R2 — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 444 oppgaver i R2 (Realfaglig matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/r2-raadata-losning/
Matematikk R2 bygger videre på R1 gir et solid grunnlag for videre studier i realfag og teknologi.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat03-02/kompetansemaal-og-vurdering/kv294?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT3-01/Hele/Kompetansemaal/matematikk-r2
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Bestemt og ubestemt integral R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet (KM3100)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral $\int_0^2 (e^{2x}+x)\,dx$ og ubestemt integral $\int \sin(\ln x)/x\,dx$ med substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-og-ubestemt-integral/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) dx
$$
b)
$$
\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal mellom grafer
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet (KM3100); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Finne $f$ fra $f'(x)=2/x^2$ og punkt $(2,2)$, deretter areal mellom $g(x)=x$ og $h(x)=-3/x+4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antiderivasjon-og-areal-mellom-grafer/
### Oppgavetekst
Du får vite dette om en funksjon $f$
- Funksjonen er definert for $x>0$
- $f'(x) = \dfrac{2}{x^2}$
- Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 2)$
a) Bestem $f(x)$.
To andre funksjoner, $g$ og $h$, er gitt ved $g(x) = x$ og $h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4$ for $x>0$.
b) Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til $g$ og $h$.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp aritmetisk rekke for sidelengder og geometrisk rekke for areal i to tårnmodeller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-treplatetarn/
### Oppgavetekst
I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde $5 \mathrm{~m}$.
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $0{,}1 \mathrm{~m}$ kortere enn sidelengden til treplaten under.
a) Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal $19 \mathrm{~m}^2$.
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $10\,\%$ kortere enn sidelengden til treplaten under.
b) Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Trigonometriske verdier og likning R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Enhetssirkel, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Finne $\sin v$ og $\tan v$ fra $\cos v$ i 4. kvadrant, og løse $2\cos(\pi x/3)=\sqrt{3}$ i et intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-verdier-og-likning/
### Oppgavetekst
a) Bestem $\sin v$ og $\tan v$ når $\cos v = \dfrac{2}{3}$ og $v$ er en vinkel i 4. kvadrant.
b) Løs likningen
$$
2\cos\left( \frac{\pi}{3} x \right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0, 10 \rangle
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Graftolkning, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme amplitude, periode, faseforskyvning og likevektslinje fra grafen til en trigonometrisk funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsuttrykk-fra-trigonometrisk-graf/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Regne ut volumet av omdreiningslegeme dannet ved å dreie $f(x)=2x-1$ fra $x=1$ til $x=3$ rundt $x$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningslegeme-av-lineaer-funksjon/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 2x - 1
$$
Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til $f$ fra $x=1$ til $x=3$ dreies $360\degree$ rundt førsteaksen.
Regn ut volumet til omdreiningslegemet.
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Plan og tangerende kuleflate R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om punkt ligger i plan, vise normalvektor med kryssprodukt, vise kulesentrum, og bestemme parameterframstilling og kuleflatekonstant for kule som tangerer planet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-og-tangerende-kuleflate/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
2x - 5y + 4z = -4
$$
Punktene $A(1, 2, 1)$, $B(2, 0, -2)$ og $C(-1, 2, 2)$ ligger i planet.
a) Avgjør om punktet $D(3, 1, -1)$ ligger i planet $\alpha$.
b) Bruk kryssprodukt til å vise at $[2, -5, 4]$ er en normalvektor til planet.
En kule tangerer planet $\alpha$ i et punkt $P$.
Kuleflaten er gitt ved likningen
$$
x^2 + y^2 + z^2 - 18y + 2z + k = 0
$$
c) Vis at punktet $(0, 9, -1)$ er sentrum i kulen.
d) Bestem en parameterframstilling for linjen som går gjennom sentrum i kulen og punktet $P$.
e) Bestem konstanten $k$ i likningen for kuleflaten.
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Bevis, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at et eksempel ikke er gyldig bevis, og deretter bevise $|\vec p+\vec q|^2=|\vec p|^2+|\vec q|^2$ generelt med skalarproduktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-at-ortogonale-vektorer-oppfyller-pytagoras/
### Oppgavetekst
> **Eksempel**
> Påstand
> Dersom to vektorer $\vec p$ og $\vec q$ er ortogonale, er
>
> $$
> |\vec p + \vec q|^2 = |\vec p|^2 + |\vec q|^2
> $$
>
En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.
> **Sitat**
> Elevens bevis
> $\vec p = [4, 0, 0]$
>
> $\vec q = [0, 0, 3]$
>
> Da er
>
> $$
> |\vec p + \vec q|^2 = |[4, 0, 3]|^2 = 4^2 + 0^2 + 3^2 = 25
> $$
>
>
> og
>
> $$
> |\vec p|^2 + |\vec q|^2 = 4^2 + 3^2 = 25
> $$
>
>
> Altså er påstanden riktig.
a) Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.
b) Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Datatrafikk og sinusmodell R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Regresjon, Derivasjon, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121); Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3103)
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse sinusmodell til datatrafikk-tabell, løse $D(t)>90\,000$, finne maksimal stigning og integrere $D(t)$ fra $t=8$ til $t=16$ for å finne andel av total datamengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/datatrafikk-og-sinusmodell/
### Oppgavetekst
Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet.
Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.
| Tidspunkt (klokkeslett) | 00:00 | 02:00 | 06:00 | 08:00 | 12:00 | 16:00 | 20:00 | 22:00 |
| :---------- | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :-----: | :----: |
| Datatrafikk (gigabit per time) | 58 280 | 39 400 | 22 550 | 32 200 | 67 450 | 86 110 | 102 007 | 87 810 |
a) Lag en god modell for datatrafikken $S(t)$ gigabit per time, $t$ timer etter midnatt dette døgnet.
Videre i oppgaven skal du bruke modellen
$$
D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24 t - 3{,}0)
$$
for datatrafikken $D(t)$, $t$ timer etter midnatt dette døgnet.
b) Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn $90\,000$ gigabit per time ifølge modellen?
c) Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?
d) Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Propellfly med vektorfunksjon R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere posisjon, banefart og kollisjon for et propellfly med vektorfunksjon $\vec r(t)$ og en fugl som beveger seg langs en rett linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/propellfly-med-vektorfunksjon/
### Oppgavetekst
Et lite propellfly må nødlande på en motorvei. Posisjonen $\vec r(t)$ til flyet $t$ sekunder etter at nødlandingen har startet, er gitt ved
$$
\vec r(t) = \left[\, 30 t - t^2,\ 8 \sin\left( \frac{\pi}{10} t \right),\ 50\left( 1 - \frac{t}{10} \right)^2 \,\right]
$$
Motorveien ligger i $xy$-planet.
Enhetene langs aksene er meter.
> **Info**
> Banefart
> Banefart er lengden av fartsvektoren.
a) Hvor høyt over motorveien er flyet 4 sekunder etter at nødlandingen har startet?
b) Bestem banefarten idet flyet lander på motorveien.
c) Ved hvilket tidspunkt under nødlandingen er banefarten $14{,}3 \mathrm{~m/s}$?
En fugl er i posisjonen $(131, 67, 23)$ idet flyet starter nødlandingen. Fuglen flyr i en rett linje og krysser banen til flyet i punktet $\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)$.
Fuglen holder en jevn banefart på $12 \mathrm{~m/s}$.
d) Vil fuglen treffe flyet?
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Rekursiv rekke og konvergens S2 V26
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Tallfølger, Konvergens, Programmering
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Skrive program som genererer rekursiv følge $a_n=(a_{n-1}-1)^2$, og utforske hvilke heltallige startverdier som gir konvergent rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekursiv-rekke-og-konvergens/
### Oppgavetekst
En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen
$$
a_n = (a_{n-1} - 1)^2
$$
a) Lag et program som skriver ut de 6 første leddene i rekken dersom $a_1 = 5$.
b) Avgjør om det finnes et heltall $a_1$ som gjør at rekken blir konvergent.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Vase som omdreiningslegeme R2 V26
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Trigonometri, Volum, Modellering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere parameterne $A,c,\varphi,d$ i $f(x)=A\sin(cx+\varphi)+d$ slik at omdreining gir vase med høyde $20\mathrm{~cm}$ og volum $\approx 1{,}5\mathrm{~L}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vase-som-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor.
Vasen skal romme omtrent $1{,}5 \mathrm{~L}$ vann og ha høyde $20 \mathrm{~cm}$.
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
$$
f(x) = A \cdot \sin(c x + \varphi) + d
$$
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne $A$, $c$, $\varphi$ og $d$, og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Integraler S2 v25
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av eksponential pluss polynom; ubestemt integral via variabelskifte $u=x^2-x-6$ der telleren er $u'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integraler-s2-v25/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Bestem f ut fra den deriverte
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Tolkning av integraler, Areal under graf, Bestemt integral
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $f(x)=1/x^2+C$ fra $f'$, så finne $C=2/7$ fra arealkravet $\int_1^2 f\,dx = 11/14$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-f-ut-fra-den-deriverte/
### Oppgavetekst
Bestem et uttrykk for funksjonen $f$ når du får vite at
- $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$
- Arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=1$ og $x=2$ er $\frac{11}{14}$. Dette arealet ligger over $x$-aksen.
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Tallfølge med programmering og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Bevis
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105); Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallfolge-med-programmering-og-induksjon/
### Oppgavetekst
En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:
```python ln
a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
print(a)
a = a + (i + 2)
```
a) Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?
Eleven har også skrevet denne koden:
```python ln
a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
S = S + a
a = a + (i + 2)
print(S)
```
b) Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?
Tallene fra oppgave a) er starten på en rekke.
c) Bruk induksjon til å vise at et ledd i rekken kan uttrykkes som
$$
a_n = \frac{n(n+3)}{2}, \quad n \geq 1
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Trigonometrisk funksjon og likning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-og-likning/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \quad , \quad D_f = \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle
$$
a) Bestem amplituden, likevektslinja, perioden og faseforskyvningen.
b) Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$
En funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 3\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) \quad , \quad D_g = \langle 0, 2\pi \rangle
$$
c) Løs likningen $g(x) = \sqrt{3}$
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Bordplate som trekant i 3D
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bordplate-som-trekant-i-3d/
### Oppgavetekst
Et bord har en bordplate med en form som en trekant $ABC$. Dersom vi tenker oss bordet plassert i et tredimensjonalt koordinatsystem der enhetene langs aksene er desimeter, vil hjørnene ha koordinatene $A(0, 0, 0)$, $B(2, 3, 0)$ og $C(1, 4, 1)$.
a) Er noen av vinklene i trekanten større enn $90°$? Husk å begrunne svaret.
b) Bestem arealet av bordplaten.
En plante på veggen har en gren som vokser slik at den følger en rett linje gjennom punktene $D(3, 7, 3)$ og $E(2, 3, 2)$.
c) Vis at grenen aldri vil treffe bordplaten.
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Caspers kode
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering
- **Kompetansemål:** Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene (KM3101)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/caspers-kode/
### Oppgavetekst
Casper har skrevet denne koden:
```python ln
def f(x):
return x**3
def g(x):
return -2*x**2
dx = 0.0001
s = 0
x = 0
while x <= 2:
s = s + f(x)*dx + g(x)*dx
x = x + dx
print(s)
```
Bestem verdien som skrives ut når koden kjøres.
---
## V2025 del 1 oppgave 7 — Vinkel i sirkel og trigonometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Enhetssirkel
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Radianer fra $v=b/r$, konvertere til grader, og eksakte $\sin u$, $\cos u$ fra $\tan u=2$ via Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-i-sirkel-og-trigonometri/
### Oppgavetekst
I en sirkel er radius lik 3.
Figuren nedenfor viser en vinkel $v$ der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.
a) Hvor stor er vinkelen $v$ gitt i
- radianer?
- grader?
Om en annen vinkel $u$ får du vite at $u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ og $\tan u = 2$.
b) Bestem de eksakte verdiene til $\sin u$ og $\cos u$.
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Bil på spiralvei i parkeringshus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bil-pa-spiralvei-i-parkeringshus/
### Oppgavetekst
En bil kjører opp en spiralformet vei inne i et parkeringshus.
Posisjonen til bilen etter $t$ sekunder er gitt ved
$$
\vec{r}(t) = \left[ 4\cos\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ 4\sin\left(\frac{\pi}{5}t\right) + 2,\ 5 + \frac{1}{3}t \right], \qquad t \in [0, 20]
$$
der bakkenivået er $xy$-planet i et koordinatsystem med meter som enhet langs aksene.
a) Hvor høyt over bakkenivået er bilen etter 5 sekunder?
b) Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og farten til bilen etter 10 sekunder.
c) Gjør nødvendige antakelser og bestem en mulig avstand mellom etasjene i parkeringshuset.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Harens fart og gjennomsnittsfart
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3103)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/harens-fart-og-gjennomsnittsfart/
### Oppgavetekst
En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten $v$ til haren er gitt ved
$$
v(t) = 8{,}3 - 17{,}4 \cdot e^{-5t} + 9{,}1 \cdot e^{-0{,}08t}
$$
Her er $v$ meter per sekund, og $t$ er antall sekunder etter at haren starter å løpe.
a) Hvor lang tid vil det gå før akselerasjonen til haren er null? Hva forteller dette svaret?
b) Hvor langt løper haren i løpet av de første 7 sekundene?
Gjennomsnittsfarten $v_g$ til haren de første $x$ sekundene er gitt ved
$$
v_g(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} v(t) \, \mathrm{d}t
$$
c) Bestem gjennomsnittsfarten til haren de første 200 meterne.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Noras sparing og lån
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lån, Sparing, Regneark, CAS, Rekker, Annuitetslån
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Sparing med årlige innskudd i 30 år, annuitetslån med ukjent rente, og sparing med 6 % økende innskudd — alt løst som rekker i CAS/Excel.
- **Kilde:** Eksamen S2 høst 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/noras-sparing-og-lan/
### Oppgavetekst
Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.
Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.
Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 \%.
a) Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?
Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.
Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.
b) Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?
Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 \% per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 \% per år.
Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.
c) Vil Nora nå målet sitt?
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Vis at rekke blir ln 2
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Utforskning, Integrasjon, Uendelig rekke, Rekker, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Leddvis integrasjon av geometrisk rekke $\sum x^k$; variabelskifte på $\int \frac{1}{1-x}\,dx$; sette $x=1/2$ for å få $\ln 2$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2025
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-rekke-blir-ln-2/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$
Det kan vises at
$$
\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x
$$
Bruk denne sammenhengen til å vise at
$$
\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2
$$
I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Ubestemt integral med delvis integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Delvis integrasjon (DI-metoden) av $\int 4x\cos x\,\mathrm{d}x=4(x\sin x+\cos x)+C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral-med-delvis-integrasjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralet
$$
\int 4x \cdot \cos x \, dx
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — Volum av omdreiningslegeme – kopp
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Geometri
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Volum av omdreiningslegeme $V=\pi\int_0^{10}(x+4)\,\mathrm{d}x=90\pi$ cm$^3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-omdreiningslegeme-kopp/
### Oppgavetekst
Funksjonen er gitt ved
$$
f(x) = \sqrt{x+4} \quad , \quad D_f = [0,10]
$$
Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til $f$ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.
Hvor mye kakao er det plass til i koppen dersom den fylles helt opp?
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Tolkning av integraler, Integrasjon, Areal under graf
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Kort beskrivelse:** Tolke og beregne areal mellom $f(x)=x^3+x^2-2x$ og $x$-aksen; argumentere for at $\int_a^1 f\,dx=0$ har to løsninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolkning-av-integral-og-areal-fra-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=x^3+x^2-2 x$.
a) Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.
1.
$$
\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
2.
$$
\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
3.
$$
\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x+\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
4.
$$
\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x
$$
b) Regn ut arealet av det markerte området på figuren.
Kristian ønsker å finne en verdi $a<0$, som er slik at $\int_a^1 f(x) d x=0$.
Han bruker en kalkulator og finner at $a \approx -0{,}6$.
Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.
c) Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Trigonometriske likninger og antall løsninger
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Løse $\sin x-\sqrt 3\cos x=0$ via $\tan x=\sqrt 3$, og avgjøre antall løsninger for $(\sin x-1/2)(\sin x-a)=0$ som funksjon av $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger-og-antall-losninger/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen
$$
\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi \right\rangle
$$
Ta utgangspunkt i likningen
$$
\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)\left(\sin x - a\right) = 0 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi\right\rangle \text{ og } a \in \mathbb{R}
$$
b) For hvilke verdier av $a$ har likningen henholdsvis to, tre og fire løsninger?
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Sanne og usanne påstander om fart og vinkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tolkning, Trigonometri
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre to påstander – areal under fartsgraf er strekning (ikke akselerasjon), og $36° = \pi/5$ rad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sanne-og-usanne-pastander-om-fart-og-vinkel/
### Oppgavetekst
Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Husk å begrunne svarene dine.
**Påstand 1**
Vi kan tolke arealet under en fartsgraf som akselerasjon.
**Påstand 2**
En vinkel på $36 \degree$ er det samme som en vinkel på $\dfrac{\pi}{5}$ radianer.
---
## H2025 del 1 oppgave 6 — Aritmetisk og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk vekst, Aritmetisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Sumformel for aritmetisk rekke, konvergensintervall for parametrisk geometrisk rekke, og total tilbakelagt strekning via uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken
$$
-3 + 0 + 3 + \dots + 69
$$
a) Bestem summen av rekken.
Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken
$$
5 + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots
$$
b) Bestem konvergensområdet til rekken.
En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.
c) Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?
---
## H2025 del 1 oppgave 7 — Kuleflate og tangentplan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Kuleflate via kvadratfullføring, tangentplan via normalvektor $\overrightarrow{MP}$, og sjekke skjæring plan–kule via avstandsformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-tangentplan/
### Oppgavetekst
En likning for en kuleflate $S$ er gitt ved
$$
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4
$$
a) Bestem sentrum og radius til kuleflaten $S$.
En annen kuleflate $K$ har sentrum i $(1, -1, 3)$ og radius $2$.
Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten $K$ i punktet $P(3, -1, 3)$.
b) Bestem en likning for plan $\alpha$.
Et annet plan $\beta$ er gitt ved
$$
3x + y - 2z + 1 = 0
$$
c) Avgjør om plan $\beta$ vil skjære gjennom kuleflaten $K$.
---
## H2025 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Induksjonsbevis for eksplisitt sum av geometrisk rekke $1+4+\ldots+4^n = (4^{n+1}-1)/3$, med basissteg $n=0$ og induksjonssteg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Vis ved induksjon at
$$
1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^n = \frac{4^{n+1}-1}{3} \quad \text{for } n \ge 0
$$
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Parametriserte posisjonsvektorer i 3D – fart som $|\vec r'(t)|$, minimumsdybde via $z'(t) = 0$, og minimumsavstand mellom to baner via $|\vec r(t) - \vec s(t)|$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/miniubat-fart-og-kollisjon-med-fiskestim/
### Oppgavetekst
En miniubåt passerer 250 meter under en bøye som ligger på havoverflaten.
I et koordinatsystem der $x$-aksen og $y$-aksen ligger parallelt med havoverflaten, $z$-aksen står normalt på havoverflaten, og enheten langs aksene er meter, er posisjonen til miniubåten $t$ sekunder etter passeringen gitt ved
$$
\vec{r}(t) = [6t,\ 7t,\ -250 - 5t + {,}1t^2] \quad , \quad t \in [0, 60]
$$
a) Bestem farten til miniubåten etter 2 sekunder.
b) Hvor langt under havoverflaten er miniubåten på det dypeste?
Posisjonen til en fiskestim i området $t$ sekunder etter at miniubåten passerte under bøyen, er gitt ved
$$
\vec{s}(t) = [40+2t,\ 60+2t,\ -250] \quad , \quad t \in [0, 60]
$$
Fiskestimen har en tilnærmet kuleform med radius på 15 meter. Miniubåten er 4 meter bred, 5 meter høy og 8 meter lang.
c) Gjør beregninger og vurder om miniubåten kommer til å kollidere med fiskestimen.
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Sinusmodell for elektrisk spenning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Trigonometri, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Kort beskrivelse:** Sinusregresjon på spenningsmålinger, løse trigonometrisk likning, og bruke effektivverdi-formel for å verifisere målingene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusmodell-for-elektrisk-spenning/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.
| Sekunder ($t$) | 0,0020 | 0,0050 | 0,0070 | 0,0100 | 0,0130 | 0,0150 | 0,0180 | 0,0200 |
| ------------------- | :----: | :----: | :----: | :-------: | :----: | :----: | :----: | :------: |
| Målt spenning ($U$) | 189 | 323 | 259 | $-2{,}12$ | $-261$ | $-327$ | $-189$ | $3{,}52$ |
a) Bestem en modell $U$ for spenningen $U(t)$ volt (V) i stikkontakten $t$ sekunder etter at målingene startet.
b) På hvilke tidspunkter i løpet av de første $0{,}0200$ sekundene er spenningen 230 V ifølge modellen?
Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V.
Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved
$$
U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (U(t))^2\, dt}
$$
der $T$ er perioden til funksjonen $U$.
c) Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk vekst, Modellering, Konvergens, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke for akkumulert CCl₄-konsentrasjon; finne antall netter numerisk og utskillelsesprosent via grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ccl4-konsentrasjon-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Karbontetraklorid ($\text{CCl}_4$) er et skadelig stoff som brytes sakte ned i kroppen og delvis lagres i fettvev. Så lenge konsentrasjonen av $\text{CCl}_4$ i kroppen er under 10 enheter, klarer leveren å skille ut stoffet som normalt. Når konsentrasjonen overstiger 10 enheter, begynner ammoniakk å hope seg opp i blodet, og det blir potensielt farlig.
Sofie skal bo nær et gammelt industriområde der det har foregått ulovlig dumping av kjemikalier. Hver natt kommer hun til å puste inn $\text{CCl}_4$ som fordamper fra grunnen og kommer inn på soverommet hennes gjennom ventilasjon og sprekker i kjelleren.
Sofie utsettes for 2 enheter $\text{CCl}_4$ per natt. Vi regner med at kroppen hennes klarer å skille ut 18 % av total mengde i kroppen i løpet av en dag.
Anta at Sofie kun skiller ut $\text{CCl}_4$ når hun ikke blir utsatt for stoffet, og at hun bare blir utsatt for $\text{CCl}_4$ om natten.
a) Regn ut hvor mange netter Sofie kan sove på soverommet sitt før konsentrasjonen av $\text{CCl}_4$ i kroppen hennes kommer opp på et potensielt farlig nivå.
Sofie leser en artikkel om $\text{CCl}_4$ der det blir påstått at en voksen person aldri vil ha mer enn 10 enheter av stoffet i kroppen dersom personen utsettes for 2 enheter $\text{CCl}_4$ per natt.
b) Regn ut hvor mange prosent av mengden $\text{CCl}_4$ artikkelen antar at en voksen person skiller ut fra kroppen per dag.
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Programmering og numerisk integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene (KM3101)
- **Kort beskrivelse:** Tolke venstre-/høyre-Riemann-summer for $3^{2x}$ og skrive en trapesmetode som bedre estimat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-og-numerisk-integrasjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3^{2x}
$$
Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x = 0$ og $x = 2$ ved hjelp av to ulike metoder.
```python ln
start = 0
slutt = 2
n = 100
dx = (slutt-start)/n
def f(x):
return 3**(2*x)
def areal_til_hoyre():
areal = 0
for i in range(n):
x = start + i*dx
areal = areal + f(x)*dx
return areal
def areal_til_venstre():
areal = 0
for i in range(1, n+1):
x = start + i*dx
areal = areal + f(x)*dx
return areal
print(areal_til_hoyre())
print(areal_til_venstre())
```
a) Forklar hvorfor den ene metoden vil gi en litt for høy verdi for arealet, og den andre metoden en litt for lav verdi.
b) Lag et program som beregner arealet mer nøyaktig uten å dele det opp i flere deler. Ta utgangspunkt i koden nedenfor, og skriv ferdig funksjonen «bedre\_metode()». Hvis du programmerer i et annet programmeringsspråk enn Python, må du først skrive en kode som samsvarer med koden nedenfor i språket du bruker.
Husk å legge ved skjermbilde av programmet du lager, og resultatet du får når du kjører programmet.
```python ln
start = 0
slutt = 2
n = 100
dx = (slutt-start)/n
def f(x):
return 3** (2*x)
def bedre_metode():
areal = 0
#Skriv ny kode her
return areal
print(bedre_metode())
```
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Bestemt integral og areal
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal under graf, Bestemt integral
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av $-x^3+3x$; areal mellom graf og $x$-akse ved å splitte på nullpunkt $x=0$.
- **Kilde:** Eksamen S2 vår 2024
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral-og-areal/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x)=-x^{3}+3x
$$
a) Regn ut integralet
$$
\int_{-1}^{0} f(x) \, dx
$$
b) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=-1$ og $x=1$
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Ubestemt integral med substitusjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-integral-med-substitusjon/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet.
$$
\int \sin^3(x) \cdot \cos(x) \, \mathrm{d}x
$$
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Ukjent program S2 v24
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Aritmetisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python while-løkke som delsum av aritmetisk rekke $a_n=4n-2$; finne første $n$ der $s_n>200$ ved å løse $s_n=200$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-s2-v24/
### Oppgavetekst
En elev har laget programmet under.
```python ln
n = 0
S = 0
while S <= 200:
n = n + 1
S = S + 4*n - 2
print(n)
```
a) Forklar hva eleven prøver å finne ut.
b) Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Trekant og plan i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-og-plan-i-rommet/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(1, 1, 0)$, $B(4, 1, 1)$ og $C(2, 0, -1)$.
a) Bestem arealet av trekanten $\triangle ABC$.
b) Bestem avstanden fra punktet $C$ til linja gjennom $A$ og $B$.
