og normaltilnærming
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Forventningsverdi, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighetsfordeling for terninggevinst, $\text{E}(X)$ og $\text{SD}(X)$, sum av 100 spill normaltilnærmet og sannsynlighet for overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-med-forventning-og-normaltilnaerming/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.
Du skal arrangere et spill der spilleren kaster en terning. Gevinsten er bestemt av antall øyne terningen viser.
- Ett eller to øyne gir 0 kroner i gevinst.
- Tre eller fire øyne gir 20 kroner i gevinst.
- Fem øyne gir 60 kroner i gevinst.
- Seks øyne gir 200 kroner i gevinst.
La $X$ være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.
a) Lag en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$.
b) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$. Vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 70$.
c) Hva må prisen per spill være for at du som arrangør i det lange løp skal få et gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill?
Vi antar at du heretter arrangerer spillet med et forventet gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill. En spiller deltar i 100 spill. La $Y_i$ være nettogevinsten i spill nummer $i$. Den totale nettogevinsten er da gitt ved
$$
S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{100}
$$
d) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.
e) Vis at $\text{E}(S) = -1000$ og $\text{SD}(S) = 700$.
f) Bestem sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene.
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $O(x)=I(x)-K(x)$, tegne grafen, maksimere overskudd og finne minimum av enhetskostnad $K(x)/x$ i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-og-lavest-enhetskostnad/
### Oppgavetekst
Totalkostnaden $K$ (i kroner) ved produksjon av en vare er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}025x^2 + 80x + 4000, \quad 0 < x < 2000
$$
Her er $x$ antall produserte enheter per uke.
Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved
$$
I(x) = -0{,}015x^2 + 150x, \quad 0 < x < 2000
$$
a) Bestem funksjonsuttrykket for overskuddsfunksjonen $O$. Bruk graftegner til å tegne grafen til overskuddsfunksjonen for $0 < x < 2000$.
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
c) Bruk CAS til å bestemme den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.
---
## H2018 del 2 oppgave 2 — Modellering av skadedyr med logistisk funksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Logistisk vekst, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon på datasett, finne vendepunkt (raskest vekst) via $f''=0$ og løse $f(t)=200$ for tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modellering-av-skadedyr-med-logistisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Et forskerteam utfører en rekke forsøk der de lar skadedyr invadere ulike typer bolighus. For ett av disse husene er antall dyr etter $t$ dager gitt i tabellen nedenfor.
| $t$ (dager) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|:---------------|:--:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall skadedyr | 35 | 130 | 245 | 289 | 297 | 300 |
a) Lag en funksjon $g$ som beskriver sammenhengen mellom tiden $t$ og antall skadedyr i dette huset.
For en annen hustype er funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6, \quad \text{der } t \geq 10
$$
en god modell for antall skadedyr i huset. Her er $t$ antall dager etter at huset ble invadert.
b) Når øker antall skadedyr raskest ifølge modellen $f$? Hvor stor er vekstfarten da?
En huseier oppdaget skadedyr i huset sitt. Skadedyrkontrollen fant ut at det var rundt 200 skadedyr i huset. Kontrolløren mener at modellen $f$ ovenfor vil passe godt for å bestemme antall skadedyr i dette huset.
c) Hvor lenge hadde det vært skadedyr i huset da det ble kontrollert?
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — Gjennomsnittsskåre og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Forventning og standardavvik for gjennomsnitt av 100 normalfordelte, sannsynlighet i intervall og ensidig hypotesetest på 5 % nivå.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittsskare-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Ved en stor videregående skole skal 100 tilfeldig valgte elever ta en matematikktest. Fra tidligere vet vi at poengskåren $X$ til en tilfeldig valgt elev ved denne skolen er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 50 poeng og standardavvik 8 poeng. Vi antar at ferdighetene til ulike elever er uavhengige av hverandre.
La $\bar{X}$ være gjennomsnittsskåren til 100 tilfeldig valgte elever.
a) Begrunn at $\text{E}(\bar{X}) = 50$ og $\text{SD}(\bar{X}) = 0{,}8$.
b) Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsskåren til de 100 elevene blir mellom 49 og 51 poeng?
Skolen hadde en mistanke om at elevene et år var flinkere enn normalt. Det viste seg at gjennomsnittsskåren til de 100 tilfeldig valgte elevene som tok testen, ble 51,5 poeng.
c) Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Medisindosering som geometrisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Mengde virkestoff som geometrisk rekke med $k=0,75$; sum etter 7 doser, grenseverdi for uendelig rekke og krav på tid mellom doser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medisindosering-som-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Mads har en kronisk sykdom og er avhengig av medisiner. Hver dag tar han én tablett som inneholder 2,4 mg virkestoff. I løpet av et døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.
a) Hvor mye av det virksomme stoffet har han i kroppen like etter at han har tatt den sjuende tabletten?
b) Hvor mye virkestoff vil Mads maksimalt ha i kroppen i det lange løp hvis han fortsetter medisineringen?
Det viser seg at Mads ikke tåler mer enn 5,5 mg av det virksomme stoffet i kroppen. Han må derfor la det gå lengre tid mellom hver gang han tar tablettene.
c) Hvor mange timer må det minst gå mellom hver gang Mads tar en tablett?
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $x^2 - 2/x$, $\ln(x^2+1)$ med kjerneregel, og $x^2 e^x$ med produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-kvotient-og-produkt/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x}
$$
b)
$$
g(x) = \ln(x^2 + 1)
$$
c)
$$
h(x) = x^2 \mathrm{e}^x
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Likningssystem med tre ukjente S2 V17
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse $3 \times 3$ lineært likningssystem ved eliminasjon for hånd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-tre-ukjente-s2-v17/
### Oppgavetekst
$$
\begin{aligned}
x + y - z &= 0 \\
2x + y - z &= 2 \\
4x + y - 2z &= 1
\end{aligned}
$$
Løs likningssystemet.
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke differanse og sum 84
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kort beskrivelse:** Finne $d$ fra $a_1$ og $a_6$, utlede summeformelen, og løse $S_n = 84$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-differanse-og-sum-84/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ er $a_1 = 3$ og $a_6 = 18$.
a) Bestem differansen $d$, og bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$.
b) Vis at summen av de $n$ første leddene kan skrives som
$$
S_n = \frac{3}{2} n(n+1)
$$
c) Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84?
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Rasjonale funksjoner, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere tredjegradspolynom med polynomdivisjon, løse ulikhet, forkorte brøk og substituere $e^x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-faktorisering-ulikhet-og-brok/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6
$$
a) Vi ser at $f(1) = 0$. Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at
$$
f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)
$$
b) Løs ulikheten $f(x) \le 0$.
c) Forkort brøken mest mulig
$$
\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{2x^2 - 2}
$$
d) Bruk blant annet det du viste i oppgave a), til å løse likningen
$$
\mathrm{e}^{3x} + 4\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 6 = 0
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kort beskrivelse:** Derivere K og I; sette grensekostnad lik grenseinntekt for vinningsoptimal mengde, og minimere enhetskostnad $K(x)/x$ for kostnadsoptimal mengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsoptimal-og-vinningsoptimal-produksjonsmengde/
### Oppgavetekst
Totalkostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}1x^2 + 70x + 4000 \qquad , \qquad 0 < x < 2000
$$
Her er $x$ antall produserte enheter per uke.
Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved
$$
I(x) = -0{,}05x^2 + 280x \qquad , \qquad 0 < x < 2000
$$
a) Bestem $K'(500)$ og $I'(500)$. Bruk svarene til å vurdere om bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.
b) Bestem den vinningsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
c) Bestem den kostnadsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Kjøttmeisunger og normalfordelt sum
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Normalfordeling, Sentralgrenseteoremet
- **Kort beskrivelse:** Diskret fordeling: kumulativ sannsynlighet, $E(X)$ og $SD(X)$; sum av 100 uavhengige variabler tilnærmes normalfordelt og standardiseres for å finne sannsynligheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjottmeisunger-og-normalfordelt-sum/
### Oppgavetekst
La $X$ være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse med kjøttmeis. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:----------:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|
| $P(X=k)$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ | $0{,}3$ | $0{,}3$ | $0{,}1$ |
a) Bestem $P(X \ge 2)$.
b) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$, og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}$.
Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?
Et år har biologilærer Peder overvåket 100 fuglekasser med kjøttmeis. Kassene er nummerert fra 1 til 100. La $X_i$ være antall kjøttmeisunger som overlever i kasse nummer $i$. Vi antar at $X_i$-ene er uavhengige. Det totale antallet kjøttmeisunger som overlever i de 100 kassene, er gitt ved den stokastiske variabelen
$$
S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}
$$
c) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.
d) Bestem $\text{E}(S)$ og $\text{Var}(S)$.
I resten av oppgaven går vi ut fra at $\text{E}(S) = 200$ og $\text{SD}(S) = 13$. Du vil få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.
e) Bestem sannsynligheten for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året.
f) Bestem $P(187 \le S \le 213)$.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Likningssystem, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem for koeffisientene i $O(x)=ax^2+bx+c$ ut fra nullpunkt, toppunkt og grensebetingelse; finne maksimalt overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-fra-tre-opplysninger/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en vare. Bedriften selger alt den produserer. Overskuddet $O$ ved salg av $x$ enheter per uke er gitt ved
$$
O(x) = ax^2 + bx + c
$$
- Når bedriften produserer 200 enheter per uke, blir overskuddet lik $0$.
- Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.
- Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.
a) Vis at disse opplysningene gir likningssystemet
$$
\begin{aligned} 40\,000a + 200b + c &= 0 \\ 950a + b &= 0 \\ 1200a + b &= -5 \end{aligned}
$$
b) Bruk CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$.
c) Hva er det største overskuddet bedriften kan få per uke?
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Sparing, CAS
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke for sluttverdi av årlige innbetalinger, og likning for å finne fast årlig uttak eller antall år til kontoen er tom; løses i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pensjonssparing-med-faste-innbetalinger-og-uttak/
### Oppgavetekst
Ingrid inngår en pensjonsavtale der hun skal spare 20 000 kroner i året. Den første innbetalingen skjer 1. januar 2018. Den siste innbetalingen skjer 1. januar 2052. Hun får en fast rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.
a) Bruk CAS til å vise at Ingrid vil ha 1 209 242 kroner på konto rett etter siste innbetaling.
Ingrid planlegger å ta ut et fast beløp hvert år. Det første uttaket vil hun gjøre 1. januar 2053 og det siste uttaket 1. januar 2067. Da skal kontoen være tom. Hun regner med en rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.
b) Hvor mye kan hun ta ut per år?
Ingrid synes det er tilstrekkelig å ta ut 80 000 kroner i året fra og med 1. januar 2053.
c) Bruk CAS til å bestemme når kontoen vil være tom i dette tilfellet.
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Levetid for batterier og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling: standardisere for $P(X<27)$, og ensidig hypotesetest på forventningsverdi med kjent $\sigma$ ved $5\text{ \%}$ signifikansnivå.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/levetid-for-batterier-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer batterier til hodelykter. Bedriften påstår at levetiden for batteriene er 30 timer når hodelykten brukes med full lysstyrke.
Vi antar at levetiden for batteriene er normalfordelt med $\mu = 30$ timer og $\sigma = 3$ timer.
a) Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har en levetid på mindre enn 27 timer.
Forbrukerrådet har mistanke om at forventet levetid er mindre enn 30 timer. Derfor blir ni tilfeldig valgte batterier testet. Levetida til batteriene viser seg å være 29, 31, 32, 27, 29, 25, 23, 30 og 26 timer.
Vi antar fortsatt at levetiden til batteriene er normalfordelt med $\sigma = 3$ timer.
b) Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at den forventede levetiden er mindre enn 30 timer. Bruk et signifikansnivå på $5 \text{ \%}$.
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Logistisk modell for smittsom sykdom
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Regresjon, Bestemt integral, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon for å bestemme parametre, grafisk avlesning, bestemt integral som samlet antall smittede, og likning for når kumulativ sum overstiger en grense.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-for-smittsom-sykdom/
### Oppgavetekst
I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon $g$ der
$$
g(t) = \frac{N}{1 + ae^{-kt}}
$$
Her er $N$, $a$ og $k$ reelle tall, og $g(t)$ er antall personer som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.
Tabellen nedenfor viser $g(t)$ for noen verdier av $t$.
| $t$ | 0 | 5 | 12 |
|:------:|:---:|:----:|:-----:|
| $g(t)$ | 200 | 2000 | 9 000 |
a) Bruk regresjon til å bestemme $N$, $a$ og $k$ i uttrykket $g(t)$.
Nærmere undersøkelser viser at
$$
f(t) = \frac{10000}{1 + 50e^{-0{,}5t}}
$$
er en god modell for antallet som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$. Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.
c) Bruk CAS til å bestemme $\displaystyle\int_0^{12} f(t)\,dt$. Hva forteller dette svaret oss?
d) Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner S2 H17
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivere polynom, produkt $x^2 e^x$ med produktregelen, og $\ln(x^3+3x+1)$ med kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h17/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2x^2 - 4x^3
$$
b)
$$
g(x) = x^2 e^x
$$
c)
$$
h(x) = \ln(x^3 + 3x + 1)
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon med rest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon
- **Kort beskrivelse:** Utføre polynomdivisjon, og bestemme parameter slik at divisjonen går opp (rest lik null).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-med-rest/
### Oppgavetekst
a) Utfør divisjonen
$$
(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5)
$$
b) Bestem $t$ slik at divisjonen nedenfor går opp.
$$
(x^3 + t x^2 + 5x - 2t) : (x + 1)
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med tre ukjente S2 H17
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse $3 \times 3$ lineært likningssystem ved innsetting eller eliminasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-tre-ukjente-s2-h17/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} x + y + 2z = -3 & \\ x + 3y + z = 2 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Forenkle logaritmeuttrykk med $\ln$-regler og $\ln e = 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skriv-enkelt-med-e-og-logaritmer-s2-h17/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\ln\left(\frac{e^2}{2}\right) + 2\ln 2 - \ln\left(\frac{2}{e^4}\right)
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kort beskrivelse:** Finne ledd-formel $a_n = a_1 + (n-1)d$, bestemme antall ledd og summere aritmetisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-119-som-siste-ledd/
### Oppgavetekst
En aritmetisk rekke er gitt ved $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 119$
a) Bestem en formel for ledd nummer $n$ i denne rekken.
b) Bestem summen av rekken.
---
## H2017 del 1 oppgave 6 — Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Grensekostnad som $K'(50)$ med tolkning, og minste enhetskostnad ved $E'(x)=0$ for $E(x)=K(x)/x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-lavest-enhetskostnad-s2-h17/
### Oppgavetekst
Totalkostnaden $K$ i kroner for å produsere en vare er gitt ved
$$
K(x) = x^2 + 50x + 6400
$$
Her er $x$ antall produserte enheter per uke.
a) Bestem grensekostnaden når det produseres $50$ enheter. Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem den produksjonsmengden $x$ som gir lavest kostnad per produserte enhet.
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Funksjonsdrøfting av (x-2)eˣ
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x)=(x-2)e^x$: nullpunkt, ekstremalpunkt fra $f'$, vendepunkt fra $f''$ og grafskisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-x-2-ex/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x-2)e^x
$$
a) Bestem eventuelle nullpunkter til $f$.
b) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2017 del 1 oppgave 8 — Lotteri med forventning og normaltilnærming
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Forventning og varians for nettogevinst, sum av uavhengige variabler og normaltilnærming med standard normalfordelingstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lotteri-med-forventning-og-normaltilnaerming/
### Oppgavetekst
I et lotteri gjelder følgende:
- Hvert lodd koster $10$ kroner.
- Halvparten av loddene gir en gevinst på $10$ kroner.
- $10\ \%$ av loddene gir en gevinst på $50$ kroner.
- Resten av loddene gir ingen gevinst.
Den stokastiske variabelen $X$ er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd.
a) Vis at $E(X)=0$ og $\text{Var}(X)=200$.
La $S$ være den stokastiske variabelen $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}$ som gir nettogevinsten ved kjøp av $50$ lodd.
b) Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.
c) Vis at $E(S)=0$ og $\text{SD}(S)=100$.
Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til $650$ kroner, men har bare $500$ kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene.
d) Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Lønnsmodell med integral og rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Bestemt integral, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell lønnsmodell $400\,000\cdot 1{,}05^x$: graf, likning, derivert i CAS, samlet lønn via integral og via geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsmodell-med-integral-og-rekke/
### Oppgavetekst
Julie har fått seg ny jobb. Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^x
$$
er en god modell for årslønnen (i kroner) til Julie $x$ år etter at hun startet i jobben.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $0 \le x \le 35$.
b) Når vil årslønnen hennes passere $800\,000$ kroner?
c) Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer $50\,000$ kroner.
Julie regner med å jobbe i bedriften i $30$ år.
d) Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å regne ut et integral.
e) Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke.
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Boliglån med endret terminbeløp
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Geometrisk rekke, Rente
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån over 180 terminer, restgjeld etter redusert terminbeløp, og nytt terminbeløp eller forlenget nedbetalingstid via CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boliglan-med-endret-terminbelop/
### Oppgavetekst
Annette vurderer å ta opp et boliglån på $1\,500\,000$ kroner. Renten er $0{,}3\ \%$ per måned. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med $180$ månedlige terminer. Første innbetaling er én måned etter låneopptak.
a) Vis at terminbeløpet Annette må betale, er $10\,797$ kroner.
Annette regner med å ha litt trang økonomi de nærmeste årene. Banken tilbyr henne derfor en ordning der hun betaler $8000$ kroner per måned de første fem årene. Etter dette økes terminbeløpet slik at lånet er helt nedbetalt $15$ år etter at hun tok opp lånet.
b) Vis at Annette har $1\,270\,289$ kroner igjen av lånet etter de fem første årene dersom hun velger denne ordningen.
c) Bestem det månedlige terminbeløpet de siste $120$ terminene dersom Annette går inn for denne ordningen.
Annette liker ordningen med redusert terminbeløp de første fem årene, men synes det nye terminbeløpet i c) er litt for høyt. Hun ønsker å betale $11\,000$ kroner i terminbeløp etter de fem første årene.
d) Bruk CAS til å bestemme hvor mye dette vil forlenge tiden det tar å nedbetale lånet.
---
## H2017 del 2 oppgave 3 — Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet, ensidig hypotesetest av spireandel, og samme test med normaltilnærming av $X$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-spireevne-med-normaltilnaerming/
### Oppgavetekst
På en frøpose står det at spireevnen er $85\ \%$. Det er $200$ frø i hver pose. La $X$ være antall frø som spirer, i en tilfeldig frøpose. Vi antar at $X$ er binomisk fordelt.
a) Bestem $P(X \le 175)$.
Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn $85\ \%$. Hun ville derfor utføre en hypotesetest. Hun ville teste nullhypotesen
$$
H_0: p = 0{,}85
$$
mot den alternative hypotesen
$$
H_1: p < 0{,}85
$$
Hun sådde derfor $200$ frø. Det viste seg at $160$ av frøene spirte.
b) Avgjør om Noras mistanke er berettiget, ved å utføre hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på $5\ \%$.
Nora har ikke programvare til å utføre binomiske beregninger. Hun må derfor gjøre en hypotesetest med en normaltilpasning av $X$.
c) Gå ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten.
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner (s2 v16)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av eksponentialfunksjon, kvotient og produkt med kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-v16/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = e^{-2x}
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{x-3}{x-4}
$$
c)
$$
h(x) = x(x-3)^6
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Polynomdrøfting med nullpunkter og kurve
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon for å vise delelighet, deretter nullpunkter, topp-/bunnpunkter, vendepunkt og skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdrofting-med-nullpunkter-og-kurve/
### Oppgavetekst
Polynomet $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 6x^2 + 32
$$
a) Vis at $P(x)$ er delelig med $(x+2)$. Bestem nullpunktene til $P$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $P$.
c) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $P$.
d) Lag en skisse av grafen til $P$.
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Likningssystem fra kvitteringer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et $3 \times 3$ likningssystem for priser på bakervarer fra tre kvitteringer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-fra-kvitteringer/
### Oppgavetekst
Mathias har handlet litt mye på et konditori i det siste. Dessverre har han vært uheldig og fått revet av deler av kvitteringene, slik at han ikke lenger vet hvor mye de enkelte bakervarene koster. Se bildet nedenfor.
Bruk opplysningene på kvitteringene til å sette opp et likningssystem, og bruk dette til å bestemme prisen på skoleboller, boller og muffins.
Bestem prisen på skoleboller, boller og muffins.
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Tømmerstokker og aritmetisk tallfølge
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Bruke sumformel for aritmetisk rekke til å telle stokker i haug, og bestemme ledd i aritmetisk tallfølge fra to oppgitte ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tommerstokker-og-aritmetisk-tallfolge/
### Oppgavetekst
a) Noen tømmerstokker er stablet slik figuren viser. Det er 16 stokker i øverste rad og 30 i nederste. Bruk teorien for rekker til å bestemme hvor mange stokker det er i haugen.
b) I en aritmetisk tallfølge er $a_4 = 11$ og $a_7 = 20$. Bestem $a_{40}$.
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Geometrisk og aritmetisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Definere geometrisk/aritmetisk rekke, uttrykk for $a_k$ i geometrisk rekke, og vise at $b_k = \ln a_k$ gir aritmetisk rekke med bestemmelse av differansen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-og-aritmetisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Hva vil det si at en rekke er geometrisk? Hva vil det si at en rekke er aritmetisk?
En geometrisk rekke er gitt ved
$$
a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \ldots
$$
b) Skriv et uttrykk for $a_k$.
c) Sett $b_k = \ln a_k$. Vis at rekken $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n$ er aritmetisk.
Bestem differansen $d = b_{k+1} - b_k$.
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Logaritmefunksjon og grafidentifikasjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Funksjonsdrøfting, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigende/synkende intervaller for $f(x)=\ln(x^2+4)$ ved derivasjon, og identifisere riktig graf blant fire alternativer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-og-grafidentifikasjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \ln(x^2 + 4) \quad , \quad x \in \mathbb{R}
$$
a) Avgjør hvor grafen til $f$ stiger, og hvor grafen til $f$ synker.
b) Nedenfor har vi tegnet fire grafer. Én av dem er grafen til $f$. Gjør nødvendige drøftinger og beregninger for å bestemme hvilken av grafene som er grafen til $f$.
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Diskret sannsynlighetsfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ukjent sannsynlighet $a$ fra sumkrav, deretter forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diskret-sannsynlighetsfordeling/
### Oppgavetekst
En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:
| $x$ | 0 | 10 | 20 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | $0{,}2$ | $0{,}5$ | $a$ |
a) Bestem $a$.
b) Regn ut forventningsverdien $\mu$ og standardavviket $\sigma$ til $X$.
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Normalfordeling med skravert areal
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Bruke symmetri og normalfordelingstabell til å bestemme sannsynlighet, forventningsverdi og standardavvik fra grafisk fremstilling med to skraverte haler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-med-skravert-areal/
### Oppgavetekst
**I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.**
Figuren nedenfor viser en grafisk fremstilling av en normalfordelt stokastisk variabel $X$. De to skraverte områdene har begge areal lik $0{,}106$.
a) Bestem $P(22 < X < 42)$
b) Bestem forventningsverdien til $X$.
c) Bestem standardavviket til $X$.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Wikipedia-artikler og logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Vurdere matematiske modeller for vekst, bruke graftegner til å finne maksimalt veksttidspunkt, og beregne bestemt integral av logistisk derivert med praktisk tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/wikipedia-artikler-og-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser det totale antallet artikler som var tilgjengelige på Wikipedia noen utvalgte år.
| År | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 | 2010 | 2012 |
|:---|-----:|-----:|-----:|-----:|-----:|-----:|
| Antall artikler | 19 700 | 188 800 | 895 000 | 2 153 000 | 3 144 000 | 3 835 000 |
Basert på disse tallene påstår en journalist at i 2020 vil antallet tilgjengelige artikler være rundt 7 millioner. En annen journalist påstår at antall artikler vil stabilisere seg på rundt 4 millioner.
a) Vurder hvilke matematiske modeller journalistene kan ha brukt for å komme fram til disse tallene.
En modell for antall tilgjengelige artikler er gitt ved en funksjon $g$. Økningen av antall artikler (i millioner) per år er ifølge denne modellen
$$
g'(x) = \frac{576 \, e^{-0{,}68x}}{(1 + 211 e^{-0{,}68x})^2}
$$
Her er $x$ antall år etter 2000.
b) Bruk graftegner til å bestemme hvilket år antall artikler vokste raskest, ifølge denne modellen.
c) Bestem $\displaystyle\int_0^{15} g'(x)\,dx$
Hva er den praktiske tolkningen av dette svaret?
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Optimering av overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$, $b$, $c$ i kvadratisk kostnadsfunksjon med CAS fra tre betingelser, tolke $I'(100)$ og $K'(100)$, og finne overskuddsmaksimerende produksjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at inntekten $I$ i kroner per dag er gitt ved
$$
I(x) = 3200 \cdot \ln(2{,}5x + 1) \quad , \quad x \geq 0
$$
Kostnaden $K$ i kroner per dag kan skrives på formen
$$
K(x) = ax^2 + bx + c
$$
Erfaringer viser at
- det koster i alt 3225 kroner å produsere 50 enheter per dag
- det koster i alt 4900 kroner å produsere 100 enheter per dag
- grensekostnadene ved å produsere 100 enheter er 41 kroner per enhet
a) Bruk CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$. Vis at
$$
K'(x) = 0{,}3x + 11
$$
b) Bestem $I'(100)$ og $K'(100)$. Hva forteller svarene oss? Avgjør ut fra svarene om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Hypotesetest for politisk oppslutning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for normalfordeling av $X$, bestemme $\mu$ og $\sigma$, og utføre hypotesetest på observert andel 334/1000 mot opprinnelig 30,8 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-politisk-oppslutning/
### Oppgavetekst
Ved valget i 2015 fikk et bestemt politisk parti en oppslutning på 30,8 % i en stor kommune. Like etter valget ble 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg.
La $X$ være antallet som stemte på det førstnevnte partiet, blant 1000 tilfeldig valgte personer.
a) Forklar hvorfor vi kan anta at $X$ er normalfordelt.
b) Bestem forventningsverdien og standardavviket til $X$.
I mai 2016 ble også 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg. Av disse svarte 334 personer at de ville ha stemt på det førstnevnte partiet.
c) Vurder om dette gir grunnlag for å si at oppslutningen om dette partiet har økt.
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Ole Magnus sin sparekonto
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kort beskrivelse:** Engangsbeløp via nåverdi, deretter annuitetsspareplan og spareplan med 2 % årlig økning i innskudd, løst med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ole-magnus-sin-sparekonto/
### Oppgavetekst
Da Ole Magnus ble født, ønsket foreldrene å åpne en sparekonto for ham med en fast årlig rente på 2,5 %. De ønsket at det skulle være 100 000 kroner på kontoen når han fylte 18 år.
a) Hvor stort engangsbeløp måtte foreldrene sette inn på kontoen dersom det skulle vokse til 100 000 kroner i løpet av de 18 årene?
Foreldrene vurderte i stedet å sette inn 18 like store årlige beløp, første gang da Ole Magnus ble født.
b) Bruk CAS til å bestemme hvor stort dette årlige beløpet måtte være.
Foreldrene vurderte også en spareplan med 18 årlige innskudd, der beløpet som ble satt inn, økte med 2,0 % hvert år.
c) Bruk CAS til å bestemme hvor stort det første beløpet måtte være.
> **Tips**
> Bruk Excel (selv om oppgaven spør etter CAS)
> Etter at læreplan LK20 ble innført for S2 i 2022 så får du som oftest lov til å velge framgangsmåte selv. b) og c) i denne oppgaven passer fint til å løses i Excel også.
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner (s2 h16)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynomfunksjon, kjedebrøk og brøk med e-funksjon
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h16/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^3 - 5x
$$
b)
$$
g(x) = 5(x^2+1)^7
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Løs rasjonale og logaritmiske likninger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Løsning av brøklikning med faktorisering og logaritmisk likning $\ln(x^2+2x-14)=0$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-rasjonale-og-logaritmiske-likninger/
### Oppgavetekst
Løs ligningene
a)
$$
\dfrac{3x}{x-2} = \dfrac{x^2}{x^2-4}
$$
b)
$$
\ln(x^2+2x-14) = 0
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x)=x^3-6x^2+32$: nullpunkter, ekstrema, vendepunkt og skisse
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 32
$$
a) Begrunn at divisjonen $f(x):(x+2)$ går opp, uten å utføre divisjonen.
b) Bestem nullpunktene til $f$.
c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.
d) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$.
e) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Kostnadsfunksjon og ligningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs $3\times 3$-ligningssystem for koeffisientene i $K(x)=ax^2+bx+c$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-og-ligningssystem/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en vare. De totale kostnadene $K$ ved produksjon av $x$ enheter kan skrives på formen
$$
K(x) = ax^2 + bx + c
$$
Vi får vite at
- kostnadene er 3000 når det produseres 10 enheter
- kostnadene er 8000 når det produseres 20 enheter
- grensekostnadene ved produksjon av 10 enheter er 350
a) Forklar at dette gir oss ligningssystemet
$$
100a + 10b + c = 3000
$$
$$
400a + 20b + c = 8000
$$
$$
20a + b = 350
$$
b) Løs ligningssystemet.
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Aritmetisk rekke og figurtall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Figurtall, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruk sumformelen for aritmetisk rekke til å finne $1+2+3+\ldots+n$, og argumenter geometrisk via figur
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-figurtall/
### Oppgavetekst
a) Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen
$$
1 + 2 + 3 + \ldots + n
$$
b) Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a) ved å bruke figuren nedenfor.
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Fullfør sannsynlighetsfordeling, bestem $r$ fra $\text{E}(X)=1$, og beregn $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ for $r=-5$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diskret-sannsynlighetsfordeling-s2-h16/
### Oppgavetekst
Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved denne tabellen:
| $t$ | $r$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
|:---:|:---:|:----:|:---:|:---:|
| $P(X=t)$ | $0{,}1$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ | $p$ |
a) Forklar hvorfor $p$ må være lik $0{,}4$.
b) Bestem $r$ dersom $\text{E}(X) = 1$.
c) Vi setter nå $r = -5$. Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Kostnadsgraf med tangenter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tolke kostnadsgraf og inntektsgraf med to tangenter for å finne overskuddsintervall, grensekostnad og maksimalt overskudd
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsgraf-med-tangenter/
### Oppgavetekst
På figuren har vi tegnet grafen til en kostnadsfunksjon $K$ (blå graf) og en inntektsfunksjon $I$ (rød graf). Her er $K(x)$ de daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter, og $I(x)$ er de daglige inntektene ved å selge $x$ enheter. Både kostnader og inntekter er regnet i kroner.
På samme figur har vi også tegnet inn to tangenter til grafen til $K$. Disse er gitt ved
$$
g(x) = 100x - 2613
$$
$$
h(x) = 62{,}5x + 3850
$$
a) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha et overskudd?
b) Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## H2016 del 1 oppgave 8 — Tilnærming med normalfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Binomisk fordeling, Sentralgrenseteoremet
- **Kort beskrivelse:** Avgjør hvilke av fire normalfordelinger som best tilnærmer to binomiske fordelinger, og begrunn valgene
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilnaerming-med-normalfordeling/
### Oppgavetekst
**I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.**
Vi har to stokastiske forsøk:
- På en flervalgsprøve med 32 oppgaver er det tre alternative svar til hver oppgave. Bare ett svar er riktig. Ole har ikke øvd til prøven, så han krysser av et tilfeldig svar på hver oppgave. La $X_1$ være antall rette Ole får.
- En frøpakke består av 100 frø. Spireevnen er oppgitt til å være 80 %. Lise sår alle de 100 frøene. La $X_2$ være antall frø som spirer.
Nedenfor er det tegnet inn fire normalfordelinger.
Avgjør hvilken som gir best tilnærming til $X_1$ og hvilken som gir best tilnærming til $X_2$. Begrunn svarene dine.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Optimering av materialkostnader for skap
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Kostnadsfunksjon, Volum
- **Kort beskrivelse:** Utled og minimer $K(x)=680x^2+\tfrac{736}{x}$ for et prismeformet skap med kvadratisk bunn og volum 800 L
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-materialkostnader-for-skap/
### Oppgavetekst
En bedrift skal produsere et skap formet som et rett prisme. Skapet skal ha kvadratisk bunn, og volumet skal være 800 L.
Materialet til sideflatene og toppen koster $230 \text{ kroner/m}^2$. Materialet til bunnen koster $450 \text{ kroner/m}^2$.
a) Vis at de totale materialkostnadene er gitt ved
$$
K(x) = 680x^2 + \frac{736}{x}, \quad x > 0
$$
der $x$ er lengden på sidene i bunnen, målt i meter.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$.
c) Bestem $x$ slik at materialkostnadene blir lavest mulig.
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Binomisk fordeling og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Hypotesetest, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregn binomisk sannsynlighet ($n=10$ og $n=100$) og gjennomfør hypotesetest med signifikansnivå 5 %
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Ved en trafikkstasjon er sannsynligheten $p = 0{,}52$ for at en tilfeldig person består teoriprøven for førerkort.
a) En dag skal 10 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 7 av disse greier prøven.
b) En uke skal 100 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 70 av disse greier prøven.
Myndighetene har mistanke om at elever fra en bestemt kjøreskole jukser. Av de 100 siste elevene fra denne kjøreskolen besto 60 teoriprøven.
c) Bruk hypotesetesting til å avgjøre om disse tallene støtter mistanken om juks. Bruk signifikansnivå på 5 %.
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Etterspørsel, inntekt og overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Etterspørsel, Optimering, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Uttrykk inntekt og overskudd som funksjon av pris $p$, verifiser modell mot tabell, og optimer overskuddet
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ettersporsel-inntekt-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen $x = E(p)$ er gitt ved
$$
E(p) = 341 - p^2 \quad \text{for} \quad p \in [4, 16]
$$
der $p$ er prisen i kroner per enhet.
a) Bestem inntekten $I$ uttrykt ved $p$.
b) Hvilken pris gir høyest inntekt?
De daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter er $K(x)$ kroner. Tabellen nedenfor viser kostnadene for noen $x$-verdier.
| $x$ | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|:---:|:--:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $K(x)$ | 792 | 1065 | 1329 | 1601 | 1867 | 2136 |
c) Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved
$$
O(p) = -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2356
$$
d) Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da?
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Annuitetslån med CAS
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Rente, CAS
- **Kort beskrivelse:** Beregn terminbeløp for 1 000 000 kr til 2,40 % over 25 år, og bruk CAS til å finne maksimal rente og kortere nedbetalingstid
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-med-cas/
### Oppgavetekst
Remine skal kjøpe leilighet. Hun må låne 1 000 000 kroner. Banken tilbyr henne et annuitetslån med årlig rente på 2,40 % og en nedbetalingstid på 25 år. Det er én termin per år. Første terminbeløp skal betales ett år etter at hun får lånet.
a) Bestem terminbeløpet.
Remine frykter en renteøkning. Hun kan klare å betale et terminbeløp på maksimalt 60 000 kroner.
b) Bruk CAS til å bestemme hvor høy renten kan være dersom Remine skal klare å betjene lånet.
Hun vurderer å betale ned lånet på kortere tid.
c) Bruk CAS til å bestemme antall terminer dersom den årlige renten er 2,40 % og terminbeløpet er 60 000 kroner.
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner (s2 v15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av eksponentialfunksjon, rasjonalt uttrykk og produkt med produktregelen
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-v15/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = e^{-2x}
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x}
$$
c)
$$
h(x) = (3x + 1) \cdot e^x + 2
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Faktorisering av tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Faktorisering, Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Faktoriser $f(x) = x^3 + x^2 + kx + k$ ved å lese nullpunkter fra graf og bestemme $k$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-av-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon $f$ gitt ved
$$
f(x) = x^3 + x^2 + kx + k \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Faktoriser $f(x)$ med lineære faktorer.
b) Bestem verdien for $k$ ved regning.
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke og murvegg
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Forklar aritmetisk rekke og bruk sumformelen til å telle murstein i en pyramideformet vegg med 20 rader
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-murvegg/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva det vil si at en rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ er aritmetisk.
b) En murer skal lage en vegg slik figuren viser. Bruk teori om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Uendelig geometrisk rekke og brøk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Skriv desimaltall som uendelig geometrisk rekke og finn eksakt brøkverdi
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-og-brok/
### Oppgavetekst
Tallet $x = 0{,}555\ldots$ består av uendelig mange 5-tall etter komma.
a) Forklar at vi kan se på dette tallet som summen av den uendelige geometriske rekken
$$
\frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \cdots
$$
Bruke dette til å skrive $x$ som en brøk.
b) Tallet $y = 0{,}232323\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å skrive $y$ som en brøk.
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 v15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Full drøfting av $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4$ inkludert nullpunkter, ekstrema, vendepunkt og skisse
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-tredjegradsfunksjon-s2-v15/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Vis at $x = -1$ er et nullpunkt til $f$. Bestem eventuelt andre nullpunkter.
b) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Sannsynlighetsfordeling med likningssystem (s2 v15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs likningssystem fra forventningsverdi og varians for en diskret sannsynlighetsfordeling
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighetsfordeling-med-likningssystem-s2-v15/
### Oppgavetekst
En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:
| $x$ | 0 | 1 | 2 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X)$ | $a$ | $b$ | $c$ |
Vi får oppgitt at forventningsverdien $\text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ og variansen $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2}$.
a) Vis at disse opplysningene gir likningssystemet
$$
\begin{cases} a + b + c = 1 & \\ b + 2c = \dfrac{1}{2} \\ a + b + 9c = 2 \end{cases}
$$
b) Bestem ved regning verdien av $a$, $b$ og $c$.
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Normalfordelte hjortebukker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standard normalfordeling, Normalfordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelte-hjortebukker/
### Oppgavetekst
Vekten $X$ av voksne hjortebukker i en kommune er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 100$ kg og med standardavvik $\sigma=20$ kg.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mellom 90 og 110 kg.
---
## V2015 del 1 oppgave 8 — Logistisk funksjon og grafgjenkjenning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Graftolkning, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Avgjør hvilken av fire grafer som hører til $f(x) = \frac{100}{1+e^{-x}}-25$ og $g(x) = \frac{100}{1+e^{-(x-5)}}$ ved å analysere egenskaper
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-funksjon-og-grafgjenkjenning/
### Oppgavetekst
På figuren ovenfor er det tegnet fire grafer.
Avgjør hvilken graf som hører til funksjonen $f$ og hvilken graf som hører til funksjonen $g$ når
$$
f(x) = \frac{100}{1 + e^{-x}} - 25 \qquad \text{og} \qquad g(x) = \frac{100}{1 + e^{-(x-5)}}
$$
Begrunn svaret ditt.
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Kostnadsfunksjon og optimering
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Andregradregresjon for kostnadsfunksjon, optimer overskudd ved fast pris og ved prismodell fra markedsanalyse
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-og-optimering/
### Oppgavetekst
De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare per dag er gitt i tabellen nedenfor.
| $x$ | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $K(x)$ | 1200 | 2200 | 3600 | 5500 | 7800 | 10500 | 13700 |
a) Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for $K(x)$.
Inntektene $I$ kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
I(x) = p \cdot x \quad \text{, der } p \text{ er prisen på varen og } x \in [40, 100]
$$
b) Hva må $p$ være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da?
Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter $x$ og prisen $p$ viser seg å være
$$
x = 200 - 1{,}2p
$$
c) Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag.
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Hill-funksjon og metningsgrad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Analyser Hill-funksjonen $g(x) = \frac{x^3}{x^3 + 25000}$ grafisk og vis ved derivasjon at den er voksende
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hill-funksjon-og-metningsgrad/
### Oppgavetekst
I lungene blir oksygen bundet til hemoglobin og transportert rundt i kroppen av blodet. Hemoglobinet er mettet når det ikke er i stand til å ta opp mer oksygen.
Den engelske fysiologen A. V. Hill oppdaget i 1910 en sammenheng mellom deltrykket til oksygenet i lungene og metningsgraden $g$.
Han fant at under visse forhold er
$$
g(x) = \frac{x^3}{x^3 + 25000} \quad , \quad x > 0
$$
Her er deltrykket $x$ målt i mmHg (millimeter kvikksølv).
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$.
b) Bestem grafisk hva deltrykket $x$ må være for at metningsgraden $g(x)$ skal være større enn $0{,}8$.
c) Bruk derivasjon til å vise at metningsgraden øker dersom deltrykket øker. Forklar.
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Hypotesetest for fettinnhold
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Normalfordeling, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Hypotesetest om fettinnhold i hamburgere er for høyt til grønt nøkkelhull, signifikansnivå 5 %
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-fettinnhold/
### Oppgavetekst
For at en bestemt type hamburgere skal kunne bli merket med «grønt nøkkelhull», må de inneholde høyst 10 g fett. I en kontroll viste det seg fettinnholdet (i gram) i 10 tilfeldig valgte hamburgere var
$$
11, 10, 11, 12, 9, 10, 11, 12, 10, 11
$$
Vi antar at fettinnholdet er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 10 \mathrm{~g}$ og med standardavvik $\sigma = 3 \mathrm{~g}$.