$A$, $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$. Punktet $P$ har koordinatene $P(-2, 1, 4)$.
c) Lag en parameterframstilling for linja $\ell$ som går gjennom punktet $P$ og står vinkelrett på planet $\alpha$.
En rett linje $m$ går gjennom punktet $P$, er parallell med planet $\alpha$ og skjærer $z$-aksen i punktet $D$.
d) Bestem koordinatene til $D$.
---
## V2024 del 1 oppgave 5 — Sinusfunksjon og egenskaper
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-og-egenskaper/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\right) - 1, \quad D_f = \langle 0, 20 \rangle.
$$
a) Løs likningen $f(x) = 0$.
b) Finn amplituden, likevektslinja, perioden og forskyvningen langs likevektslinja.
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Fotball hjørnespark og vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotball-hjornespark-og-vektorer/
### Oppgavetekst
En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen $\vec{r}$ til ballen etter $t$ sekunder er gitt ved
$$
\vec{r}(t) = [30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2].
$$
Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, $x$-aksen går langs kortsiden og $y$-aksen går langs langsiden.
a) Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?
b) Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?
c) Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Volum av pære med omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Volum
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-paere-med-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter.
Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Sensor for utelys og trigonometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sensor-for-utelys-og-trigonometri/
### Oppgavetekst
En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på $T(x)$ timer etter midnatt. $T(x)$ er gitt ved
$$
T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19.
$$
$x$ er antall dager etter 31. desember 2023 slik at $x = 1$ svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.
a) Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen $T(x)$ passer med opplysningene gitt ovenfor.
b) Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 minutter per dag?
c) Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Kubikktall og induksjonsbevis
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekursiv sammenheng, Figurtall, Programmering, Bevis
- **Kompetansemål:** Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105)
- **Kort beskrivelse:** Kubikktallrekke $S_n$ — rekursiv + eksplisitt formel via regresjon, Python-løkke for $S_{50}$, og induksjonsbevis.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikktall-og-induksjonsbevis/
### Oppgavetekst
De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$, se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.
a) Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n+1}$. Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$.
b) Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
c) Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for $S_{n}$.
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Kuleflate og plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-plan/
### Oppgavetekst
Punktene $A(1, 2, 1)$ og $B(3, 0, -3)$ ligger på en kuleflate. $AB$ er en diameter til kuleflaten. Planet $\gamma$ er gitt ved likningen $x + 2y + 2z = 14$.
a) Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet $\gamma$.
Et plan $\alpha$ har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet $\gamma$.
b) Bestem en likning for planet $\alpha$.
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Sum av integralrekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Utforskning, Funksjoner, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Uendelig geometrisk rekke med kvotient $k(x)=1-e^{-x}$; bestem konvergensområdet $x>-\ln 2$ og finn $a_1=2$ slik at minste mulige sum er 1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-integralrekke/
### Oppgavetekst
La $a_{1}>0$ og la $S(x)$ være summen av ei rekke gitt ved
$$
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{1} \cdot \left( \int_{0}^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t \right)^{n}
$$
Bestem $a_{1}$ slik at den minste mulige summen blir 1.
---
## H2024 del 1 oppgave 1 — Integral med delvis integrasjon og trigonometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Trigonometri, Delvis integrasjon, Substitusjon, Tolkning av integraler
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Delvis integrasjon (DI) på $x^2 \ln x$; variabelskifte i trigonometrisk bestemt integral; geometrisk tolking av nullintegral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-med-delvis-integrasjon-og-trigonometri/
### Oppgavetekst
a) Regn ut integralet $\int x^2 \cdot \ln x \, dx$
b) Bestem $x$ når $\int_0^x \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \, \mathrm{d}t = 0$ og $x \in \langle 0, \pi \rangle$.
c) Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Sumformel, kvotient og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk sumformel, kvotient fra sum av uendelig geometrisk rekke, og vis at $0{,}\overline{75}=25/33$ som geometrisk rekke med $k=1/100$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sumformel-kvotient-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\cdots+399$.
b) Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_1 = 12$ og sum = 18.
c) Vis at tallet $0{,}75757575\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}$.
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Telt med vektorer i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108); Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107)
- **Kort beskrivelse:** Areal av romtrekant via $\tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|$, og toppunkt på parameterframstilt linje via lengdebetingelse $|\vec{CT}|=\sqrt{17}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/telt-med-vektorer-i-rommet/
### Oppgavetekst
Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene $A(0, 0, 0)$, $B(3, 1, 2)$ og $C(-1, 3, 1)$. De tre teltstengene er samlet i toppunktet $T$.
a) Bestem arealet av bunnen i teltet.
Lengden av teltstanga fra punkt $C$ til punkt $T$ er $\sqrt{17}$. Teltstanga fra punkt $A$ til punkt $T$ følger linja $\ell$, gitt ved
$$
\ell: \begin{cases}
x=t &\\
y=t &\\
z=4t &
\end{cases}
$$
b) Bestem koordinatene til toppunktet $T$.
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Radianer og eksakte trigonometriske verdier
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Enhetssirkel
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Definere absolutt vinkelmål, regne om $80°$ til radianer, og finne eksakte $\cos v$ og $\tan v$ i tredje kvadrant fra $\sin v = -\frac{1}{4}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/radianer-og-eksakte-trigonometriske-verdier/
### Oppgavetekst
a) Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er $80\degree$?
b) Finn de eksakte verdiene til $\cos v$ og $\tan v$ når $\sin v = -\dfrac{1}{4}$ og $v \in \left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]$.
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Sinusfunksjon og cosinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Kort beskrivelse:** Omskrive sinusfunksjon til cosinusfunksjon via faseforskyvning, og løse $\cos(\pi x/4 - \pi) = 1/2$ i et intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-og-cosinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til funksjonen
$$
f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{2}\right) - 1
$$
a) Bestem en funksjon på formen $g(x) = A \cdot \cos(cx + \varphi) + d$, som passer til grafen.
b) Løs likningen $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}$, der $x \in [0, 3\pi]$. Forklar hvor på figuren løsningene ligger.
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Ball i bevegelse med posisjonsvektor
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Posisjonsvektor i 3D; fartsvektoren som derivert; finne tidspunkt der $|\vec{v}(t)|$ er konstant via CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-i-bevegelse-med-posisjonsvektor/
### Oppgavetekst
En ball ruller av taket på et hus og ned på bakken. Vi plasserer et koordinatsystem slik at
- $y$-aksen ligger på bakken parallelt med husveggen
- $x$-aksen ligger på bakken, står vinkelrett på husveggen og skjærer $y$-aksen der ballen forlater hustaket
- $z$-aksen angir høyden over bakken med positiv retning oppover
Måleenheten på aksene er meter.
Posisjonen til ballen er gitt ved
$$
\vec{r}(t) = [2t,\ 4t,\ 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2]
$$
der $t$ er antall sekunder etter at ballen forlater taket.
a) Hvor høyt over bakken er kanten på taket? Hva er posisjonen til ballen etter $0{,}5$ s?
b) Bestem farten til ballen når den treffer bakken.
c) Ved hvilket tidspunkt er farten til ballen $10 \mathrm{~m/s}$?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Vurder påstander om rekke, plan og areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Vektorer, Integrasjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Kort beskrivelse:** Vurder tre påstander om plan bestemt av 3 punkter, konvergens av geometrisk rekke med $\ln$, og areal mellom kurver.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurder-pastander-om-rekke-plan-og-areal/
### Oppgavetekst
Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
a) **Påstand:** Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.
b) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1 + (\ln x - 1) + (\ln x - 1)^2 + \cdots$
**Påstand:** Dersom $x = \dfrac{1}{e}$ vil summen av rekka være $\dfrac{1}{3}$.
c) To funksjoner er gitt ved $f(x) = x^3 - x^2 - ax$, der $a \in \mathbb{R}$, og $g(x) = -x^2 + x$.
**Påstand:** Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a > -1$.
---
## H2024 del 2 oppgave 3 — Jordbær som omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Volum, Omdreiningslegeme, Modellering, Regresjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Kort beskrivelse:** Måle profil av jordbær, bestemme modellfunksjon via regresjon, og beregne volum som omdreiningslegeme $\pi\int f(x)^2\,dx$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jordbaer-som-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
> **Obs**
> Bildene er ikke i målestokk
> I det originale eksamenssettet er bildene i målestokk 1:1, men det er vanskelig å få til her. Ved å måle på arket har jeg funnet av avstanden fra bunnen til toppen (i $y$-retning på arket) er omtrent 4,4 cm.
---
Bildet viser tverrsnittet av et jordbær i målestokk 1:1. Bruk integrasjon og omdreiningslegeme til å beregne volumet av hele jordbæret. Kommenter formen på omdreiningslegemet ditt og vurder svaret.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Rekursiv formel og programmering
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekursiv sammenheng, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105); Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Finne rekursiv formel $a_{n+1}=a_n+n^2$ fra tallfølge; programmere sum av 30 ledd via for-løkke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekursiv-formel-og-programmering/
### Oppgavetekst
a) Bestem en rekursiv formel for tallfølgen $1, 2, 6,15,31,56,\dots$
b) Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de 30 første leddene i tallfølgen.
Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Integrasjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Tolke sinusmodell for fart – første tidspunkt med gjennomsnittsfart, vendepunkter med størst akselerasjon, og integrallikning for kjøretid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/russebil-med-trigonometrisk-fartsfunksjon/
### Oppgavetekst
Anders og Ivana har kjøpt seg russebil. De skal kjøre bilen til en garasje, men på turen begynner motoren å fuske. Farten $v$ følger funksjonen
$$
v(t) = -6\sin\left(360t - \frac{\pi}{2}\right) + 54
$$
Her er $v$ gitt i km/t, og $t$ er antall timer etter at motoren har begynt å fuske.
a) Bestem det første tidspunktet gjennomsnittsfarten blir 54 km/t.
b) På hvilke tidspunkt har bilen størst akselerasjon når den kjører med farten $v$? Hvor stor er denne akselerasjonen?
Når bilen begynner å fuske, er det 2 km til garasjen som bilen skal parkeres i.
c) Hvor lenge må Anders og Ivana kjøre for å komme til garasjen, når bilen kjører med farten $v$?
---
## H2024 del 2 oppgave 6 — Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Volum, Omdreiningslegeme, Bevis
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120); Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099)
- **Kort beskrivelse:** Vise at volum av torus dannet ved rotasjon av sirkel (sentrum $(a,0)$, radius $R$) om $y$-aksen er $V=2\pi^2 R^2 a$ via skall- eller skivemetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningslegeme-av-sirkel-om-y-aksen/
### Oppgavetekst
En sirkel har sentrum i $S(a, 0)$ og har radius $R < a$. Sirkelen roteres om $y$-aksen.
Vis at volumet av omdreiningslegemet blir $2\pi^2 R^2 a$.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — To bestemte integraler
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-bestemte-integraler/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, dx
$$
b)
$$
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, dx
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Tangens, derivert og integral
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Derivasjon, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangens-derivert-og-integral/
### Oppgavetekst
a) Vis at dersom $f(x) = \tan x$, så er $f'(x) = 1 + \tan^2 x$.
b) Regn ut
$$
\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x} \, dx
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Pyramide med fire punkter i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Volum, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-med-fire-punkter-i-rommet/
### Oppgavetekst
Punktene $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$, $C(4,2,0)$ og $T(0,0,5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.
a) Regn ut volumet av pyramiden.
b) Regn ut arealet av $\triangle BCT$.
c) Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$, $C$ og $T$.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Sum av aritmetisk rekke med kode
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-aritmetisk-rekke-med-kode/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet følgende kode:
```python ln
a = 3
d = 4
N = 10
S = 0
for i in range(N):
S = S + a
a = a + d
print(S)
```
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
b) Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Bevis for grenseverdien til sin v delt på v
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Trigonometri, Bevis
- **Kompetansemål:** Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099); Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-grenseverdien-til-sin-v-delt-pa-v/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du vise at $\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1$.
I figuren nedenfor er $AB = AD = 1$, og buen $BD$ er del av en sirkel med sentrum i $A$. Vi lar $\angle BAC = v$ (målt i radianer).
a) Bruk arealbetraktninger til å begrunne at
$$
\frac{1}{2}\sin v < \frac{1}{2}v < \frac{1}{2}\tan v
$$
b) Forklar at dette gir oss
$$
1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}
$$
c) Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at $\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1$.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Parallelle plan og kule
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallelle-plan-og-kule/
### Oppgavetekst
Planet $\alpha$ er bestemt av punktene $A(1,0,3)$, $B(0,1,2)$ og $C(2,3,2)$.
a) Bestem en likning for planet $\beta$ som er parallelt med $\alpha$ og går gjennom punktet $P(2,-5,5)$.
En kule tangerer $\alpha$ i punktet $A$ og $\beta$ i et punkt $Q$.
b) Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Logistisk funksjon, Derivasjon, Funksjoner, Tolkning av integraler, Integrasjon, Samlet mengde
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126); Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3127); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon (KM3129)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon på markedsdata; beregne og gi praktisk tolkning av integraler, sumrekke og deriverttilnærming.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjon-pa-storrelsen-av-det-norske-musikkstrommemarkedet/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008-2018.
| År | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 | 2018 |
| --------- |:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Strømming | 2 | 70 | 246 | 456 | 582 | 655 |
a) Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008-2018 og årene etterpå. Velg $x$-verdier slik at $F(0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Nedenfor ser du fire formler.
$$
I=\int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x) \mathrm{d} x, \quad G=\frac{1}{5} \int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x) \mathrm{d} x, \quad S=\sum_{i=0}^{10} F(i), \quad D=\frac{F(5{,}001)-F(5)}{0{,}001}
$$
b) Bestem $I, G, S$ og $D$.
c) Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Banefart til 3D-printer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/banefart-til-3d-printer/
### Oppgavetekst
En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter $t$ sekunder er gitt ved posisjonsvektoren
$$
\vec{r}(t) = \left[1 + e^{\frac{t}{20}},\ 1 - \sin t,\ \frac{1}{10}e^{-2t+2} + \cos t\right], \quad t \in [0, 5]
$$
Her er cm enheten langs aksene.
a) Bestem banefarten til 3D-printeren etter 1 sekund.
b) Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest?
c) Avgjør om fartsretningen noen gang er parallell med $xy$-planet eller parallell med $yz$-planet. Husk å begrunne svaret.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Hildegunns ukepenger
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Rekker, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne aritmetisk og geometrisk ukelønn i regneark; finne uke der tilbud 2 passerer tilbud 1 ukentlig og samlet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hildegunns-ukepenger/
### Oppgavetekst
Foreldrene til Hildegunn/David[^1] vil gi hen ukepenger. De gir hen to ulike tilbud. I tilbud 1 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $a_{n}$ som hen får i uke $n$, er gitt ved den rekursive formelen
$$
a_{n}=a_{n-1}+10
$$
I tilbud 2 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $b_{n}$ som hen får i uke $n$, er gitt ved den rekursive formelen
$$
b_{n}=b_{n-1} \cdot 1,05
$$
a) Bestem det ukentlige beløpet hen får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
b) Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
c) Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1 ?
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Omdreiningslegeme, Trigonometri
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiingslegeme-til-trigonometrisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x}, \quad D_f = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]
$$
Vi roterer grafen til $f$ om $x$-aksen.
a) Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.
Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.
b) Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Grafens lengde med polylinje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Programmering
- **Kompetansemål:** Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene (KM3101); Gjøre rede for integral som en grenseverdi av en følge av summer, og tolke betydningen av denne grenseverdien i ulike situasjoner (KM3102)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafens-lengde-med-polylinje/
### Oppgavetekst
For en deriverbar funksjon $f$ kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to $x$-verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.
Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall $[a,b]$, kan vi dele dette intervallet i $N$ like store delintervall $[x_i, x_{i+1}]$ med bredde $h = \dfrac{b-a}{N}$ og $x_i = a + i \cdot h$.
Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene $(x_i, f(x_i))$ og $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$. Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra $x = a$ til $x = b$.
a) Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet $(x_i, f(x_i))$ til punktet $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$, er gitt ved
$$
S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}, \quad \text{der } k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)
$$
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = \sqrt{1 - x^2}, \quad D_g = [-1, 1]
$$
---
b) Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til $g$ ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produkt- og kvotientregel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $x \sin x$ med produktregelen og $\frac{\cos 2x}{\sin x}$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produkt-og-kvotientregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x \cdot \sin x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\cos 2x}{\sin x}
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Bestemte integraler med polynom og eksponential
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne bestemt integral av $4x^3 - x$ og av $e^{2x}$ med grenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemte-integraler-med-polynom-og-eksponential/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_{-1}^{1}(4x^3 - x)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,\mathrm{d}x
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Trigonometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x$ ved kvosientregelen, deretter integrere $\frac{1 + \tan^2 x}{\tan x}$ ved substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-derivert-av-tangens-er-1-pluss-tan-kvadrat/
### Oppgavetekst
a) Vis at dersom $f(x) = \tan x$, så er $f'(x) = 1 + \tan^2 x$.
b) Regn ut $\displaystyle\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,\mathrm{d}x$.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Summeformel for aritmetisk rekke $2 + 8 + 14 + \cdots + 296$, og summen av uendelig geometrisk rekke med kvotient $\frac{1}{3}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-r2-v23-lk06/
### Oppgavetekst
a) Regn ut summen av den aritmetiske rekken
$$
2 + 8 + 14 + \cdots + 296
$$
b) Regn ut summen av den geometriske rekken
$$
5 + \frac{5}{3} + \frac{5}{9} + \frac{5}{27} + \cdots
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Løse lineær differensiallikning med startbetingelse
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse lineær 1. ordens differensiallikning $y' + 3y = 3$ med startbetingelse $y(0) = 5$ ved separasjon eller integrasjonsfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-lineaer-differensiallikning-med-startbetingelse/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y' + 3y = 3, \quad y(0) = 5
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 6 — Bestem f'(0) fra sinusgraf
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lese av $A$, $c$, $\varphi$ og $d$ fra sinusgrafen, sette opp $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$, og beregne $f'(0)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-f-0-fra-sinusgraf/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$. Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen
$$
f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d
$$
Bestem $f'(0)$.
---
## V2023 del 1 oppgave 7 — Pyramide med volum areal og avstand
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Volum, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne volum av pyramide med vektorprodukt, areal av trekant $BCT$ og avstand fra $A$ til planet $BCT$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-med-volum-areal-og-avstand/
### Oppgavetekst
Punktene $A(0{,}0{,}0)$, $B(5{,}0{,}0)$, $C(4{,}2{,}0)$ og $T(0{,}0{,}5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.
a) Regn ut volumet av pyramiden.
b) Regn ut arealet av $\triangle BCT$.
c) Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$, $C$ og $T$.
---
## V2023 del 1 oppgave 8 — Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Areal mellom $f(x) = \cos 2x$ og $y = \frac{1}{2}$, bevise $(f(x))^2 = \frac{1}{2}(\cos 4x + 1)$ med addisjonsformelen, og volum av omdreiningslegeme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-for-cos2x-og-y-halvparten/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \cos 2x, \quad D_f = \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
$$
På figuren til høyre har vi tegnet grafen til $f$ sammen med linjen gitt ved $y = \dfrac{1}{2}$. Disse to avgrenser det fargelagte området, som vist på figuren.
a) Bestem arealet av det fargelagte området.
Bruk formelen $\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$
b) Bruk formelen til å vise at
$$
(f(x))^2 = \frac{1}{2} \cdot (\cos 4x + 1)
$$
Vi roterer det fargelagte området på figuren om $x$-aksen og får et omdreiingslegeme.
c) Bestem volumet av dette omdreiingslegemet.
---
## V2023 del 1 oppgave 9 — Induksjonsbevis for sum av n(n+5)
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig induksjonsbevis for $\sum_{k=1}^{n} k(k+5) = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}$ med grunntilfellet $n=1$ og induktivt steg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-n-n-5/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å vise at
$$
1 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + \cdots + n \cdot (n + 5) = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}
$$
for alle $n \in \mathbb{N}$.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Strømming av musikk modell og tolkning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Integrasjon, Regresjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Velge og begrunne regresjonsmodell $F(x)$ for strømmingsdata, beregne $I$, $G$, $S$, $D$ med CAS, og gi praktisk tolkning av resultatene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stromming-av-musikk-modell-og-tolkning/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.
| År | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 | 2018 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Strømming | 2 | 70 | 246 | 456 | 582 | 655 |
a) Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg $x$-verdier slik at $F(0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Nedenfor ser du fire formler.
$$
I = \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x \;, \quad G = \frac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x \;, \quad S = \sum_{i=0}^{10} F(i) \;, \quad D = \frac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001}
$$
b) Bestem $I$, $G$, $S$ og $D$.
c) Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Plan parallelt med gitt plan og kule tangerer to plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan, Kule
- **Kort beskrivelse:** Finne normalvektor til plan $\alpha$ via kryssprodukt, sette opp plan $\beta$ parallelt med $\alpha$ gjennom $P$, og bestemme koordinatene til tangentpunktet $Q$ der kule tangerer $\beta$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-parallelt-med-gitt-plan-og-kule-tangerer-to-plan/
### Oppgavetekst
Planet $\alpha$ er bestemt av punktene $A(1{,}0{,}3)$, $B(0{,}1{,}2)$ og $C(2{,}3{,}2)$.
a) Bestem en likning for planet $\beta$ som er parallelt med $\alpha$ og går gjennom punktet $P(2{,}-5{,}5)$.
En kule tangerer $\alpha$ i punktet $A$ og $\beta$ i et punkt $Q$.
b) Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Mopedbil differensiallikning og toppfart
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Løse $350v' = F - 10v$ med $v(0) = 0$, finne toppfart som $t \to \infty$, og bestemme $F$ for toppfart $60 \text{ km/h}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mopedbil-differensiallikning-og-toppfart/
### Oppgavetekst
En mopedbil blir drevet av en motor som gir en konstant kraft $F = 250 \text{ N}$ (newton).
Bilens fart $v$ (i m/s) kan beskrives med differensiallikningen
$$
350v' = F - 10v
$$
a) Finn et uttrykk $v(t)$ for farten $t$ sekunder etter at mopedbilen begynner å bevege seg.
b) Hva er den største farten mopedbilen kan oppnå?
Bilprodusenten ønsker at mopedbilen skal ha en toppfart på 60 km/h.
c) Hva må motorkraften $F$ være dersom mopedbilen skal ha denne toppfarten?
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområdet til $1 + (\frac{x}{2}-3) + (\frac{x}{2}-3)^2 + \cdots$ og konstruere uendelig geometrisk rekke med konvergensområde $\langle -3, 5 \rangle$ og sum 3 for $x = 4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergensomrade-og-konstruksjon-av-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Bestem konvergensområdet til den uendelige geometriske rekken
$$
1 + \left(\frac{x}{2} - 3\right) + \left(\frac{x}{2} - 3\right)^2 + \left(\frac{x}{2} - 3\right)^3 + \cdots
$$
b) Lag en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient som har konvergensområde $\langle -3, 5 \rangle$, og som konvergerer mot 3 når $x = 4$.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Rasjonale funksjoner, Trigonometri, Volum
- **Kort beskrivelse:** Beregne volum av omdreiingslegeme $V = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \left(\frac{2 - \cos x}{\sin x}\right)^2\,\mathrm{d}x$ og avgjøre om det får plass i kjegle med radius 4 og volum 45.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningslegeme-av-rasjonell-funksjon-og-sammenligning-med-kjegle/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x} \;, \quad D_f = \left\langle \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right\rangle
$$
Vi roterer grafen til $f$ om $x$-aksen.
a) Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.
Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.
b) Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Bestemt integral 3
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Tolkning av integraler
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\int_{-1}^1 (x^3+2x)\,dx = 0$ og tolke at arealene over og under $x$-aksen er like.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemt-integral-3/
### Oppgavetekst
Regn ut integralet
$$
\int_{-1}^{1} \left( x^{3}+2x \right) \, \mathrm{d}x
$$
Hva forteller svaret deg?
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Areal mellom cosinus og sinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal under graf, Trigonometri
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-mellom-cosinus-og-sinus/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene $f$ og $g$, der $f(x) = \cos x$ og $g(x) = \sin x$.
Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.
---
## H2023 del 1 oppgave 2a — Uendelig geometrisk rekke
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2a
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Rekker, Geometrisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Finne $k=1/2$ fra $s=8$ og $a_1=4$ i uendelig geometrisk rekke; beregne $s_4=15/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots$ konvergerer mot 8.
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at $a_{1}=4$
---
## H2023 del 1 oppgave 2b — Aritmetisk rekke
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2b
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Aritmetisk rekke
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker (KM3106)
- **Kort beskrivelse:** Finne $a_4$ fra $a_1+a_4+a_7=114$ ved å utnytte at $a_1=a_4-3d$ og $a_7=a_4+3d$ i aritmetisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke er $a_{1}+a_{4}+a_{7}=114$.
Bestem $a_{4}$.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Plan, normalvektor og avstand til punkt
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-normalvektor-og-avstand-til-punkt/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
x - 2y + 2z + 1 = 0
$$
Vi har gitt punktet $A(4,\ 2,\ 2)$.
a) Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom $A$ som står normalt på planet $\alpha$.
b) Bestem avstanden fra $A$ til $\alpha$.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Ukjent program h23
- **Fag:** S2, R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Numerisk integrasjon, Integrasjon, Areal under graf
- **Kompetansemål:** Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-program som numerisk areal-estimat med `abs(f(x))`; beregne eksakt areal ved integrasjon og symmetri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-h23/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet koden nedenfor
```python ln
N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N
def f(x):
return x**2-1
S = 0
for i in range(N):
xi = start + i*dx
S = S + abs(f(xi))*dx # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)
print(S)
```
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.
b) Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.