Bedriften oppgir at fettinnholdet er 10 g. En forbrukergruppe påstår at fettinnholdet er for stort til at hamburgerne kan bli merket med grønt nøkkelhull.
Bruk hypotesetesting til å vurdere påstanden. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Sparing og pensjon med annuitet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Sparing, Rente, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Beregn nødvendig årlig innskudd for å nå sparemål, og gjenstående beløp etter uttak med geometrisk rekke
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-og-pensjon-med-annuitet/
### Oppgavetekst
Kristin bestemmer seg for å spare penger til hun blir pensjonist. Hun ønsker å ha 2 millioner kroner på konto den dagen hun fyller 60 år. For å oppnå dette vil hun sette inn et fast årlig beløp, første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Hun regner med en årlig rente på 5 % i hele perioden.
a) Vis at hun må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.
Den dagen Kristin fyller 60 år, vil hun ta ut 200 000 kroner. Det samme vil hun gjøre på hver av de fire neste fødselsdagene.
b) Hvor stort beløp har Kristin på kontoen den dagen hun fyller 65 år?
---
## V2015 del 2 oppgave 5 — Logistisk vekst med vendepunkt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestem $y$-koordinat til vendepunkt og stigningstall til tangent for logistisk funksjon $f(x) = \frac{a}{1 + b \cdot e^{-kx}}$ med CAS
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekst-med-vendepunkt/
### Oppgavetekst
Grafen til en logistisk funksjon $f(x) = \dfrac{a}{1 + b \cdot e^{-kx}}$ er skissert nedenfor.
a) Grafen skjærer $y$-aksen i punktet $P$. Bestem $y$-koordinaten til $P$ uttrykt ved $a$ og $b$.
b) Bruk CAS og derivasjon til å vise at vendepunktet $V$ har $y$-koordinat lik $\dfrac{a}{2}$.
c) Bruk CAS til å vise at tangenten i $V$ har stigningstall lik $\dfrac{a \cdot k}{4}$.
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner (s2 h15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynom, eksponentialfunksjon med kjederegel og produkt av x² og e^x
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h15/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^3 + 2x
$$
b)
$$
g(x) = 3 \cdot e^{2x-1}
$$
c)
$$
h(x) = x^2 \cdot e^x
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Funksjonsdrøfting med polynom
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Topp-/bunnpunkt, vendepunkt og skisse av $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ ved hjelp av fortegnslinje
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-med-polynom/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til $f$.
b) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og delbarhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vis at $x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ er delelig med $(x-2)$ og forkort brøkuttrykket
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-delbarhet/
### Oppgavetekst
a) Forklar at polynomet $x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ alltid er delelig med $(x - 2)$.
b) Forkort brøken
$$
\frac{x^3 - x^2 + 2x - 8}{x - 2}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Løs likningssystem med tre ukjente
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løs et 3×3 lineært likningssystem med gausseliminasjon eller tilsvarende
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-likningssystem-med-tre-ukjente/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned} x + 2y - z &= 2 \\ 2x - y + z &= 3 \\ 3x - 2y + 2z &= 2 \end{aligned}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Geometrisk rekke og uendelig sum
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Identifiser geometrisk rekke, bestem sumformel $S_n$ og uendelig sum
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-uendelig-sum/
### Oppgavetekst
En rekke er gitt ved
$$
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}
$$
a) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av rekken.
b) Bestem summen av den uendelige rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Tallfølge og delbarhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vis at $a_n = n^3 + 1$ er delelig med $n+1$ ved algebraisk argumentasjon
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallfolge-og-delbarhet/
### Oppgavetekst
En tallfølge $\{a_n\}$ er gitt ved $a_n = n^3 + 1$
a) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.
b) Vis at leddene $a_1, a_2, a_3$ og $a_4$ er delelige med henholdsvis 2, 3, 4 og 5.
c) Vis at $a_n$ er delelig med $n + 1$
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Kostnad og overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Sett opp inntekts- og overskuddsfunksjon og optimer produksjonsmengden
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-og-overskudd/
### Oppgavetekst
La $x$ være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. De totale kostnadene $K(x)$ er gitt ved
$$
K(x) = 20000 + 120x + 0{,}05x^2
$$
Prisen $p(x)$ for én enhet er gitt ved
$$
p(x) = 480 - 0{,}1x
$$
a) Bestem et uttrykk for inntekten $I(x)$.
b) Bestem et uttrykk for overskuddet $O(x)$. Bestem den produksjonsmengden som gir det største overskuddet.
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Terningspill og forventningsverdi (s2 h15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Fullfør sannsynlighetsfordeling for kasinoets utbytte og bruk forventningsverdi til å fastsette spillpris
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-og-forventningsverdi-s2-h15/
### Oppgavetekst
I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst.
La $a$ være prisen en spiller må betale for ett spill, og $X$ utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor
| $x$ | $a$ | $a - 200$ | $a - 50$ |
|:---:|:---:|:---------:|:--------:|
| $P(X = x)$ | $\frac{27}{36}$ | | |
b) Hva bør kasinoet sette prisen $a$ til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Normalfordeling og lyspærer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheter og kvantiler for $X \sim N(2000, 400^2)$ og identifiser riktig normalfordelingsgraf
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-og-lyspaerer/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.
Levetiden $X$ til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid $\mu = 2000 \mathrm{~timer}$ og med et standardavvik $\sigma = 400 \mathrm{~timer}$.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.
b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn $x$ timer. Bestem $x$.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X$? Begrunn svaret.
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Treningsfunksjon og integrasjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Graf, avlesning og bestemt integrasjon av treningseffektfunksjonen $f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treningsfunksjon-og-integrasjon/
### Oppgavetekst
Maria trener på et apparat i et treningssenter. La $f(x)$ være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, $x$ minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x \qquad , \qquad x \geq 0
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min.
Det samlede energiforbruket $E$, målt i kilojoule (kJ), i de første $t$ minuttene av treningen er gitt ved
$$
E(t) = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x
$$
c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.
d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — Maraton regresjon og logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Logistisk vekst, Modellering, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon for maraton-fart, skjæringspunkt mellom to modeller og logistisk modell for sub-2-timer
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maraton-regresjon-og-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen.
I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år.
Menn:
| Årstall | 1909 | 1913 | 1920 | 1935 | 1960 | 1970 | 1988 |
|:-------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Fart (m/s) | 4,38 | 4,51 | 4,61 | 4,81 | 5,20 | 5,43 | 5,55 |
Kvinner:
| Årstall | 1963 | 1967 | 1970 | 1973 | 1975 | 1979 | 1985 |
|:-------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Fart (m/s) | 3,24 | 3,75 | 3,85 | 4,22 | 4,44 | 4,77 | 4,98 |
a) Lag lineære modeller $f$ og $g$ for farten til menn og kvinner. La $x$ være antall år etter 1900.
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene?
Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på $5{,}72 \mathrm{~m/s}$, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på $5{,}01 \mathrm{~m/s}$.
c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene?
En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp $x$ år etter 1900 er gitt ved:
$$
h(x) = \frac{6{,}65}{1 + 0{,}751 e^{-0{,}012x}}
$$
d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Fond og geometrisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Rente, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Maksimalt uttak fra fond med fast avkastning og bestem når fond er tomt ved hjelp av geometrisk rekke
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fond-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år.
Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.
a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?
b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Energiinnhold likningssystem CAS
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs 3×3 likningssystem med CAS for å bestemme energiinnhold per gram fett, karbohydrater og proteiner
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energiinnhold-likningssystem-cas/
### Oppgavetekst
Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner.
Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.
| | Smøreost | Helmelk | Hvitost |
|:--|:--------:|:-------:|:-------:|
| Fett | 25 g | 3,5 g | 27 g |
| Karbohydrater | 2 g | 4,5 g | 0 g |
| Proteiner | 6 g | 3,3 g | 27 g |
| Energiinnhold | 1010 kJ | 270 kJ | 1500 kJ |
Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere et polynom og produktet $xe^{2x}$ med produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynomfunksjon-og-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a) Deriver $f(x) = 3x^3 - 2x + 5$.
b) Deriver $g(x) = xe^{2x}$.
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Derivasjon med kvotientregelen
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $h'(2)$ ved å derivere $h(x) = \frac{e^x}{x-1}$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-kvotientregelen/
### Oppgavetekst
Bestem $h'(2)$ når $h(x) = \dfrac{e^x}{x-1}$.
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Vise at $x=3$ er nullpunkt, faktorisere $P(x) = 2x^3-6x^2-8x+24$ med polynomdivisjon og forkorte en rasjonalbrøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-faktorisering-s2-e15/
### Oppgavetekst
Funksjonen $P$ er gitt ved
$$
P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 8x + 24
$$
a) Vis at $P(3) = 0$.
b) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
c) Forkort brøken $\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 8x + 24}{2x^2 - 8}$.
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Rekke med delte differanser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut tabell for rekken $1+7+19+37+61+91+\cdots$, foreslå formel for $S_n$ og bevise at $a_n = 3n^2 - 3n + 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekke-med-delte-differanser/
### Oppgavetekst
En uendelig rekke er gitt ved
$$
1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \cdots
$$
| $n$ | $a_n$ | $S_n$ | $S_n$ |
|:---:|:-----:|:-----:|:-----:|
| 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 7 | 8 | $2^3$ |
| 3 | 19 | | |
| 4 | | | |
| 5 | | 125 | $5^3$ |
| 6 | 91 | 216 | |
a) Skriv av og fyll ut tabellen. Foreslå en formel for $S_n$.
b) Forklar at $a_n = S_n - S_{n-1}$. Bruk dette til å vise at $a_n$ også kan skrives $a_n = 3n^2 - 3n + 1$.
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme nullpunkter, topp- og bunnpunkter for $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ på $\langle -1, 4 \rangle$ og tegne grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-tredjegradsfunksjon-s2-e15/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x, \qquad x \in \langle -1,\, 4 \rangle
$$
a) Bestem eventuelle nullpunkter, toppunkter og bunnpunkter for $f$.
b) Tegn grafen til $f$.
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Graftolkning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke hva $f(0)=300$, $f'(10)=0$ og $f''(10)=-10$ forteller om mengden lava ved et vulkanutbrudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-funksjonsverdier-ved-vulkanutbrudd/
### Oppgavetekst
Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f(t)$. Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.
Du får vite at: $f(0) = 300$, $\quad f'(10) = 0$ $\quad$ og $\quad f''(10) = -10$
Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Grensekostnad lik grenseinntekt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare matematisk hvorfor $K'(x) = I'(x)$ gir størst overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-lik-grenseinntekt/
### Oppgavetekst
Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt, $K'(x) = I'(x)$, når vi skal finne størst overskudd.
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Normalfordelt intelligens
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standard normalfordeling, Normalfordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelt-intelligens/
### Oppgavetekst
Intelligenskvotienten (IQ) er et mål på intelligensen til en person. Antall poeng som en tilfeldig person skårer på en IQ-test $X$ antar vi i denne oppgaven å være normalfordelt med forventningsverdi $\mu=100$ og standardavvik $\sigma=15$.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng på en slik IQ-test.
Mensa Norge er en forening for de skårer høyest på slike IQ-tester. Kun 2 % av befolkningen kan bli medlem av Mensa.
b) Hvor mange poeng må du minst skåre på en slik test, for å kunne bli medlem av Mensa?
---
## E2015 del 1 oppgave 9 — Mynter og likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et $3 \times 3$ lineært likningssystem for å bestemme verdien av tre myntyper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mynter-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
Tre gutter har tre typer mynter med ulik verdi i lommene. Tabellen nedenfor viser fordelingen av myntene.
| Navn | Antall mynter av type 1 | Antall mynter av type 2 | Antall mynter av type 3 | Sum i kroner |
|:-----|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Sebastian | 3 | 2 | 4 | 120 |
| Markus | 2 | 3 | 2 | 75 |
| Matthias | 2 | 5 | 3 | 105 |
Bestem verdien til de tre mynttypene ved å løse et likningssystem.
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Konvergent uendelig rekke og gummiball
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Vise at en uendelig rekke konvergerer og bestemme summen, og beregne total tilbakelagt distanse for en sprettende gummiball som geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergent-uendelig-rekke-og-gummiball/
### Oppgavetekst
a) Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen.
$$
7 + \frac{14}{9} + \frac{28}{81} + \frac{56}{729} + \cdots
$$
En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp $\dfrac{2}{3}$ av den forrige høyden.
b) Bestem den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro.
---
## E2015 del 1 oppgave 11 — Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x) = (x-1)e^x$ på $\langle -3, 2 \rangle$: nullpunkter, akseskjæringer, ekstremalpunkter og det punktet der grafen synker raskest.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = (x - 1) \cdot e^x, \qquad x \in \langle -3,\, 2 \rangle
$$
a) Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til $f$.
b) Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem koordinatene til punktet der grafen til $f$ synker raskest.
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Kubikktall og CAS
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** CAS, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å løse likninger om tall som kan skrives som sum av kubikktall på spesielle måter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikktall-og-cas/
### Oppgavetekst
a) Det minste tallet som kan skrives som summen av to kubikktall på to måter, er 1729:
$$
1729 = 1^3 + n^3
$$
$$
1729 = m^3 + (m+1)^3
$$
Bruk CAS til å bestemme verdien av $n$ og $m$.
Det eneste kubikktallet som kan skrives som summen av tre påfølgende kubikktall, er $6^3$.
b) Bruk CAS til å bestemme de tre kubikktallene ved å løse en likning.
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Logistisk vekst og Oljefondet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke $f''(x)$ til å finne tidspunktet for størst vekst i en logistisk modell for Oljefondet, og beregne veksten og fondets størrelse da.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekst-og-oljefondet/
### Oppgavetekst
Ifølge én modell vil størrelsen av Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», følge funksjonen gitt ved
$$
f(x) = \frac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}}
$$
Her er $x$ antall år etter 1996, og $f(x)$ angir størrelsen av fondet i milliarder kroner.
Bruk $f''(x)$ til å bestemme når fondet har sin **største vekst** ifølge denne modellen. Hvor stor er veksten da? Hvor stort er fondet på dette tidspunktet?
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp totalkostnad $K(x)$ og inntekt $I(x)$ fra enhetskostnad $E(x) = 0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}$, finne produksjonsmengder som gir overskudd og bestemme optimalt overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-og-optimalt-overskudd/
### Oppgavetekst
I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved
$$
E(x) = 0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}, \qquad x \in [10,\, 300]
$$
Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.
a) Bestem et funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.
b) Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Deltakere på ukentlig trim
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $D(x) = 120 - 100e^{-0{,}35x} + 80e^{-0{,}09x}$ og tolke $\int_0^{20} D(x)\,dx$ som totalt antall deltakertimer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deltakere-pa-ukentlig-trim/
### Oppgavetekst
Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen
$$
D(x) = 120 - 100e^{-0{,}35x} + 80e^{-0{,}09x}
$$
Her er $D(x)$ antall deltakere per uke $x$ uker etter den første trimuka. Det vil si at $D(0)$ er antall deltakere den første uka, $D(1)$ er antall deltakere den andre uka, og så videre.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $D$.
b) Bestem $\displaystyle\int_0^{20} D(x)\,dx$. Forklar hva dette svaret forteller oss.
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne andel kunder mellom to vekter fra en normalfordeling og gjennomføre en ensidig hypotesetest for gjennomsnittsvekten med signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-og-hypotesetest-for-treningssenter/
### Oppgavetekst
Ved et treningssenter registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.
Gjennomsnittsvekten var $79{,}2 \text{ kg}$ med et standardavvik på $6{,}4 \text{ kg}$. Vi antar at kroppsvekten er normalfordelt.
a) Hvor stor andel av kundene veide mellom $75{,}0 \text{ kg}$ og $85{,}0 \text{ kg}$?
Treningssenteret vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er $76{,}0 \text{ kg}$. Vi antar at standardavviket er uendret.
b) Sett opp hypotesene $H_0$ og $H_1$. Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene på treningssenteret har gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Rente
- **Kort beskrivelse:** Bestemme månedlig rente og årsrente for et avbetalingstilbud på 20 000 kr betalt med 729 kr/mnd i 36 måneder ved hjelp av annuitetsformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avbetalingsrente-for-hjemmekinoanlegg/
### Oppgavetekst
En person kjøper et hjemmekinoanlegg. Han kan betale 20 000 kroner kontant eller på avbetaling med 729 kroner per måned i 36 måneder. Han velger å kjøpe anlegget på avbetaling. Første avbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.
Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet, og bestem årsrenten.
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av brøk og eksponentialfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av $f(x) = 3/x^2$ (omskriving til potens) og $g(x) = x \cdot e^{-4x}$ (produktregel)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-brok-og-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \dfrac{3}{x^2}
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot e^{-4x}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Beregn $P(2)$ og faktoriser $P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ i lineære faktorer ved polynomdivisjon
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-faktorisering-s2-v14/
### Oppgavetekst
Funksjonen $P$ er gitt ved
$$
P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \qquad , \quad D_P = \mathbb{R}
$$
a) Bestem $P(2)$.
b) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i lineære faktorer.
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — Aritmetiske rekker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Sumformel for aritmetisk rekke $3+6+\cdots+300$, og bestem ledd i rekke definert rekursivt med $a_n = a_{n-2} + 8$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetiske-rekker/
### Oppgavetekst
a) Bestem summen av den aritmetiske rekken $3 + 6 + \cdots + 300$
b) Bestem $a_2$ slik at rekken $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ blir aritmetisk når $a_1 = 4$ og $a_n = a_{n-2} + 8$, $n \geq 3$.
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Billettinntekter og likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs et 3×3-likningssystem for antall voksne, barn og pensjonister på konsert
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettinntekter-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
Ved en konsert var billettprisen 100 kroner for voksne, 50 kroner for barn og 60 kroner for pensjonister. Det ble solgt 80 billetter til konserten. Billettinntektene var i alt 5 000 kroner. Det ble solgt like mange billetter til barn som til voksne og pensjonister til sammen.
Sett opp et likningssystem og bruk dette til å bestemme antall voksne, antall barn og antall pensjonister som kjøpte billett til konserten.
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting med derivertgraf
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Avles topp/bunn og monotoni fra graf av $f'$, tangentligning i punkt, fortegnslinje for $f''$ og vendepunkt, skisse av $f$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-med-derivertgraf/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon $f$.
a) Bruk grafen til å bestemme $x$-koordinaten til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$. Avgjør hvor grafen til $f$ vokser, og hvor den minker.
b) Punktet $(4,\ 3)$ ligger på grafen til $f$. Bestem likningen til tangenten i dette punktet.
c) Tegn fortegnslinjen til $f''(x)$. Bruk denne til å bestemme $x$-koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$.
d) Lag en mulig skisse av grafen til $f$.
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Binomiske fordelinger og histogrammer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Diagram, Statistikk, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Knytt fire binomiske variabler $X_1$–$X_4$ til riktige histogrammer ved å bruke $n$, $p$ og form; identifiser variabel fra $P(X \geq 10)$; bestem størst standardavvik
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomiske-fordelinger-og-histogrammer/
### Oppgavetekst
Figurene nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene $X_1$, $X_2$, $X_3$ og $X_4$.
Vi får opplyst at
- $X_1$ har 10 delforsøk og $p = 0{,}6$ er sannsynligheten for suksess.
- $X_2$ har 100 delforsøk og $p = 0{,}06$ er sannsynligheten for suksess.
- $X_3$ har 10 delforsøk og $p = 0{,}4$ er sannsynligheten for suksess.
- $X_4$ har 50 delforsøk og $p = 0{,}1$ er sannsynligheten for suksess.
a) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X_1$? Avgjør også hvilken grafisk framstilling som illustrerer henholdsvis $X_2$, $X_3$ og $X_4$. Begrunn svarene.
b) For den ene variabelen er $P(X \geq 10) = 0{,}0775$. Hvilken variabel er dette?
c) Hvilken av de fire binomiske variablene har størst standardavvik?
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Geometrisk rekke av halvsirkler
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Vis at halvsikelbuenes lengder $O_1 + O_2 + O_3 + \ldots$ er en geometrisk rekke, og bestem summen
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-av-halvsirkler/
### Oppgavetekst
Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er $2r$. Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående.
Vi lar $O_n$ være lengden av halvsirkelbue nummer $n$.
a) Forklar at $O_1 + O_2 + O_3 + \ldots$ blir en uendelig, geometrisk rekke.
b) Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret.