---
## H2023 del 1 oppgave 6 — Areal av sideflaten i avkortet pyramide
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Areal og omkrets, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-sideflaten-i-avkortet-pyramide/
### Oppgavetekst
Figuren viser en rett avkortet pyramide med hjørner i punktene $O(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $B(4,4,0)$, $C(0,4,0)$, $D(1,1,3)$, $E(3,1,3)$, $F(3,3,3)$ og $G(1,3,3)$.
Bruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten $BCGF$.
---
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Tidevann og trigonometrisk modell
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tidevann-og-trigonometrisk-modell/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.
> **Tips**
> Tidevann
> Tidevann er de periodiske endringene i havnivået som oppstår som et resultat av gravitasjonskreftene som månen og solen virker på jorden med.
| Antall timer etter midnatt | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vannstand (cm) | 99,6 | 119 | 94,3 | 60,5 | 53,4 | 76,0 | 96,7 | 115 | 99,9 | 68,1 |
En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.
a) Lag en modell $f$ som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.
b) Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?
Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.
c) Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Pentagontall rekursiv og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Rekursiv sammenheng, Programmering, Bevis
- **Kompetansemål:** Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis (KM3099); Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter (KM3105)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pentagontall-rekursiv-og-induksjon/
### Oppgavetekst
Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_n$ være antall kuler i figur $n$.
De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51.
a) Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_n$ og $P_{n-1}$.
b) Lag et program som regner ut $P_{100}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).
c) Bestem en eksplisitt formel for $P_n$, og vis at formelen stemmer ved å gjennomføre et induksjonsbevis.
---
## H2023 del 2 oppgave 3 — Volum av tønne ved integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Volum, Omdreiningslegeme
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer (KM3120)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-tonne-ved-integrasjon/
### Oppgavetekst
En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.
Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.
Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Luftforurensning og sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer (KM3104); Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett (KM3121)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/luftforurensning-og-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning $M$ kan beskrives med funksjonen
$$
M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d
$$
der $t$ er antall timer etter midnatt.
Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er $31{,}2$ µg/m³, og den minste mengden er $18{,}2$ µg/m³.
a) Bestem $A$, $c$ og $d$.
Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning $27$ µg/m³. Den første gangen er klokken 13:00.
b) Når er det andre tidspunktet?
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Vektorfunksjoner og smygplan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Funksjoner, Bevis
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon (KM3107); Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet (KM3108)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorfunksjoner-og-smygplan/
### Oppgavetekst
En kurve $C$ er grafen til vektorfunksjonen $\vec{r}_1$ gitt ved
$$
\vec{r}_1(t) = [\sin t,\ t,\ \cos t], \quad 0 < t < 2\pi
$$
a) Bestem koordinatene til eventuelle punkter på $C$ der tangenten er parallell med $xy$-planet.
b) Vis at $\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)$ for alle $t$.
> **Tips**
> Definisjon
> La $\vec{r}$ være posisjonsvektoren til en romkurve, der $\vec{r}'(t)$ og $\vec{r}''(t)$ ikke er parallelle for noen verdier av $t$. Da kan vi til hvert punkt på kurven lage et plan som tangerer kurven i punktet, og som inneholder $\vec{r}'(t)$ og $\vec{r}''(t)$. Dette planet kaller vi for kurvens *smygplan* i punktet.
c) Vis at vinkelen mellom smygplanet og $y$-aksen alltid er den samme for kurven $C$. Bestem denne vinkelen.
En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen $\vec{r}_2$ gitt ved
$$
\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1]
$$
d) Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av $t$. Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.
---
## E2023 del 1 oppgave 1 — Bestemte og ubestemte integraler
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne bestemt integral direkte og ubestemt integral med variabelskifte av $4x\sqrt{x^2+2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemte-og-ubestemte-integraler/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_0^1 (4x^2+3)\,dx
$$
b)
$$
\int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx
$$
---
## E2023 del 1 oppgave 2 — Normalvektor og likning til plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan
- **Kort beskrivelse:** Vise at en vektor er normalvektor til et plan via kryssprodukt, og sette opp planets likning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/normalvektor-og-likning-til-plan/
### Oppgavetekst
Vektorene $\vec{u} = [1, 2, -1]$ og $\vec{v} = [-1, 1, -2]$ er gitt.
Om et plan $\alpha$ får du vite at $\alpha \| \vec{u}$, $\alpha \| \vec{v}$ og punktet $P(2, 0, 1)$ ligger i $\alpha$.
a) Vis at $\vec{n} = [-1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $\alpha$.
b) Bestem en likning til planet $\alpha$.
---
## E2023 del 1 oppgave 3 — Trigonometrisk likning med cos og sin
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $\cos^2 x - 3\sin^2 x = -2$ på $[0, 2\pi\rangle$ ved å bruke $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-likning-med-cos-og-sin/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\cos^2 x - 3\sin^2 x = -2 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi\right\rangle
$$
---
## E2023 del 1 oppgave 4 — Aritmetisk rekke og ledd fra sumformel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a_4$ i en aritmetisk rekke der $s_n = 3n^2 + 4n$ ved å bruke $a_n = s_n - s_{n-1}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-ledd-fra-sumformel/
### Oppgavetekst
En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ har sum $s_n = 3n^2 + 4n$ for $n \in \mathbb{N}$.
Bestem $a_4$.
---
## E2023 del 1 oppgave 5 — Uendelig geometrisk rekke med kjent sum og delsum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Bestemme summen av fire første ledd i en uendelig geometrisk rekke gitt totalsum og sum av tre første ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-kjent-sum-og-delsum/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots$ konvergerer mot 6.
Summen av de tre første leddene er $\dfrac{38}{9}$.
Bestem summen av de fire første leddene.
---
## E2023 del 1 oppgave 6 — Riemannsumme for sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Programmering, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Tolke et Python-program som beregner Riemannsumme, og bestemme det eksakte integralet av $f(x) = 2\sin(x + \pi/6)$ over $[0, \pi]$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/riemannsumme-for-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
En elev har skrevet følgende kode:
a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
b) Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å regne ut?
---
## E2023 del 1 oppgave 7 — To like integraler med ulike integrasjonskonstanter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon, Derivasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise ved derivasjon og variabelskifte at to tilsynelatende ulike antideriverte av $\frac{1}{(1-x)^2}$ begge er korrekte, og forklare sammenhengen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-like-integraler-med-ulike-integrasjonskonstanter/
### Oppgavetekst
a) Bruk derivasjon til å vise at
$$
\int \frac{1}{(1-x)^2}\,dx = \frac{x}{1-x} + C_1
$$
b) Bruk variabelskiftet $u = 1-x$ til å vise at
$$
\int \frac{1}{(1-x)^2}\,dx = \frac{1}{1-x} + C_2
$$
c) Forklar hvordan de to formlene kan begge være sanne samtidig.
---
## E2023 del 2 oppgave 1 — Periodisk modell for månefaser
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Lage en periodisk trigonometrisk funksjon som modell for observerte månefasedata, bestemme periode for fullmåne og løse ulikhet for halv måne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/periodisk-modell-for-manefaser/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt for noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.
| Døgn nr. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|:----------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Synlig del | $0{,}25$ | $0{,}18$ | $0{,}11$ | $0{,}06$ | $0{,}02$ | $0{,}11$ | $0{,}57$ | $0{,}99$ |
| Døgn nr. | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 55 | 60 | 65 |
|:----------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Synlig del | $0{,}80$ | $0{,}32$ | $0{,}02$ | $0{,}14$ | $0{,}64$ | $0{,}77$ | $0{,}31$ | $0{,}01$ |
Her er $x$ antall døgn etter nyttår.
a) Lag en periodisk funksjon $f$ som er en god modell for dataene ovenfor.
Vi sier det er *fullmåne* når den synlige delen av månen er størst mulig.
b) Hvor lang tid går det mellom hver gang det er fullmåne ifølge modellen $f$?
c) Hvilke døgn var minst halve månen synlig ved midnatt i januar dette året?
---
## E2023 del 2 oppgave 2 — Uendelig geometrisk rekke med trigonometriske ledd
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområde for $S(x) = \cos x + 2\sin x\cos x + 4\sin^2 x\cos x + \cdots$ og analysere antall løsninger av $S(x)=b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-trigonometriske-ledd/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = \cos x + 2\sin x \cos x + 4\sin^2 x \cos x + \cdots
$$
a) Bestem området i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ hvor rekken konvergerer.
b) Avgjør for hvilke verdier av $b$ likningen
$$
S(x) = b
$$
har en eller flere løsninger i intervallet $[-\pi, \pi]$.
---
## E2023 del 2 oppgave 3 — Heltallige punkter på kuleflate
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Programmering, Kule
- **Kort beskrivelse:** Skrive et program som teller heltallige punkter $(x,y,z)$ som tilfredsstiller $x^2+y^2+z^2=9$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/heltallige-punkter-pa-kuleflate/
### Oppgavetekst
En kuleflate $K$ har sentrum i origo og radius 3.
Punktet $(-1, 2, 2)$ er et eksempel på et punkt på $K$ som har heltallige koordinater.
Lag et program som finner antall punkt på $K$ som har heltallige koordinater.
---
## E2023 del 2 oppgave 4 — Partikkel langs kurve og plan i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Romgeometri, Plan, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne banefart til en parametrisert kurve og bestemme fire tangentpunkter der posisjonsvektor er ortogonal på normalvektor til et plan.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-langs-kurve-og-plan-i-rommet/
### Oppgavetekst
Posisjonen til en partikkel er gitt ved
$$
\vec{r}(t) = [\cos t,\; 3\sin t,\; 2-\cos 2t] \quad , \quad t \in [0, 2\pi\rangle
$$
a) Bestem banefarten til partikkelen når $t = \pi$.
Et plan $\alpha$ er gitt ved
$$
3x + y + 5z = d \quad , \quad d \in \mathbb{R}
$$
Det finnes fire verdier for $d$ som gjør at posisjonskurven til partikkelen tangerer $\alpha$. Hver av disse fire verdiene gir oss et punkt på kurven.
b) Forklar hvorfor $\vec{r}'(t) \perp [3, 1, 5]$ når $t$ svarer til et av de fire punktene.
c) Bestem koordinatene til disse fire punktene.
---
## E2023 del 2 oppgave 5 — Hanois tårn og matematisk induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Induksjon, Programmering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme rekursiv sammenheng og eksplisitt formel $F(n) = 2^n - 1$ for Hanois tårn, og bevise formelen ved induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hanois-tarn-og-matematisk-induksjon/
### Oppgavetekst
Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.
Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.
Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.
Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte $n$ disker kaller vi $F(n)$.
a) Bestem $F(3)$.
Det er en rekursiv sammenheng mellom $F(n)$ og $F(n-1)$.
b) Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme $F(10)$.
Det finnes også en eksplisitt formel for $F$.
c) Undersøk og finn denne formelen.
d) Bevis formelen ved å bruke induksjon på antall disker $n$.
---
## E2023 del 2 oppgave 6 — Kule senket i kjegleformet glass
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Volum, Derivasjon, Optimering, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Beregne vannmengde som renner over når kule med gitt radius senkes i kjegle, og optimere radius for maksimalt vannutløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kule-senket-i-kjegleformet-glass/
### Oppgavetekst
Et glass er formet som en kjegle med høyde $10 \mathrm{~cm}$. Høyden i kjeglen danner en vinkel på $35\degree$ med sideflaten i kjeglen. Glasset er fullt med vann. En kule med radius $R$ blir senket sakte ned i glasset. Se figuren til høyre.
a) Bestem hvor mye vann som vil renne over dersom $R = 7 \mathrm{~cm}$.
b) Bestem $R$ slik at mest mulig vann renner ut av glasset.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produktregel og kvotientregel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = 3x \cdot \sin x$ med produktregelen og $g(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos x}$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produktregel-og-kvotientregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3x \cdot \sin x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos x}
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene med trigonometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Trigonometri, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Ubestemt integral av $e^x - \sin x$ og bestemt integral av $\sin x \cdot \cos x$ via dobbeltvinkelformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (e^x - \sin x)\, dx
$$
b)
$$
\int_0^{\pi/4} \sin x \cdot \cos x\, dx
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Trigonometrisk likning med cosinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $2\cos(3x) = -\sqrt{3}$ på intervallet $[0, \pi]$ med invers cosinus og periodisitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-likning-med-cosinus/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2\cos(3x) = -\sqrt{3} \quad , \quad x \in [0, \pi]
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Differensiallikning med startverdi
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse lineær førsteordens differensiallikning $y' + 2y = 4$ med startbetingelse $y(0) = 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-startverdi/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y' + 2y = 4 \quad , \quad y(0) = 1
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Areal og omdreiningslegeme for 1 over x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme
- **Kort beskrivelse:** Bestem $k$ slik at arealet av flatestykket under $f(x)=1/x$ blir 2, og beregn volumet av omdreiningslegemet ved $k=4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-for-1-over-x/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{x} \quad , \quad x \geq 1
$$
Flatestykket $F$ er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen, linjen $x = 1$ og linjen $x = k$, der $k > 1$.
a) Bestem $k$ slik at arealet av $F$ blir $2$.
Dersom vi dreier $F$ $360\degree$ om $x$-aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V$.
b) Bestem $V$ når $k = 4$.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Plan gjennom tre punkter og avstand til linje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Begrunne planlikning via normalvektor, vise at linje er parallell med plan, og beregne avstand fra linje til plan med punktavstandsformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-gjennom-tre-punkter-og-avstand-til-linje/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ inneholder punktene $A(2, 3, -7)$, $B(-2, 1, -3)$ og $C(3, 5, -5)$.
a) Begrunn at $2x - 2y + z + 9 = 0$ er en likning for planet $\alpha$.
En linje $\ell$ er definert av de to punktene $P(3, 1, -2)$ og $Q(6, 3, -4)$.
b) Vis at linjen er parallell med planet $\alpha$.
c) Bestem avstanden fra linjen $\ell$ til planet $\alpha$.
---
## V2022 del 1 oppgave 7 — Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Nullpunkter, omskriving til $\sqrt{2}\sin(2x+\pi/4)+1$ med trigonometrisk identitet, toppunkter via derivert, og skisse av $f(x) = 2\cos^2 x + \sin(2x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-nullpunkter-og-toppunkter/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\cos^2 x + \sin(2x) \quad , \quad x \in \langle -\pi, \pi \rangle
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Vis at vi kan skrive funksjonsuttrykket til $f$ som
$$
f(x) = \sqrt{2} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1
$$
c) Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2022 del 1 oppgave 8 — Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Finne $s_6$ for aritmetisk rekke og for to geometriske rekker gitt $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-med-a2-og-a4/
### Oppgavetekst
I en rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$.
a) Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.
Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.
b) Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.
---
## V2022 del 1 oppgave 9 — Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Induksjon, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Induksjonsbevis for $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + (-1)^{n+1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-vekselvis-rekke-av-kvadrater/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å vise at
$$
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + (-1)^{n+1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}
$$
der $n \in \mathbb{N}$.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Integrasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Finne maksimum, totalforbruk via bestemt integral og tidspunkt for akkumulert forbruk lik 17 kWh fra $f(x) = 1{,}3\sin(0{,}52x - 2{,}0) + 2{,}4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/energiforbruk-med-sinusmodell-og-strombrudd/
### Oppgavetekst
Maria vil få oversikt over energiforbruket i boligen sin. Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 1{,}3 \cdot \sin(0{,}52x - 2{,}0) + 2{,}4 \quad , \quad x \in [0, 24]
$$
er en god modell for energiforbruket per time ved tidspunktet $x$ timer etter midnatt i boligen til Maria. Her er energiforbruket målt i kWh.
a) Når på døgnet er energiforbruket i boligen størst ifølge modellen?
b) Hvor stort er energiforbruket i løpet av et døgn ifølge modellen?
En dag er det strømbrudd hos Maria. På energimåleren ser hun at hun dette døgnet hadde brukt $17 \mathrm{~kWh}$ før strømbruddet.
c) Omtrent når på døgnet fant strømbruddet sted?
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Finne $h$ for skjæring mellom linjer i 3D, vise at linje ligger i plan og at annen linje er parallell, og bestemme $h$ slik at avstand mellom linjene blir 4.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaering-mellom-linjer-og-avstand-med-romgeometri/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(0, 7, 5)$, $B(1, 7, 2)$, $C(-2, 2, 0)$ og $D(1, 1, h)$.
- Linjen $\ell$ går gjennom $A$ og $B$.
- Linjen $m$ går gjennom $C$ og $D$.
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
3x + (h+9)y + z = 68 + 7h
$$
a) Bestem en eksakt verdi for $h$ slik at linjene skjærer hverandre.
b) Vis at linjen $\ell$ ligger i planet $\alpha$, og at linjen $m$ er parallell med planet $\alpha$.
c) Bestem $h$ slik at avstanden mellom linjene $\ell$ og $m$ blir $4$.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Differensiallikning for medisinmengde i blod
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Oppsette og løse differensiallikning for medisinmengde med proporsjonal nedbrytning, bestemme k fra M(24)=80, og finne ny tilførsel for M(48)=150.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-medisinmengde-i-blod/
### Oppgavetekst
En pasient får intravenøs behandling med en medisin.
La $M(t)$ være mengden virkestoff fra medisinen som pasienten har i blodet ved tidspunktet $t$ timer etter at behandlingen startet. Kroppen bryter ned virkestoffet med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff som er i blodet.
Pasienten får tilført $5 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet per time.
a) Forklar at $M(t)$ må tilfredsstille differensiallikningen
$$
M'(t) = -k \cdot M(t) + 5 \quad , \quad M(0) = 0
$$
$24$ timer etter at behandlingen startet, hadde pasienten $80 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet i blodet.
b) Bestem et uttrykk for $M(t)$.
Etter at pasienten har fått intravenøs behandling i $24$ timer, blir det bestemt at pasienten skal få mer medisin per time.
c) Hvor mye virkestoff må pasienten få hver time dersom mengden virkestoff i blodet skal være $150 \mathrm{~mg}$ ett døgn senere?
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Uendelig rekke, Konvergens, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Partialbrøkoppspalting av $\frac{1}{k(k+2)}$, beregne $s_5$, finne lukket uttrykk for $s_n$ som teleskoprekke, og begrunne konvergens av $\sum 1/n^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/teleskoprekke-og-konvergens-av-uendelig-rekke/
### Oppgavetekst
a) Vis at
$$
\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)
$$
En rekke er gitt ved
$$
s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}
$$
b) Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at
$$
s_5 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right)
$$
c) Bruk blant annet det du gjorde i oppgave a), til å begrunne at
$$
s_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)
$$
d) Forklar at
$$
s_n > \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2}
$$
Bruk dette til å begrunne at den uendelige rekken nedenfor konvergerer.
$$
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sammensatte funksjoner R2 H22
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = x^3 + \sin(\pi x)$ og $g(x) = \ln(2 + \cos x)$ med kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sammensatte-funksjoner-r2-h22/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^3 + \sin(\pi x)
$$
b)
$$
g(x) = \ln(2 + \cos x)
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Ubestemt og bestemt integral
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Ubestemt integral av $\cos(x/2) - e^{-x} + 1$ og bestemt integral med substitusjon av $x \cdot \sin(x^2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemt-og-bestemt-integral/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - e^{-x} + 1\right) dx
$$
b)
$$
\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \sin(x^2) \, dx
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Separabel differensiallikning og verifisering av løsning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Løse separabel differensiallikning ved separasjon av variabler med startbetingelse, og verifisere løsning av andreordens ODE ved innsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/separabel-differensiallikning-og-verifisering-av-losning/
### Oppgavetekst
a) Løs differensiallikningen
$$
y' = \frac{2x^2}{y}, \quad y(0) = 3
$$
b) Avgjør om $y = 2\sin(3x) + x$ er en løsning av differensiallikningen
$$
y'' + 9y = 9x
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Aritmetisk rekke med to ukjente
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker
- **Kort beskrivelse:** Beregne $s_{100}$ fra $a_3$ og $a_{23}$, og $s_{20}$ fra $a_2 = a_1 + 4$ og $s_{10} = 240$ ved aritmetisk summeformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-to-ukjente/
### Oppgavetekst
Vi har gitt en aritmetisk rekke $s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
a) Bestem $s_{100}$ dersom $a_3 = 8$ og $a_{23} = 68$.
b) Bestem $s_{20}$ dersom $a_2 = a_1 + 4$ og $s_{10} = 240$.
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Trigonometrisk funksjon fra graf og likning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $A$, $c$, $\varphi$ og $d$ i $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$ fra avleste punkter i grafen, og løse $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-fra-graf-og-likning/
### Oppgavetekst
På figuren ser du grafen til en trigonometrisk funksjon.
a) Bestem et eksakt funksjonsuttrykk på formen $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$ som passer med grafen.
b) Løs likningen
$$
\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0, \quad x \in [0, 3\pi]
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 6 — Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Fullføre kvadrater for å finne sentrum og radius til kuleflate, finne tangentplan i punkt, bestemme andre skjæringspunkt og radius til skjæringssirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-sentrum-radius-plan-og-skjaeringssirkel/
### Oppgavetekst
En kuleflate er gitt ved
$$
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z = 11
$$
Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten i punktet $P(6, -4, 3)$.
Den rette linja gjennom $P$ og $S$ skjærer kuleflaten i et annet punkt $Q$.
Et plan $\beta$, som er parallelt med $\alpha$, skjærer kuleflaten langs en sirkel. Avstanden fra $\beta$ til $Q$ er 3.
a) Vis at punktet $S(2, -1, 3)$ er sentrum til kuleflaten. Bestem radiusen til kuleflaten.
b) Bestem en likning for $\alpha$.
c) Bestem koordinatene til $Q$.
d) Bestem radiusen til skjæringssirkelen mellom $\beta$ og kuleflaten.
---
## H2022 del 1 oppgave 7 — Olines integrasjonsoppgave med feil konstantledd
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Vurdere om $a^3 - \ln a + 3a - 3$ kan være et bestemt integral for $a \ge 1$, og finne $f(x)$ ut fra at kun konstantleddet $-3$ er feil.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/olines-integrasjonsoppgave-med-feil-konstantledd/
### Oppgavetekst
Oline har løst en integrasjonsoppgave
$$
\int_1^a f(x) \, dx, \quad a \ge 1
$$
og fått svaret $a^3 - \ln a + 3a - 3$.
a) Forklar hvordan vi kan se at Olines svar ikke kan være riktig.
b) Bestem $f(x)$ dersom du får vite at det kun er konstantleddet $(-3)$ som er feil.
---
## H2022 del 1 oppgave 8 — Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $h$ slik at volumet av omdreiingslegemet til linjestykket $OP$ blir $48\pi$, og bevise formelen $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ via integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiingslegeme-og-bevis-for-kjeglevolum/
### Oppgavetekst
Et linjestykke $OP$ går fra origo til punktet $P$ som vist på figuren ovenfor. Punktet $(2, 3)$ ligger på linjestykket. Dreier vi dette linjestykket om $x$-aksen, får vi et omdreiingslegeme med volum $V$.
Volumet $V$ av en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ er gitt ved
$$
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
$$
a) Bestem $h$ slik at $V$ blir $48\pi$.
b) Bruk et omdreiingslegeme til å bevise formelen for volumet av en kjegle.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Plan gjennom tre punkter og pyramide med t
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan
- **Kort beskrivelse:** Vise at plan gjennom $A$, $B$, $C$ er $3x + (2-t)y = 3t$, avgjøre om $\triangle ABC$ er rettvinklet og bestemme $t$ slik at pyramidevolum er 10.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-gjennom-tre-punkter-og-pyramide-med-t/
### Oppgavetekst
Vi har fire punkter $A(2, -3, 0)$, $B(t, 0, 2t)$, $C(2, -3, t)$ og $T(1, -3, 1)$, der $t \ne 0$.
De fire punktene $A$, $B$, $C$ og $T$ definerer en pyramide med trekantet grunnflate.
a) Vis at likningen for planet gjennom punktene $A$, $B$ og $C$ kan skrives som
$$
3x + (2-t)y = 3t
$$
b) Avgjør om $\triangle ABC$ er rettvinklet for noen verdier av $t$.
c) Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden blir 10.
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Differensiallikning for antall ansatte i bedrift
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke forutsetningene bak $A' = 0{,}1A - 1$ og løse differensiallikningen med $A(0) = 158$ for å avgjøre om bedriften passerer 400 ansatte på 10 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-antall-ansatte-i-bedrift/
### Oppgavetekst
I en bedrift er det i dag 158 ansatte. For å lage en modell for antall ansatte i bedriften har de satt opp følgende differensiallikning:
$$
A' = 0{,}1 \cdot A - 1
$$
Her er $A(t)$ antall ansatte om $t$ år.
Bedriften sier at de med denne utviklingen kommer til å bli mer enn 400 ansatte i løpet av 10 år.
a) Hvilke antagelser har ledelsen brukt for å sette opp differensiallikningen?
b) Avgjør om dette kan stemme.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Geometrisk rekke med halvkvadrat-figur
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke med kvotient $3/4$ for sidelengder og $9/16$ for arealer; beregne partialsummer, finne minste $n$ og summen av uendelig areal-rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-med-halvkvadrat-figur/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor består av halve kvadrater som vender opp og ned annenhver gang. Lengdene til sidene i et halvkvadrat er alltid $\dfrac{3}{4}$ av lengdene til sidene i det forrige halvkvadratet.
Anta at vi starter med et halvkvadrat der sidelengdene til sammen er 24.