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Modellering av jervedata med regresjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Eksponentialregresjon på jervedata, prognose for 2014, og beregn samlet antall døde jerv 1990–2014 som sum av geometrisk rekke
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modellering-av-jervedata-med-regresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall jerv som er registrert døde i noen utvalgte år.
| Årstall | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 |
|---------|------|------|------|------|------|
| Antall døde jerv | 2 | 16 | 41 | 63 | 105 |
a) Bruk opplysningene i tabellen til å lage en modell som viser antall døde jerv $x$ år etter 1990. Gi en begrunnelse for modellen din.
b) Hvor mange jerv kan vi forvente blir registrert døde i 2014 ifølge modellen?
c) Hvor mange jerv forventes registrert døde til sammen i årene 1990–2014?
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Grenseinntekt og grensekostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Regresjon, Ulikheter, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon for prisfunksjon, grenseinntekt og grensekostnad, løs ulikhet $I'(x) > K'(x)$, maksimer overskudd
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseinntekt-og-grensekostnad/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter av varen slik tabellen viser.
| $x$ | 98 | 510 | 751 | 990 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
| $p$ | 2200 | 2100 | 2050 | 2000 |
a) Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk $p(x)$ for prisen $p$. Bruk dette til å bestemme et uttrykk $I(x)$ for inntektsfunksjonen $I$.
Bedriften har funnet ut at kostnadene $K(x)$ (målt i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}03x^2 + 15x + 605\ 000
$$
b) Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.
c) Løs ulikheten $I'(x) > K'(x)$. Hva forteller svaret oss?
d) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Optimering av container uten lokk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Volum, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Vis $h = 5/x^2$ fra volumkrav, vis $K(x) = 200x^2 + 1800/x$ fra materialkostnader, minimer $K(x)$ med derivasjon
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-container-uten-lokk/
### Oppgavetekst
En bedrift har fått bestilling på en container som skal ha form som et rett prisme uten lokk. Volumet til containerne skal være $10 \mathrm{~m^3}$. Lengden skal være dobbelt så stor som bredden.
Vi lar høyden være $h$ m, bredden $x$ m og lengden $2x$ m. Se skissen nedenfor.
a) Vis at høyden $h$ av containeren er gitt ved
$$
h = \frac{5}{x^2}
$$
Materialet til bunnen koster 100 kroner per kvadratmeter. Materialet til de fire sidene koster 60 kroner per kvadratmeter.
b) Vis at kostnadene kan skrives som
$$
K(x) = 200x^2 + \frac{1800}{x}
$$
c) Bestem lengde, bredde og høyde i containeren slik at kostnadene ved å produsere containeren blir minst mulig.
Bestem den minste kostnaden ved å produsere containeren.
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Hypotesetest, Forventningsverdi, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn $P(X=3)$ for tre på rad, forventning og standardavvik for $X \sim B(1000; 0{,}10)$, og ensidig hypotesetest for overdrivenhet
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-i-sikkerhetskontroll/
### Oppgavetekst
I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer tilfeldig trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med $p = 0{,}10$.
a) Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut.
Vi lar $X$ være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer.
b) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ og standardavviket $\text{SD}(X)$.
Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer viste det seg at 110 ble trukket ut.
c) Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke.
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Avbetalingslån og sparerente
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Sparing, Rente, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån: nåverdilikning for terminbeløp, bestem månedlig bankrente fra annuitetsligning, bestem sparerente fra termininnbetalinger
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avbetalingslan-og-sparerente/
### Oppgavetekst
Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner. Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.
a) Forklar at dersom terminbeløpet er $x$ kroner, så vil
$$
\frac{x}{1{,}016} + \frac{x}{1{,}016^2} + \cdots + \frac{x}{1{,}016^{36}} = 8025
$$
Løs denne likningen.
Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet.
b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?
Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen.
c) Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.
---
## V2014 del 2 oppgave 7 — Geometrisk rekke for medisin i kropp
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestem maksimalt akkumulert medisinmengde som sum av uendelig geometrisk rekke med halvering over to doseringsintervaller
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-for-medisin-i-kropp/
### Oppgavetekst
En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av seks timer.
En pasient får én tablett hver tolvte time.
Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk?
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av logaritmefunksjoner
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = 3\ln(x+2)$ og $g(x) = x \cdot \ln(3x)$ med kjerneregelen og produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-logaritmefunksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3\ln(x+2)
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot \ln(3x)
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Forkorting av brøk med polynomdivisjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om $\frac{x^3-2x^2-3x}{x-3}$ kan forkortes uten å utføre forkortingen, deretter forkorte med polynomdivisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-brok-med-polynomdivisjon/
### Oppgavetekst
Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen.
$$
\frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{x - 3}
$$
Forkort brøken.
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Geometrisk rekke og sum
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bestemme summen av endelig geometrisk rekke, begrunne konvergens og finne $a$ slik at uendelig sum blir 10.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-sum/
### Oppgavetekst
a) Bestem et uttrykk for summen $a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2^2} + \ldots + \dfrac{a}{2^{n-1}}$
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2^2} + \dfrac{a}{2^3} + \ldots$
b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer.
c) Bestem $a$ slik at summen av rekken blir 10.
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$: nullpunkter, topp/bunnpunkt, vendepunkt og skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem ved regning nullpunktene til $f$.
b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Enhetskostnader fra graf
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Enhetskostnad, Økonomi, Graftolkning, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kompetansemål:** Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene (KM3128)
- **Kort beskrivelse:** Avlese enhetskostnad og grensekostnad geometrisk fra graf av $K$, og minimere enhetskostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetskostnader-fra-graf/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ser du grafen til en kostnadsfunksjon $K$, markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene
$$
\begin{aligned}
y&=4{,}46x\\
y&=3{,}43x\\
y&=2{,}06x+960
\end{aligned}
$$
To av linjene tangerer grafen til funksjonen $K(x)$ i henholdsvis $A$ og $B$.
a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
c) Bestem den minste enhetskostnaden.
> **Kommentar**
> Jeg har fjernet formel for enhetskostnad fra oppgaven, siden jeg mener at denne bør være kjent for dere.
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Sannsynlighetsfordeling med likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp likningssystem fra $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ for diskret fordeling, og løse for $a$, $b$, $c$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighetsfordeling-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|:---:|:----:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | $a$ | $b$ | $c$ |
Vi får oppgitt at forventningsverdien er $\text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ og at variansen er $\text{Var}(X) = \dfrac{7}{12}$.
a) Vis at disse opplysningene gir oss likningssystemet
$$
a + b + c = 1
$$
$$
-a \phantom{+b} + c = \frac{1}{2}
$$
$$
27a + 3b + 3c = 7
$$
b) Bestem verdien av $a$, $b$ og $c$.
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Tangentpunkter med gitt stigningstall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne punkter på grafen til $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 2$ der tangenten har stigningstall 2 ved å løse $f'(x) = 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentpunkter-med-gitt-stigningstall/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 2 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bestem hvilke punkter på grafen til $f$ som har tangent med stigningstall lik 2.
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Inntekt kostnad og overskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Regresjon, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kort beskrivelse:** Finne inntektsfunksjon, lage regresjonsmodell for kostnad, optimere overskudd og tolke $K'(x) = I'(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-kostnad-og-overskudd/
### Oppgavetekst
La $x$ være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. Sammenhengen mellom $x$ og prisen per enhet er
$$
p(x) = 500 - 0{,}1x
$$
a) Bestem et uttrykk for inntekten $I(x)$.
Tabellen nedenfor viser kostnaden ved produksjon av $x$ enheter for en del verdier for $x$.
| $x$ | 500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 |
|:---:|:---:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| $K(x)$ | 92 300 | 195 000 | 310 000 | 461 000 | 641 000 |
b) Bruk tabellen til å lage en modell for kostnadsfunksjonen $K$.
c) Bestem et uttrykk for overskuddet $O(x)$. Bruk $O'(x)$ til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
d) Forklar hvorfor løsningen av likningen $K'(x) = I'(x)$ gir samme resultat som i oppgave c).
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Optimering av gjerdelengde
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Vise at gjerdelengden kan uttrykkes som $G(x) = \frac{2x^2 - 15x + 1250}{x}$, og minimere med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-gjerdelengde/
### Oppgavetekst
En bonde skal gjerde inn kuene sine på et rektangelformet område. Området skal være på $625 \mathrm{~m^2}$. Bonden skal bruke en 15 m lang steinmur som en del av inngjerdingen.
Se skissen nedenfor.
a) Vis at en funksjon $G$ som beskriver lengden av gjerdet kan skrives som
$$
G(x) = \frac{2x^2 - 15x + 1250}{x} \quad \text{når } x > 15
$$
b) Bestem hvor langt gjerde bonden må bruke dersom han skal bruke kortest mulig gjerde. Hvilken form har da området til bonden?
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Sparing og uttak på konto
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Rente, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Beregne sparebeløp med geometrisk rekke ved faste innskudd, deretter saldo etter uttak med ny rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-og-uttak-pa-konto/
### Oppgavetekst
Katrine satte inn 20 000 kroner på konto hvert år, første gang 1. januar 2007 og siste gang 1. januar 2010. Innskuddsrenten var hele tiden 3,5 % per år. Alle innskuddene sto urørt.
a) Hvor mye hadde Katrine på sparekontoen i banken 31. desember 2010?
1. januar 2011 ble innskuddsrenten satt ned til 3,0 % per år.
b) Katrine satte ikke flere penger i banken, men tok i stedet ut 8000 kroner hvert år, første gang 1. januar 2011 og siste gang 1. januar 2014.
Hvor mye hadde Katrine på sparekontoen 31. desember 2014?
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Hubberts oljemodell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon, Optimering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Analysere $V(t) = \frac{3400 \cdot e^{-0{,}051t}}{(1 + 56 \cdot e^{-0{,}051t})^2}$ med graftegner, nullstilling, maksimum og bestemt integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hubberts-oljemodell/
### Oppgavetekst
Den amerikanske geofysikeren Marion King Hubbert lanserte i 1956 følgende modell for verdens årlige oljeproduksjon:
$$
V(t) = \frac{3400 \cdot e^{-0{,}051t}}{(1 + 56 \cdot e^{-0{,}051t})^2}
$$
Her er $V(t)$ antall milliarder fat olje som produseres i år $t$ etter 1930. For eksempel er $V(5)$ antall milliarder fat som ble produsert i 1935.
a) Tegn grafen til $V$.
b) Når vil produksjonen være 10 milliarder fat per år ifølge modellen?
c) Hvilket år vil produksjonen være størst?
d) Hva vil den totale produksjonen av olje være i årene fra og med 1930 til og med 2014?
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — Båttall og figurtall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Tallfølger, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Finne $B_4$, bruke dekomponeringen $B_n = T_n + T_{n+3} - 3$ til å bestemme $B_5$, og utlede en generell formel for $B_n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/battall-og-figurtall/
### Oppgavetekst
Båttallene $B_n$ er antall prikker i figurene nedenfor. Vi ser at $B_1 = 8$ og $B_2 = 15$.
a) Bestem $B_4$.
Mathias ser at han kan dele hver figur i to biter slik at han får en trekant og en del av en større trekant.
Ut fra dette ser han at $B_n = T_n + T_{n+3} - 3$, der $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$.
b) Bruk dette til å bestemme $B_5$.
c) Bestem en formel for $B_n$ uttrykt ved $n$.
---
## H2014 del 2 oppgave 6 — Normalfordeling for juicekartonger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Sentralgrenseteoremet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for normalfordelt innhold, gjennomføre ensidig hypotesetest med sentralgrenseteoremet, og bestemme krav til forventningsverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-for-juicekartonger/
### Oppgavetekst
En fabrikk produserer juice i kartonger. Hver kartong skal inneholde ca. 0,33 L juice. I denne oppgaven tenker vi at innholdet i boksene er normalfordelt med forventningsverdi 0,33 L og standardavvik på 0,03 L.
a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 L?
b) Hvor mange prosent av kartongene vil inneholde mellom 0,32 L og 0,34 L?
I en kvalitetskontroll inneholdt 25 tilfeldige kartonger gjennomsnittlig 0,292 L juice.
c) Sett opp hypoteser og vurder om bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
Bedriften synes det er uheldig at så mange kunder får for lite juice i kartongene. De kan ikke gjøre noe med standardavviket, siden det er bestemt av produksjonsutstyret. Likevel ønsker de at ca. 90 % av alle kartongene skal inneholde mer enn 0,32 L juice. Dette kan de få til ved å i snitt tappe mer juice på hver kartong.
d) Hva må forventningsverdien være for å få dette til?
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produkt- og kjerneregel S2 V13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = x \cdot e^{2x}$ med produktregelen og $g(x) = \frac{x-1}{x^2-3}$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produkt-og-kjerneregel-s2-v13/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
$$
f(x) = x \cdot e^{2x}
$$
$$
g(x) = \frac{x-1}{x^2-3}
$$
a) Deriver $f(x) = x \cdot e^{2x}$
b) Deriver $g(x) = \dfrac{x-1}{x^2-3}$
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og restteorem S2 V13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forkorte brøk ved polynomdivisjon, og bruke restteoremet til å bestemme ukjente tall slik at divisjon går opp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-restteorem-s2-v13/
### Oppgavetekst
a) Forkort brøken ved å bruke polynomdivisjon
$$
\frac{x^3-1}{x-1}
$$
b) Bestem tallet $a$ slik at divisjonen går opp
$$
(x^2-2x+a):(x-3)
$$
c) Bestem tallet $b$ slik at divisjonen går opp
$$
(x^2-3x-4):(x-b)
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Konvergent geometrisk rekke med negativ kvotient
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Forklare konvergens fordi $|k| = 0{,}1 < 1$, og beregne summen $S = \frac{a_1}{1-k}$ for $a_n = 11 \cdot (-0{,}1)^{n-1}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergent-geometrisk-rekke-med-negativ-kvotient/
### Oppgavetekst
Det $n$-te leddet i en geometrisk rekke er gitt ved
$$
a_n = 11 \cdot (-0{,}1)^{n-1}
$$
Forklar at rekken er konvergent. Hva blir summen?
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Likningssystem med tre ukjente S2 V13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse et $3 \times 3$ lineært likningssystem med Gauss-eliminasjon eller innsettingsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-tre-ukjente-s2-v13/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} x + y - z = 13 \\ 2x + y + z = 27 \\ x - 3y - 2z = -9 \end{bmatrix}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting kubikkfunksjon S2 V13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne topp-/bunnpunkter via $f'(x)=0$, vendepunkter via $f''(x)=0$, og skissere grafen til $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-kubikkfunksjon-s2-v13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1
$$
a) Bruk $f'(x)$ til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bruk $f''(x)$ til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Diskret sannsynlighetsfordeling med parameter p
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $p$ fra normaliseringsvilkåret $\sum P(X=x)=1$, deretter beregne $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diskret-sannsynlighetsfordeling-med-parameter-p/
### Oppgavetekst
Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | $2p$ | $p$ | $3p$ | $0{,}3$ | $p$ |
a) Forklar hvorfor $p = 0{,}1$.
b) Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Fire normalfordelinger gjenkjenning og sannsynlighet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Tolkning
- **Kort beskrivelse:** Knytte grafiske normalfordelinger til $X_1$–$X_4$ ut fra $\mu$ og $\sigma$, og identifisere variabel fra $P(7 < X < 14) = 0{,}75$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-normalfordelinger-gjenkjenning-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Vi har gitt fire stokastiske variabler $X_1$, $X_2$, $X_3$ og $X_4$ som alle er normalfordelte. Forventningsverdien $E$ og standardavviket $SD$ for disse er
$$
E(X_1) = 5 \text{ og } SD(X_1) = 1 \qquad E(X_2) = 5 \text{ og } SD(X_2) = 3
$$
$$
E(X_3) = 10 \text{ og } SD(X_3) = 3 \qquad E(X_4) = 10 \text{ og } SD(X_4) = 1
$$
a) Hvilke av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X_1$, $X_2$, $X_3$ og $X_4$? Begrunn svaret.
b) For den ene variabelen er $P(7 < X < 14) = 0{,}75$. Hvilken variabel er det? Begrunn svaret.
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Etterspørsel grenseinntekt og kostnadsfunksjon S2 V13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Etterspørsel, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Utlede $I'(x)=1500-0{,}5x$ fra etterspørselsfunksjonen, optimere overskudd med $I'=K'$, og finne minste balansepris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ettersporsel-grenseinntekt-og-kostnadsfunksjon-s2-v13/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. En markedsanalyse viser at etterspørselen $E$ kan skrives som
$$
E(p) = 6000 - 4p
$$
der $p$ er prisen i kroner per enhet.
a) Vis at grenseinntekten er gitt ved
$$
I'(x) = 1500 - 0{,}5x
$$
der $x = E(p)$ er antall solgte enheter av varen.
Bedriften regner med at kostnadene $K(x)$ kroner ved å produsere og selge $x$ enheter er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 550\,000
$$
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva er prisen per enhet da?
c) Bedriften ønsker å øke sin markedsandel og vil derfor sette ned prisen, slik at flere kjøper produktet. Hva er den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse?
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Logistisk modell og regresjon for to firmaer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Regresjon, Integrasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Beregne $f(6)$ fra gitt logistisk modell, finne logistisk regresjon for tabelldata, sammenligne tak-verdier og beregne totalsalg via bestemt integral 2006–2015.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-og-regresjon-for-to-firmaer/
### Oppgavetekst
Et firma A importerer og selger et produkt. Antall solgte enheter per år kan beskrives ved modellen
$$
f(x) = \frac{333}{1 + 1{,}45e^{-0{,}23x}}
$$
der $x$ er antall år etter 2006.
a) Hvor mange enheter solgte firma A i 2012 ifølge denne modellen?
Et konkurrerende firma B importerer og selger et tilsvarende produkt. Antall solgte enheter per år i firma B ser du i tabellen nedenfor.
| Antall år etter 2006 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall solgte enheter per år | 135 | 154 | 176 | 192 | 211 | 228 | 243 |
b) Bestem ut fra disse tallene en logistisk modell som viser antall solgte enheter per år i firma B.
c) Hvilket firma vil i det lange løp selge flest enheter per år ifølge de to modellene?
d) Hvor mange enheter forventes det at hvert av de to firmaene importerer og selger totalt i årene fra og med 2006 til og med 2015?
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Annuitetslån med variabel rente og antall terminer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Forklare og løse annuitetslikning, finne høyeste rente for gitt terminbeløp, og bestemme antall terminer for å holde terminbeløp under grense ved 6,5 % rente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-med-variabel-rente-og-antall-terminer/
### Oppgavetekst
Svanhild vurderer å ta opp et annuitetslån på 600 000 kroner. Hun kan velge mellom en fast årlig rente på 3,5 % og flytende rente. Lånet har én termin per år med en nedbetalingstid på 20 år. Første innbetaling skjer om ett år.
a) Forklar hvorfor vi kan bestemme terminbeløpet ved en fast årlig rente på 3,5 % ved å løse følgende likning:
$$
\frac{x}{1{,}035}\left(1 + \frac{1}{1{,}035} + \frac{1}{1{,}035^2} + \cdots + \frac{1}{1{,}035^{19}}\right) = 600\,000
$$
Bestem terminbeløpet ved å løse denne likningen.
Svanhild vurderer å be banken om å endre lånebetingelsene.
b) Hva er den høyeste renten Svanhild kan ha dersom hun maksimalt kan betale 50 000 kroner i terminbeløp med 20 års nedbetalingstid?
Bankens rådgiver mener at Svanhild må kunne betale en fast årlig rente på 6,5 %. For at Svanhild skal klare en slik rente, må hun øke antall terminer. Lånet har fremdeles én termin per år.
c) Hvor mange terminer må Svanhild betale dersom terminbeløpet skal være mindre enn 50 000 kroner med en fast årlig rente på 6,5 %?
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Hypotesetest for røykekampanje binomisk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $H_0: p=0{,}17$ og $H_1: p<0{,}17$, og avgjøre om 12 av 100 røykere gir grunn til å forkaste $H_0$ på 5 % signifikansnivå med binomisk sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-roykekampanje-binomisk/
### Oppgavetekst
Ifølge tall fra Statistisk sentralbyrå røykte 17 % av befolkningen i 2011. For å få ned dette tallet startet myndighetene en kampanje.
Etter at kampanjen var over, ville myndighetene undersøke om den hadde hatt effekt. 100 tilfeldig valgte personer over 16 år ble spurt om de røykte. Vi kan se på denne undersøkelsen som et binomisk forsøk.