Anta nå at vi starter med et halvkvadrat med ukjente sidelengder.
Vi skal nå se på arealene til halvkvadratene i figuren vi startet med. Det vil si at arealet til det første halvkvadratet er 72.
a) Bestem den samlede summen av sidelengdene til de fire første halvkvadratene.
b) Hvor mange halvkvadrate må vi minst ha for at den samlede summen av sidelengdene til halvkvadratene skal bli mer enn 90?
c) Hva må sidelengdene i det første halvkvadratet være for at den samlede summen av sidelengdene til de 20 første halvkvadratene skal bli 120?
d) Hva blir summen av alle arealene når vi tar med uendelig mange halvkvadrate?
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Omdreiingslegeme som krukke med kjegle inni
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Trigonometri, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne volum av omdreiingslegeme til $f(x) = 2\sin(x + \pi/6) + 5$ for $x \in [0, 2\pi]$, og bestemme største radius en kjegle med samme høyde kan ha for å passe i krukken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiingslegeme-som-krukke-med-kjegle-inni/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2 \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 5, \quad x \in [0, 2\pi]
$$
Når grafen til $f$ dreies 360 grader om $x$-aksen, får vi et omdreiingslegeme $M$.
En krukke har samme form og størrelse som $M$. Enheten langs aksene er gitt i desimeter.
En kjegle skal plasseres i krukken slik at spissen til kjeglen treffer bunnen av krukken. Kjeglen skal ha samme høyde som krukken.
a) Bestem volumet av $M$.
b) Avgjør om kjeglen får plass i krukken dersom radiusen til kjeglen er $5 \text{ dm}$.
c) Bestem den største radiusen kjeglen kan ha for å få plass i krukken.
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med kjerneregel og produktregel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere sammensatte trigonometriske funksjoner med kjerneregel og produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-kjerneregel-og-produktregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \cos(2x+1)
$$
b)
$$
g(x) = \cos(2x) \cdot \sin x
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne ubestemte og bestemte integraler med direkte integrasjon, delvis integrasjon og substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integrasjon-med-delvis-integrasjon-og-substitusjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int \left(x^2 + 2x + \frac{1}{3x}\right) dx
$$
b)
$$
\int x \cdot \ln x \, dx
$$
c)
$$
\int_0^{\pi/2} (\sin x + 1)^2 \cdot \cos x \, dx
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne areal mellom $f(x) = x^2 - x$ og x-aksen, deretter volum av omdreiningslegeme rundt x-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-for-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - x
$$
Et flatestykke $F$ er avgrenset av grafen til $f$ og x-aksen.
a) Bestem arealet av flatestykket $F$.
Vi dreier flatestykket $360°$ om x-aksen og får et omdreiningslegeme med volum $V$.
b) Bestem $V$.
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse trigonometriske likninger med dobbeltvinkelargument og andregradslikning i $\cos x$ på intervallet $[0, 2\pi]$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger-med-dobbeltvinkel/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a) $2\sin(2x - \pi) = \sqrt{3}$ , $\quad x \in [0, 2\pi]$
b) $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ , $\quad x \in [0, 2\pi]$
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Bruke $a_n = s_n - s_{n-1}$ til å bestemme $a_3$ fra sumformelen $s_n = 3n^2 + 4n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-ledd-i-aritmetisk-rekke-fra-sumformel/
### Oppgavetekst
En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ har sum $s_n = 3n^2 + 4n$ for $n \in \mathbb{N}$.
Bruk dette til å bestemme $a_3$.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Sette opp to likninger for $b_1$ og $k$ fra sum til uendelig og treleddssum, og bruke disse til å bestemme $b_4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-ledd-i-uendelig-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots$ konvergerer mot 6.
Summen av de tre første leddene er $\dfrac{38}{9}$.
Bruk dette til å bestemme $b_4$.
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Separabel differensiallikning og tangentlikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse separabel differensiallikning $y' = 2x \cdot y^2$ ved separasjon av variabler, og bestemme tangentlikning i gitt punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/separabel-differensiallikning-og-tangentlikning/
### Oppgavetekst
Gitt differensiallikningen
$$
y' = 2x \cdot y^2
$$
a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
En av integralkurvene går gjennom punktet $(2, 1)$.
b) Bestem likningen for tangenten til løsningskurven i dette punktet.
---
## V2021 del 1 oppgave 8 — Andregrads differensiallikning med gitt løsning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koeffisientene $b$ og $c$ i $y'' + by' + cy = 0$ fra gitt løsningsform, og finne $A$, $B$ fra initialbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-differensiallikning-med-gitt-losning/
### Oppgavetekst
Gitt differensiallikningen
$$
y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0
$$
Her er $b$ og $c$ to reelle tall.
a) Bestem $b$ og $c$ når du får vite at den generelle løsningen til differensiallikningen er
$$
y(x) = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr)
$$
b) Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y(0) = 2$ og $y'(0) = 6$.
---
## V2021 del 1 oppgave 9 — Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan
- **Kort beskrivelse:** Bestemme planlikning via normalvektor fra kryssprodukt av to kantlinjer, finne skjæringspunkter med aksene, og avgjøre minst vinkel mellom plan og koordinatakser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-gjennom-tre-punkter-og-vinkel-med-koordinatakser/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ inneholder punktene $A(1, 1, 3)$, $B(1, 2, 1)$ og $C(-1, 3, 2)$.
a) Bestem en likning for planet $\alpha$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom planet $\alpha$ og hver av de tre koordinataksene.
c) Avgjør hvilken av de tre koordinataksene som danner minst vinkel med planet $\alpha$.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Rente, Sparing
- **Kort beskrivelse:** Beregne kontobeløp etter 40 innskudd med geometrisk rekke, finne antall innskudd for å overskride 50 000 kr, og bestemme ukjent rentefot fra gitt sluttverdi i aksjefond.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spareavtale-med-fast-rente-og-ukjent-rentefot/
### Oppgavetekst
For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.
a) Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?
b) Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd, til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?
For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner.
c) Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf og bestemme periode for $f(x) = \cos(2x) - 2\cos x + 2$, og bestemme $a$, $b$, $c$ ved omskriving med dobbeltvinkelformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-omskrevet-til-andregradsform/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \cos(2x) - 2\cos x + 2
$$
a) Tegn grafen i et koordinatsystem. Bestem perioden til $f$.
Vi kan skrive $f(x)$ på formen $f(x) = a\cos^2 x + b\cos x + c$.
b) Bestem $a$, $b$ og $c$.
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Plan med parameter, pyramidevolum og kuleflate
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Plan, Volum, Kule
- **Kort beskrivelse:** Bestemme skjæringspunkter med aksene for plan med parameter $t$, finne $t$ slik at pyramidevolum blir 10, og bruke CAS til å finne $t$ slik at planet tangerer en kuleflate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-med-parameter-pyramidevolum-og-kuleflate/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
\alpha \colon \quad x + y + t \cdot z = 4 \,, \quad t \neq 0
$$
La $A$ være skjæringspunktet mellom $\alpha$ og x-aksen, $B$ skjæringspunktet mellom $\alpha$ og y-aksen og $C$ skjæringspunktet mellom $\alpha$ og z-aksen.
a) Bestem koordinatene til $A$, $B$ og $C$ uttrykt ved $t$.
En pyramide er avgrenset av planet $\alpha$, $xy$-planet, $xz$-planet og $yz$-planet.
b) Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden blir 10.
En kuleflate $K$ har sentrum i $S(-1, 2, 1)$ og radius $r = 2$.
c) Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at planet $\alpha$ tangerer kuleflaten $K$.
---
## V2021 del 2 oppgave 4 — Differensiallikning for bensintank med lekkasje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere bensinforbruk og lekkasje med differensiallikning $V' = -0{,}70 - 0{,}01 \cdot V$, løse separabelt, og analysere to ulike fyllingsstrategier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-bensintank-med-lekkasje/
### Oppgavetekst
Sverre har en gammel bil. Når han kjører med jevn fart, bruker motoren $0{,}70$ liter bensin per mil. Bilen har dessverre en liten lekkasje i bensintanken. Dette gjør at når han kjører med jevn fart, vil antall liter bensin som lekker ut av tanken per mil, være proporsjonal med antall liter bensin på tanken. Proporsjonalitetskonstanten er $0{,}01$.
Sverre skal på langtur og fyller opp tanken. Den rommer 60 liter. La $V(x)$ være antall liter bensin han har igjen på tanken etter at han har kjørt $x$ mil med jevn fart.
a) Begrunn at differensiallikningen
$$
V' = -0{,}70 - 0{,}01 \cdot V \,, \quad V(0) = 60
$$
kan brukes til å bestemme et uttrykk for $V(x)$.
b) Løs differensiallikningen.
c) Hvor mye bensin er det på tanken etter at han har kjørt 40 mil?
d) Hvor langt kan han maksimalt kjøre før tanken er tom? Hvor mye bensin har da forsvunnet på grunn av lekkasjen?
Neste gang Sverre skal på langtur, tenker han at det kan være lurt å fylle tanken opp til bare 30 liter og så på nytt fylle opp til 30 liter etter 20 mil.
e) Hvor mye bensin vil han bruke dersom han kjører 40 mil?
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av trigonometriske funksjoner med kjerneregel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $\frac{1}{6}\cos(2x)$ og $\sin^2(x^2+2)$ med kjerneregel og dobbel kjerneregel
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-trigonometriske-funksjoner-med-kjerneregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \dfrac{1}{6} \cdot \cos(2x)
$$
b)
$$
g(x) = \sin^2(x^2 + 2)
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — Bestem tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme bestemt integral av $\sin x$, ubestemt integral med substitusjon og bestemt integral med delvis integrasjon
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-tre-integraler-med-substitusjon-og-delvis-integrasjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \, dx
$$
b)
$$
\int \frac{x}{x^2 - 9} \, dx
$$
c)
$$
\int_0^{\ln 2} x \cdot e^{2x} \, dx
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Separabel differensiallikning med initialverdi
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse $2y \cdot y' = \cos x$ ved separasjon av variable med initialbetingelse $y(0) = 2$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/separabel-differensiallikning-med-initialverdi/
### Oppgavetekst
Vi har gitt differensiallikningen
$$
2y \cdot y' = \cos x
$$
Bestem den løsningen som oppfyller $y(0) = 2$.
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Integral av derivert fra graf og minste integralverdi
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Graftolkning, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Avlese $\int_{-1}^{1} g(x)\,dx$ fra grafen til $f$ (der $g=f'$) og bestemme $a,b$ som minimerer $\int_a^b g(x)\,dx$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-av-derivert-fra-graf-og-minste-integralverdi/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon $f$ for $x \in [-1, 4]$.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = f'(x) \quad , \quad D_g = [-1, 4]
$$
a) Bruk grafen til å bestemme $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \, dx$.
b) Bestem $a$ og $b$ slik at $\displaystyle\int_a^b g(x) \, dx$ blir minst mulig. Begrunn svaret.
---
## H2021 del 1 oppgave 5 — Nullpunkter og skisse av trigonometrisk funksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter til $f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x - \pi\right) + 1$ og skissere grafen på $(0, 10)$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-skisse-av-trigonometrisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x - \pi\right) + 1 \quad , \quad D_f = \langle 0, 10 \rangle
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Gjør nødvendige beregninger og bruk disse til å skissere grafen til $f$.
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Volum
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$, vise kryssprodukt parallelt med $\vec{n}$, finne planlikning og pyramidevolum for ABCT
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/romgeometri-med-vektorer-kryssprodukt-og-pyramidevolum/
### Oppgavetekst
Vi har gitt tre punkter $A(2, 1, 0)$, $B(0, 1, -2)$ og $C(-3, 2, 1)$.
a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
b) Vis at $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ er parallell med $\vec{n} = [1, 6, -1]$.
c) Bestem en likning for planet $\alpha$ som punktene $A$, $B$ og $C$ ligger i.
Punktet $T(2+t,\, t^2+4,\, 1+t)$ danner sammen med $A$, $B$ og $C$ pyramiden $ABCT$.
d) Bestem volumet av pyramiden når $t = 2$.
e) Bestem $t$ slik at volumet blir $\dfrac{26}{3}$.
---
## H2021 del 1 oppgave 7 — Uendelig geometrisk rekke med logaritme og konvergensområde
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Identifisere kvotient $\ln x / 2$ i $S(x)$, bestemme konvergensområde, beregne $S(e)$ og konstruere rekke med konvergensområde $(2,4)$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-logaritme-og-konvergensomrade/
### Oppgavetekst
Vi har gitt den uendelige geometriske rekken
$$
S(x) = 2 + \ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \frac{(\ln x)^3}{4} + \cdots
$$
a) Bestem rekkens konvergensområde.
b) Bestem $S(e)$.
c) Lag en uendelig geometrisk rekke som har konvergensområde $\langle 2, 4 \rangle$.
---
## H2021 del 1 oppgave 8 — Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke tangentbetingelse $y = -x - 6$ ved punkt $P$ på løsning til $y' + \frac{1}{x}y = 1$ for å bestemme koordinatene til $P$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-tangent-og-bestemmelse-av-punkt/
### Oppgavetekst
Vi har gitt differensiallikningen
$$
y' + \frac{1}{x} \cdot y = 1
$$
En av løsningene til differensiallikningen har et punkt $P$ på grafen der tangenten i $P$ er gitt ved $y = -x - 6$.
Bestem koordinatene til $P$.
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Datatrafikk trigonometrisk regresjon og totalintegral
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Regresjon, Bestemt integral, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Trigonometrisk regresjon på datatrafikktabell, derivere $f$ for maksimal vekst og beregne $\int_0^{24} f(x)\,dx$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/datatrafikk-trigonometrisk-regresjon-og-totalintegral/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser utgående datatrafikk fra et nettselskap for noen utvalgte timer i løpet av et døgn.
| Time etter midnatt | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| -------------------- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| Utgående GB per time | 402 | 251 | 167 | 286 | 310 | 460 | 532 | 711 | 827 | 908 | 789 | 692 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.
Et annet nettselskap mener at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 820 + 510 \cdot \sin(0{,}26x + 3{,}2) \quad , \quad D_f = [0, 24]
$$
er en god modell for deres utgående datatrafikk per time gjennom et døgn. Her er $x$ antall timer etter midnatt.
b) Når økte datatrafikken til dette nettselskapet raskest ifølge modellen $f$?
c) Bruk modellen $f$ til å bestemme den totale utgående datatrafikken fra nettselskapet i løpet av et døgn.
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Covid-19 smittespredning geometrisk rekke og R-tall
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Forklare geometrisk rekkemodell for smittede, beregne totalt smittede etter 8 uker med $R = 1{,}7$ og bestemme $R$-krav for at totalt ikke overstiger 10 000
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/covid-19-smittespredning-geometrisk-rekke-og-r-tall/
### Oppgavetekst
For å kunne forutsi hvordan en pandemi kan utvikle seg, er R-tallet viktig. Dette tallet sier hvor mange personer en smittet person i gjennomsnitt vil smitte videre.
I resten av denne oppgaven tar vi utgangspunkt i sykdommen covid-19. Vi går ut fra at smitteperioden er 1 uke. Dersom $R$-tallet er $1{,}2$, så vil 100 personer som har covid-19-smitte, smitte $100 \cdot 1{,}2 = 120$ nye personer i løpet av en uke. Etter én uke vil det være 220 personer som har eller har hatt sykdommen, siden
$$
100 + 100 \cdot 1{,}2 = 100 + 120 = 220
$$
Den neste uken vil de 120 som ble smittet uken før, smitte $120 \cdot 1{,}2 = 100 \cdot 1{,}2^2$ nye personer.
Til en by som ikke har covid-19-smitte, kommer det 20 personer som er smittet. Dette blir ikke oppdaget, så $R$-tallet holder seg konstant i mange uker.
a) Forklar at antallet som har eller har hatt covid-19 etter $n$ uker, kan beskrives med den geometriske rekken
$$
20 + 20 \cdot R + 20 \cdot R^2 + \cdots + 20 \cdot R^n
$$
Anta at $R = 1{,}7$ i denne byen.
b) Hvor mange personer vil det være som har eller har hatt covid-19 i denne byen i løpet av de 8 første ukene?
Det tar 8 uker før myndighetene i byen rekker å sette inn tiltak.
c) Hva må R-tallet være etter at tiltakene er satt inn, for at det totale antallet som har hatt eller får covid-19-smitte i denne byen, ikke skal overstige 10 000?
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Kuleflate og linje skjæringspunkter planet og radius
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Parametrisere linje $\ell$ gjennom $A$ og $B$, sette inn i kulelikning for $r=5$, finne minste $r$ med CAS, bestemme plan gjennom tre punkter og vise uavhengighet av $r$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-linje-skjaeringspunkter-planet-og-radius/
### Oppgavetekst
En kuleflate $K$ har sentrum $S(-1, 3, 4)$ og radius $r$. En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(-4, 0, 0)$ og $B(2, 0, 8)$.
a) Bestem skjæringspunktene mellom kuleflaten og linjen når $r = 5$.
b) Bruk CAS til å bestemme den minste verdien av $r$ som gjør at det er skjæringspunkt mellom linjen $\ell$ og kuleflaten $K$.
Planet $\alpha$ er bestemt av punktet $C(0, 1, 0)$ og de to skjæringspunktene du fant i oppgave a.
c) Bestem en likning for planet $\alpha$.
Anta nå at $r \geq 5$.
d) Begrunn at likningen for planet $\alpha$ er uavhengig av hvilken radius $r$ vi valgte for kuleflaten $K$ i oppgave a.
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Forklare og løse $B'(x) = 1 - 0{,}0025 \cdot B(x)$ for 400-liters tank, beregne $x$ ved halvparten byttet, og vise generelt at $m = \ln 2 \cdot V$
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dieseltank-biodiesel-differensiallikning-og-vis-at-m-lik-ln2-ganger-v/
### Oppgavetekst
En dieseltank inneholder 400 liter vanlig diesel. Eieren ønsker å bytte ut dieselen med biodiesel. Samtidig som dieselen tappes ut, etterfylles det derfor med en like stor mengde biodiesel. Denne blandes godt med dieselen i tanken. Det som tappes ut, vil derfor bli en blanding av vanlig diesel og biodiesel.
La $B(x)$ være mengden biodiesel på tanken etter at vi har tappet ut $x$ liter.
a) Forklar at differensiallikningen
$$
B'(x) = 1 - 0{,}0025 \cdot B(x)
$$
kan brukes til å bestemme mengden biodiesel på tanken etter at det er tappet ut $x$ liter.
b) Hvor mange liter må tappes ut før halvparten av den vanlige dieselen er byttet ut med biodiesel?
En dieseltank inneholder $V$ liter vanlig diesel. Vi lar $m$ være antall liter du må tappe ut og etterfylle med biodiesel for at halvparten av den vanlige dieselen skal bli byttet ut med biodiesel.
c) Vis at $m = \ln 2 \cdot V$.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere produkt $x\sin x$ og kvotient $\cos x^2 / x$ med produkt- og kvotientregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sinus-og-cosinusuttrykk/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene:
a)
$$
f(x) = x \cdot \sin x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\cos x^2}{x}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre ubestemte/bestemte integraler med direkte integrasjon, substitusjon og delvis integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-integraler-med-substitusjon-og-delvis-integrasjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralene:
a)
$$
\int x^2 + 3 + e^{2x}\,dx
$$
b)
$$
\int 6x \cdot \sin\left(x^2\right)\,dx
$$
c)
$$
\int_1^e x \cdot \ln x\,dx
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Finne sum av aritmetisk rekke fra delsum, og begrunne konvergens og sum av uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-konvergerende-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke er $a_1 = 3$, og summen av de 5 første leddene er 55.
a) Hva blir summen av de 10 første leddene?
b) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \cdots
$$
Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Drøfting og skisse av sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Finne topp-/bunnpunkter og skjæring med aksene for $f(x)=2\sin(\pi x + \pi)-1$, og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-og-skisse-av-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin(\pi x + \pi) - 1, \quad x \in \langle -1, 3 \rangle
$$
a) Bestem koordinatene til toppunkta og botnpunkta på grafen til $f$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og hver av koordinataksene.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan
- **Kort beskrivelse:** Regne ut vektorer og kryssprodukt, finne volum av pyramide og likning for plan gjennom tre punkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kryssprodukt-pyramidevolum-og-plan-gjennom-tre-punkter/
### Oppgavetekst
Vi har punktene $A(-1, 3, 2)$, $B(2, 2, 1)$, $C(0, 1, 0)$ og $T(5, 3, 8)$.
a) Bestem $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$. Vis at $\vec{AB} \times \vec{AC} = [0, 5, -5]$.
b) Bestem volumet av pyramiden $ABCT$.
c) Bestem likningen for planet som inneholder punktene $A$, $B$ og $C$.
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Konvergensområde for rekke med ln x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Finne kvotient i geometrisk rekke med ln-ledd, bestemme konvergensområde og løse for sum lik 4.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergensomrade-for-rekke-med-ln-x/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
2 + \ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \cdots
$$
a) Bestem konvergensområdet til rekka.
b) Bestem $x$ slik at summen av rekka blir 4.
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Tangentretninger til integralkurver
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Vurdere om markerte tangentretninger i fire punkter samsvarer med $y'=\tfrac{3y}{2x}$ fra differensiallikningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentretninger-til-integralkurver/
### Oppgavetekst
Differensiallikningen $2x \cdot y' - 3y = 0$ har integralkurver som gjennom punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ på figuren nedenfor. I hvert av punkta er det markert en tangentretning.
Vurder for hvert av de fire punktene om den markerte tangentretningen samsvarer med retninga til tangenten til integralkurver som går gjennom punktet. Begrunn svaret.
---
## V2020 del 1 oppgave 8 — Kuleflate som tangerer to plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Plan, Kule, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne likning for kuleflate som tangerer to plan i gitte punkter ved å bruke sentrum på normalene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-som-tangerer-to-plan/
### Oppgavetekst
To plan $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved
$$
\begin{aligned} \alpha &: -2x + 2y - z = 21 \\ \beta &: -7x + 4y - 4z = 56 \end{aligned}
$$
En kuleflate tangerer $\alpha$ i punktet $P(-3, 7, -1)$ og $\beta$ i punktet $Q(-4, 5, -2)$.
Bestem en likning for kuleflata.
---
## V2020 del 1 oppgave 9 — Induksjonsbevis for rekursiv følge
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Vise med induksjon at $a_n = \tfrac{n^2+n+2}{2}$ for følgen $a_1=2$, $a_n = a_{n-1}+n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-rekursiv-folge/
### Oppgavetekst
En følge er gitt ved $a_1 = 2$ og $a_n = a_{n-1} + n$.
Bruk induksjon til å vise at $a_n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$ for alle $n \in \mathbb{N}$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Trigonometrisk regresjon for energiforbruk
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Trigonometri, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Trigonometrisk regresjon på månedlig strømforbruk, finne raskest vekst, integrere modellen og beregne årlig energikostnad.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-regresjon-for-energiforbruk/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.
| Måned | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| :--------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :--: | :--: | :--: |
| Energiforbruk (kWh) | 1540 | 1480 | 1320 | 1050 | 800 | 750 | 660 | 730 | 940 | 1170 | 1300 | 1520 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.
For en annen bolig er funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(t) = 1300 + 730 \cdot \sin(0{,}52 \cdot t + 1{,}07)
$$
en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er $f(1)$ forbruket i januar, $f(2)$ forbruket i februar og så videre.
b) Når økte forbruket raskest, ifølge modellen $f$?
c) Bestem $\displaystyle\int_0^{12} f(t)\,dt$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Energiprisen varierer også med tida på året. Funksjonen $p$ gitt ved
$$
p(t) = 0{,}85 + 0{,}17 \cdot \sin(0{,}52 \cdot t + 1{,}07)
$$
er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er $p(1)$ den gjennomsnittlige energiprisen i januar, $p(2)$ den gjennomsnittlige prisen i februar og så videre.
d) Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene $f$ og $p$ til grunn.
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Radioaktiv masse og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse differensiallikningen $M'=kM$ for radioaktiv masse, og bruke modellen til å finne tider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/radioaktiv-masse-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Ved radioaktiv stråling minker massen til et radioaktivt stoff med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen av det radioaktive stoffet.
La $M(t)$ være massen til det radioaktive stoffet $t$ timer etter et gitt tidspunkt.
a) Begrunn at differensiallikningen $M' = k \cdot M$ beskriver situasjonen. Forklar hvorfor $k < 0$.
Ved tida $t = 0$ timer var massen til det radioaktive stoffet 100 mg. Ved $t = 6$ timer var massen til det radioaktive stoffet 97 mg.
b) Bestem funksjonsuttrykket $M(t)$.
c) Hvor lang tid vil det ta før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg?
Dette radioaktive stoffet vurderes ikke helsefarlig dersom massen minker med mindre enn $0{,}2$ mg per time.
d) Hvor lang tid går det før dette stoffet ikke lenger vurderes som helsefarlig?
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Papir på tørkerull som aritmetisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Aritmetisk rekke, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Modellere papirlengde på tørkerull som aritmetisk rekke og regne ut gjenværende lengde og diameter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/papir-pa-torkerull-som-aritmetisk-rekke/
### Oppgavetekst
Det innerste papirlaget på en tørkerull har diameter $d = 5{,}00 \mathrm{~cm}$. Papiret er $0{,}015 \mathrm{~cm}$ tykt.