Av de 100 som ble spurt, svarte 12 personer at de røykte.
a) Sett opp en passende nullhypotese og en alternativ hypotese for dette forsøket.
b) Avgjør om myndighetene har grunn til å tro at kampanjen hadde effekt. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Normalfordelingens tetthetsfunksjon vendepunkt og integral
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Derivasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tegne $f(x)=e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}$, vise $f''(x)=(x^2-10x+24)e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}$ og beregne $P(a<X<b)$ mellom vendepunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordelingens-tetthetsfunksjon-vendepunkt-og-integral/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bestem $f'(x)$. Bruk produktregelen og kjerneregelen for derivasjon, og vis at
$$
f''(x) = (x^2-10x+24)\,e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}
$$
Bruk dette resultatet til å bestemme koordinatene til vendepunktene på grafen til $f$.
For en normalfordelt variabel $X$ med $\mu = 5$ og $\sigma = 1$ gjelder
$$
P(a < X < b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
$$
c) Bruk integralet til å bestemme $P(a < X < b)$ der $a$ og $b$ er $x$-koordinatene til vendepunktene.
---
## V2013 del 2 oppgave 6 — Geometrisk rekke av trekantarealer og omkretser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Geometri, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Forklare at areal-rekken $T_1+T_2+\cdots$ er geometrisk med $k=1/4$, vise sum $=T/3$, og finne sum av omkretser som geometrisk rekke med $k=1/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-av-trekantarealer-og-omkretser/
### Oppgavetekst
En likesidet $\triangle ABC$ har areal lik $T$. Midtpunktene på sidene i $\triangle ABC$ er hjørnene i en ny likesidet $\triangle DEF$ med areal lik $T_1$. Midtpunktene på sidene i $\triangle CDE$ er hjørnene i en ny likesidet $\triangle GHI$ med areal lik $T_2$. Etter samme metode lager vi trekanter med areal $T_3$, $T_4$, og så videre. Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.
a) Forklar at rekken av arealer $T_1 + T_2 + T_3 + \ldots$ kan skrives som
$$
\frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \ldots
$$
b) Vis ved regning eller ved å studere figuren at summen av rekken er lik $\dfrac{T}{3}$.
c) Omkretsen av $\triangle ABC$ er lik 3. Trekanten som har areal lik $T_n$, har omkrets lik $O_n$.
Forklar at rekken av omkretser $O_1 + O_2 + O_3 + \ldots$ kan skrives som
$$
\frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots
$$
Bestem summen til rekken.
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner S2 H13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner: $x^{-2}$ (potensregel), $5(x-1)^5$ (kjerneregel), og $e^{-2x}/(x-3)$ (kvotientregelen med kjerneregel).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h13/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \dfrac{1}{x^2}
$$
b)
$$
g(x) = 5(x-1)^5
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{e^{-2x}}{x-3}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og bestemmelse av parametre S2 H13
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Bevis, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon: verifisere delbarhet med nullpunktsteoremet, forkorte rasjonalt uttrykk, og bestemme parametre $a$ og $b$ slik at divisjon går opp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-bestemmelse-av-parametre-s2-h13/
### Oppgavetekst
a) Vis at polynomdivisjonen
$$
(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) : (x-1)
$$
går opp, uten å gjennomføre divisjonen.
b) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - 21x + 18}{x^2 - 1}
$$
c) Bestem tallene $a$ og $b$ slik at divisjonen nedenfor går opp.
$$
(x^3 + ax + b) : (x^2 + 2x - 3)
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke med a2 og a5
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a_1$ og $d$ fra to gitte ledd ($a_2=6$, $a_5=18$), skrive opp de fire første leddene, uttrykke $a_n$ og sumformelen $S_n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-a2-og-a5/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke er $a_2 = 6$ og $a_5 = 18$.
a) Skriv opp de fire første leddene i rekken.
b) Bestem en formel for $a_n$.
c) Bestem en formel for summen $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon med vendepunkt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Funksjonsdrøfting av $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+1$: topp/bunnpunkter via $f'(x)=0$, vendepunkt via $f''(x)=0$, og skisse av grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-tredjegradsfunksjon-med-vendepunkt/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1 \qquad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Sushikvitteringer og likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et 3×3-likningssystem fra tre sushi-kvitteringer for å finne prisen på én bit av hver fisketype.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sushikvitteringer-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
Tre venner spiste lunsj på en sushi-restaurant. De valgte hver sin meny, slik kvitteringene nedenfor viser.
Hvor mye hadde én bit sushi med laks, én bit med scampi og én bit med tunfisk kostet dersom de hadde blitt bestilt hver for seg?
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Terningspill på kasino med forventningsverdi
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighetsfordeling for utbytte i terningspill med to terninger; telle gunstige utfall, fylle ut tabell og bestemme parameter $a$ fra $\text{E}(X) = 5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-pa-kasino-med-forventningsverdi/
### Oppgavetekst
I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir antall øyne til sammen 7, får hun 20 kroner. Men dersom summen blir noe annet enn 2, 12 eller 7, må spilleren betale $a$ kroner til kasinoet.
La $X$ være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang.
a) Forklar at $P(X = -20) = \dfrac{1}{6}$.
b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
| $x$ | $a$ | $-20$ | $-200$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X = x)$ | | $\dfrac{1}{6}$ | |
c) Kasinoet vil sette $a$ slik at de i det lange løp tjener 5 kroner per spill.
Bestem verdien til $a$.
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne $K'(100)$ og $I'(100)$ for å vurdere produksjonsendring, og finne produksjonsmengden som gir størst overskudd ved $I'(x) = K'(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-maksimalt-overskudd-for-bedrift/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at kostnadene $K(x)$ og inntektene $I(x)$ per dag er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}1x^2 - 10x + 2200
$$
$$
I(x) = 2400 \cdot \ln(x+1)
$$
a) Bestem $K'(100)$ og $I'(100)$. Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag?
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften.
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Standard normalfordeling
- **Kompetansemål:** Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen (KM3123)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forventningsverdi-og-varians-fra-graf-av-normalfordeling/
### Oppgavetekst
I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$.
I denne fordelingen er 10 % av elevene lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm.
a) Bestem $\mu$. Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 183 cm?
b) Bestem $\sigma$.
> **Info**
> Kommentar
> Denne oppgaven ble gitt på del 2, men den kan absolutt gis på del 1 til eksamen så lenge dere har normalfordelingstabell tilgjengelig.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Logistisk modell for forventet levealder i Norge
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, Grenseverdi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Anvende logistisk funksjon $f(x)=\frac{98{,}0}{1+0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}}$ for levealder: beregne funksjonsverdi, løse likning, bruke $f'(x)>0$ til å argumentere for monoton vekst, og bestemme grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-for-forventet-levealder-i-norge/
### Oppgavetekst
Ifølge en modell fra Statistisk sentralbyrå vil forventet levealder til befolkningen i Norge følge funksjonen
$$
f(x) = \frac{98{,}0}{1 + 0{,}206 \cdot e^{-0{,}0113x}} \qquad , \quad x \in \left[0, \rightarrow\right\rangle
$$
Her er $f(x)$ forventet levealder for dem som er født $x$ år etter 2012.
a) Hva blir forventet levealder for dem som blir født i 2020, ifølge denne modellen?
b) Bestem i hvilket år nyfødte kan forvente en levealder på 84 år.
c) Bruk $f'(x)$ til å vise at forventet levealder i Norge stadig øker, ifølge denne modellen.
d) Hva vil forventet levealder i Norge gå mot i det lange løp, ifølge modellen?
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Regresjon på CD-salg og musikk-streaming
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på CD-salgsdata for å bestemme når salget er slutt, og eksponentiell regresjon på streaming-data for å prognostisere omsetning i 2013.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjon-pa-cd-salg-og-musikk-streaming/
### Oppgavetekst
Som vist i tabell 1 nedenfor har salget av CD-er i Norge minket de siste årene.
**Tabell 1:**
| Antall år etter 2002 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Omsetning (mill. kroner) | 943 | 866 | 876 | 759 | 659 | 620 | 526 | 473 | 352 | 235 |
a) I hvilket år kan vi regne med at CD-salget er slutt dersom vi går ut fra at utviklingen fortsetter på samme måte?
Omsetningen av nedlastet/streamet musikk har derimot økt, som vist i tabell 2 nedenfor.
**Tabell 2:**
| Antall år etter 2006 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Omsetning (mill. kroner) | 26 | 42 | 57 | 89 | 143 | 248 |
b) Bestem en eksponentiell modell $f(x)$ som viser omsetningen som funksjon av antall år etter 2006. Hvor stor omsetning kan musikkbransjen regne med i 2013 dersom utviklingen fortsetter på denne måten?
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Sparing, Geometrisk rekke, Rente
- **Kort beskrivelse:** Annuitetslån 100 000 kr, 10 år: vise rente 10 % fra terminbeløp, beregne aksjeverdi ved 12 % vekst, verifisere netto fortjeneste, og bestemme sparerente for ekvivalent sparing.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-og-aksjefond-med-sparing-som-alternativ/
### Oppgavetekst
I starten av et år vurderer Lise å låne 100 000 kroner for å investere i et aksjefond. Lånet er et annuitetslån, og hun må betale 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år for å nedbetale hele lånet, første gang ett år etter låneopptaket.
a) Vis at den årlige renten er på 10 %.
Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på 12 %, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene.
b) Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året.
Hennes netto fortjeneste etter 10 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene.
Vis at hennes netto fortjeneste etter 10 år vil være 51 210,57 kroner.
I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette 16 274,54 kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år.
c) Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 10 år som verdien av aksjene i oppgave b)?
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Hypotesetest for partis oppslutning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling med $n=100$, $p=0{,}06$: beregne forventningsverdi og standardavvik, og utføre ensidig hypotesetest ($H_0: p=0{,}06$ mot $H_1: p>0{,}06$) på 5 % signifikansnivå.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-partis-oppslutning/
### Oppgavetekst
I en stor kommune fikk et politisk parti en oppslutning på $6{,}0$ % ved valget for to år siden. I en fersk meningsmåling i kommunen ble 100 tilfeldig valgte personer spurt om hvilket parti de ville ha stemt på om det var valg i dag.
La $X$ være antall personer som i dag ville ha stemt på dette partiet blant 100 tilfeldig valgte personer. Vi går ut fra at $X$ er binomisk fordelt.
a) Bestem forventningsverdien og standardavviket til $X$ dersom vi går ut fra at partiet fremdeles har en oppslutning på $6{,}0$ %.
Av 100 tilfeldig valgte personer var det 10 som oppga at de nå ville stemme på dette partiet.
b) Sett opp hypoteser og test om partiet har grunn til å tro at de har hatt framgang blant velgerne. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Piltall formel for pilspiss og rektangel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utforske piltall $P_n = S_n + F_n$: skrive opp de fem første, forklare trekanttall-formelen $S_n = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ geometrisk/algebraisk, og utlede formel for $P_n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/piltall-formel-for-pilspiss-og-rektangel/
### Oppgavetekst
Antall prikker i figurene nedenfor kaller vi for *piltallene* $P_n$. Vi ser at $P_1 = 6$ og $P_2 = 14$.
a) Skriv opp de fem første piltallene.
Maria ser at hun kan dele figurene i to slik at hun får en «pilspiss» og et «rektangel». Da er samlet antall prikker $P_n = S_n + F_n$, der $S_n$ er antall prikker i «pilspissen» og $F_n$ er antall prikker i «rektangelet». Figuren nedenfor viser denne oppdelingen for figur nummer 3.
b) Forklar at antall prikker i «pilspissen» på figur nummer $n$ er gitt ved $S_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$.
c) Bestem en formel for det $n$-te piltallet $P_n$.
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon (produktregel, kjerneregel), rekker (aritmetisk, geometrisk, uendelig), funksjonsdrøfting med fortegnslinje, diskret sannsynlighetsfordeling og 3×3 likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-rekker-og-funksjonsdrofting-s2-v12/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = x^3 + 2x + 3
$$
2\)
$$
g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x}
$$
3\)
$$
h(x) = 3x \cdot \ln(2x)
$$
b) Vi har gitt rekkene
1\) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_{10}$
2\) $2 + 5 + 8 + \cdots + 89$ — Bruk formler og bestem summen til rekken.
3\) $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_8$
4\) $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ — Bestem summen til den uendelige rekken.
Gitt funksjonen
$$
f(x) = 4x^3 - 6x^2, \quad x \in \langle -1,\ 2 \rangle
$$
c)
1\) Løs likningen $f(x) = 0$
2\) Bestem $f'(x)$, og tegn fortegnslinjen til den deriverte.
3\) Bruk fortegnslinjen i 2) til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
4\) Tegn en skisse av grafen til $f$.
Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter. De ulike sidene er markert med henholdsvis 1, 2, 3 og 4 øyne.
Vi kaster to slike «terninger».
La $X$ være summen av antall øyne på de to sidene som vender ned.
d)
1\) Skriv av og fyll ut tabellen:
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | | | | | $\dfrac{3}{16}$ | | |
2\) Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$.
En buss stoppet tre steder på en rute. På første holdeplass kom det på ti barn, fire voksne og tre pensjonister. Til sammen betalte disse 225 kroner. På neste stoppested kom det på åtte barn, tre voksne og to pensjonister. Disse betalte til sammen 170 kroner. På siste holdeplass kom det på ni barn, fire voksne og tre pensjonister. Disse betalte til sammen 215 kroner.
e) Sett opp og løs et likningssystem, og bestem billettprisen for barn, voksne og pensjonister.
---
## V2012 del 2 oppgave 2 — Trekanttall og kubikksummer fra oddetall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Tallfølger, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Trekanttall $T_n = 1+2+\cdots+n$; oddetall gruppert i talltrekant der summen av gruppe $n$ er $n^3$; forklare at $1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanttall-og-kubikksummer-fra-oddetall/
### Oppgavetekst
Tall som kan skrives på formen $T_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n$, kalles for trekanttall.
a) Skriv opp de fem første trekanttallene.
Vi organiserer oddetallene i en talltrekant slik tabellen nedenfor viser.
<table class="grid">
<thead>
<tr>
<th>$n$</th>
<th>$a_n$</th>
<th>$a_n$</th>
<th>$a_n$</th>
<th>$S_n$</th>
<th>$S_n$</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td></td>
<td>1</td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3 + 5</td>
<td>8</td>
<td></td>
<td>9</td>
<td>$3^2$</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>7 + 9 + 11</td>
<td>27</td>
<td>$3^3$</td>
<td>36</td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>13 + 15 + 17 + 19</td>
<td></td>
<td></td>
<td>100</td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>21 + 23 + 25 + 27 + 29</td>
<td></td>
<td></td>
<td></td>
<td>$15^2$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
b) Skriv av og fyll ut tabellen. Bruk mønsteret som framkommer, til å finne en formel for $a_n$.
c) Bruk mønsteret til å forklare at vi kan skrive
$$
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2
$$
---
## V2012 del 2 oppgave 3 — Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Annuitetslån, Rente, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Sparing med fast innskudd og rente (geometrisk rekke), finne antall år til målbeløp, bestemme annuitetsbeløp ved lån og løse for nedbetalingstid med halvert terminbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lines-sparing-og-annuitetslan-til-drommebilen/
### Oppgavetekst
Line arver 100 000 kroner og vil spare pengene til en ny bil. I begynnelsen av et år setter hun dette beløpet på en konto med fast årlig rente på 4,5 %. I tillegg bestemmer hun seg for å sette 12 000 kroner inn på kontoen i begynnelsen av hvert av de neste årene.
a) Hvor mye penger står det på kontoen etter 3 år?
b) Hvor mange år må hun spare dersom det skal stå 200 000 kroner på kontoen?
For å få råd til «drømmebilen» må hun likevel låne 150 000 kroner til en rente på 6,0 % per år. Hun vil bruke 5 år på å betale ned lånet. Det første avdraget betaler hun ett år etter låneopptaket.
c) Hvor mye må hun betale hvert år?
Line synes at det årlige beløpet blir altfor høyt. Hun vil betale halvparten så mye hvert år.
d) Hvor lang tid tar det før lånet da er nedbetalt, dersom renten fortsatt er 6,0 % per år?
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Logistisk vekstmodell for sykdomsspredning
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Funksjoner, Grenseverdi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Omforme logistisk funksjon algebraisk, avlese startverdi, tegne graf og bestemme grenseverdi, og beregne antall nye syke på dag 6 som differanse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekstmodell-for-sykdomsspredning/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1000}{10 + e^{(3{,}912-0{,}5x)}}, \quad x \geq 0
$$
a) Vis ved regning at $f(x)$ kan skrives på formen $f(x) = \dfrac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}$
Funksjonsverdiene til $f$ er antall individer som har, eller har hatt, en sykdom $x$ dager etter at sykdommen ble registrert første gang.
b) Bestem hvor mange som hadde sykdommen da den ble registrert første gang, ifølge denne modellen.
c) Tegn grafen til $f$. Hvor mange individer vil få sykdommen i det lange løp?
d) Bestem hvor mange som fikk sykdommen den sjette dagen etter at sykdommen ble registrert første gang.
---
## V2012 del 2 oppgave 5 — PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Sentralgrenseteoremet
- **Kort beskrivelse:** Beregne normalfordelingssannsynligheter for PISA-poeng, og gjennomføre ensidig hypotesetest for om norsk gjennomsnitt er høyere enn et gitt nivå.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pisa-undersokelse-normalfordeling-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
PISA er en internasjonal undersøkelse som blir gjennomført hvert tredje år blant skoleelever i en rekke land. Ved undersøkelsen i 2009 var det med 4 700 elever fra Norge. I naturfag scoret de norske elevene gjennomsnittlig 500 poeng. Det var nøyaktig likt det internasjonale gjennomsnittet. Standardavviket for norske elever var 90 poeng.
Vi trekker tilfeldig ut en elev blant de norske deltakerne. I oppgavene a) og b) kan du regne med at poengsummen til eleven er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 500 poeng og standardavvik 90 poeng.
a) Bestem sannsynligheten for at eleven scoret minst 650 poeng.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng.
I virkeligheten kjenner vi ikke forventet poengsum for norske elever. Vi vet bare at gjennomsnittet var 500 poeng for de 4 700 elevene som var med i undersøkelsen.
c) Er det grunnlag for å si at norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng? Velg selv signifikansnivå.
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Bilkjøring strekning og bensinforbruk
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Modellering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Beregne kjørt strekning fra $x(t)$, finne tid for 500 km digitalt, derivere sammensatt funksjon $b(x)$ med produkt- og kjerneregel, og sette inn i $f(t)=b'(x)\cdot x'(t)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilkjoring-strekning-og-bensinforbruk/
### Oppgavetekst
En bil kjører $x$ km i løpet av $t$ timer, der $x$ er gitt ved
$$
x(t) = 80t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} - 30
$$
a) Hvor langt kjører bilen i løpet av den første halvtimen?
b) Bruk digitalt verktøy, og bestem hvor lang tid bilen bruker på de første 500 km.
Det samlede bensinforbruket $b$ etter å ha kjørt $x$ km er gitt ved
$$
b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})
$$
der $b(x)$ er målt i liter.
c) Bestem $b'(x)$. Forklar hvilke derivasjonsregler du har brukt. Hva er den praktiske betydningen av tallet $b'(10)$?
Det kan vises at bensinforbruket $f$ målt i liter per time etter $t$ timer er
$$
f(t) = b'(x) \cdot x'(t)
$$
d) Bestem bensinforbruket per minutt når bilen har kjørt i en halv time.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner S2 H12
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivere rasjonale, logaritmiske og eksponensielle funksjoner: kvotientregelen, kjerneregelen og produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-s2-h12/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
g(x) = \dfrac{3x - 2}{x^3}
$$
b)
$$
h(x) = \ln(x^3 - x)
$$
c)
$$
k(x) = x^3 e^{-x^2}
$$
a) Deriver $g(x) = \dfrac{3x-2}{x^3}$
b) Deriver $h(x) = \ln(x^3 - x)$
c) Deriver $k(x) = x^3 e^{-x^2}$
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Aritmetisk rekke med a1 og a4
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Forklare begrepet aritmetisk rekke, og bestemme $a_n$ og $s_n$ fra $a_1 = 3$ og $a_4 = 12$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-a1-og-a4/
### Oppgavetekst
a) Forklar hva vi mener med at en rekke er aritmetisk.
b) I en aritmetisk rekke er $a_1 = 3$ og $a_4 = 12$. Bestem $a_n$ og $s_n$.
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bruke nullpunktssetningen for å vurdere om $(x-1)$ er faktor i $P(x) = 2x^3 - 26x + 24$, og faktorisere i lineære faktorer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-faktorisering-av-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $P$ er gitt ved
$$
P(x) = 2x^3 - 26x + 24
$$
a) Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen $P(x) : (x - 1)$ vil gå opp, uten å utføre divisjonen.
b) Faktoriser $P(x)$ i lineære faktorer (førstegradsfaktorer).