Lengden på papiret på den innerste runden på rullen er da $\pi \cdot 5{,}00 \mathrm{~cm}$. Den neste runden har diameter $(5{,}00 + 2 \cdot 0{,}015) \mathrm{~cm} = 5{,}03 \mathrm{~cm}$. Lengden på papiret i denne runden er derfor $\pi \cdot 5{,}03 \mathrm{~cm}$.
Diameteren på rullen øker med $0{,}03 \mathrm{~cm}$ for hver ny runde med papir.
a) Hvor mange meter papir er det igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før han er tom?
b) Hvor mange meter papir er det på tørkerullen når diameteren $D$ er $20{,}00 \mathrm{~cm}$?
c) Hva er diameteren $D$ når det er 500 meter papir igjen på tørkerullen?
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Plan, Kule, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne planet gjennom tre punkter og linja gjennom to punkter, og bestemme sentrum på linja der avstanden til planet er 8.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-med-sentrum-pa-linje-som-tangerer-plan/
### Oppgavetekst
Vi har punktene $A(-1, -1, 2)$, $B(3, 4, -1)$, $C(5, 3, 1)$ og $D(5, 6, 4)$.
- Planet $\alpha$ går gjennom $A$, $B$ og $C$.
- Linja $\ell$ går gjennom $A$ og $D$.
En kuleflate har radius 8 og sentrum $S$, som ligger på $\ell$. Kuleflata tangerer $\alpha$.
Bestem de mulige koordinatene til $S$.
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H20
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere to funksjoner med kjerneregelen og produktregelen, inkludert $\sin(2x)$ og $x \cdot \cos^2 x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-trigonometriske-funksjoner-r2-h20/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \sin(2x) + \pi
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot \cos^2 x
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Integrasjon med delvis integrasjon og partialbrøk
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre ubestemte integraler med ulike integrasjonsteknikker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integrasjon-med-delvis-integrasjon-og-partialbrok/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int\left(\cos x + \frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int x \cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int \frac{2x-2}{x^2 - 2x - 3}\,\mathrm{d}x
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Trigonometriske likninger på intervall R2 H20
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse to trigonometriske likninger på $[0, 2\pi]$ med dobbeltvinkel og hjelpevinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger-pa-intervall-r2-h20/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a) $\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$ , $x \in \left[0, 2\pi\right]$
b) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$ , $x \in \left[0, 2\pi\right]$
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Plan og kjegle i romgeometri
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Volum
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for linje vinkelrett på plan, skjæringspunkt linje-plan, og volum av kjegle med beregnet radius og høyde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-og-kjegle-i-romgeometri/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
\alpha \colon \quad 2x - 3y + z = 13
$$
a) Begrunn at punktet $A(4, -2, -1)$ ligger i planet $\alpha$, og at punktet $P(1, 2, 3)$ ikke ligger i planet $\alpha$.
En linje $\ell$ står vinkelrett på planet $\alpha$ og går gjennom punktet $P$.
b) Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$, og finn skjæringspunktet $S$ mellom linjen og planet $\alpha$.
I planet $\alpha$ har vi en sirkel med sentrum i punktet $S$ og radius $SA$. Denne sirkelen er grunnflaten i en kjegle. Toppunktet i kjeglen er $P$. Se figuren.
c) Regn ut volumet av kjeglen.
---
## H2020 del 1 oppgave 5 — Trigonometrisk funksjon med toppunkt
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametrene $a$ og $b$ i $f(x) = a\cos\left(\frac{\pi}{2}x - b\right) + 2$ fra et gitt toppunkt, og tegne to perioder av grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-med-toppunkt/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}x - b\right) + 2, \quad a > 0 \text{ og } b \in [0, 2\pi).
$$
Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3{,}5)$.
a) Bestem $a$ og $b$.
b) Tegn en skisse som viser to perioder av grafen til $f$.
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Andregradsdifferensiallikning med startbetingelser
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Verifisere at $y = A e^x + B x e^x$ er generell løsning av $y'' - 2y' + y = 0$, og bestemme $A$ og $B$ fra startbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsdifferensiallikning-med-startbetingelser/
### Oppgavetekst
En differensiallikning er gitt ved
$$
y'' - 2y' + y = 0
$$
a) Vis at $y = A \cdot e^x + B \cdot x \cdot e^x$ er den generelle løsningen av differensiallikningen.
b) Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y(0) = 3$ og $y'(0) = 5$.
---
## H2020 del 1 oppgave 7 — Uendelig geometrisk rekke med cosinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergens og sum av $S(x) = 1 + \frac{3}{2}\cos x + \frac{9}{4}\cos^2 x + \cdots$, og finne for hvilke $r$ likningen $S(x) = r$ har løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-cosinus/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 1 + \frac{3}{2}\cos x + \frac{9}{4}\cos^2 x + \cdots
$$
a) Avgjør om rekken konvergerer for $x = \dfrac{\pi}{6}$, og for $x = \dfrac{\pi}{3}$.
b) Bestem summen av rekken i det eller de tilfellene i oppgave a) der rekken konvergerer.
c) For hvilke verdier av $r$ har likningen $S(x) = r$ løsning?
---
## H2020 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig induksjonsbevis for $\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$, med eksplisitte forklarende kommentarer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-odde-kvadrater/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n)\colon \quad \sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}, \quad n \in \mathbb{N}
$$
Husk å skrive forklarende kommentarer til beviset ditt.
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Gassutslipp med aritmetisk og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Modellering, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalt utslipp over 10 år med aritmetisk og geometrisk rekke, og bestemme nødvendig prosentreduksjon for å overholde kumulativt utslippstak via uendelig geometrisk sum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gassutslipp-med-aritmetisk-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En bedrift slipper årlig ut 5000 kg av en gass. De får pålegg fra myndighetene om at de i løpet av 10 år må halvere de årlige utslippene. Bedriften vurderer to modeller for hvordan de kan gjennomføre dette.
**Modell 1**
De reduserer forbruket med et fast antall kg hvert år, slik at de det første året slipper ut 5000 kg, mens de det tiende året slipper ut 2500 kg.
**Modell 2**
De reduserer forbruket med en fast årlig prosent, slik at de det første året slipper ut 5000 kg, mens de det tiende året slipper ut 2500 kg.
a) Hvor mye slipper bedriften til sammen ut i løpet av disse 10 årene dersom de velger modell 1?
b) Hvor mye slipper bedriften til sammen ut i løpet av disse 10 årene dersom de velger modell 2?
En annen bedrift slipper også årlig ut 5000 kg av denne gassen. De får beskjed av myndighetene om at de må redusere utslippet. Fra og med i år og så lenge bedriften eksisterer, får de ikke slippe ut mer enn til sammen 50 000 kg.
Bedriften bestemmer seg for at de hvert år fremover vil redusere utslippet med en fast prosent $p$.
c) Bestem den laveste verdien for $p$ som gjør at de overholder myndighetenes krav.
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Planpendel og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Trigonometri, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Løse differensiallikningen $v'' = -\frac{g}{L}v$ med startbetingelser, bestemme svingetid, og beregne lengden til en sekundpendel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/planpendel-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
En kule er festet til taket med en tynn tråd. Kulen trekkes ut til siden og slippes. Vi får da en planpendel.
I en planpendel vil vinkelutslaget $v$ radianer være en funksjon av tiden $t$. Her er $t$ antall sekunder etter at kulen slippes. Dersom vinkelutslaget er lite, kan vi bestemme $v(t)$ ved hjelp av differensiallikningen
$$
v'' = -\frac{g}{L}\,v
$$
Her er $g = 9{,}81$ tyngdeakselerasjonen (målt i m/s²) og $L$ lengden av pendelen (målt i meter).
Arne har en planpendel der $L = 0{,}20\text{ m}$. Han drar kulen til den ene siden slik at $v = 0{,}15$, og slipper. Kulen er i ro idet den blir sluppet.
a) Forklar at beskrivelsen gir oss følgende betingelser:
$$
v(0) = 0{,}15
$$
$$
v'(0) = 0
$$
b) Bestem et uttrykk for $v(t)$.
Tiden det tar fra kulen slippes, til den er tilbake i samme posisjon, kalles pendelens svingetid.
c) Bestem svingetiden til denne planpendelen.
En sekundpendel er en planpendel som har en svingetid på $2{,}0$ sekunder.
d) Bestem lengden $L$ til sekundpendelen.
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Kuleflate tangerer plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Beregne radius som avstand fra sentrum til plan, og bestemme $t$ slik at plan gjennom tre punkter tangerer en kuleflate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-tangerer-plan/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
\alpha \colon \quad 2x - 3y + 7z = 5
$$
En kuleflate har sentrum i $S(8, 5, 0)$ og tangerer planet $\alpha$.
a) Bestem radiusen til kuleflaten.
Et plan $\beta$ går gjennom punktene $A(1, 2, -5)$, $B(5, -2, 1)$ og $C(t, 1, 4)$. En kuleflate har sentrum i $T(7, 6, -3)$ og radius $r = 2$.
b) Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $\beta$ tangerer kuleflaten.
---
## H2020 del 2 oppgave 4 — Stettglass og omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bestemt integral, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Volum og overflateareal av omdreiningslegemer fra $f(x) = -0{,}3\sin(1{,}9x-4{,}1)+0{,}25$ rotert om $x$-aksen, inkludert differansen mellom to omdreiingslegemer og overflatearealets integralformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stettglass-og-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
Innsideflaten av en type stettglass framkommer når funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}3 \cdot \sin(1{,}9x - 4{,}1) + 0{,}25, \quad x \in [0, 1{,}5]
$$
roteres $360\degree$ grader om $x$-aksen. Her er $x$ målt i dm.
a) Hvor mye vann er det plass til i glasset om det fylles helt opp?
Stettglasset er laget av 3 mm tykt glass. Dersom funksjonen $g$ gitt ved
$$
g(x) = f(x) + 0{,}03
$$
roteres $360\degree$ om $x$-aksen, får vi en tilnærming av ytterflaten til glasset.
b) Bestem volumet til materialet som stettglasset (uten stett) er laget av.
c) Bruk svaret i b) til å bestemme en tilnærmet verdi for overflatearealet til utsiden av stettglasset (uten stett).
I en matematikkbok finner vi denne setningen:
Anta at en funksjon $f$ er kontinuerlig og deriverbar i et intervall $[a, b]$, og $f(x) \geq 0$ for alle $x \in [a, b]$. Overflatearealet til omdreiningslegemet vi får når vi roterer grafen til $f$ om $x$-aksen mellom $x = a$ og $x = b$, er da gitt ved formelen
$$
O = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x
$$
d) Bruk setningen til å bestemme overflatearealet av utsiden av stettglasset (uten stett).
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere sammensatt funksjon med kjerneregel og produkt av trigonometriske funksjoner med produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sammensatt-og-produkt-av-trigonometriske-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3\sin(4x + 1) + x
$$
b)
$$
g(x) = 4\sin x \cdot \cos x
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre ubestemte integraler med polynomintegrasjon, substitusjon og partialbrøksoppspalting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemte-integraler-med-substitusjon-og-partialbrok/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (x^4 - x^2)\, \mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int 4x \cdot e^{-x^2}\, \mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int \frac{4}{x^2 - 2x - 3}\, \mathrm{d}x
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Bruke aritmetisk summeformel og vurdere konvergens av uendelig geometrisk rekke med gitt $a_3$ og $a_6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekkesum-og-konvergens-av-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut
$$
1 + 5 + 9 + \cdots + 157
$$
En geometrisk rekke er gitt ved $a_3 = 1$ og $a_6 = \dfrac{1}{27}$.
b) Avgjør om den uendelige rekken $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Areal under kurve som brøk av rektangelareal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Areal under graf, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise ved integrasjon at arealet under $f(x) = a^2 - x^2$ fra 0 til $a$ utgjør $\frac{2}{3}$ av rektangelets areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-under-kurve-som-brok-av-rektangelareal/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = a^2 - x^2 \text{, der } a > 0
$$
Rektangelet $ABCD$ er gitt ved at
- $A$ er origo
- $B$ er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $x$-aksen
- $D$ er toppunktet på grafen til $f$
Vis at arealet av det fargelagte området utgjør $\dfrac{2}{3}$ av rektangelets areal.
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Kule tangerer plan med parameterframstilling
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Kule, Plan, Parameterframstilling, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Vis at punkter ligger i plan, finn parameterframstilling for normal, forklar kuleligningen og bestem sentrum ved hjelp av punktet på kuleflaten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kule-tangerer-plan-med-parameterframstilling/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(3, 1, 0)$, $B(3, 2, 4)$ og $C(-1, 1, 4)$.
a) Vis at punktene ligger i planet $\alpha$ gitt ved
$$
\alpha \colon\; x - 4y + z + 1 = 0
$$
En linje $\ell$ står normalt på $\alpha$ og går gjennom $A$.
b) Bestem en parameterframstilling for $\ell$.
En kuleflate tangerer $\alpha$ i $A$.
c) Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen
$$
(x - 3 - t)^2 + (y - 1 + 4t)^2 + (z - t)^2 = 18t^2 \text{, for en } t \in \mathbb{R}
$$
Punktet $P(4, 1, 1)$ ligger på kuleflaten.
d) Bestem sentrum til kuleflaten.
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum av sinus og cosinus over gitte intervaller.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger-med-dobbeltvinkel-og-sum/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a) $\sin(2x) = 1$, $\quad x \in [0, 2\pi]$
b) $\sin(\pi x) + \sqrt{3}\cos(\pi x) = 0$, $\quad x \in [0, 2]$
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Retningsdiagram til differensiallikninger
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for hvilke retningsdiagrammer som hører til $y' = x/y$, $y' = x \cdot y$ og $y' = 2x$ ved å tolke symmetri og fortegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/retningsdiagram-til-differensiallikninger/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi tegnet retningsdiagrammene til differensiallikningene
1. $y' = \dfrac{x}{y}$
2. $y' = x \cdot y$
3. $y' = 2x$
Argumenter for hvilket av retningsdiagrammene som hører til hver av de tre differensiallikningene.
---
## V2019 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for summeformel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig induksjonsbevis for $3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + \cdots + (3n)(n+3) = n(n+1)(n+5)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-summeformel/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P(n)$ er sann for alle $n \in \mathbb{N}$
$$
P(n)\colon\quad 3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + \cdots + (3n)(n + 3) = n(n+1)(n+5)
$$
Bevis $P(n)$ ved matematisk induksjon.
---
## V2019 del 1 oppgave 9 — Differensiallikning for lekkende vanntank
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse separabel differensiallikning for vannhøyde proporsjonal med kvadratroten; bestemme tømmingstid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-lekkende-vanntank/
### Oppgavetekst
Vann lekker ut fra et hull i bunnen av en sylinderformet tank med en fart som til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden $y$ i tanken.
a) Sett opp en differensiallikning som svarer til opplysningene ovenfor.
Ved tiden $t = 0$ er vannhøyden 100 cm. Etter 2 timer er vannhøyden 81 cm.
b) Hvor lang tid vil det gå før tanken er tom?
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Tidevann modellert med sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse sinusmodell til tidevanndata, bestemme periode, tolke parametere og finne tidspunkter der derivert er lik 50.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tidevann-modellert-med-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.
| Klokkeslett | 03.00 | 06.00 | 09.00 | 12.00 | 15.00 | 18.00 | 21.00 | 23.00 |
|:---------------|------:|------:|------:|------:|------:|------:|------:|------:|
| Vannstand (cm) | 102 | 26 | 10 | 81 | 109 | 43 | 20 | 57 |
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon $g$ som er en god modell for vannstanden.
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 130\sin(0{,}501x - 0{,}532) + 148, \quad x \in [0, 24\rangle
$$
er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø $x$ timer etter midnatt 14. august 2018.
b) Bestem perioden til $f$. Gi en praktisk tolkning av dette tallet.
c) Gi en praktisk tolkning av tallene 148 og 130 i modellen $f$.
d) Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Kuleflate og plan med avstandsformel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Vis kuleligning fra diameter, bestem minste avstand kule–plan, vis avstandsuttrykk med parameter og finn tangeringsverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-plan-med-avstandsformel/
### Oppgavetekst
Punktene $P(2, 4, -3)$ og $Q(0, 0, 1)$ ligger på en kuleflate $K$ slik at $PQ$ er en diameter til kuleflaten.
a) Vis at kuleflaten $K$ er gitt ved likningen
$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9
$$
Planet $\alpha$ er gitt ved
$$
\alpha \colon\; x - y + z = 7
$$
b) Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $\alpha$.
Et plan $\beta$ er gitt ved likningen
$$
\beta \colon\; 2x + y + t(z - 3) = -1
$$
c) Vis at avstanden mellom sentrum i kuleflaten $K$ og planet $\beta$ er gitt ved
$$
d(t) = \frac{|5 - 4t|}{\sqrt{5 + t^2}}
$$
d) Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $\beta$ tangerer kuleflaten $K$.
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Konvergens, Bestemt integral, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bruke figur til å forklare integralbegrensning for rekken $\sum 1/n^2$, begrunne konvergens med $S < 2$, og bruke CAS for eksakt sum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergens-av-uendelig-rekke-med-integralbegrensning/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{x^2}
$$
a) Bruk figuren nedenfor til å forklare at
$$
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} \leq 1 + \int_1^k \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x \text{, } \quad k \in \mathbb{N}
$$
Vi skal nå se på den uendelige rekken
$$
S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots
$$
b) Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at $S < 2$.
c) Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for $S$.
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Forklare at to funksjoner beskriver en sirkel, beregne volum av torus med CAS, og beregne volum av nytt omdreiingslegeme med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiingslegeme-av-sirkel-rotert-om-x-aksen/
### Oppgavetekst
En sirkel har sentrum i $(0, 5)$ og radius 2. Vi roterer denne sirkelen $360°$ om $x$-aksen. Da får vi et omdreiingslegeme som vist på figuren.
a) Forklar at grafene til $f$ og $g$ sammen danner sirkelen når $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = 5 + \sqrt{4 - x^2}
$$
$$
g(x) = 5 - \sqrt{4 - x^2}
$$
b) Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av omdreiingslegemet.
En annen sirkel har sentrum i $(2, 7)$ og radius 3. Vi roterer også denne sirkelen $360°$ om $x$-aksen.
c) Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av dette omdreiingslegemet.
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H19
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = 2\cos(\pi x)$ med kjerneregelen og $g(x) = \cos^2 x \cdot \sin x$ med produkt- og kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-trigonometriske-funksjoner-r2-h19/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2\cos(\pi x)
$$
b)
$$
g(x) = \cos^2 x \cdot \sin x
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Integrasjon tre integraler
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre integraler med henholdsvis bestemt integral av polynom, substitusjon og partialbrøkoppspalting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integrasjon-tre-integraler/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_{-1}^{1} \left(2x^3 + 3x - 1\right)\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}}\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}\,\mathrm{d}x
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk og geometrisk rekke R2 H19
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Summen av aritmetisk rekke og bestemmelse av $a_1$ i konvergerende uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-r2-h19/
### Oppgavetekst
a) Bestem summen av den aritmetiske rekken
$$
7 + 11 + \cdots + 479 + 483
$$
Den uendelige geometriske rekken $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ konvergerer. Du får vite at $a_2 = 6$ og at summen av rekken er 24.
b) Bestem $a_1$.
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Trigonometriske likninger
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $2\sin(2x)=1$ på $[0,\pi]$ og $2\cos^2 x - \cos x = 1$ på $[0, 4\pi]$ analytisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a) $2\sin(2x) = 1$, der $x \in [0, \pi]$
b) $2\cos^2 x - \cos x = 1$, der $x \in [0, 4\pi]$
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Graf til sinus kvadrert
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Identifisere riktig graf for $f(x) = \sin^2 x$ blant fire alternativer og begrunne valget.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graf-til-sinus-kvadrert/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sin^2 x
$$
Nedenfor ser du fire grafer. Bestem hvilken av disse som er grafen til $f$. Begrunn svaret.
Bestem hvilken av grafene A, B, C og D som er grafen til $f(x) = \sin^2 x$. Begrunn svaret.
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Integral og omdreiningslegeme med parameter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameter $a$ slik at arealet under $f(x) = x + a$ på $[0,2]$ er 3, og slik at volumet av omdreiningslegemet rundt $x$-aksen er $\frac{98}{3}\pi$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-og-omdreiningslegeme-med-parameter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x + a, \quad 0 \leq x \leq 2, \quad a > 0
$$
a) Bestem $a$ slik at arealet under grafen til $f$ blir 3.
Grafen til $f$ dreies $360°$ om $x$-aksen. Vi får da en rett avkortet kjegle.
b) Bestem $a$ slik at volumet av den rett avkortede kjeglen blir $\dfrac{98}{3}\pi$.
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — Parameterframstilling og plan i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Finne skjæring mellom linje og $xz$-plan, bestemme planlikning der linjen er normalvektor og plan skjærer linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-og-plan-i-rommet/
### Oppgavetekst
Den rette linjen $\ell$ er gitt ved parameterframstillingen
$$
\ell: \begin{cases} x = 1 + 2t & \\ y = 2 - t \\ z = 6 + t \end{cases}
$$
a) Bestem skjæringspunktet mellom linjen $\ell$ og $xz$-planet.
Linjen $\ell$ står vinkelrett på et plan $\alpha$. Punktet $P(2, -2, 6)$ ligger i planet $\alpha$.
b) Bestem en likning for planet $\alpha$.
c) Bestem skjæringspunktet mellom $\alpha$ og $\ell$.
---
## H2019 del 1 oppgave 8 — Differensiallikning med startbetingelse
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse differensiallikningen $y' - 2y = x$ med startbetingelse $y(0) = 1$, og finne tangentlikning i et punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-startbetingelse/
### Oppgavetekst
Vi har gitt differensiallikningen
$$
y' - 2y = x, \quad y(0) = 1
$$
a) Løs differensiallikningen.
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til $y$ i punktet $(0, 1)$.
---
## H2019 del 1 oppgave 9 — Tre tangerende kuler i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radiene til tre kuler med kjente sentre som tangerer hverandre, ved å sette opp og løse et likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tangerende-kuler-i-rommet/
### Oppgavetekst
Punktene $A(1, -1, 0)$, $B(1, 2, 4)$ og $C(5, 1, -4)$ er sentrum i hver sin kuleflate. De tre kuleflatene tangerer hverandre.
Bestem radien til hver av de tre kulene.
---
## H2019 del 1 oppgave 10 — Induksjonsbevis divisjon med 3
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Induksjon
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig induksjonsbevis for at $n^3 - n$ er delelig med 3 for alle $n \in \mathbb{N}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-divisjon-med-3/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å vise at $n^3 - n$ er delelig med 3 for alle $n \in \mathbb{N}$.
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, CAS
- **Kort beskrivelse:** Tegne og integrere $f(x)=2x+\sin x$ og $g(x)=2x+4\sin x$ over $[0,4\pi]$, beregne omdreiningsvolum og vise arealuavhengighet via CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjoner-med-sinus-og-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x + \sin x, \quad D_f = [0, 4\pi]
$$
$$
g(x) = 2x + 4\sin x, \quad D_g = [0, 4\pi]
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
b) Bestem arealet under grafen til $f$ og arealet under grafen til $g$.
Dersom grafen til $f$ og grafen til $g$ dreies $360°$ om $x$-aksen, får vi to omdreiingslegemer.
c) Bestem volumet til hvert av de to omdreiingslegemene.
Funksjonen $h$ er gitt ved
$$
h(x) = 2x + k \cdot \sin x, \quad \text{der } 0 < k < 9
$$
La $F$ være flatestykket avgrenset av grafen til $h$, $x$-aksen og linjen $x = 4\pi$.
d) Vis ved hjelp av CAS at arealet til $F$ er uavhengig av $k$.
Dersom $F$ dreies $360°$ om $x$-aksen, får vi et omdreiingslegeme.
e) Bruk CAS til å bestemme hvilken verdi for $k$ som gir minst volum til omdreiingslegemet.
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Tre plan i rommet og pyramide
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Likningssystem, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bestemme skjæringspunkt for tre plan via likningssystem, og beregne volumet av pyramiden avgrenset av de tre planene og $xy$-planet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-plan-i-rommet-og-pyramide/
### Oppgavetekst
Vi har tre plan $\alpha$, $\beta$ og $\gamma$ gitt ved likningene
$$
\alpha: \quad 2x - 2y - z = 4
$$
$$
\beta: \quad 2x + y - z = -2
$$
$$
\gamma: \quad 3y + 2z = 6
$$
Disse tre planene skjærer hverandre i et punkt $P$.
a) Bestem koordinatene til punktet $P$.
En pyramide er avgrenset av de tre planene sammen med $xy$-planet.
b) Bestem volumet av pyramiden som er avgrenset av disse fire planene.
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Lønnsøkning geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Modellering, CAS
- **Kort beskrivelse:** Vise med geometrisk rekke at samlet inntekt over 10 år overstiger 5,97 mill., og bruke CAS til å finne antall år til videreutdanning lønner seg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lonnsokning-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Svein jobber som lærer. I 2019 har han en årslønn på 478 400 kroner. Han regner med å få en årlig lønnsøkning på $4{,}0\,\%$ per år i årene framover.
a) Vis at Sveins samlede inntekt i årene 2020–2029 da vil bli i overkant av $5{,}97$ millioner kroner.
Svein vurderer å videreutdanne seg i årene 2020 og 2021. Han vil da ikke ha noen inntekt disse to årene. Han regner så med å få en årslønn på 574 000 kroner i 2022 og en årlig lønnsøkning på $4{,}0\,\%$ hvert år etterpå.
Selv om han vil få høyere årslønn dersom han tar videreutdanning, vil det ta noen år før den samlede inntekten i årene etter 2019 blir større enn om han ikke tar videreutdanning.
b) Bruk CAS til å bestemme hvor lenge han må jobbe etter at han er ferdig med videreutdanningen, for at den samlede inntekten fra og med 2020 skal bli minst like stor som om han ikke tar videreutdanning.
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Muffinsform og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, CAS, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere fallfart via separabel differensiallikning, begrunne terminalfart, verifisere løsning med CAS, finne tid til 12 m fall og bestemme terminalfart for annen type.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/muffinsform-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Når en muffinsform faller, vil farten $y$ (i meter per sekund) til muffinsformen $x$ sekunder etter at den ble sluppet, tilfredsstille differensiallikningen
$$
y' = 9{,}81\left(1 - \frac{y^2}{k^2}\right), \quad y(0) = 0
$$
Kort tid etter at muffinsformen ble sluppet, vil den få tilnærmet konstant fart. Denne farten kalles muffinsformens terminalfart $v_a$.
a) Begrunn at $k^2 = v_a^2$.
For en type muffinsformer vil $v_a = 1{,}8 \text{ m/s}$.
b) Bruk CAS til å vise at farten $y$ for denne typen muffinsformer er gitt ved
$$
y(x) = \frac{9}{5} \cdot \left(\frac{1 - e^{-10{,}9x}}{1 + e^{-10{,}9x}}\right)
$$
Strekningen $s$ muffinsformen har beveget seg i løpet av de $t$ første sekundene etter at den er sluppet, er gitt ved
$$
s(t) = \int_0^t y(x)\,\mathrm{d}x
$$
c) Hvor lang tid vil det gå fra du slipper en muffinsform av denne typen, til den har falt 12 meter?
Når du slipper en annen type muffinsform, tar det $4{,}7$ sekunder fra den slippes, til den har falt 12 meter.
d) Bestem terminalfarten til denne typen muffinsform.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Deriver funksjonene R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere sammensatt cosinusfunksjon og produkt med sinus.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-funksjonene-r2-v18/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \cos(\pi x - 2)
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot \sin x
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme integraler med polynom, delvis integrasjon og substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-v18/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (4x^2 + 3x)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int 4x^2 \cdot \ln x\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int_0^{\sqrt{12}} \frac{2x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Aritmetisk rekke R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Finne differanse og førsteledd fra to ledd og utlede eksplisitt sumformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-r2-v18/
### Oppgavetekst
I en aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 4$ og $a_5 = 13$.
Bestem en eksplisitt formel for summen av denne rekken.
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — Differensiallikning med separasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse separabel differensiallikning og bestemme partikulær løsning fra initialbetingelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-separasjon/
### Oppgavetekst
En differensiallikning er gitt ved
$$
y' = (\sin x) \cdot y^2
$$
a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
b) Bestem den løsningen av differensiallikningen som er slik at $y(\pi) = 1$.
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Areal og omdreiningslegeme R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum
- **Kort beskrivelse:** Beregne areal under parabel og volum av omdreiningslegeme om x-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-r2-v18/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 1 - x^2
$$
Et flatestykke er avgrenset av $x$-aksen og grafen til $f$.
a) Bestem arealet av flatestykket.
Vi får et omdreiningslegeme ved å dreie flatestykket $360\degree$ om x-aksen.
b) Bestem volumet av omdreiningslegemet.
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Drøfting av sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne ekstremalpunkter, nullpunkter, skisse og løse $f(x)=\sqrt 3$ for sinusfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) \,, \quad x \in \langle 1, 9 \rangle
$$
a) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bestem nullpunktene til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
d) Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$.
---
## V2018 del 1 oppgave 7 — Kuleflate og plan R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Plan, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne sentrum og radius til kuleflate, avstand til plan og areal av skjæringssirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-plan-r2-v18/
### Oppgavetekst
En kuleflate er gitt ved
$$
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0
$$
a) Vis at sentrum i kulen er $S(3, -2, 4)$. Bestem radien til kuleflaten.
Et plan er gitt ved
$$
6x - 3y + 2z - 4 = 0
$$
b) Bestem avstanden fra kulens sentrum $S$ til planet.
Skjæringen mellom kuleflaten og planet er en sirkel.
c) Bestem arealet av sirkelen.
---
## V2018 del 1 oppgave 8 — Uendelig geometrisk rekke R2 V18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområde for geometrisk rekke og verdier av $a$ med løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-r2-v18/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \ldots
$$
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) For hvilke verdier av $a$ har likningen $S(x) = a$ løsning?
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Areal og tyngdepunkt med CAS
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, CAS, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafer, finne areal mellom parabler og bestemme tyngdepunktet med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-tyngdepunkt-med-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 3x + 3
$$
$$
g(x) = x^2 + 1
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
Grafene til $f$ og $g$ avgrenser et flatestykke med areal $A$.
b) Bestem $A$ ved hjelp av CAS.
Tyngdepunktet $T$ til flatestykket er $\left(\dfrac{M}{A}, \dfrac{N}{A}\right)$, der $M$ og $N$ er gitt ved
$$
M = \int_a^b x \cdot (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x
$$
$$
N = \frac{1}{2}\int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2)\,\mathrm{d}x
$$
Tallene $a$ og $b$ er $x$-koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$, der $a < b$.
c) Bestem koordinatene til $T$ ved hjelp av CAS.
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Trekant og pyramide med vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, CAS
- **Kort beskrivelse:** Beregne trekantareal med kryssprodukt og maksimere pyramidevolum mhp. parameter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-og-pyramide-med-vektorer/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(0, 0, 0)$, $B(1, t+2, 3t)$, $C(0, 4, t+1)$ og $D(t-3, 8, 1)$, der $0 \le t \le 10$.
a) Bestem arealet av trekanten $ABC$ for $t = 2$.
b) Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at arealet til trekanten $ABC$ blir lik $6$.
c) Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden $ABCD$ blir størst mulig.
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Smittsom sykdom og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse differensiallikning for smittespredning og bestemme parameter og tidspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/smittsom-sykdom-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
I en by med 12 000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar $k$ være proporsjonalitetskonstanten.
a) Sett opp en differensiallikning som beskriver antall smittede personer $y(t)$, der $t$ er antall uker etter at sykdommen ble oppdaget.
Da sykdommen ble oppdaget, var 100 personer smittet.
b) Vis at $y(t) = 12000 - 11900 \cdot \mathrm{e}^{-kt}$
Etter 10 uker var 4 000 personer smittet.
c) Bruk dette til å bestemme $k$.
d) Ved hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerne i byen smittet av sykdommen?
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Femkanttall og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Bevise eksplisitt formel for femkanttall ved induksjon og utlede den geometrisk via trekanttall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/femkanttall-og-induksjon/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser hvordan femkanttallene er bygd opp.
Femkanttallene er gitt ved den rekursive formelen
$$
P_{n+1} = P_n + 3n + 1 \,, \quad P_1 = 1
$$
a) Vis ved induksjon at
$$
P_n = \frac{3n^2 - n}{2}
$$
Mathias observerer at det er mulig å regne ut $P_n$ som summen av tre trekanttall, der trekanttall nummer $n$ er $T_n = 1 + 2 + \cdots + n$. Se figuren nedenfor. Han brukte dette til å vise at $P_n = \dfrac{3n^2 - n}{2}$.
b) Bruk ideen til Mathias til å utlede formelen for $P_n$.
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Deriver funksjonene R2 H18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere trigonometriske funksjoner med kjerneregel og forenkle med identiteter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-funksjonene-r2-h18/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 6\cos(2x - 1)
$$
b)
$$
g(x) = \cos^2 x + \sin^2 x
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 H18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Integrere polynom, bruke substitusjon og delbrøkoppspalting av rasjonal funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-h18/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (2x^2 - 3x)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int 4x \cdot \cos(x^2 + 2)\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int \frac{4}{x^2 - 4}\,\mathrm{d}x
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Geometrisk rekke med eksponentialledd
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Finne konvergensområde og løse for $x$ slik at sum av geometrisk rekke med kvotient $\mathrm{e}^{-x}$ blir gitt verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-med-eksponentialledd/
### Oppgavetekst
En geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-2x} + \mathrm{e}^{-3x} + \cdots
$$
a) For hvilke verdier av $x$ konvergerer denne rekken?
b) Bestem $x$ slik at rekken konvergerer mot $3$.
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Areal mellom sinus og cosinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Bestemt integral, Graf
- **Kort beskrivelse:** Skissere sinus og cosinus, finne skjæringspunkter og beregne arealet mellom grafene med bestemt integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-mellom-sinus-og-cosinus/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
\begin{align}
f(x) &= \sin x, \quad 0 \le x \le 2\pi \\
g(x) &= \cos x, \quad 0 \le x \le 2\pi
\end{align}
$$
a) Lag en skisse av grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
b) Bestem eventuelle skjæringspunkt mellom grafene til $f$ og $g$.
Grafene til $f$ og $g$ avgrenser et område.
c) Bestem arealet av dette området.
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Bøye i bølger trigonometrisk modell
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme amplitude, vinkelfrekvens og faseforskyvning i $A\sin(ct+\varphi)$ og løse trigonometrisk likning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boye-i-bolger-trigonometrisk-modell/
### Oppgavetekst
En bøye beveger seg opp og ned med bølgene. I løpet av $4 \mathrm{~s}$ vil bøyen bevege seg $2{,}4 \mathrm{~m}$ i vertikal retning fra det høyeste punktet til det laveste punktet.
La $f(t)$ være høyden til bøyen (i meter) over likevektslinjen ved tidspunktet $t$ (målt i sekunder). Anta at bøyen er på sitt høyeste punkt når $t = 0$.
Vi går ut fra at $f(t)$ kan skrives på formen
$$
f(t) = A\sin(ct + \varphi)
$$
a) Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
b) Når er bøyen $0{,}6 \mathrm{~m}$ over likevektslinjen i løpet av de $10$ første sekundene?
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Retningsdiagram og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre hvilke differensiallikninger som ikke passer et retningsdiagram, og løse den gjenværende separable likningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/retningsdiagram-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Retningsdiagrammet på figuren tilhører én av differensiallikningene nedenfor.
$$
\begin{align}
1)\quad & y' = x + y \\
2)\quad & y' = \frac{x}{y} \\
3)\quad & y' = x \cdot y
\end{align}
$$
a) Avgjør hvilke to av de tre differensiallikningene som ikke kan ha et slikt retningsdiagram.
b) Løs differensiallikningen du mener retningsdiagrammet tilhører.
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Tetraedervolum med vektorer og parameter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Regne med vektorer, vise at tre punkter ligger i et plan, og uttrykke og minimere tetraedervolum med parameter $s$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tetraedervolum-med-vektorer-og-parameter/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(-1, 1, 1)$, $B(1, -1, 0)$ og $C(-1, 0, 2)$
a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
b) Vis at $A$, $B$ og $C$ ligger i planet gitt ved
$$
3x + 2y + 2z - 1 = 0
$$
Gitt punktet $D(s^2 - 1, 3s + 1, 10)$, der $s$ er et reelt tall.
c) Bestem volumet av tetraederet $ABCD$ uttrykt ved $s$.
d) Bestem det minste volumet tetraederet kan ha.
---
## H2018 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for sum av kuber R2 H18
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bevise med induksjon at $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-kuber-r2-h18/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P(n)$ er sann for alle $n \in \mathbb{N}$
$$
P(n): \quad 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Areal mellom grafer uavhengig av parameter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Graf, CAS
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafer, beregne areal mellom dem, og vise med CAS at det parametriserte arealet er uavhengig av $r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-mellom-grafer-uavhengig-av-parameter/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
\begin{align}
f(x) &= x^4 - 4x - 1 \\
g(x) &= 4x^3 - 6x^2 - 1
\end{align}
$$
a) Tegn grafene til $f$ og $g$ i et koordinatsystem.
De to grafene avgrenser et område $M$ i planet.
b) Bestem arealet av $M$.
Funksjonene $F$ og $G$ er gitt ved
$$
\begin{align}
F(x) &= x^4 - 4r^3 \cdot x - 1 \\
G(x) &= 4r \cdot x^3 - 6r^2 \cdot x^2 - r^4
\end{align}
$$
Grafene til $F$ og $G$ avgrenser et område $N$ i planet.
c) Bruk CAS til å vise at arealet av $N$ er uavhengig av $r$.
---
## H2018 del 2 oppgave 2 — Kuleflate i bevegelse langs linje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri, Parameterframstilling, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Oppstille kuleflate med tidsavhengig sentrum, finne når den tangerer koordinatplan og når to kuleflater tangerer hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-i-bevegelse-langs-linje/
### Oppgavetekst
Sentrum i en kuleflate $K_1$ med radius $2$ beveger seg langs en rett linje. Ved tidspunktet $t$ vil sentrum i $K_1$ ha koordinatene $(2t, 1, 3)$.
a) Bestem en likning for $K_1$ uttrykt ved $t$.
b) Ved hvilke tidspunkt vil $K_1$ tangere $yz$-planet?
En annen kuleflate $K_2$ med radius $r$ er gitt ved likningen
$$
K_2: \quad x^2 + y^2 + z^2 = r^2
$$
c) Ved hvilke tidspunkt vil de to kuleflatene $K_1$ og $K_2$ tangere hverandre dersom $r = 2$?
d) Bestem eksakt den minste verdien til $r$ som gjør at de to kulene tangerer hverandre.
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — CO2-utslipp og geometrisk reduksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Modellering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Summere geometrisk rekke for årlige CO2-utslipp og løse for prosentvis reduksjon som gir samme totalsum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-og-geometrisk-reduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift slipper ut $20\,000$ tonn $\text{CO}_2$ i 2018. De har et mål om å redusere de årlige utslippene med $15 \text{\%}$ hvert år fra og med 2019.
a) Hvor mye $\text{CO}_2$ vil bedriften slippe ut til sammen i løpet av de ti årene 2018–2027 dersom de klarer å nå målet?
En annen bedrift slipper ut $30\,000$ tonn $\text{CO}_2$ i 2018.
b) Hvor mange prosent må denne bedriften redusere utslippene med per år for at bedriftene til sammen skal slippe ut like mye i løpet av årene 2018–2027?
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Vanntank med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Tolke koeffisientene, løse den lineære differensiallikningen for vannmengde og finne vannmengde etter gitt tid, også for en annen tank.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
I en tank renner det inn vann med konstant fart. Samtidig renner det ut vann gjennom et hull i bunnen av tanken. Vannmengden som renner ut per minutt, er til enhver tid proporsjonal med vannmengden i tanken. La $y(t)$ liter være vannmengden i tanken etter $t$ minutter. Da er $y$ løsningen av differensiallikningen
$$
y' = 3{,}2 - 0{,}14y, \quad y(0) = 200
$$
a) Forklar hva tallene $3{,}2$ og $0{,}14$ og $200$ står for.
b) Løs differensiallikningen.
c) Hvor mye vann er det i tanken etter $20 \mathrm{~min}$?
I en annen tank renner det inn $1{,}5 \mathrm{~L}$ vann per minutt. Også i denne tanken renner det ut vann gjennom et hull i bunnen. Vannmengden som renner ut, er proporsjonal med vannmengden i tanken. Når $t = 0$, er det $0 \mathrm{~L}$ i denne tanken. Etter lang tid vil vannmengden i tanken stabilisere seg på $10 \mathrm{~L}$.
d) Hvor mye vann er det i denne tanken etter $20 \mathrm{~min}$?
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Deriver funksjonene R2 V17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivere trigonometriske funksjoner, produkt- og kjerneregel, og en kvotient som forenkles.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-funksjonene-r2-v17/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3\sin x + \cos x
$$
b)
$$
g(x) = x^2 \cos 2x
$$
c) $h(x) = \dfrac{2\cos x}{1+\sin x}$. Skriv svaret så enkelt som mulig.
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 V17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Integrere polynom med $\frac{2}{x}$-ledd, og integrere $x\cos(2x^2)$ ved variabelskifte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-v17/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int \left( x^2 - \dfrac{2}{x} \right)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int x\cos(2x^2)\,\mathrm{d}x
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Topp- og bunnpunkt og skisse av sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne ekstremalpunkter, nullpunkter og skissere $f(x)=2\sin(2x)-1$ på $\langle 0,2\pi\rangle$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-og-skisse-av-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin(2x) - 1, \qquad x \in \langle 0,\, 2\pi\rangle
$$
a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.
b) Bestem nullpunktene til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Differensiallikning ved separasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse den separable differensiallikningen $y'=x\cdot y$ generelt og bestemme spesiell løsning fra $y(2)=5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-ved-separasjon/
### Oppgavetekst
Differensiallikningen $y' = x \cdot y$ er gitt.
a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
b) Bestem den spesielle løsningen når $y(2) = 5$.
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Volum av avkortet kjegle
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Volum
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og regne ut omdreiningsintegralet $\pi\int (0{,}5x+3)^2\,\mathrm{d}x$ for volumet av avkortet kjegle.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-avkortet-kjegle/
### Oppgavetekst
Figuren til venstre nedenfor viser et linjestykke $\ell$ tegnet i et koordinatsystem. Vi dreier linjestykket $360\degree$ om $x$-aksen. Vi får da en avkortet kjegle som vist på figuren til høyre nedenfor.
Bestem volumet av den avkortede kjeglen.
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Kuleflate og tangentplan R2 V17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Finne kulelikning fra sentrum og punkt, vise tangentplanlikning, og bestemme ny kule som tangerer samme plan.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-og-tangentplan-r2-v17/
### Oppgavetekst
En kule har sentrum i $S(1,\, 3,\, 5)$. Punktet $P(4,\, -1,\, 5)$ ligger på kuleflaten.
a) Bestem en likning for kuleflaten.
Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten i punktet $P$.
b) Vis at $3x - 4y = 16$ er en likning for planet $\alpha$.
En annen kule har sentrum i $Q(2,\, 0,\, 7)$. Planet $\alpha$ tangerer også denne kuleflaten.
c) Bestem likningen til den nye kuleflaten.
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Uendelig geometrisk rekke med logaritme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområde, sum og løsninger for uendelig geometrisk rekke med kvotient $\ln x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-logaritme/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 1 + \ln x + (\ln x)^2 + (\ln x)^3 + \ldots
$$
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem et enklere uttrykk for $S(x)$ når rekken konvergerer.
c) Bestem $x$ slik at summen av rekken blir $3$.
d) For hvilke verdier av $r$ har likningen $S(x) = r$ løsning?
---
## V2017 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis R2 V17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bevise summeformelen $\sum \frac{k-1}{k!}=\frac{n!-1}{n!}$ med induksjon ved hjelp av $(n+1)!=n!(n+1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-r2-v17/
### Oppgavetekst
Vis ved hjelp av induksjon at
$$
P(n): \quad \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \ldots + \frac{n-1}{n!} = \frac{n!-1}{n!}, \qquad n \in \{2,\, 3,\, 4,\, \ldots\}
$$
Du får bruk for at $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\, \cdots\, \cdot(n-1)\cdot n$ og at $(n+1)! = n!\cdot(n+1)$.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Polynomfunksjon med vendepunkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne vendepunktslinje til fjerdegradsfunksjon og tolke integralet mellom graf og linje geometrisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjon-med-vendepunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^4 + 7x^3 + 15x^2 + 9x
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
Grafen til $f$ har to vendepunkter, $A$ og $B$. Linjen gjennom $A$ og $B$ har likningen $y = g(x)$.
b) Bestem uttrykket $g(x)$.
Linjen skjærer grafen til $f$ også i to andre punkter: $C(a,\, f(a))$ og $D(b,\, f(b))$.
c) Bestem integralet $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$. Gi en geometrisk tolkning av svaret.
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Minste areal av trekant
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Areal og omkrets, CAS, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Vise arealuttrykk for trekant via kryssprodukt i CAS og minimere arealet med hensyn på $t$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minste-areal-av-trekant/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(3,\, 2,\, t)$, $B(4,\, -3,\, 3)$ og $C(8,\, 3,\, 5)$ der $t \in \mathbb{R}$.
a) Bruk CAS til å vise at arealet av $\triangle ABC$ kan uttrykkes som
$$
f(t) = \sqrt{13(t^2 - 8t + 30)}
$$
b) Bestem det minste arealet som $\triangle ABC$ kan ha.
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Volum av omdreiningslegeme med parameter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Trigonometri, CAS, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å løse $\pi\int_1^2 (2\sin(\pi x+\frac{\pi}{2})+d)^2\,\mathrm{d}x=6\pi$ for parameteren $d$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-omdreiningslegeme-med-parameter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) + d, \qquad 1 \le x \le 2 \text{ og } d \in \mathbb{R}
$$
Grafen til $f$ roteres $360\degree$ om $x$-aksen.
Bruk CAS til å bestemme mulige verdier for $d$ slik at volumet av omdreiningslegemet blir $6\pi$.
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — To geometriske rekker
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $k$ fra summer av to geometriske rekker, og drøfte om $S=-2T$ er mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-geometriske-rekker/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S = a + a\cdot k + a\cdot k^2 + \ldots, \qquad a \neq 0,\ k \in \mathbb{R}
$$
En annen uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
T = a + a\cdot 2k + a\cdot 4k^2 + \ldots, \qquad a \neq 0,\ k \in \mathbb{R}
$$
a) Bruk CAS til å bestemme $a$ og $k$ når du får vite at $S = 6$ og $T = 12$.
b) Undersøk om det er mulig å finne en verdi for $k$ slik at $S = -2T$.
---
## V2017 del 2 oppgave 5 — Medisindosering med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, CAS, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Modellere medisinmengde med differensiallikning, løse i CAS, finne grenseverdi og bestemme ukjent startverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medisindosering-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
En pasient får tilført en medisin kontinuerlig. Dosen er $3{,}0 \mathrm{~mg}$ per time. Samtidig blir en del av medisinen skilt ut av kroppen. Vi antar at det skjer ved at kroppen skiller ut $30 \text{ \%}$ av den totale medisinmengden per time. Pasienten har ikke noe medisin i kroppen ved oppstarten av behandlingen.
Vi lar $y(t)$ mg være den totale medisinmengden i kroppen ved tiden $t$, målt i timer, etter at behandlingen startet.
a) Forklar at situasjonen ovenfor gir differensiallikningen
$$
y' = -0{,}30y + 3{,}0, \qquad y(0) = 0
$$
b) Bruk CAS til å løse differensiallikningen i oppgave a).
c) Hvor mye medisin har pasienten i kroppen når behandlingen har pågått i lang tid?
En annen pasient får samme dose av medisinen. Da behandlingen startet, hadde hun en ukjent mengde, $y_0$ mg, av medisinen i kroppen. Seks timer etter at behandlingen startet, hadde hun $9{,}17 \mathrm{~mg}$ av medisinen i kroppen. Gå ut fra at medisinen også hos denne pasienten skilles ut med $30 \text{ \%}$ per time.
d) Bestem $y_0$.
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Deriver funksjonene R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere trigonometriske funksjoner med kjerneregel, kvotientregel og produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-funksjonene-r2-h17/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2\sin 3x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\sin x}{x}
$$
c)
$$
h(x) = x \cos x^2
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Delvis integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme integraler med direkte integrasjon, delvis integrasjon og substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-h17/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (x^3 - 3x + 2)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int x\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int x\sqrt{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Trigonometriske likninger R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse trigonometriske likninger på et intervall, inkludert en med dobbeltvinkel og en av andre grad i cosinus.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometriske-likninger-r2-h17/
### Oppgavetekst
Løs de trigonometriske likningene
a)
$$
2\sin(2x) - 1 = 0 \quad,\quad x \in \left[0,\ 2\pi\right]
$$
b)
$$
2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0 \quad,\quad x \in \left[0,\ 2\pi\right]
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Sinusfunksjon med toppunkt og areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne topp- og bunnpunkt på en sinusfunksjon, skissere grafen og regne ut areal under grafen med bestemt integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-med-toppunkt-og-areal/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin\left(\pi x - \frac{\pi}{2}\right) + 3 \quad,\quad x \in \left\langle -1,\ 5\right\rangle
$$
a) Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til $f$.
b) Lag en skisse av grafen til $f$.
c) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x = 0$ og $x = 4$.
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Vektorer plan og pyramidevolum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Plan, Parameterframstilling, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Regne med vektorer og kryssprodukt, vise at punkter ligger i et plan, finne parameterframstilling for en normallinje og skjæringspunkt, og bestemme volumet av en pyramide.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-plan-og-pyramidevolum/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(1,\ 0,\ 3)$, $B(3,\ 2,\ -1)$ og $C(0,\ 4,\ 4)$.
a) Bestem $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ og $\vec{AB} \times \vec{AC}$.
b) Vis at punktene $A$, $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$ gitt ved likningen
$$
9x + y + 5z = 24
$$
En linje $\ell$ står normalt på planet $\alpha$ og går gjennom punktet $T(11,\ 7,\ 5)$.
c) Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$. Bestem skjæringspunktet mellom linjen $\ell$ og planet $\alpha$.
d) Bestem volumet av pyramiden $ABCT$.
---
## H2017 del 1 oppgave 6 — Differensiallikning R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andreordens homogen differensiallikning med konstante koeffisienter og bestemme konstantene fra initialbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-r2-h17/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y'' - 9y' - 10y = 0
$$
når $y(0) = 4$ og $y'(0) = 7$.
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Aritmetisk rekke og induksjonsbevis R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utlede summeformelen for en aritmetisk rekke og bevise den med induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-og-induksjonsbevis-r2-h17/
### Oppgavetekst
En aritmetisk tallfølge $a_n$ er definert ved at $a_n = 3n - 2$.