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Aksjefond og likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Oversette en tekstoppgave om aksjefondinvestering til et $3 \times 3$ likningssystem og løse det.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aksjefond-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
Lise investerte 10 000 kroner i et aksjefond. Fondet brukte disse pengene til å kjøpe aksjer i selskapene A, B og C. Etter ett år var utbyttet av aksjene til sammen 900 kroner. Utbyttet fra selskap A, B og C var på henholdsvis 9 %, 1 % og 10 %. Fondet hadde brukt 4 000 kroner mer på investeringene i selskap A enn i selskap B.
a) Vis at opplysningene gir følgende likningssystem:
$$
\begin{bmatrix} x + y + \phantom{1}z = 10000 \\ 9x + y + 10z = 90000 \\ x - y \phantom{+10z} = \phantom{0}4000 \end{bmatrix}
$$
Hvilke størrelser står $x$, $y$ og $z$ for?
b) Hvor mye av Lises penger investerte fondet i hvert av de tre selskapene?
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ukjente $p$ og $k$ i en diskret sannsynlighetsfordeling, og beregne $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diskret-sannsynlighetsfordeling-med-ukjente-parametere/
### Oppgavetekst
Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:
| $t$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $k$ |
|:---:|:----:|:----:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X = t)$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ | $0{,}4$ | $0{,}2$ | $p$ |
a) Forklar hvorfor $p$ må være lik $0{,}1$.
b) Hva må $k$ være dersom vi vet at $\text{E}(X) = 0{,}3$?
c) Vi setter $k = 1$. Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Avlese fra grafen hvilke av punktene A–G som har $f'(x) < 0$ og $f''(x) < 0$ samtidig, og begrunne ut fra stigningstall og krumning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-fortegn-til-f-og-f-dobbeltprim/
### Oppgavetekst
Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er tegnet nedenfor.
Bestem i hvilke av punktene $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ og $G$ **begge** disse betingelsene er oppfylt:
$$
f'(x) < 0 \quad \text{og} \quad f''(x) < 0
$$
Bestem i hvilke av punktene $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ og $G$ **begge** betingelsene $f'(x) < 0$ og $f''(x) < 0$ er oppfylt. Begrunn svaret ditt.
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Annuitetslån, Rekker, Rente
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke for sparing: vise rente $2{,}4\%$, beregne sparebeløp etter 12 innbetalinger, og finne nødvendig rente for å nå 72 000 kr etter ytterligere 8 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-med-fast-rente-og-ny-rente-etter-innbetalinger/
### Oppgavetekst
En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det $20\,983{,}32$ kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det $25\,486{,}92$ kroner på kontoen.
a) Vis at den årlige renten er $2{,}4\,\%$.
b) Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden.
Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renta blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene.
c) Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Villrein felt under jakt – logistisk funksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Analysere logistisk funksjon $f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}$: funksjonsverdi, monotonitet via $f'$, vendepunkt, graf og bestemt integral for totalt antall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/villrein-felt-under-jakt-logistisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Det årlige antall villrein felt under jakt i årene etter 1980 kan beskrives ved funksjonen
$$
f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}
$$
Her er $x$ antall år etter 1980.[^1]
a) Hvor mange dyr ble felt i 2010 ifølge denne modellen?
b) Bruk $f'(x)$ til å vise at det stadig felles færre dyr årlig.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$. Hva forteller resultatet oss?
d) Tegn grafen til $f$. Hvor mange villrein ble felt totalt i årene fra og med 1980 til og med 2010 ifølge denne modellen?
[^1]: Modell basert på tall fra http://www.ssb.no/aarbok/tab/tab-357.html (02.10.2010)
---
## H2012 del 2 oppgave 3 — Inntekt og kostnad med to utstyrstyper
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Kostnadsfunksjon, Økonomi, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Maksimere inntekt $I(x) = 110x - 2{,}2x^2$, beregne grensekostnader for to utstyrstyper, og finne laveste kostnad og størst overskudd ved $I'(x) = K'(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-og-kostnad-med-to-utstyrstyper/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Inntekten (i tusen kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved funksjonen
$$
I(x) = 110x - 2{,}2x^2, \qquad x \in [0,\; 35]
$$
a) Hva er den største inntekten bedriften kan få? Hvor mange enheter må bedriften da produsere og selge?
Bedriften må fornye produksjonsutstyret og kan velge mellom to typer utstyr, A og B. Av erfaring vet bedriften at kostnaden (i tusen kroner) ved produksjon av $x$ enheter med type A er gitt ved
$$
K_A(x) = 3{,}1x^2 - 86x + 1110
$$
Tilsvarende er kostnaden ved type B gitt ved
$$
K_B(x) = 1{,}9x^2 - 99x + 1900
$$
b) Bestem grensekostnaden for type A og for type B.
c) Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi lavest kostnad?
d) Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi det største overskuddet?
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for normalfordelt vekt ($\mu = 505$, $\sigma = 5$) og gjennomføre ensidig hypotesetest for om maskinen fyller for mye.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-og-hypotesetest-for-kaffeposer/
### Oppgavetekst
En fabrikk fyller og pakker poser med kaffe. Fyllemaskinen er innstilt til å fylle posene med 505 g. Anta at vekten av posene er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 g.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g.
b) Hvor mange prosent av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g?
I en kvalitetskontroll blir 10 tilfeldig valgte poser veid. Resultatet vises i tabellen nedenfor.
| Pose | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:----:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:--:|
| Vekt (i gram) | 508 | 503 | 510 | 512 | 519 | 511 | 496 | 503 | 503 | 506 |
Dette ga bedriften mistanke om at maskinen fyller for mye i hver pose.
c) Gjennomfør en hypotesetest, og vurder om bedriften har grunn til sin mistanke.
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Utforske og bevise en generell regel for $T(m+n) - (T(m) + T(n))$ ved å bruke formelen $T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$ algebraisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanttall-og-sammenheng-mellom-t-m-n-og-t-m-t-n/
### Oppgavetekst
Trekanttall nummer $n$ er gitt ved formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$, $n \in \mathbb{N}$
a) Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene.
Det finnes en sammenheng mellom $T(m+n)$ og $T(m) + T(n)$, $n \in \mathbb{N}$, $m \in \mathbb{N}$
b) Sett $m = 2$ og $n = 8$ og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut
$T(2 + 8)$,
$T(2) + T(8)$ og
$$
T(2 + 8) - (T(2) + T(8))
$$
Sett inn andre verdier for $m$ og $n$ og undersøk hva $T(m+n) - (T(m) + T(n))$ blir. Prøv å formulere en generell regel.
c) Bruk formelen for $T(n)$ til å skrive uttrykket
$$
T(m+n) - (T(m) + T(n))
$$
så enkelt som mulig.
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, tallfølge, polynomdivisjon og uendelig rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tallfølger, Polynomdivisjon, Uendelig rekke, Likninger, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Blandingsoppgave med derivasjon av tre funksjoner, aritmetisk tallfølge, polynomdivisjon, konvergent uendelig rekke, eksponentiallikning, sannsynlighetsfordeling og 3×3-likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-tallfolge-polynomdivisjon-og-uendelig-rekke/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = 2x^3 - 5x + 3
$$
2\)
$$
g(x) = \dfrac{3}{x^3}
$$
3\)
$$
h(x) = x^2 \cdot \ln x
$$
b) I en aritmetisk tallfølge er $a_4 = 9$ og $a_{10} = 21$.
Bestem $a_{15}$.
c) Forkort brøken
$$
\frac{x^3 - 3x^2 - 13x + 15}{x + 3}
$$
d) Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen.
$$
7 + \frac{14}{9} + \frac{28}{81} + \frac{56}{729} + \cdots
$$
e) Løs likningen $2^{x^2 - 2x} = 8$
Vi har gitt sannsynlighetsfordelingen
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{3}{8}$ | $\dfrac{3}{8}$ | $\dfrac{1}{8}$ |
f)
1\) Finn forventningsverdien $\text{E}(X)$
2\) Vis at variansen $\text{Var}(X) = \dfrac{3}{4}$
Tre gutter har tre ulike typer mynter med ulik verdi i lommene. Tabellen nedenfor viser fordelingen av myntene.
| Navn | Antall mynter av type 1 | Antall mynter av type 2 | Antall mynter av type 3 | Sum i kroner |
|:----:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Ola | 3 | 2 | 4 | 120 |
| Per | 2 | 3 | 2 | 75 |
| Inge | 2 | 5 | 3 | 105 |
g) Regn ut verdien til de tre mynttypene ved å løse et likningssystem.
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Trekanttall og sum av nabotall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Trekanttallene $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$; skrive opp de ti første, sjekke om $a_n + a_{n+1}$ er et kvadrattall ved regning og vise det algebraisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanttall-og-sum-av-nabotall/
### Oppgavetekst
Trekanttallene er gitt ved formelen
$$
a_n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{der } n \text{ er et naturlig tall.}
$$
a) Skriv opp de ti første trekanttallene.
Inge påstår at summen av to «nabo-trekanttall» alltid er et kvadrattall.
b) Finn ut om dette gjelder for $a_{14} + a_{15}$ og for $a_{20} + a_{21}$.
c) Finn ut om $a_n + a_{n+1}$ alltid er et kvadrattall.
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Grensekostnad og grenseinntekt for bedrift
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseinntekt og grensekostnad, Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Kostnad per enhet $E(x)=0{,}15x+7+\frac{2000}{x}$; sette opp total $K$ og inntekt $I$, tegne grafer, lese av overskudd grafisk, og optimere ved $K'=I'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-grenseinntekt-for-bedrift/
### Oppgavetekst
Vi skal undersøke kostnader og inntekter for en bedrift.
a) Forklar at overskuddet for bedriften er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten.
I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved
$$
E(x) = 0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}, \qquad x \in [10,\ 300]
$$
Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.
b) Finn funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.
c) Tegn grafene til funksjonene $K$ og $I$ i samme koordinatsystem.
d) Bruk grafene til å bestemme hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.
e) Bestem ved regning hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Sum av påfølgende kvadrattall
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Tallfølger, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Tre (og to) påfølgende kvadrattall $n^2,(n+1)^2,(n+2)^2$ med gitt sum; sette opp og løse andregradsligning for å finne $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-pafolgende-kvadrattall/
### Oppgavetekst
Tre påfølgende kvadrattall kan alltid skrives på formen $n^2$, $(n+1)^2$ og $(n+2)^2$.
Med for eksempel $n = 1$, får vi kvadrattallene 1, 4 og 9.
Summen av tre påfølgende kvadrattall er 365.
a) Sett opp en likning, løs denne og bestem $n$ og de tre kvadrattallene.
Summen av to påfølgende kvadrattall er 365.
b) Bestem $n$ og de to kvadrattallene.
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke med $a_1=1$ og $k=\frac{3}{2}$; beregne $S_{10}$, finne uttrykk for $S_n$ og bestemme minste $n$ slik at $S_n > 1\,000\,000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-med-kvotient-3-over-2/
### Oppgavetekst
Vi har gitt rekken
$$
1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \cdots + \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}
$$
a)
1\) Bestem $S_{10}$
2\) Finn et uttrykk for $S_n$
b) Hvor mange ledd må vi minst ta med for at $S_n$ skal overstige $1\,000\,000$?
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon med kjerneregel
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 11
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Bestemt integral, Graf
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x)=3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)}-1$: nullpunkter, grafskisse med argumentasjon, kjerneregel-bevis for $f'$, topp-/bunnpunkter og integralbetingelse $\int_0^a f(x)\,dx=0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-eksponentialfunksjon-med-kjerneregel/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)} - 1, \qquad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.
b) Tegn grafen til $f$. Forklar hvorfor grafen til $f$ ligger over linjen $y = -1$.
c) Bruk kjerneregelen og vis ved regning at
$$
f'(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)}
$$
d) Bestem ved regning for hvilke verdier av $x$ grafen til $f$ vokser, og for hvilke verdier av $x$ grafen avtar. Bestem ved regning topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
e) Bruk digitale hjelpemidler til å finne en positiv verdi for $a$ slik at
$$
\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0
$$
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Normalfordeling og hypotesetest for kroppsvekt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Normalfordeling med $\mu=79{,}2$ og $\sigma=6{,}4$; beregne sannsynligheter med tabell/kalkulator, sette opp hypoteser og gjennomføre ensidig $z$-test på signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-og-hypotesetest-for-kroppsvekt/
### Oppgavetekst
Ved et helsestudio registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.
Gjennomsnittsvekten var $79{,}2 \text{ kg}$ med et standardavvik på $6{,}4 \text{ kg}$. Vi antar at kroppsvekten er normalfordelt.
a)
1\) Hvor stor andel av kundene veide mellom $75{,}0 \text{ kg}$ og $85{,}0 \text{ kg}$?
2\) Hvor stor andel av kundene veide over $100{,}0 \text{ kg}$?
Helsestudioet vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er $76{,}0 \text{ kg}$. Vi antar at standardavviket er uendret.
b) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen.
c) Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene i helsestudioet har gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## H2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av fire funksjoner, aritmetisk og geometrisk rekke, uendelig geometrisk rekke, polynomdivisjon, fortegnslinje og vendepunkt, forventningsverdi og varians.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjonsregler-og-rekker-og-funksjonsdrofting/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x + 4
$$
2\)
$$
g(x) = 3e^{2x}
$$
3\)
$$
h(x) = x \cdot e^{2x}
$$
4\)
$$
i(x) = \ln\left(x^2 + 4\right)
$$
b) Vi har gitt rekken
$$
4 + 7 + 10 + 13 + \cdots
$$
Bestem $a_n$ og $S_n$
c) Løs likningen
$$
x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = 3 \qquad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle
$$
d) Vi har gitt polynomfunksjonen
$$
f(x) = x^3 + ax + 12
$$
1\) Bestem $a$ slik at divisjonen $f(x):(x+4)$ går opp.
2\) Utfør divisjonen, og skriv $f(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer for denne $a$-verdien.
e) Vi har gitt rekken
$$
1 + 7 + 19 + 37 + \cdots
$$
Skriv opp $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og bestem $S_{100}$
For en funksjon $f$ har vi gitt at
$$
f'(x) = a(x+1)(x-2) \qquad \text{der } a < 0
$$
f)
1\) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$. Bruk denne til å bestemme $x$-verdien til topp- og bunnpunkt på grafen til $f$. Bestem også hvor grafen til $f$ stiger og synker.
2\) Bestem $f''(x)$. Bruk denne til å bestemme $x$-verdien til vendepunktet.
Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved
| $x$ | $0$ | $1$ |
|:---:|:---:|:---:|
| $P(X=x)$ | $1-p$ | $p$ |
g) Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ uttrykt ved $p$.
---
## H2011 del 2 oppgave 2 — Studiefinansiering med voksende avdrag
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Rekker, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke med første ledd 15 000 og kvotient 1,05; beregne enkeltledd, delsum, finne antall terminer og siste ledd slik at summen = 450 000.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/studiefinansiering-med-voksende-avdrag/
### Oppgavetekst
For å få ungdom til å studere realfag, tenker vi oss en ny ordning for studiefinansiering.
Betingelsene er som følger:
- Lånet er rente- og avdragsfritt i studietida.
- Studenten betaler bare avdrag og ikke renter når studiene er avsluttet.
- Studenten betaler første avdrag på 15 000 kroner ett år etter at studiet er avsluttet. Deretter skal de årlige avdragene økes med 5 % hvert år.
En student vil låne i alt 450 000 kroner.
a) Hvor stort blir det 2. avdraget og det 8. avdraget?
b) Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de 8 første avdragene?
c) Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt?
d) Hvor stort blir det siste avdraget?
---
## H2011 del 2 oppgave 3 — Harebestand med logistisk modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering, Logistisk vekst
- **Kort beskrivelse:** Eksponentialmodell $N(t)=700-C\cdot e^{-kt}$; bestemme parametere fra to målinger, løse likning, tegne graf og derivere med kjerneregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/harebestand-med-logistisk-modell/
### Oppgavetekst
En modell for antall harer innenfor et lukket område er gitt ved
$$
N(t) = 700 - C \cdot e^{-kt}
$$
der $t$ er antall år etter at tellingene begynte, og $k > 0$.
Ved to tellinger fant man ut at $N(0) = 400$ og $N(5) = 600$.
a) Bruk resultatet av de to tellingene til å vise at $C = 300$ og $k \approx 0{,}22$
b) Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området.
c) Tegn grafen til $N$. Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid?
d) Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme $N'(5)$. Hva forteller svaret oss?
---
## H2011 del 2 oppgave 4 — Terningspill med nettogevinst
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighetsfordeling for nettogevinst ved terningkast; forklare $P(X=5)=\frac{11}{36}$, fylle ut tabell og beregne forventningsverdi for å vurdere lønnsomhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-med-nettogevinst/
### Oppgavetekst
I et spill kastes to vanlige terninger. Premien i spillet avgjøres av samlet sum øyne på de to terningene.
- Hvis summen er 11 eller 12, er premien 100 kroner.
- Hvis summen er 9 eller 10, er premien 50 kroner.
- Hvis summen er 7 eller 8, er premien 15 kroner.
- Hvis summen er 6 eller mindre, er det ingen premie.
Det koster 10 kroner å delta i ett spill.
La $X$ være nettogevinsten i ett spill, det vil si premien fratrukket 10 kroner.
a) Forklar at $P(X=5) = \dfrac{11}{36}$
b) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll ut det som mangler.
| $x$ | $-10$ | $5$ | $40$ | $90$ |
|:---:|:-----:|:---:|:----:|:----:|
| $P(X=x)$ | | $\dfrac{11}{36}$ | | |
c) Vil det i lengden lønne seg å spille dette spillet? Gjør beregninger som understøtter svaret ditt.
---
## H2011 del 2 oppgave 5 — Mattilsynet og binomisk hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk forsøk med $n=120$, $p=0{,}15$; beregne punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet, deretter ensidig hypotesetest på signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mattilsynet-og-binomisk-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Mattilsynet kontrollerer blant annet kvaliteten på matvarer. På landsbasis har det vist seg at gjennomsnittlig 15 % av pakningene av en bestemt type mat har for dårlig kvalitet.
I et distrikt planlegger Mattilsynet å kontrollere 120 pakninger med denne maten. Vi ser på kontrollen som et binomisk forsøk med $n = 120$ og $p = 0{,}15$.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 av de kontrollerte pakningene har for dårlig kvalitet.
b) Bestem sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet.
I kontrollen viser det seg at 21 av de 120 pakningene ikke oppfylte kvalitetskravene. Mattilsynet vil undersøke om dette høye tallet kan skyldes tilfeldigheter, eller om det virkelig er slik at mer enn 15 % av pakningene har for dårlig kvalitet i dette distriktet.
Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt pakning har for dårlig kvalitet.
c) Bruk hypotesetesting, og vurder om kontrollen gir grunnlag for å påstå at kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Bruk et signifikansnivå på 5 %.
---
## H2011 del 2 oppgave 6 — Oljefondet som logistisk funksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Logistisk funksjon for Oljefondet; beregne funksjonsverdi, vise derivert via kjerne- og brøkregel, tolke $f'(4)$, argumentere for monoton vekst og bestemme maksimal vekstrate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oljefondet-som-logistisk-funksjon/
### Oppgavetekst
*Kilde: Modellen bygger på tallmateriale fra http://no.wikipedia.org/wiki/Statens_pensjonsfond (06.05.2011)*
Ifølge én modell vil størrelsen på Statens pensjonsfond utland («Oljefondet») følge funksjonen gitt ved
$$
f(x) = \frac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}}
$$
Her er $x$ antall år etter 1996, og $f(x)$ er størrelsen på Oljefondet i milliarder kroner.
a) Hvor stort vil Oljefondet være i 2012 ifølge modellen?
b) Bruk kjerneregelen og regelen for derivasjon av en brøk til å vise at
$$
f'(x) = \frac{46394{,}6 \cdot e^{-0{,}3763x}}{\left(1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}\right)^2}
$$
Bestem $f'(4)$. Hva forteller dette tallet oss?
c) En økonom sier at Oljefondet alltid vil vokse. Forklar hvordan vi ut fra den gitte modellen kan støtte denne uttalelsen.
d) Bestem hvilket år Oljefondet har størst vekst ifølge denne modellen.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Uendelig rekke, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Polynomdivisjon, Aritmetisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon, konvergens av uendelig geometrisk rekke, forventning/varians, polynomdivisjon og tallfølge fra figur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-uendelig-rekke-og-polynomdivisjon/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene:
1\)
$$
f(x)=x^2\cdot\ln x
$$
2\)
$$
g(x)=3\cdot e^{x^2}
$$
Gitt den uendelige rekken
$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots
$$
b) Avgjør om rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen av rekken.
Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved
| $x$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $B$ |
|:--------:|:-------:|:-------:|:-----:|:-----:|
| $P(X=x)$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ | $A$ | $0{,}3$ |
Du får opplyst at $B>1$.
c)
1\) Bestem $A$ og $P(X<1)$.
2\) Bestem $B$ når du får opplyst at $\text{E}(X)=1{,}0$.
3\) Vis at variansen er $\text{Var}(X)=6{,}0$.
d) Vi har gitt funksjonen $f(x)=3x^3+6x^2-3x-6$
1\) Vis at $f(x)$ er delelig med $(x+1)$.
2\) Løs likningen $f(x)=0$.
En polynomfunksjon $f$ av andre grad er gitt ved
$$
f(x)=ax^2+bx+c
$$
Du får oppgitt at: $f(2)=-4$, $f'(2)=0$ og $f''(2)=8$.
e)
1\) Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
2\) Finn nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
En stabel med aluminiumsrør ligger delvis skjult bak en murvegg.
f)
1\) La antall rør i rad nummer $n$ ovenfra være $a_n$. Ta utgangspunkt i tegningen og forklar at $a_n=n+3$ når $n\geq 1$.
2\) Vis at antall rør til sammen i de $n$ øverste radene er gitt ved
$$
S_n=\frac{7n+n^2}{2}
$$
3\) Hvor mange rader trengs for å få plass til $225$ rør? (Du kan få bruk for at $\sqrt{1849}=43$.)
---
## V2010 del 2 oppgave 2 — Sparing med fast årlig innskudd og annuitet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Geometrisk rekke, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Summer geometrisk rekke for sparesaldo, løs for antall år og for nødvendig årlig innskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sparing-med-fast-arlig-innskudd-og-annuitet/
### Oppgavetekst
Signe bestemmer seg for å spare penger. Hun vil sette inn $30\,000$ kroner på en bankkonto i begynnelsen av hvert år. Det første beløpet skal settes inn om ett år. Renten er $4\,\%$ per år i hele spareperioden.
a) Hvor mye penger har Signe på kontoen rett etter at hun har satt inn det åttende beløpet?
b) Finn ved regning hvor lenge Signe må spare for at det skal stå $400\,000$ kroner på kontoen.
c) Signe ønsker å ha $400\,000$ kroner på kontoen like etter at hun har satt inn det åttende beløpet. Finn ved regning hvor mye Signe i så fall må sette inn på kontoen hvert år.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheter $P(X\leq 31)$ og $P(X>28)$ for normalfordelt variabel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalfordeling-med-30-og-2-5/
### Oppgavetekst
En stokastisk variabel $X$ er normalfordelt med $\mu=30$ og $\sigma=2{,}5$.
a) Bestem $P(X\leq 31)$.
b) Bestem $P(X>28)$.
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomiske sannsynligheter for ødelagte kasser, og hypotesetest på signifikansnivå 5 %.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-odelagte-jordbaerkasser/
### Oppgavetekst
En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at $10\,\%$ av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt. En dag mottar grossisten $50$ kasser. Vi antar at $10\,\%$ av kassene inneholder bær som er ødelagt.
a) Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av kassene har ødelagte bær?
b) Finn sannsynligheten for at minst $5$ kasser inneholder ødelagte bær.
Grossisten får mistanke om at mer enn $10\,\%$ av kassene inneholder ødelagte bær. For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han $90$ kasser. Ved denne kontrollen viser det seg at $15$ av de $90$ kassene inneholder bær som er ødelagt.
Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær.
c) Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen. Forklar hvordan du har tenkt.
d) Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. Velg et signifikansnivå på $5\,\%$.
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Aritmetisk rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Tolk verdier av den deriverte som aritmetisk rekke, vis sumformel og tolk summen i en befolkningsmodell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-som-aritmetisk-rekke-og-gjenlevende-i-kull/
### Oppgavetekst
Vi har gitt andregradsfunksjonen
$$
f(x)=10x^2-2000x+100\,000
$$
a) Bestem $f'(x)$. Regn ut $f'(0)$, $f'(1)$, $f'(2)$ og $f'(3)$.
b) Forklar at rekken $f'(0)+f'(1)+f'(2)+f'(3)+\cdots$ er en aritmetisk rekke der første ledd er $a_1=-2000$ og differensen er $d=20$.
c) Vis at summen av de $n$ første leddene er gitt ved uttrykket
$$
S_n=10\cdot n^2-2010\cdot n
$$
I et land ble det et år født $100\,000$ barn. Etter $x$ år er antall gjenlevende i dette kullet gitt ved modellen
$$
f(x)=10x^2-2000x+100\,000 \qquad \text{når } x\in[0,\,100]
$$
d) Regn ut $S_{100}=f'(0)+f'(1)+f'(2)+\cdots+f'(99)$. Tolk svaret du kommer fram til.
---
## V2010 del 2 oppgave 6-I — Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kort beskrivelse:** Sett opp inntekts- og kostnadsfunksjon, maksimer overskudd og bruk eksponentiell etterspørselsmodell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskudd-med-ettersporsel-og-kostnadsfunksjon/
### Oppgavetekst
Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ I**
Ved produksjon av en vare er etterspørselen $E(p)$ enheter per uke uttrykt ved
$$
E(p)=-0{,}5p+80 \qquad p\in[10,\,70]
$$
Prisen $p$ per enhet er gitt i kroner.
Inntektene per uke kan uttrykkes ved funksjonen $I(p)$. Produksjonen legges opp slik at det produseres like mange enheter som det selges. Kostnadene knyttet til produksjonen er gitt ved funksjonen
$$
K(x)=8x^2-1200x+45\,600
$$
der $x=E(p)$ er antall produserte og solgte enheter.
a) Vis at funksjonsuttrykkene til $I(p)$ og $K(p)$ er gitt ved
$$
I(p)=-0{,}5p^2+80p
$$
$$
K(p)=2p^2-40p+800
$$
b) Hvilken pris gir størst overskudd?
c) Hvor mange enheter per uke produseres det når overskuddet er størst?
Ved produksjon av en annen vare er etterspørselen per uke gitt ved
$$
g(x)=200\cdot e^{0{,}02x} \qquad x\in[1,\,26]
$$
$x=1$ betyr uke nr. 1, og $x=2$ betyr uke nr. 2 i produksjonstiden osv. Også for denne varen produseres det like mange enheter per uke som det selges.
d) Tegn grafen til $g$. I hvilken uke er etterspørselen $270$ enheter? Finn svaret både grafisk og ved regning.
e) Hvor mange enheter produseres det i løpet av det halve året?
---
## V2010 del 2 oppgave 6-II — Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Deriver logistisk kostnadsfunksjon, finn maksimal grensekostnad og bestem når en lineær inntektsmodell gir overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-kostnadsfunksjon-og-grensekostnad/
### Oppgavetekst
Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ II**
En bedrift produserer $x$ enheter per dag av en vare. De samlede kostnadene per dag kan beskrives ved funksjonen
$$
K(x)=1000+\frac{8000}{1+70\cdot e^{-0{,}15x}} \qquad x<60
$$
Kostnadene er gitt i kroner.
a) Tegn grafen til $K$.
b) Vis ved regning at uttrykket for grensekostnaden kan skrives
$$
K'(x)=\frac{84\,000\cdot e^{-0{,}15x}}{(1+70\cdot e^{-0{,}15x})^2}
$$
Bestem $K'(20)$ og forklar hva dette tallet forteller.
c) Undersøk hvilken produksjonsmengde som gir størst grensekostnad. Finn den største grensekostnaden.
Vi går ut fra at hele produksjonen blir solgt, og at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter er
$$
I(x)=220x-x^2
$$
d) Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
Bedriften eksperimenterer med ulike modeller for inntektsfunksjonen. De tenker seg at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter alltid kan beskrives ved et uttrykk på formen
$$
h(x)=ax-x^2 \qquad \text{der } a \text{ er en positiv konstant.}
$$
e) Er det mulig å oppnå overskudd hvis $a=120$? Hva er den minste verdien $a$ kan ha dersom bedriften skal gå med overskudd?
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, kuleoverflate, sprettball og likningssystem
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomdivisjon, Geometrisk rekke, Sannsynlighet, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sammensatt Del 1-oppgave: derivasjon, polynomdivisjon, prosentvis arealendring, uendelig geometrisk rekke, aritmetisk rekke, forventning/varians og lineært likningssystem
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-kuleoverflate-sprettball-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x)=x^3-3x+4
$$
2\)
$$
g(x)=6x\cdot e^{-2x}
$$
Vi har gitt funksjonen $P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$.
b)
1\) Vis at $P(3)=0$.
2\) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P$ i førstegradsfaktorer.
3\) Forkort brøken $\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}$.
c) Formelen for overflaten av en kule er $O=4\pi r^2$. Vi øker radien $r$ med $10\ \%$. Hvor mange prosent øker overflaten til kulen da?
d) En gummiball slippes fra en høyde på $10 \mathrm{~m}$. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp $\dfrac{2}{3}$ av den forrige høyden. Hva er den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro?
e) Vi har rekken $1+3+5+7+\cdots$
1\) Hva slags rekke er dette? Bestem et uttrykk for det $n$-te leddet $a_n$.
2\) Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene. Regn ut $S_{100}$.
Gitt sannsynlighetsfordelingen:
| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|:--------:|:------:|:------:|:------:|:------:|
| $P(X=x)$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}3$ | $0{,}4$ |
f)
1\) Finn forventningsverdien $\text{E}(X)$.
2\) Bestem variansen $\text{Var}(X)$.
g) Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} 2x+y+3z=10 & \\ x+y+z=6 \\ x+3y+2z=13 \end{cases}
$$
---
## H2010 del 2 oppgave 2 — Annuitetslån for leilighet med sparealternativ
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Annuitetslån, Geometrisk rekke, Sparing
- **Kort beskrivelse:** Regne ut årlig terminbeløp og antall terminer på annuitetslån, finne nødvendig rente, og bestemme sparekapital før restlån
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/annuitetslan-for-leilighet-med-sparealternativ/
### Oppgavetekst
Et ungt par skal kjøpe seg leilighet. Den koster $1\,500\,000$ kroner. De må låne hele beløpet.
Paret får tilbud om et annuitetslån til en rente på $4\ \%$ per år. De må betale $20$ like store årlige beløp. Det første beløpet skal betales ett år etter at lånet blir innvilget.
a) Finn ved regning hvor stort det årlige beløpet blir.
Dette synes paret blir for dyrt. De kan maksimalt betjene et lån som har en fast årlig innbetaling på $100\,000$ kroner.
b) Bestem ved regning hvor mange like store årlige beløp de da må betale.
Paret synes at denne nedbetalingen tar for lang tid. De ønsker seg $20$ årlige innbetalinger, og ser seg derfor om etter et bedre rentetilbud.
c) Hva må renten per år være for at de årlige beløpene ikke skal overstige $100\,000$ kroner?
Paret finner ikke et så godt rentetilbud som de trenger. De bestemmer seg derfor for å spare først og så låne restbeløpet, som skal nedbetales med $20$ årlige innbetalinger på $100\,000$ kroner hver. De forutsetter at en leilighet fremdeles koster $1\,500\,000$ kroner, og at lånerenten er $4\ \%$.
d) Hvor stort beløp må stå på sparekontoen når paret låner restbeløpet?
---
## H2010 del 2 oppgave 3 — Tablettkonsentrasjon og geometrisk rekke
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Eksponentiell vekst, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere mengde virkestoff i kroppen som geometrisk rekke med halveringstid, summere endelig og uendelig rekke, og finne maks tablettdose
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tablettkonsentrasjon-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En type tabletter inneholder $75 \mathrm{~mg}$ av et visst stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av hver sjette time.
a) En pasient tar bare én slik tablett. Hvor mange milligram av dette stoffet vil pasienten ha igjen i kroppen etter $36$ timer?
En annen pasient får én slik tablett hver tolvte time.
b)
1\) Forklar at antall milligram av stoffet som er i pasienten etter $72$ timer, like etter at den sjette tabletten er tatt, er
$$
75+75\cdot 0{,}25+75\cdot 0{,}25^2+75\cdot 0{,}25^3+75\cdot 0{,}25^4+75\cdot 0{,}25^5
$$
2\) Bruk en sumformel og finn summen av denne rekken.
3\) Hvor mange milligram av stoffet vil samles i kroppen i det lange løp når pasienten får én tablett hver tolvte time?
En bestemt pasient bør ikke ha en samlet mengde på mer enn $80 \mathrm{~mg}$ av dette stoffet i kroppen.
c) Finn ved regning hvor mange milligram av stoffet hver tablett kan inneholde dersom denne pasienten skal ta én tablett i døgnet over lang tid.
---
## H2010 del 2 oppgave 4-I — Funksjonsdrøfting av (x-1)·eˣ med areal
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x)=(x-1)\cdot e^x$ med skjæringspunkter, topp-/bunnpunkt, punkt med raskest fall og areal avgrenset av grafen
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-x-1-ex-med-areal/
### Oppgavetekst
Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ I**
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x)=(x-1)\cdot e^x, \qquad x\in\langle -3,\ 2\rangle
$$
a) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til $f$.
b) Finn ved regning koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem ved regning koordinatene til punktet der grafen til $f$ synker raskest.
d) Tegn grafen til $f$. Bruk et digitalt hjelpemiddel og bestem arealet av området som er avgrenset av førsteaksen, grafen til $f$ og linjene $x=1$ og $x=2$.
---
## H2010 del 2 oppgave 4-II — Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Analysere modellen $D(x)=120-100e^{-0,35x}+80e^{-0,09x}$ for trimdeltakere med grenseverdi, løsning av $D(x)=137$, maksimum og total deltakelse over $20$ uker
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trimdeltakelse-modellert-med-to-eksponentialledd/
### Oppgavetekst
Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ II**
Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen
$$
D(x)=120-100\cdot e^{-0{,}35x}+80\cdot e^{-0{,}09x}
$$
Her er $D(x)$ antall deltakere per uke $x$ uker etter den første trimuka. Det vil si at $D(0)$ er antall deltakere den første uka, $D(1)$ er antall deltakere den andre uka, og så videre.
a) Tegn grafen til $D$. Hvor mange deltakere regner de med at det er den andre og den tiende uka?
b) Bestem når det ifølge modellen er $137$ deltakere. Bruk uttrykket $D(x)$ til å forklare hva antall deltakere vil stabilisere seg på hvis modellen gjelder i lang tid.
c) Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere.
d) Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de $20$ første ukene?
---
## H2010 del 2 oppgave 5 — Butikkbesøk normalfordeling og hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Binomisk fordeling, Hypotesetest
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for normalfordelt besøkstall, binomiske sannsynligheter for kjøp, og utføre hypotesetest av kjøpsandel etter reklamekampanje
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/butikkbesok-normalfordeling-og-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Tallet på kunder i en butikk varierer fra uke til uke. I gjennomsnitt har butikken besøk av $1\,000$ personer per uke. Besøkstallet per uke er tilnærmet normalfordelt med et standardavvik på $140$ personer.
a) Finn sannsynligheten for at flere enn $1\,200$ personer besøker butikken i løpet av en tilfeldig valgt uke.
b) Finn sannsynligheten for at besøkstallet er mellom $900$ og $1\,100$.
I denne butikken regner man med at $70\ \%$ av dem som kommer innom, kjøper noe.
c) I løpet av en bestemt halvtime kommer $12$ personer innom butikken. Bruk binomisk fordeling og finn ved regning sannsynligheten for at
1\) akkurat $9$ personer av disse kjøper noe
2\) minst $9$ personer av disse kjøper noe
Butikken gjennomførte en reklamekampanje. Etter kampanjen viste en telling at $47$ av $60$ besøkende som kom innom butikken, kjøpte noe.
d) Bruk hypotesetesting og vurder om reklamekampanjen har ført til økt salg. La signifikansnivået være $5\ \%$.
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, rekker, terning og kilopris på frukt
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rekker, Forventningsverdi, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Blandet Del 1-oppgave med derivasjon, aritmetisk og uendelig geometrisk rekke, sannsynlighetsfordeling, likningssett og tredjegradsfunksjon fra nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-rekker-terning-og-kilopris-pa-frukt/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene:
1\)
$$
f(x) = \left(x^2 - 1\right)\left(x^2 + 1\right)
$$
2\)
$$
g(x) = x^2 \cdot e^{2x}
$$
b)
1\) Gitt rekka $2 + 4 + 6 + 8 + \cdots$
Finn ledd nummer $20$ og summen av de $20$ første leddene.
2\) Gitt den uendelige rekka $2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots$
Avgjør om rekka konvergerer. Finn eventuelt summen.
c) Vi har en spesiell terning. På tre av sidene står tallet $7$, på to av sidene står tallet $5$, og på den siste siden står tallet $-1$. La den stokastiske variabelen $X$ være tallet som vises når vi kaster terningen én gang.
1\) Sett opp en sannsynlighetsfordeling for $X$.
2\) Bestem forventningsverdi og varians for $X$.
d) Tre venner handlet frukt. Kari kjøpte 2 kg epler, 3 kg pærer og 1 kg appelsiner. Hun betalte 81 kroner. Per kjøpte 1 kg epler, 2 kg pærer og 3 kg appelsiner. Han betalte 71 kroner. Lise kjøpte 1 kg av hver av fruktsortene. Hun måtte betale 37 kroner.
Sett opp et likningssett, og finn kiloprisen for epler, pærer og appelsiner.
e) Grafen til en polynomfunksjon $f$ av tredje grad skjærer $x$-aksen i $x_1 = -1$, i $x_2 = 1$ og i $x_3 = 3$ og $y$-aksen i $y = 6$. Bestem funksjonsuttrykket $f(x)$.
---
## V2009 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og tangenter med stigningstall 1
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon med $(x+2)$, faktorisering og nullpunkter til tredjegradspolynom, løse $f'(x)=1$ og finne vendepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-tangenter-med-stigningstall-1/
### Oppgavetekst
Gitt funksjonen $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$.
a) Vis at $f(x)$ er delelig med $(x + 2)$.
b) Løs likningen $f(x) = 0$.
c) Løs likningen $f'(x) = 1$. Gi en grafisk tolkning av resultatet.
d) Bestem $x$-koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Anne sparer til bil med årlige innskudd
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sparing, Geometrisk rekke, Rente, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Sluttverdi av årlige innskudd som geometrisk rekke med vekstfaktor $1{,}06$, løse for antall år og for nødvendig årlig innskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/anne-sparer-til-bil-med-arlige-innskudd/
### Oppgavetekst
Anne vil spare for å kjøpe bil. Hun setter inn 20 000 kroner på en bankkonto i begynnelsen av hvert år. Renten er 6 % per år i hele spareperioden.
a) Finn ut hvor mye som står på kontoen rett etter at det fjerde beløpet er satt inn. Sett opp et uttrykk for hvor mye som står på Annes konto rett etter at det $n$-te beløpet er satt inn.
Bilen hun vil kjøpe, koster 330 000 kroner.
b) Hvor lenge må Anne spare før det er 330 000 kroner på kontoen?
Anne ønsker å kunne kjøpe bilen like etter at det 10. beløpet er satt inn.
c) Hvor stort beløp må hun da sette inn på kontoen i begynnelsen av hvert år?
---
## V2009 del 2 oppgave 4-I — Varesalg på bensinstasjon med eksponentialmodell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Drøfting av $f(x) = x^5 e^{-2x}$ med produktregel, toppunkt og minimum av $f'$ via $f''(x)=0$, tolket som salgsmodell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varesalg-pa-bensinstasjon-med-eksponentialmodell/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Gitt funksjonen
$$
f(x) = x^5 \cdot e^{-2x} \qquad D_f = \langle 0,\, 10 \rangle
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bestem $f'(x)$, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Finn ved regning det punktet på grafen til $f$ der $f'(x)$ er minst.
En bensinstasjon har åpent sju dager i uka. Funksjonen $g(x) = 50 \cdot f(x)$ er en modell som viser antall solgte enheter av en bestemt vare $x$ dager etter at varen blir lagt ut for salg. Salget varer i 10 dager.
d) Hvilken dag er salget størst, og hvilken dag øker salget mest?
---
## V2009 del 2 oppgave 4-II — Rektangel med hjørne på grafen til 8 over x
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Optimering av areal $F(x) = 80 - 12x - \frac{48}{x}$ for rektangel med hjørne på grafen til $\frac{8}{x}$, og sammenligning med omkretsen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-med-hjorne-pa-grafen-til-8-over-x/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*
På figuren ovenfor har vi tegnet grafen til $f(x) = \dfrac{8}{x}$ for $x > 0$, og et rektangel $ABCD$. Punktet $A\big(x, f(x)\big)$ ligger på grafen til $f$ og til venstre for $B$. Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $6$, og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $12$. Se figuren.
a) Bestem lengden av linjestykkene $AB$ og $AD$ uttrykt ved $x$.
b) Vis at arealet av rektanglet kan skrives som
$$
F(x) = 80 - 12x - \frac{48}{x}
$$
Hva er definisjonsmengden til $F$?
c) Bestem det største arealet rektanglet kan få.
d) Undersøk om rektanglet med størst areal også har størst omkrets.