La $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$.
a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å vise at
$$
s_n = \frac{3n^2 - n}{2} \quad,\quad n \in \mathbb{N}
$$
b) Bruk induksjon til å bevise formelen for $s_n$ som er gitt i oppgave a).
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Pælemaskin og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Modellering, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Modellere en avtagende geometrisk rekke for samlet pæledybde og avgjøre antall slag samt om en sumgrense kan nås.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/paelemaskin-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Et firma skal sette opp en stolpe. Det gjør de ved å slå stolpen ned i jorda med en pælemaskin.
Det første slaget slår stolpen $12 \mathrm{~cm}$ ned i jorda. De neste slagene fører stolpen videre nedover, men stadig kortere for hver gang. Det viser seg at lengden som stolpen blir slått ned i jorda, blir redusert med $6{,}0\ \%$ for hvert slag.
a) Hvor mange slag må de minst slå for å få stolpen mer enn $1{,}0$ meter ned i jorda?
b) Kan firmaet klare å slå stolpen så mye som $2{,}2$ meter ned i jorda med denne pælemaskinen?
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Linje kuleflate og tangentplan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Kule, Plan, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne parameterframstilling for en linje, skjæringspunkter mellom linje og kuleflate, og likningene for to plan parallelle med et gitt plan som tangerer kuleflaten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linje-kuleflate-og-tangentplan/
### Oppgavetekst
En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(7,\ 12,\ 12)$ og $B(1,\ -6,\ -12)$.
a) Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$.
En kuleflate $K$ har sentrum i origo og radius $5$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom linjen $\ell$ og kuleflaten $K$.
Et plan $\alpha$ er gitt ved
$$
\alpha:\ 4x - 3y + 7 = 0
$$
Det er to plan som er parallelle med $\alpha$, og som samtidig tangerer kuleflaten $K$.
c) Bestem likningen for hvert av disse planene.
---
## H2017 del 2 oppgave 3 — Ørretbestand og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Tolke og løse en differensiallikning for en avtagende ørretbestand, og sette opp og løse en utvidet differensiallikning med konstant utsetting for å nå et mål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/orretbestand-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Bestanden av ørret i et bestemt fiskevann avtar med $3{,}0\ \%$ per år.
Vi går ut fra at det er $10\,000$ ørreter i vannet ved starten av 2018.
a) Forklar at differensiallikningen gitt ved
$$
y' = -0{,}03y \quad,\quad y(0) = 10\,000
$$
kan brukes til å bestemme ørretbestanden $y(t)$ i vannet $t$ år etter starten av 2018.
b) Løs differensiallikningen. Hvor mange ørreter vil det være i vannet i 2028?
Den lokale fiskeforeningen ønsker å sette ut et fast antall ørreter i vannet hvert år i ti år framover. Utsettingen starter tidlig i 2018 og skjer kontinuerlig over tiårsperioden. Målet er at det ved starten av 2027 skal være $15\,000$ ørreter i vannet.
c) Sett opp og grunngi en differensiallikning som kan brukes til å bestemme hvor mange ørreter de må sette ut hvert år for å nå målet.
d) Hvor mange ørreter må de sette ut hvert år for å nå målet?
---
## H2017 del 2 oppgave 4 — Omdreiningslegeme av sirkelsegment R2 H17
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Bestemt integral, CAS, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tegne en halvsirkelgraf, bestemme areal og volum av et omdreiningslegeme dannet av et sirkelsegment med CAS, og vise generelt at volumet er uavhengig av radius.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningslegeme-av-sirkelsegment-r2-h17/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sqrt{2^2 - x^2} \quad,\quad x \in [-2,\ 2]
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$. Tegn også inn linjen gitt ved $g(x) = f(1)$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
b) Bruk CAS til å bestemme arealet av sirkelsegmentet avgrenset av grafene til $f$ og $g$.
Vi dreier dette sirkelsegmentet $360\degree$ om $x$-aksen.
c) Bruk CAS til å bestemme volumet av omdreiningslegemet vi da får.
Funksjonen $F$ er gitt ved
$$
F(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \quad,\quad x \in [-r,\ r] \quad,\quad r > 1
$$
Linjen gitt ved $G(x) = F(1)$ skjærer grafen til $F$ i punktene $(-1,\ F(-1))$ og $(1,\ F(1))$. Området mellom grafene til $F$ og $G$ er et sirkelsegment. Vi roterer dette sirkelsegmentet $360\degree$ om $x$-aksen.
d) Vis ved hjelp av CAS at volumet av omdreiningslegemet vi da får, er uavhengig av $r$.
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Deriver funksjonene R2 V16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $2\cos 5x$ (kjerneregel) og $e^{-2x}\sin x$ (produkt- og kjerneregel).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-funksjonene-r2-v16/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2\cos 5x
$$
b)
$$
g(x) = e^{-2x}\sin x
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 V16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemt integral av $3/x$ og integrasjon av $2/(x^2-1)$ ved delbrøkoppspalting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-v16/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_{1}^{e} \frac{3}{x}\, dx
$$
b)
$$
\int \frac{2}{x^2-1}\, dx
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal under graf, Omdreiningslegeme, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Areal under $\sin x$ på $[0,\pi]$, vise antiderivert til $\sin^2 x$ ved derivasjon, og volum av omdreiningslegeme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-av-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sin x, \quad x \in [0, \pi]
$$
Et flatestykke er avgrenset av $x$-aksen og grafen til $f$.
a) Regn ut arealet av flatestykket.
b) Vis ved derivasjon at $\displaystyle\int \sin^2 x\, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x \cdot \cos x + C$
Vi roterer flatestykket $360\degree$ om $x$-aksen.
c) Regn ut volumet av omdreiningslegemet vi da får.
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Geometrisk rekke og produkt av røtter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Rekker, Konvergens, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Vise geometrisk rekke og finne $S_n$, vise at produkt av røtter er $x^{1-1/2^n}$, og finne grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-produkt-av-rotter/
### Oppgavetekst
Rekken $\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{2^n}$ er gitt.
a) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene i rekken.
Vi har gitt produktet
$$
P_n(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x} \cdot \sqrt[16]{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt[2^n]{x}, \quad x > 0
$$
b) Vis at $P_n(x) = x^{\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)}$
c) Bestem $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n(x)$
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Drøfting av cosinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Likninger, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter og topp-/bunnpunkter til $3\cos 2x$ på $\langle 0, 2\pi\rangle$ og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-cosinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3\cos 2x, \quad x \in \langle 0, 2\pi \rangle
$$
a) Bestem eventuelle nullpunkter til $f$.
b) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Lineær førsteordens differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse separabel differensiallikning $y' - xy = x$ med initialbetingelse $y(0)=1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-forsteordens-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y' - xy = x, \quad y(0) = 1
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Plan kule og pyramide med vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Plan, Romgeometri, Kule
- **Kort beskrivelse:** Bestemme planlikning fra normalvektor, skjæring med z-akse, volum av pyramide ABCO og tangeringspunkt for kule.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-kule-og-pyramide-med-vektorer/
### Oppgavetekst
Punktene $A(1, -4, 1)$ og $B(3, 0, 5)$ ligger i planet $\alpha$.
Vektoren $\vec{n}_\alpha = [k, 1, -k]$ står normalt på $\alpha$ for en bestemt verdi av konstanten $k$.
a) Vis at planet $\alpha$ er gitt ved $2x + y - 2z + 4 = 0$
Planet $\alpha$ skjærer $z$-aksen i punktet $C$.
b) Bestem koordinatene til $C$.
c) Bestem volumet av pyramiden $ABCO$, der $O$ er origo.
En kule har sentrum i origo og tangerer planet $\alpha$ i et punkt $P$.
d) Bestem koordinatene til punktet $P$.
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for geometrisk sum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bevise ved induksjon at $\frac{k^n-1}{k-1}=1+k+k^2+\ldots+k^{n-1}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-geometrisk-sum/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden $P$ gitt ved
$$
P(n): \quad \frac{k^n - 1}{k - 1} = 1 + k + k^2 + k^3 + \ldots + k^{n-1}, \quad n \in \mathbb{N}
$$
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Korteste stige mot husvegg over gjerde
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vise modell $L(x)=1/\cos x + 2/\sin x$ og minimere stigelengden ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/korteste-stige-mot-husvegg-over-gjerde/
### Oppgavetekst
En stige, som kan justeres, skal stå på skrå mot en husvegg og berøre et $2{,}0 \mathrm{~m}$ høyt gjerde. Gjerdet står $1{,}0 \mathrm{~m}$ fra husveggen. La $x$ være vinkelen mellom stigen og bakken. Se skissen nedenfor.
a) Vis at lengden av stigen, målt i meter, er
$$
L(x) = \frac{1}{\cos x} + \frac{2}{\sin x}, \quad \text{der } 0\degree < x < 90\degree
$$
b) Bestem $x$ slik at lengden av stigen blir kortest mulig. Hvor høyt opp på veggen rekker stigen da?
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Daglengde i Bergen
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bruke sinusmodell for daglengde til å finne ekstremalverdier, tegne graf, løse likning og finne raskest vekst via dobbeltderiverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/daglengde-i-bergen/
### Oppgavetekst
Daglengden $D$ i Bergen er tilnærmet gitt ved funksjonen
$$
D(t) = 6{,}63\sin(0{,}0172t - 1{,}39) + 12{,}5
$$
Her er $D(t)$ daglengden målt i timer, og $t$ er antall dager fra nyttår.
a) Bruk uttrykket $D(t)$ til å bestemme den korteste og den lengste daglengden i Bergen.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $D$ for $t \in [0, 365]$.
c) Når er daglengden i Bergen 14 timer?
d) Undersøk på hvilken dato daglengden vokser raskest. Hvor mye øker daglengden per døgn da?
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Areal mellom parabel og korde
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Areal mellom grafer, CAS, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å finne areal $T$ mellom parabel og korde, vise trekantareal $S=\tfrac18(b-a)^3$ og bestemme forholdet $T/S$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-mellom-parabel-og-korde/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2
$$
Punktene $A(a, a^2)$ og $B(b, b^2)$ der $a < b$, ligger på grafen til $f$. Se figur 1 nedenfor.
a) Grafen til $f$ og linjestykket $AB$ avgrenser et flatestykke med areal $T$. Bruk CAS til å bestemme $T$ uttrykt ved $a$ og $b$.
Punktet $C$ på grafen har koordinatene $(c, c^2)$, der $c = \dfrac{a+b}{2}$. Se figur 2 nedenfor.
b) Bruk CAS til å vise at arealet $S$ av $\triangle ACB$ er $S = \dfrac{1}{8}(b-a)^3$.
c) Bestem forholdet $\dfrac{T}{S}$.
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Ryktespredning med logistisk vekst
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp logistisk differensiallikning for ryktespredning og finne tiden til halve bygda kjenner ryktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ryktespredning-med-logistisk-vekst/
### Oppgavetekst
I en bygd med $1200$ innbyggere spres et rykte. La $y$ være antall innbyggere som kjenner til ryktet ved tiden $t$, der $t$ er tiden målt i dager etter at ryktet oppsto.
Vi antar at ryktet spres med en fart som til enhver tid er proporsjonal med produktet av antall innbyggere som kjenner ryktet, og antall innbyggere som ikke kjenner det. Proporsjonalitetskonstanten har verdien $0{,}0006$.
Ved tiden $t = 0$ var det kun én person som kjente til ryktet.
a) Sett opp en differensiallikning som beskriver situasjonen ovenfor.
b) Hvor lang tid tar det før halve bygda kjenner til ryktet?
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Deriver tre trigonometriske funksjoner R2 H16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $3\cos 2x$, $e^{\sin x}$ og $x/\sin x$ med kjerneregel og kvotientregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-trigonometriske-funksjoner-r2-h16/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3\cos 2x
$$
b)
$$
g(x) = e^{\sin x}
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{x}{\sin x}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Bestem integralene R2 H16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Integrere polynom direkte, $x\cos x$ med delvis integrasjon og $2x\sin x^2$ med substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integralene-r2-h16/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (x^2 - 3x + 2)\,\mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int x\cos x\,\mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int 2x\sin x^2\,\mathrm{d}x
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Linje rotert til omdreiningslegeme R2 H16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Lineære funksjoner, Volum
- **Kort beskrivelse:** Finne linjelikning gjennom origo og $B(h,r)$, og volumet av kjeglen som dannes når linjestykket roteres om $x$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linje-rotert-til-omdreiningslegeme-r2-h16/
### Oppgavetekst
En rett linje går gjennom $A(0,\,0)$ og $B(h,\,r)$ der $h$ og $r$ er to positive tall.
a) Bestem ligningen for linjen, uttrykt ved $h$ og $r$.
Linjestykket $AB$ roteres $360\degree$ om $x$-aksen. Vi får da et omdreiningslegeme.
b) Bestem et uttrykk for volumet til omdreiningslegemet. Hva slags legeme har du regnet ut volumet til?
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Trigonometrisk funksjon med periode og vendepunkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bestemme periode, ekstremalverdier og vendepunkter for $f(x)=3\sin(\tfrac{\pi}{2}x)+5$ og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-med-periode-og-vendepunkter/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 5, \qquad D_f = \langle 0,\,12\rangle
$$
a) Bestem perioden til $f$.
b) Bestem ekstremalverdiene $y_{\min}$ og $y_{\max}$.
c) Forklar hvorfor grafen vil ha alle sine vendepunkter på likevektslinjen. Bestem koordinatene til vendepunktene.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Andre ordens differensiallikning R2 H16
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Verifisere $y=e^{rx}$ som løsning, finne generell løsning via karakteristisk likning og spesiell løsning fra startbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andre-ordens-differensiallikning-r2-h16/
### Oppgavetekst
Vi har gitt differensialligningen
$$
y'' - 4y' - 5y = 0
$$
a) Vis at $y = e^{rx}$ er en løsning til differensialligningen når $r^2 - 4r - 5 = 0$.
b) Bestem den generelle løsningen til differensialligningen.
c) Bestem den spesielle løsningen som tilfredsstiller betingelsene $y(0) = 6$ og $y'(0) = 0$.
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Brøk av oddetallssummer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Induksjon, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og forkorte brøker av oddetallssummer, vise $S_n=n^2$ ved induksjon og uttrykke $B_n$ generelt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-av-oddetallssummer/
### Oppgavetekst
Brøken $B_n$ er definert ved at telleren er summen av de $n$ første oddetallene, mens nevneren er summen av de $n$ neste oddetallene.
a) Regn ut $B_2 = \dfrac{1+3}{5+7}$, $\quad B_3 = \dfrac{1+3+5}{7+9+11}\quad$ og $\quad B_4 = \dfrac{1+3+5+7}{9+11+13+15}$. Forkort svarene.
b) Vis at summen av de $n$ første oddetallene kan skrives $S_n = n^2$.
c) Forklar at $B_n = \dfrac{S_n}{S_{2n} - S_n}$. Regn ut denne brøken.
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Kuleflate tangentplan og normalt plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Vise at punkt ligger på kuleflate, finne sentrum og radius, tangentplan i punktet og plan normalt på tangentplanet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-tangentplan-og-normalt-plan/
### Oppgavetekst
Ligningen til en kuleflate er gitt ved
$$
x^2 - 2x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 14
$$
a) Vis at punktet $A(4,\,3,\,3)$ ligger på kuleflaten.
b) Vis at kulen har sentrum i $S(1,\,-1,\,3)$. Bestem radien til kulen.
c) Bestem ligningen for tangentplanet $\alpha$ til kuleflaten i punktet $A$.
Et annet plan $\beta$ går gjennom $S$ og $B(1,\,0,\,1)$ og står normalt på $\alpha$.
d) Bestem ligningen til $\beta$.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Befolkningsvekst med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Begrunne og løse $y'=0{,}003y+44000$ for folketall, og finne når det passerer 7 millioner og vekstfarten da.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/befolkningsvekst-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Ved inngangen til 2015 var folketallet i Norge $5\,200\,000$. I en modell for befolkningsveksten antar vi at
- netto innvandring per år vil være $44\,000$
- antall som blir født per år, vil være $1{,}1\ \%$ av folketallet
- antall som dør per år, vil være $0{,}8\ \%$ av folketallet
Vi lar folketallet være $y(t)$, der $t$ er antall år etter 2015.
a) Forklar at vi kan skrive
$$
y' = 0{,}003y + 44000, \qquad y(0) = 5200000
$$
b) Løs differensialligningen.
c) Når vil folketallet passere 7 millioner ifølge denne modellen? Hvor stor er vekstfarten i folketallet da?
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Areal under graf, CAS, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til $f(x)=\sqrt{x^2-x^4}$, finne toppunkter med CAS, samlet areal mot $x$-aksen og volum av omdreiningslegeme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omdreiningslegeme-for-rotfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sqrt{x^2 - x^4}
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Bruk CAS til å bestemme de eksakte koordinatene til toppunktene på grafen til $f$.
c) Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$-aksen.
Grafen til $f$ roteres $360\degree$ om $x$-aksen.
d) Bestem volumet av omdreiningslegemet som da framkommer.
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Vinkel mellom to plan og skjæringslinje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Plan, Vektorer, Romgeometri, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Vise felles punkt, bestemme $p$ for vinkel $60\degree$ mellom planene, minste vinkel og parameterframstilling for skjæringslinjen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-mellom-to-plan-og-skjaeringslinje/
### Oppgavetekst
To plan $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved
$$
\alpha:\ x - y - 3 = 0
$$
$$
\beta:\ x + pz - 4 = 0, \quad p \in \mathbb{R}
$$
a) Vis at punktet $(4,\,1,\,0)$ ligger i begge planene.
b) Bestem $p$ slik at vinkelen mellom $\alpha$ og $\beta$ blir $60\degree$.
c) Hvilken verdi for $p$ vil gi den minste vinkelen mellom $\alpha$ og $\beta$? Hvor stor er vinkelen da?
De to planene skjærer hverandre langs en linje $\ell$.
d) Bestem en parameterframstilling for $\ell$ uttrykt ved $p$.
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Uendelig geometrisk rekke med sum og tre ledd
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp likningssystem fra uendelig sum 8 og sum av tre første ledd 7, og finne $k$ og $a_1$ med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-sum-og-tre-ledd/
### Oppgavetekst
Om en uendelig geometrisk rekke vet vi at
- summen er $8$
- summen av de tre første leddene er $7$
a) Sett opp et ligningssystem som uttrykker opplysningene ovenfor.
b) Bruk CAS til å bestemme kvotienten $k$ og det første leddet $a_1$ i rekken.
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R2 V15
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med kjerneregelen, produktregelen og sammensetning av trigonometriske og eksponensialfunksjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r2-v15/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = -3\cos x
$$
b)
$$
g(x) = \sin^2 x
$$
c)
$$
h(x) = x^3 \cdot e^{-x}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Tre integraler med partialbrøk og delvis integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne et bestemt integral, et ubestemt integral med partialbrøkoppspalting og et ubestemt integral med delvis integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-integraler-med-partialbrok-og-delvis-integrasjon/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int_1^{2} (x^2 + 2x - 3)\, dx
$$
b)
$$
\int \frac{3x}{x^2 - x - 2}\, dx
$$
c)
$$
\int x \cdot \ln x\, dx
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Vis integrasjonsformel og løs differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Substitusjon, Differensiallikning, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruke substitusjon for å vise en integrasjonsformel, deretter løse en lineær førsteordens differensiallikning med initialverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-integrasjonsformel-og-los-differensiallikning/
### Oppgavetekst
a) Bruk en integrasjonsmetode til å vise at $\displaystyle\int x \cdot e^{x^2}\, dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$
b) Løs differensiallikningen
$$
y' + 2xy = 4x \qquad,\quad y(0) = 8
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Geometrisk rekke med parameter og konvergensområde
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområdet og løse for parameterverdien som gir en gitt sumverdi for en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-med-parameter-og-konvergensomrade/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \ldots \qquad,\quad x \neq 0
$$
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Bestem $x$ slik at $S(x) = 4$
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Kryssprodukt areal og plan med bevegelig partikkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan
- **Kort beskrivelse:** Beregne kryssprodukt og areal av trekant, bestemme planlikning gjennom tre punkter, og finne tidspunkt der en partikkelbane treffer planet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kryssprodukt-areal-og-plan-med-bevegelig-partikkel/
### Oppgavetekst
Punktene $A(3, 0, 0)$, $B(0, 4, 0)$ og $C(0, 0, 1)$ er gitt.
a) Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Bestem arealet av $\triangle ABC$.
b) Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger i et plan $\alpha$. Bestem likningen for planet $\alpha$.
En partikkel starter i origo $O(0, 0, 0)$. Etter tiden $t$ er partikkelen i et punkt $P$ gitt ved
$$
\overrightarrow{OP} = \left[t,\ \frac{t^2}{3},\ -\frac{t}{4}\right] \qquad,\quad t \geq 0
$$
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet $\alpha$? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer $\alpha$.
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruke matematisk induksjon for å bevise en eksplisitt formel for en rekursivt definert tallfølge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallfolge-med-rekursiv-formel-og-induksjonsbevis/
### Oppgavetekst
En tallfølge $\{a_n\}$ er gitt ved at $a_1 = -1$ og $a_{n+1} = a_n + n - 1$
Bruk induksjon til å bevise at $\displaystyle a_n = \frac{n(n-3)}{2}$, $\quad n \in \mathbb{N}$
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Funksjonsdrøfting av trigonometrisk funksjon og grafgjenkjenning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme nullpunkter og ekstrema for en sammensatt trigonometrisk funksjon, og identifisere riktig graf blant tre kandidater med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-trigonometrisk-funksjon-og-grafgjenkjenning/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3 - 3\cos(1 - x^2) \qquad,\quad x \in \left\langle -\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2} \right\rangle
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.
b) Bruk $f'(x)$ til å bestemme $x$-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til $f$. Avgjør hvilken.
Begrunn svaret.
---
## V2015 del 1 oppgave 8 — Cos-addisjonsformel og forenkling av cos4x minus sin4x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Utlede dobbeltvinkelformelen for cosinus og bruke den til å forenkle uttrykket cos⁴x − sin⁴x.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cos-addisjonsformel-og-forenkling-av-cos4x-minus-sin4x/
### Oppgavetekst
En trigonometrisk formel er gitt ved
$$
\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v
$$
a) Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for $\cos(2x)$.
b) Skriv uttrykket $\cos^4 x - \sin^4 x$ så enkelt som mulig.
---
## V2015 del 1 oppgave 9 — Trigonometrisk likning sinx pluss cosx lik 1
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse den trigonometriske likningen sin x + cos x = 1 på intervallet [0, 2π] ved å bruke dobbeltvinkelformelen eller kvadrering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-likning-sinx-pluss-cosx-lik-1/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\sin x + \cos x = 1 \qquad,\quad x \in [0,\, 2\pi]
$$
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere fartsutvikling på en sykkeltur med en differensiallikning, bestemme s(t), og beregne tilbakelagt strekning og tidsbruk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkeltur-med-differensiallikning-og-tilbakelagt-vei/
### Oppgavetekst
Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten $26 \mathrm{~km/h}$. Etter hvert vil farten avta etter formelen
$$
v(t) = 26 - 0{,}08 \cdot s(t)
$$
- $v(t)$ og $s(t)$ er begge funksjoner som er avhengige av tiden $t$ målt i timer
- $v(t)$ er farten målt i kilometer per time
- $s(t)$ er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer
a) Bestem farten etter 125 km.
Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen
$$
s'(t) = 26 - 0{,}08 \cdot s(t)
$$
b) Bestem $s(t)$ når $s(0) = 0$.
c) Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Optimering, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bestemme volumet av en pyramide med parametrisk toppunkt, løse for gitt volum og minimere volumet med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-abcp-med-parametrisk-toppunkt-og-volum/
### Oppgavetekst
Hjørnene i en pyramide $ABCP$ er $A(0,0,0)$, $B(1,0,-1)$, $C(1,1,0)$ og $P(t,\, 2t+1,\, t^2+2)$, $t \in \mathbb{R}$.
a) Bestem et uttrykk for volumet $V(t)$ av pyramiden.
b) Bestem koordinatene til $P$ slik at $V(t) = \dfrac{7}{2}$.
c) Bestem koordinatene til $P$ slik at volumet $V(t)$ blir minst mulig.
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Pariserhjul London Eye med cosinus og vendepunkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bruke grafisk løsning til å bestemme tidspunkter der en passasjer er 50 m over bakken, og tolke vendepunkter på høydekurven til et pariserhjul.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pariserhjul-london-eye-med-cosinus-og-vendepunkter/
### Oppgavetekst
*London Eye* er et pariserhjul med diameter lik 135 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger 2 m over bakkenivå.
Etter $t$ min fra ombordstigning er en passasjer $h(t)$ m over bakkenivå. Det kan vises at
$$
h(t) = -67{,}5\cos\left(\frac{\pi}{15}\,t\right) + 69{,}5
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $h$ for $t \in [0,\, 30]$. Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.
b) Bestem vendepunktene på grafen til $h$.
Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av $h'(7{,}5)$ og $h'(22{,}5)$ gir.
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Tangenter til andregradsfunksjon og like arealer med CAS
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, CAS, Integrasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise tangentlikninger, bruke CAS til å vise at skjæringspunktet har x-koordinat (s+t)/2, og bevise at to arealer er like store for alle a og b.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangenter-til-andregradsfunksjon-og-like-arealer-med-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + ax + b \qquad,\quad D_f = \mathbb{R}
$$
Tangentene i punktene $Q(s,\, f(s))$ og $R(t,\, f(t))$ skjærer hverandre i et punkt $P$.