---
## V2009 del 2 oppgave 5 — Trekanttall og summer i Pascals trekant
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Pascals trekant, Tallfølger, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Trekanttall $a_n$ og summene $S_n$ som figurtall, formelen $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$, $S_{50}$ digitalt og binomialkoeffisientene $\binom{n+1}{2}$ og $\binom{n+2}{3}$ i Pascals trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanttall-og-summer-i-pascals-trekant/
### Oppgavetekst
Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_1$, $a_2$ og $a_3$.
$S_n$ er summen av de $n$ første trekanttallene.
a) Skriv opp de seks første trekanttallene $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ og $a_6$ og de fem første summene $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og $S_5$.
Nedenfor er et utsnitt av Pascals trekant. Skriv av dette utsnittet i besvarelsen din, og marker der de seks første trekanttallene og de fem første summene.
b) Forklar at $a_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$. Bruk dette til å vise at $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
c) Bruk digitale hjelpemidler, og finn summen av de 50 første trekanttallene.
I Pascals trekant er $n$-te rad gitt ved binomialkoeffisientene $\dbinom{n}{0}\ \dbinom{n}{1}\ \dbinom{n}{2} \cdots \dbinom{n}{n}$.
d) Bruk Pascals trekant og det du fant i a) til å forklare at
$$
a_n = \binom{n+1}{2} \quad \text{og} \quad S_n = \binom{n+2}{3}
$$
---
## V2009 del 2 oppgave 6 — Hypotesetest for andel seksere til eksamen
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Åpen hypotesetest av om 29 seksere blant 500 er en signifikant økning fra 4,3 %, med binomisk fordeling eller normaltilnærming.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-andel-seksere-til-eksamen/
### Oppgavetekst
*Oppgave 6 teller omtrent som 3 delspørsmål.*
Ledelsen i et fylke ønsker å øke andelen seksere til eksamen. Tidligere har i gjennomsnitt 4,3 % av eksamenskarakterene vært seksere. Etter en omlegging av undervisningsmetodene viste en stikkprøve at 29 av 500 eksamensresultater var seksere. Fylkesledelsen og elevorganisasjonen var uenige i om det gode resultatet skyldtes omleggingen av undervisningsmetodene, eller om det var en tilfeldighet.
Bruk dine kunnskaper i statistikk og sannsynlighetsregning, og undersøk spørsmålet nærmere. Gjør rede for hvilke metoder du bruker, og hvilke forutsetninger du legger til grunn.
---
## H2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, rekke og polynomulikhet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Aritmetisk rekke, Polynomdivisjon, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Derivere produkt/eksponential, aritmetisk rekke, rasjonal likning, polynomdivisjon med fortegnsskjema og funksjonsdrøfting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-rekke-og-polynomulikhet/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene:
1\)
$$
f(x) = x^3 \cdot \ln x
$$
2\)
$$
g(x) = 3e^{2x} + e^{x^2}
$$
b) Vi har en aritmetisk rekke der $a_3 = 8$ og $a_8 = 23$. Bestem $a_1$, $d$ og $S_{50}$.
c) Løs likningen $\dfrac{6}{x^2 - 3x} + \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{2}{x-3}$
d)
1\) Vis at $x = -1$ er et nullpunkt til funksjonen $f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 6x + 18$. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f(x)$.
2\) Løs ulikheten $f(x) \geq 0$
e) Løs likningssettet
$$
\begin{aligned} x + y - z &= 0 \\ 2x + y - z &= 2 \\ 4x + y - 2z &= 1 \end{aligned}
$$
f) Vi har funksjonen $f(x) = x^3 - 3x + 6$
1\) Finn $f'(x)$. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
2\) Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
---
## H2009 del 1 oppgave 2 — Spesiell terning og sannsynlighetsfordeling
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
- **Kort beskrivelse:** Sette opp sannsynlighetsfordeling for en skjev terning, regne ut $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$, og finne fordelingen til summen av to kast.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spesiell-terning-og-sannsynlighetsfordeling/
### Oppgavetekst
På en spesiell terning er det én sekser, to treere og tre toere.
Du kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne som terningen viser.
a) Gi sannsynlighetsfordelingen til $X$ ved å skrive av og fylle ut tabellen nedenfor.
| $x$ | 2 | 3 | 6 |
|:-----------:|:-------------:|:---:|:---:|
| $P(X = x)$ | $\frac{1}{2}$ | | |
b) Regn ut $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
Du kaster terningen to ganger. La $Y$ være summen av antall øyne som terningen viser.
c) Bestem sannsynlighetsfordelingen til $Y$.
---
## H2009 del 2 oppgave 3 — Geometrisk rekke og medisin i kroppen
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vise at en rekke er geometrisk, finne minste $n$ slik at $S_n > 0{,}999$, avgjøre konvergens og summen, og bruke modellen til å vurdere medisinopphopning i kroppen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-medisin-i-kroppen/
### Oppgavetekst
Det $n$-te leddet i en rekke er gitt ved
$$
a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n}
$$
a) Skriv de fire første leddene i rekken. Vis at rekken er geometrisk, og finn kvotienten $k$.
b) Bestem ved regning hvor mange ledd du minst må ta med i rekken for at $S_n > 0{,}999$.
c) Avgjør om rekken konvergerer. Finn eventuelt summen.
En pasient som er kronisk syk, tar hver dag en tablett som inneholder $0{,}33 \mathrm{~mg}$ av en bestemt medisin. Kroppen bryter ned $33{,}3 \%$ av denne medisinen på ett døgn. Hvis pasienten har mer enn $1{,}5 \mathrm{~mg}$ av denne medisinen lagret i kroppen, kan det gi alvorlige bivirkninger.
d) Ville du ha anbefalt denne medisinbehandlingen for pasienten? Begrunn svaret ditt.
---
## H2009 del 2 oppgave 4-I — Produksjon med kostnad og inntekt for to varer
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Etterspørsel
- **Kort beskrivelse:** Bestemme optimal produksjon grafisk og ved grensekostnad/grenseinntekt for vare A, og maksimere inntekt og overskudd for vare B via etterspørselsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produksjon-med-kostnad-og-inntekt-for-to-varer/
### Oppgavetekst
Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
En bedrift produserer $x$ enheter av en vare $A$. Alle de $x$ enhetene blir solgt. Kostnaden i kroner ved produksjonen er gitt ved funksjonen
$$
K_A(x) = 0{,}3x^2 + 20x + 1000 \, , \qquad x \leq 150
$$
Inntekten i kroner av salget er gitt ved funksjonen
$$
I_A(x) = 200x - x^2 \, , \qquad x \leq 150
$$
a) Tegn grafene til $K_A$ og $I_A$ i samme koordinatsystem. Bruk grafene til å finne hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst. Forklar framgangsmåten din.
b) Finn ved regning uttrykkene for grensekostnaden og grenseinntekten. Bestem ved regning den produksjonen som gir størst overskudd.
For en annen vare $B$ varierer etterspørselen bare med prisen $p$ kroner per enhet. Etterspørselen er antall enheter som selges.
Funksjonen
$$
e(p) = 1000 - 17p \quad \text{der} \quad p \leq 50
$$
er en god modell for etterspørselen.
Bedriften innretter produksjonen slik at det produseres like mange enheter som det selges.
c) Finn et uttrykk for inntekten $I_B$ som funksjon av $p$. Bestem den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten med denne prisen?
Kostnadene i kroner ved produksjonen er gitt ved
$$
K_B(x) = 800 - 10x + 0{,}04x^2
$$
der $x$ er antall produserte enheter.
d) Bestem et uttrykk for kostnaden $K_B$ som funksjon av $p$.
e) Hvilken pris gir størst overskudd? Hvor stort er det maksimale overskuddet?
---
## H2009 del 2 oppgave 4-II — Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Eksponentialfunksjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Tolke enhetskostnad som stigningstall fra origo, finne grafisk minste enhetskostnad og skjæring med grensekostnad, og bestemme overskudd der enhetskostnad er lik grensekostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-enhetskostnad-og-grensekostnad/
### Oppgavetekst
Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy.*
Kostnaden i kroner ved å produsere $x$ enheter av en vare per dag er gitt ved funksjonen
$$
K(x) = 2000 \cdot e^{\frac{x}{400}} \, , \qquad x \leq 500
$$
Enhetskostnaden $E(x)$ er gjennomsnittskostnaden per enhet, det vil si $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$.
a) Tegn grafen til $K$. Forklar at enhetskostnaden når det produseres 150 enheter, er lik stigningstallet til linjen som går gjennom origo og punktet $(150, K(150))$.
b) Tegn en rett linje gjennom origo og et vilkårlig punkt $P$ på grafen til $K$. Bestem, ved å flytte punktet $P$ langs grafen, den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.
c) Finn grensekostnaden. Hva blir grensekostnaden når produksjonen er 300 enheter? Forklar hva dette svaret forteller oss.
d) Finn grafisk når enhetskostnaden er lik grensekostnaden.
Inntekten ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved funksjonen
$$
I(x) = 50x - 0{,}05x^2
$$
Det selges like mange enheter som det produseres.
e) Bestem overskuddet når enhetskostnaden er lik grensekostnaden. Kommenter svaret ditt.
---
## H2009 del 2 oppgave 5 — Hypotesetest for partis framgang
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling
- **Kort beskrivelse:** Gjennomføre en hypotesetest med normaltilnærming for å vurdere om et parti har hatt framgang fra 19,8 % gitt 321 av 1500 spurte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypotesetest-for-partis-framgang/
### Oppgavetekst
*Denne oppgaven teller som tre delspørsmål.*
Et meningsmålingsinstitutt gjennomfører en spørreundersøkelse for et bestemt politisk parti. I undersøkelsen blir $1500$ tilfeldig valgte personer spurt om de ville ha stemt på partiet dersom det var valg.
I undersøkelsen svarer $321$ personer at de ville ha stemt på partiet. Ved forrige valg stemte $19{,}8 \%$ av velgerne på partiet.
Bruk det du har lært i statistikk, til å vurdere om partiet har hatt framgang siden forrige valg. Begrunn resonnementet ditt med beregninger.
---
## E2008 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, rekker og likningssett blandet
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rekker, Polynomdivisjon, Likningssystem, Forventningsverdi, Kostnadsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Blandet Del 1-oppgave med derivasjon, rekkesummer, polynomdivisjon, likningssett, sannsynlighetsfordeling og enhetskostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-rekker-og-likningssett-blandet/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 3x + 3
$$
2\)
$$
g(x) = 2x \, e^{3x}
$$
b)
1\) Finn summen av den uendelige rekka: $9 + 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \cdots$
2\) Finn summen av de 119 første naturlige tallene.
Ledd nummer $n$ i en rekke er gitt ved $a_n = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$
c)
1\) Bestem $a_5$ og $S_5$.
2\) Vis at $S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$. Bestem $S_{999}$.
d) Vis at $x = 1$ er en løsning på likningen $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. Bruk polynomdivisjon til å finne de to andre løsningene.
e) Løs likningssettet
$$
\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ 3x - y + 2z &= 7 \\ 4x + 3y - z &= 10 \end{aligned}
$$
En maskin som lager terninger, var feilinnstilt. Terningene fikk to treere og ingen seksere.
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|:--------:|:-------------:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{6}$ | | | | | |
f)
1\) Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.
2\) Regn ut $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$.
Totalkostnaden i kroner for en vare er gitt ved $K(x) = x^2 - 2x + 4$ der $x$ er antall produserte enheter.
g)
1\) Finn et uttrykk for enhetskostnaden og grensekostnaden.
2\) Finn den minste enhetskostnaden.
En regel i økonomien sier at vi finner den laveste verdien for enhetskostnaden der grafen til enhetskostnaden og grafen til grensekostnaden skjærer hverandre.
g)
3\) Vis at denne regelen alltid gjelder.
---
## E2008 del 2 oppgave 2 — Stipendordninger og nåverdi av rekker
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Annuitetslån
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne nåverdien av tre stipendordninger med geometriske rekker ved ulike rentenivåer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stipendordninger-og-naverdi-av-rekker/
### Oppgavetekst
En bedrift har lagt opp en langsiktig plan for å rekruttere kvalifisert arbeidskraft i framtida. Bedriften lover en stipendordning under skolegang og studier. De ferdigutdannete studentene må forplikte seg til å arbeide i bedriften i 5 år.
En elev/student kan velge mellom å få stipendet
- utbetalt 48 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 1 år.
- utbetalt 105 000 kr kontant i dag. Deretter 45 000 kr hvert år i 5 år, første utbetaling om 1 år.
- utbetalt 60 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 5 år.
a) Hvilken stipendordning er mest lønnsom for eleven/studenten når renten er 5 % per år? Bruk det du kan om rekker i begrunnelsen din.
b) Ville konklusjonen blitt annerledes hvis renten hadde vært 8 % per år?
---
## E2008 del 2 oppgave 3-I — Drøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x)=10(1-x)e^{-x}$ med fortegnslinjer, finne areal og tolke f som derivert av g.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-eksponentialfunksjon-og-antiderivert/
### Oppgavetekst
Gitt funksjonen
$$
f(x) = 10 \cdot (1 - x) \cdot e^{-x} \qquad x \in [0,\, 10]
$$
a) Vis at $f'(x) = 10 \cdot (x - 2) \cdot e^{-x}$. Tegn et fortegnskjema for $f'(x)$ og bruk det til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Finn $f''(x)$. Tegn et fortegnskjema for $f''(x)$ og bruk det til å finne eventuelle vendepunkt på grafen til $f$.
c) Tegn en skisse av grafen til $f$.
d) Finn det samlede arealet som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x = 0$ og $x = 10$.
Funksjonen $f$ er en derivert til funksjonen $g$.
e) Bruk grafen til $f$ til å bestemme hvor grafen til $g$ stiger og hvor den synker. Finn $x$-verdiene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $g$.
---
## E2008 del 2 oppgave 3-II — Personbiler per 1000 innbyggere modell
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Tolke en logistisk modell for personbiler per 1000 innbyggere, drøfte den deriverte og finne gjennomsnittsverdi via integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/personbiler-per-1000-innbyggere-modell/
### Oppgavetekst
Ifølge data fra Statistisk årbok kan antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge i perioden 1985 – 2005 uttrykkes ved funksjonen
$$
f(x) = 506{,}8 - \frac{4{,}725 \cdot 10^4}{1{,}513^x + 525{,}7} \qquad x \in [0,\, 20]
$$
der $x$ er antall år etter 1985.
I 1991 var det 4 500 000 innbyggere i Norge.
a) Hvor mange registrerte personbiler var det i Norge i 1991?
b) Tegn en skisse av grafen til $f'$.
c) Bruk grafen til $f'$ til å finne interessante egenskaper for $f$.
d) Når øker antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere med 6 per år?
Gjennomsnittet til funksjonen $f$ i intervallet $[a,\, b]$ er $\dfrac{1}{b - a} \cdot A$, der $A$ er arealet avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x = a$ og $x = b$.
e) Finn gjennomsnittlig antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i perioden 1985 – 2005.
---
## E2008 del 2 oppgave 4 — Levetid for motor med hypotesetest
- **Fag:** S2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Normalfordeling, Hypotesetest
- **Kort beskrivelse:** Regne sannsynligheter i normalfordeling, bestemme garantitid fra persentil og gjennomføre en hypotesetest for forventet levetid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/levetid-for-motor-med-hypotesetest/
### Oppgavetekst
Levetiden til en spesiell motor antas å være normalfordelt med en forventningsverdi på 10 år og et standardavvik på 2 år.
a) Finn sannsynligheten for at
1\) motoren fungerer mindre enn 8 år
2\) motoren fungerer mellom 8 og 11 år
Motorer som blir defekte før garantitiden går ut, blir erstattet av produsenten. Firmaet som produserer motorene, ønsker ikke å erstatte mer enn 3 % av de motorene som blir defekte.
b) Hvor lang garantitid bør de da tilby?
I firmaet er de usikre på om forventet levetid er så lang som 10 år. De registrerer levetiden i antall år på 10 tilfeldig valgte motorer:
$$
8{,}3 \quad 9{,}2 \quad 7{,}3 \quad 10{,}1 \quad 9{,}5 \quad 8{,}7 \quad 8{,}4 \quad 10{,}0 \quad 9{,}1 \quad 9{,}4
$$
De antar fortsatt at levetiden til motoren er normalfordelt med standardavvik på 2 år.
c) Still opp en nullhypotese $H_0$ og en alternativ hypotese $H_1$ for denne problemstillingen.
d) Velg et signifikansnivå på 5 % og undersøk om firmaet må forkaste hypotesen $H_0$.
---
## Rart integral
- **Fag:** S2, R2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Temaer:** Utforskning, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rart-integral/
### Oppgavetekst
$$
\int \smallint \, \mathrm{d}\smallint
$$
---
## Ukjent program Mønster v23
- **Fag:** S2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Temaer:** Programmering, Sannsynlighet, Simulering
- **Kompetansemål:** Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3124); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130)
- **Kilde:** Mønster S2 terminprøve v23
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-monster-v23/
### Oppgavetekst
Martin har skrevet følgende kode:
```python ln
import random
N = 100000
samlet_gevinst = 0
for i in range(N):
mynt1 = random.randint(0, 1)
mynt2 = random.randint(0, 1)
resultat = mynt1 + mynt2
gevinst = -50 + 40*resultat
samlet_gevinst += gevinst
print(samlet_gevinst)
```
a) Forklar hva Martin ønsker å simulere og regne ut.
b) Hva blir det eksakte svaret på oppgaven Martin ønsker å løse?
---
## Summen av repeterende brøker
- **Fag:** S2
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Temaer:** Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kilde:** Sinus S2 lærebok
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/summen-av-repeterende-broker/
### Oppgavetekst
Finn summen.
$$
\left( 1-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{7} \right)+ \dots + \left( \frac{1}{996}-\frac{1}{1000} \right)
$$
> **Tips**
> Tips
> For å løse oppgaven for hånd bør du skrive opp noen flere ledd enn hva du ser foreløpig. Se etter muligheter til å forkorte bort ledd.
---
## Monas lån
- **Fag:** S2
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Temaer:** Programmering, Lån
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3130); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3131)
- **Kilde:** Mønster S2 terminprøve v23
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/monas-lan/
### Oppgavetekst
Mona låner 1 000 000 kroner i banken til 3 % rente per år. Hun får følgende nedbetalingsplan av banken:
| Restlån start | Terminbeløp | Rente | Avdrag | Restlån slutt |
| -------------:| -----------:| -----:| ------:| -------------:|
| 1000000 | 117230 | 30000 | 87230 | 912770 |
| 912770 | 117230 | 27383 | 89847 | 822922 |
| 822922 | 117230 | 24688 | 92543 | 730379 |
| 730379 | 117230 | 21911 | 95319 | 635060 |
| 635060 | 117230 | 19052 | 98179 | 536881 |
| 536881 | 117230 | 16106 | 101124 | 435757 |
| 435757 | 117230 | 13073 | 104158 | 331600 |
| 331600 | 117230 | 9948 | 107283 | 224317 |
| 224317 | 117230 | 6730 | 110501 | 113816 |
| 113816 | 117230 | 3414 | 113816 | 0 |
a) Hva slags lån er dette, og hva kjennetegner et slikt lån?
Mona vil utforske lånet og begynner på en kode i Python som skal lage nedbetalingsplanen:
```python
lån = 1000000
rente = 0.03
antall_terminer = 10
terminbeløp = 117230.5
print('Restlån start Terminbeløp Rente Avdrag Restlån slutt')
for i in range(antall_terminer):
restlån_start =
rentebeløp =
avdrag =
lån =
print(f'{restlån_start:14.0f} {terminbeløp:12.0f}'
f' {rentebeløp:8.0f} {avdrag:8.0f} {lån: 12.0f}')
```
> **Tips**
> Skrive lange tekststrenger i Python
> Den siste linja i koden er brutt opp over to linjer. Legg merke til at parentesen etter print først avsluttes på neste linje.
>
> For at dette skal fungere så er det viktig at man avslutter og starter hver linje med anførselstegn. Dersom man vil bruke variabler inni strengene må vi skrive *f* foran for å gjøre om strengen til en f-streng.
b) Hjelp Mona med hva som skal stå i linjene 7, 8, 9 og 10.
c) Hvor mye skal Mona betale inn i renter totalt i hele nedbetalingsperioden?