Se skisse 1.
a) Vis at likningene for de to tangentene er
$$
g(x) = (a + 2s)x + b - s^2 \qquad \text{og} \qquad h(x) = (a + 2t)x + b - t^2
$$
b) Bruk CAS til å vise at $x$-koordinaten til punktet $P$ er gitt ved $x_P = \dfrac{s + t}{2}$
Den vertikale linjen $x = x_P$ deler området mellom grafen og tangentene i to områder.
Se skisse 2.
c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av $a$ og $b$.
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H15
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med kjerneregel, produktregel og kombinasjon av eksponential og trigonometri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-trigonometriske-funksjoner-r2-h15/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 5 \cdot \cos(2x)
$$
b)
$$
g(x) = x \cdot \sin x
$$
c)
$$
h(x) = 5e^{-x} \cdot \sin(2x)
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Integraler med substitusjon og bestemt integral
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne et bestemt integral av et polynom og et ubestemt integral med substitusjon av eksponentialuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integraler-med-substitusjon-og-bestemt-integral/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_0^{2} (x^2 - 2x + 1)\,dx
$$
b)
$$
\int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}\,dx
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Omdreiningslegeme av eksponentialfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Vise ved beregning at volumet av omdreiningslegemet til en eksponentialfunksjon rotert 360° om x-aksen er $\frac{8}{3}\pi$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningslegeme-av-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2e^{-\frac{1}{2}x} \quad, \quad x \in [0, \ln 3]
$$
Vi roterer grafen til $f$ $360°$ om $x$-aksen.
Vis at volumet $V$ av omdreiningslegemet blir $V = \dfrac{8}{3}\pi$
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Areal og derivert fra graf
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Graf, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese av den deriverte og bestemme arealet av et flatestykke ved hjelp av grafene til f og den antideriverte F.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-derivert-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafene til funksjonene $F$ og $f$.
Det er gitt at $F'(x) = f(x)$
a) Bruk figuren til å bestemme $F'(4)$
b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Kuleflate på standardform
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig kvadrat for å finne sentrum og radius til en kuleflate, og bestemme likning for tangentplanet i et gitt punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-pa-standardform/
### Oppgavetekst
En kuleflate er gitt ved likningen
$$
x^2 - 2x + y^2 + 6y + z^2 - 4z - 11 = 0
$$
a) Vis at punktet $P(4, 1, 2)$ ligger på kuleflaten.
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
c) Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet $P$.
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Addisjonsteoremer og dobbeltvinkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Eksakte verdier, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utlede uttrykk for sin(2x) og cos(2x) fra addisjonsteoremer, og vise identiteten sin(3x) = 3 sin x − 4(sin x)³.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/addisjonsteoremer-og-dobbeltvinkel/
### Oppgavetekst
Følgende formler er gitt:
$$
\sin(u+v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v
$$
$$
\cos(u+v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v
$$
a) Bruk formlene ovenfor til å uttrykke $\sin(2x)$ og $\cos(2x)$ ved $\sin x$ og $\cos x$.
b) Vis at $\sin(3x) = 3\sin x - 4(\sin x)^3$
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan
- **Kort beskrivelse:** Beregne vektorprodukt, begrunne at tre punkter ikke er kollineære, og bestemme planet og teste om et fjerde punkt ligger i det.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorprodukt-og-plan-gjennom-tre-punkter/
### Oppgavetekst
Punktene $A(1, 2, -2)$, $B(2, -3, 4)$ og $C(-2, 3, 1)$ er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.
b) Forklar at $C$ ikke ligger på linjen gjennom $A$ og $B$.
c) Bestem en likning for planet $\alpha$ gjennom $A$, $B$ og $C$.
d) Avgjør om punktet $D(2, 2, 3)$ ligger i $\alpha$.
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Separabel differensiallikning med startverdi
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en separabel differensiallikning ved separasjon av variable med gitt startbetingelse y(0) = 2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/separabel-differensiallikning-med-startverdi/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y^2 \cdot y' = x \qquad , \qquad y(0) = 2
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Induksjonsbevis av kubikksum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Tallfølger, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise med matematisk induksjon at summen av de første n kubikktallene er lik n²(n+1)²/4.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-av-kubikksum/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n){:} \quad 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \qquad , \quad n \in \mathbb{N}
$$
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Funksjonsstudie med eksponentiell demping
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Trigonometri, Eksponentialfunksjon, Integrasjon, Nullpunkter, CAS
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf, bestemme nullpunkter og ekstremalpunkter, og beregne areal under eksponentielt dempet sinusfunksjon med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsstudie-med-eksponentiell-demping/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 5e^{-\frac{x}{3}} \cdot \sin(2x) \quad , \quad x \in [0, \to\rangle
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x \in [0, 3\pi]$.
b) Bestem nullpunktene til $f$ i intervallet $[0, 3\pi]$.
c) Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til $f$ i intervallet $\langle 0, 3\pi \rangle$.
d) Bestem arealet begrenset av grafen til $f$ og $x$-aksen mellom $x = 0$ og $x = \dfrac{\pi}{2}$.
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — Differensiallikning andre orden verifisering
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise ved derivasjon og innsetting at en gitt funksjon er løsning av en lineær andreordens differensiallikning med to startbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-andre-orden-verifisering/
### Oppgavetekst
Vis at $f(x) = 5e^{-\frac{x}{3}} \cdot \sin(2x)$ er en løsning av differensiallikningen
$$
9y'' + 6y' + 37y = 0 \qquad , \qquad y(0) = 0 \text{ og } y'(0) = 10
$$
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Nullpunkter og maksimumsverdier i geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at nullpunktene danner en aritmetisk og maksimalverdiene en geometrisk tallfølge, og bestemme sum av konvergent uendelig rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-maksimumsverdier-i-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Vi skal i denne oppgaven studere nærmere $f(x)$ som ble gitt i oppgave 1 i Del 2:
$$
f(x) = 5e^{-\frac{x}{3}} \cdot \sin(2x) \quad , \quad x \in [0, \to\rangle
$$
a) Vis at nullpunktene til $f$ i oppgave 1 danner en aritmetisk tallfølge $a_1, a_2, a_3, \ldots$
Bestem $a_{20}$.
b) Vis at maksimalverdiene til $f$ i oppgave 1 danner en geometrisk tallfølge $b_1, b_2, b_3, \ldots$
Bestem $b_5$.
c) Begrunn at den uendelige rekken $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots$ konvergerer. Bestem summen av rekken.
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Kule og linje i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri, Vektorer, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Bestemme skjæringspunktene mellom en parametrisert linje og en kule med gitt sentrum og radius i rommet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kule-og-linje-i-rommet/
### Oppgavetekst
En kule $K$ har sentrum i $S(-1, 0, 1)$ og radius $\sqrt{21}$.
En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(7, -2, 5)$ og $B(15, -4, 9)$.
Bestem skjæringspunktene mellom linjen $\ell$ og kulen $K$.
---
## H2015 del 2 oppgave 5 — Andregradsfunksjon areal og trekant
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Funksjoner, CAS, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Utforske forholdet mellom arealet av trekanten PQR og arealet under en andregradsfunksjon, og bestemme forholdet T₁/T₂ generelt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-areal-og-trekant/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^2 + bx + c \qquad , \qquad a < 0 \text{ og } c > 0
$$
Grafen har toppunkt i $R$. Se skissen nedenfor.
a) Forklar at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i punktene
$$
P\left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\, 0\right) \quad \text{og} \quad Q\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\, 0\right)
$$
der $P$ ligger til venstre for $Q$.
b) Bruk CAS til å vise at arealet $T_1$ til $\triangle PQR$ er gitt ved
$$
T_1 = \frac{(b^2 - 4ac) \cdot \sqrt{b^2 - 4ac}}{8a^2}
$$
c) Bestem arealet $T_2$ mellom grafen til $f$ og $x$-aksen.
d) Bestem forholdet $\dfrac{T_1}{T_2}$.
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med kjedel og kvotient
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner ved bruk av produktregelen, kjerneregelen og kvotientsregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-kjedel-og-kvotient/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = x^2 \sin x
$$
b)
$$
g(x) = e^{\cos(2x)}
$$
c)
$$
h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x - 2}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne tre ubestemte integraler ved delvis integrasjon, variabelskifte og delbrøkoppspalting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integrasjon-tre-integraler-delvis-og-substitusjon/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int x e^x \, \mathrm{d}x
$$
b)
$$
\int 4x e^{x^2} \, \mathrm{d}x
$$
c)
$$
\int \dfrac{3x}{x^2 - x - 2} \, \mathrm{d}x
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Differensiallikning separabel første ordens
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme den generelle løsningen til en lineær første ordens differensiallikning ved integrerende faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-separabel-forste-ordens/
### Oppgavetekst
Bestem den generelle løsningen for differensiallikningen
$$
y' + 2xy = 4x
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Vurdere sannhetsverdien av tre påstander om fortegn og nullpunkter til f, f' og f'' ved bruk av grafene til f og f'.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avgjor-pastander-om-f-og-f-primderiverte-fra-graf/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -xe^{-x^2} \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Nedenfor ser du grafen til $f$ og grafen til den deriverte funksjonen $f'$.
Avgjør om påstandene A, B og C nedenfor er sanne. Begrunn svarene dine.
**A:** $\quad f(x) > 0 \iff x \in \left\langle \leftarrow,\, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right]$
**B:** $\quad f''(x) = 0 \iff x = -\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \;\vee\; x = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
**C:** $\quad f'(x) > 0 \impliedby f''(x) < 0$
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient og konvergens
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Konvergens, Geometrisk rekke
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområde og sumfunksjon for en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient, og vise at summen aldri er 1/2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-variabel-kvotient-og-konvergens/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \ldots
$$
a) Bestem konvergensområdet for rekken.
b) Bestem summen $s(x)$ av rekken.
c) Vis at $s(x) \neq \dfrac{1}{2}$
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Funksjonsdrøfting fjerdegradsfunksjon topp bunn infleksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme topp- og bunnpunkter, infleksjonspunkter og lage skisse av grafen til en fjerdegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-fjerdegradsfunksjon-topp-bunn-infleksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bestem eventuelle infleksjonspunkter til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Trigonometrisk likning produktform sinus cosinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Løse en trigonometrisk likning på produktform med sinus og cosinus på intervallet [0°, 360°].
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-likning-produktform-sinus-cosinus/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\left(\sin x - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 \,, \quad x \in \left[0^{\circ},\, 360^{\circ}\right\rangle
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Bevis derivasjonsregel potens ved induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise at den deriverte av x^n er nx^(n-1) ved matematisk induksjon og derivasjonsregelen for produkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-derivasjonsregel-potens-ved-induksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^n \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bruk induksjon og derivasjonsregel for produkt til å bevise påstanden
$$
P(n): \quad f'(x) = nx^{n-1} \,, \quad n \in \mathbb{N}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 9 — Kuleflate sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sentrum og radius i en kuleflate ved å skrive likningen på standardform med fullstendige kvadraters metode.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-sentrum-og-radius-ved-fullstendige-kvadraters-metode/
### Oppgavetekst
Likningen for en kuleflate er gitt ved
$$
x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 8z - 4 = 0
$$
Bestem ved regning sentrum og radius i kulen.
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise ved regning at to arealer avgrenset mellom en tredjegradsfunksjon og en andregradsfunksjon er like store.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likeverdige-arealer-mellom-to-grafer-a1-lik-a2/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x^3 - x^2 - 5x \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
$$
g(x) = -x^2 + 3x \,, \quad D_g = \mathbb{R}
$$
Grafene til $f$ og $g$ skjærer hverandre i tre punkter.
Grafene avgrenser to områder, med arealer $A_1$ og $A_2$.
Vis ved regning at $A_1 = A_2$
---
## E2015 del 1 oppgave 11 — Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne volumet av et omdreiingslegeme fra en halvsirkel og gjenkjenne resultatet som den kjente volumformelen for en kule.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvkule-som-omdreiingslegeme-og-kulevolumet/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \,, \quad D_f = [-r,\, r]
$$
Grafen til $f$ dreies $360°$ om $x$-aksen.
Regn ut volumet av omdreiingslegemet som da framkommer. Hva oppdager du?
---
## E2015 del 1 oppgave 12 — Vinkel mellom vektorer og likning for plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Plan, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vinkel mellom to vektorer, vise at en gitt vektor er normalvektor til et plan, og finne planets likning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-mellom-vektorer-og-likning-for-plan/
### Oppgavetekst
Vektorene $\vec{u} = [1, 2, -1]$ og $\vec{v} = [-1, 1, -2]$ er gitt.
Et plan $\beta$ går gjennom punktet $P(2, 0, 1)$. Videre er $\beta \parallel \vec{u}$ og $\beta \parallel \vec{v}$.
a) Bestem $\angle(\vec{u}, \vec{v})$.
b) Vis at $\vec{n} = [-1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $\beta$.
c) Bestem likningen til planet $\beta$.
---
## E2015 del 1 oppgave 13 — Trigonometrisk likning eksakte løsninger cos og sin
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Bestemme alle eksakte løsninger til en trigonometrisk likning med cos² og sin² ved bruk av trigonometriske identiteter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-likning-eksakte-losninger-cos-og-sin/
### Oppgavetekst
Bestem alle eksakte løsninger til likningen
$$
\cos^2 x - 3\sin^2 x = -2 \,, \quad x \in \left[0,\, 2\pi\right\rangle
$$
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Trigonometri, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage en sinusmodell for månefaser fra tabelldata, bestemme periode, amplitude og likevektslinje, og bruke graftegner til å finne halvmånedøgn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/manefaser-sinusmodell-og-halvmane-med-graftegner/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt på noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.
| Døgn nr. ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 | 15 | 20 | 21 |
| -------------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Synlig del | 0,25 | 0,18 | 0,11 | 0,06 | 0,02 | 0,00 | 0,11 | 0,57 | 0,99 | 1,00 |
| Døgn nr. ($x$) | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 66 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Synlig del | 0,80 | 0,32 | 0,02 | 0,14 | 0,64 | 1,00 | 0,77 | 0,31 | 0,01 | 0,00 |
a) Lag en sinus-funksjon $f$ som gir en god modell for dataene ovenfor.
Bestem perioden, amplituden og likevektslinjen.
b) Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i denne perioden.
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Volum, CAS, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise linjelikning for rett avkortet kjegle, bruke CAS til å utlede volumformelen, og tolke grensetilfeller som kjegle og sylinder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avkortet-kjegle-volum-ved-cas-og-omdreiingslegeme/
### Oppgavetekst
En rett linje går gjennom punktene $A(0, R)$ og $B(h, r)$. Se figur 1. En rett, avkortet kjegle framkommer ved å rotere linjestykket $AB$ 360° om $x$-aksen. Se figur 2.
a) Vis at linjen gjennom $A$ og $B$ har likningen $y = \dfrac{r - R}{h} \cdot x + R$
b) Bruk CAS til å vise at volumet $V$ av den rett avkortede kjegle er
$$
V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)
$$
c) Forklar kort hvilket omdreiingslegeme vi får dersom $r = 0$ og dersom $r = R$.
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke en eksponentiell differensiallikning til å bestemme tid for nedkjøling av kroppstemperatur og momentan endringsrate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kroppstemperatur-differensiallikning-eksponentiell-nedkjoling/
### Oppgavetekst
Hvis en person blir liggende i vann med temperatur på $0\,\mathrm{°C}$, kan endringen i kroppstemperaturen $K\,\mathrm{°C}$ under visse betingelser beskrives med følgende differensiallikning
$$
K'(t) = -0{,}012K(t)
$$
der $t$ er målt i minutter.
En person faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen synker etter modellen ovenfor.
a) Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å synke fra $37\,\mathrm{°C}$ til $25\,\mathrm{°C}$ ($25\,\mathrm{°C}$ er antatt grense for å overleve).
b) Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 20 min etter at personen faller i vannet.
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Innskrevne kvadrater geometrisk rekke og spiralareal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise at arealer av trekanter i innskrevne kvadrater danner en konvergent geometrisk tallfølge, og bestemme summen på to ulike måter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevne-kvadrater-geometrisk-rekke-og-spiralareal/
### Oppgavetekst
I et kvadrat med side 1 er det innskrevet et annet kvadrat med hjørner midt på sidene i det første kvadratet. I det andre kvadratet er det innskrevet et tredje kvadrat med hjørner midt på sidene i det andre kvadratet. Slik fortsetter det i en uendelig prosess. Se figur 1 nedenfor.
Vi lar $A_1, A_2, A_3, \ldots$ være en følge av arealer av rettvinklede trekanter. Disse danner en blå «spiral». Se figur 2 nedenfor.
 
a) Vis at arealene $A_1, A_2, A_3, \ldots$ danner en uendelig, geometrisk og konvergent tallfølge.
b) Bestem summen av rekken $A_1 + A_2 + A_3 + \ldots$ på to måter:
- ved hjelp av relevante formler
- ved et geometrisk resonnement.
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Svømmebasseng løpe og svømme optimal rute optimering
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og analysere en tidsfunksjon for å løpe og svømme raskest mulig over et sirkelformet basseng, og bestemme optimal rute ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/svommebasseng-lope-og-svomme-optimal-rute-optimering/
### Oppgavetekst
Thomas står i et punkt $A$ på kanten av et sirkelformet svømmebasseng med diameter $AB = 40\,\mathrm{m}$. Thomas vil komme seg raskest mulig over til punkt $B$.
Thomas kan løpe med farten $2k\,\mathrm{m/s}$ og svømme med farten $k\,\mathrm{m/s}$.
Et punkt $C$ på bassengkanten er gitt ved at $\angle AOC = \theta$ der $\theta \in [0, \pi]$. I punktet $A$ er $\theta = 0$.
I punktet $B$ er $\theta = \pi$. $\angle BOM = \dfrac{\pi - \theta}{2}$ der $M$ er midtpunktet på $BC$. Se skissen nedenfor.
a) Vis at tiden som Thomas bruker for å løpe fra $A$ til $C$ og deretter svømme fra $C$ til $B$ kan beskrives av funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(\theta) = \frac{10\theta}{k} + \frac{40\sin\left(\dfrac{\pi - \theta}{2}\right)}{k} \,, \quad D_T = [0, \pi],\; k \in \mathbb{R}^+
$$
b) Bruk blant annet $T'(\theta)$ til å avgjøre hvordan Thomas på raskest mulig måte kan komme seg fra $A$ til $B$.
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, CAS, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å vise at arealet mellom en andregradsfunksjon og en sekant bare er avhengig av differansen q−p og koeffisienten a.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-areal-kun-avhengig-av-differansen-cas/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^2 + bx + c \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Et område er avgrenset av grafen til $f$ og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og den rette linjen har $x$-koordinater $p$ og $q$. Se skissen nedenfor.
Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til $f$ og den rette linjen bare er avhengig av differansen $p - q$ og $a$ (eller differansen $q - p$ og $a$).
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sinus og eksponentialfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere standardfunksjoner med kjerneregelen og produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sinus-og-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = \sin(3x)
$$
b)
$$
g(x) = e^{2x} \cdot \cos x
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Substitusjon, Delvis integrasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Beregne to integraler med substitusjon og delvis integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integrasjon-ved-substitusjon-og-delvis-integrasjon/
### Oppgavetekst
Regn ut integralene
a)
$$
\int 2x \cdot \sin(x^2) \, dx
$$
b)
$$
\int_1^e x \cdot \ln x \, dx
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — Vendepunkt for eksponentialfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Finne koordinatene til eventuelle vendepunkter ved å sette den andrederiverte lik null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendepunkt-for-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = e^{2x} - 4e^x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Konvergensområde og likninger for geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konvergensområde for en uendelig geometrisk rekke og løse likninger med sumformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergensomrade-og-likninger-for-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
$$
s(x) = 1 + (1-x) + (1-x)^2 + (1-x)^3 + \ldots
$$
a) Bestem konvergensområdet til rekken.
b) Løs likningene $s(x) = 3$ og $s(x) = \dfrac{1}{3}$
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Plan og linje i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Plan, Vektorer, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Vise at punkt ikke ligger i plan, finne parameterframstilling for normal-linje og beregne avstand fra punkt til plan.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-og-linje-i-rommet/
### Oppgavetekst
Planet $\alpha$ er gitt ved
$$
\alpha \colon 2x + y - 2z + 3 = 0
$$
a) Vis at punktet $P(3,\, 4,\, 2)$ *ikke* ligger i planet $\alpha$.
En linje $\ell$ går gjennom $P$ slik at $\ell \perp \alpha$.
b) Bestem en parameterframstilling for $\ell$.
c) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $\alpha$.
d) Bestem avstanden fra $P$ til $\alpha$.
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Sinusfunksjon med toppunkt og bunnpunkt
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameterne i en sinusfunksjon ut fra toppunkt og bunnpunkt, og lage en skisse av grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-med-toppunkt-og-bunnpunkt/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = a\sin(cx + \varphi) + d
$$
Grafen til funksjonen har et toppunkt i $(0,\, 7)$. Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunktet er $(2,\, 3)$.
a) Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives
$$
f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) + 5
$$
b) Lag en skisse av grafen til $f$ for $x \in \left[0,\, 12\right]$.
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Differensiallikning med initialverdi
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær førsteordens differensiallikning med gitt startverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-initialverdi/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y' - 3y = 2 \qquad \text{når} \quad y(0) = \frac{1}{3}
$$
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Pyramide med tre punkter i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Vise at tre punkter bestemmer et plan entydig, finne planets likning og bestemme parameter slik at pyramidevolum blir 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-med-tre-punkter-i-rommet/
### Oppgavetekst
Punktene $A(4,\, 3,\, 1)$, $B(2,\, 2,\, 0)$ og $C(1,\, 2,\, -2)$ er gitt.
En setning i geometrien sier:
> Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
a) Bruk denne setningen til å vise at punktene $A$, $B$ og $C$ bestemmer et plan $\alpha$ entydig.
b) Bestem en likning til planet $\alpha$.
Et punkt $T$ har koordinatene $(2,\, 5,\, 4t + 1)$.
c) Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden $ABCT$ blir 3.
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Kuleflate med sentrum og tangentplan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri, Plan
- **Kort beskrivelse:** Vise at punkt ligger på kuleflate, bestemme sentrum og radius, og finne tangentplanet i et gitt punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-med-sentrum-og-tangentplan/
### Oppgavetekst
En kuleflate er gitt ved likningen
$$
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 6z + 2 = 0
$$
a) Vis at punktet $P(2,\, 3,\, 5)$ ligger på kuleflaten.
b) Bestem sentrum og radius til kulen.
c) Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet $P$.
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Newtons avkjølingslov og drapsoppklaring
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse differensiallikning for kroppstemperatur etter Newtons avkjølingslov, og bruke modellen til å estimere dødstidspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/newtons-avkjolingslov-og-drapsoppklaring/
### Oppgavetekst
I en kriminalserie på TV ble et drapsoffer funnet kl. 11.00. Kroppstemperaturen ble da målt til $30\ ^\circ\text{C}$. Rommet der den drepte ble funnet, hadde hatt en konstant temperatur på $22\ ^\circ\text{C}$ siden mordet skjedde.
Vi lar kroppstemperaturen være $y(t)$ grader Celsius $t$ timer etter at den døde ble funnet.
a) Ifølge Newtons avkjølingslov er temperaturendringen per time proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen. Forklar at dette gir differensiallikningen
$$
y' = -k(y - 22) \qquad \text{der} \quad k > 0
$$
b) Forklar at $y(0) = 30$, og løs differensiallikningen ved regning.
c) En time etter at den døde ble funnet, ble kroppstemperaturen målt til $28\ ^\circ\text{C}$. Bruk dette til å bestemme konstanten $k$.
Vi antar at drapsofferet hadde en kroppstemperatur på $37\ ^\circ\text{C}$ like etter at døden inntraff.
d) Bruk $y(t)$ til å anslå når drapet ble utført.
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Uendelig rekke og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Induksjon, Bevis, Grenseverdi, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Vise konvergens for geometrisk rekke, utlede sumformel ved derivasjon, bevise en påstand med induksjon og bestemme grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-rekke-og-induksjon/
### Oppgavetekst
En uendelig rekke er gitt ved
$$
1 + x + x^2 + x^3 + \ldots
$$
a) Vis at $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \dfrac{1}{1-x}$, når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$
Det kan vises at
$$
\bigl(1\bigr)' + \bigl(x\bigr)' + \bigl(x^2\bigr)' + \bigl(x^3\bigr)' + \ldots = \left(\frac{1}{1-x}\right)', \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle
$$
b) Vis at
$$
1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \frac{1}{(1-x)^2} \, , \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle
$$
c) Bruk resultatet i oppgave b) til å vise at
$$
1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots = 4
$$
d) Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n)\colon \quad 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^{n-1}} = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}} \quad , \quad n \in \mathbb{N}
$$
e) Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2^{n-1}}$
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Rektangel innskrevet i sirkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Optimering, Geometri, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke sirkelsektorareal og rektangelareal med vinkel, og finne maksimalt areal grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-i-sirkel/
### Oppgavetekst
Et rektangel $ABCD$ er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i $O$ og radius 10. Vi setter $\angle COD = v$, der $0 < v < \pi$. Se figuren nedenfor.
a) Vis ved regning at arealet $F$ av sirkelsektoren $COD$ er
$$
F(v) = 50v
$$
b) Vis ved regning at arealet $T$ av det fargelagte området på figuren kan skrives som
$$
T(v) = 50(v + 3\sin v)
$$
c) Bestem $v$ grafisk slik at $T$ blir størst mulig. Bestem $T_{\text{maks}}$.
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Gabriels horn og omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Bestemt integral, Grenseverdi, Volum, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Beregne volum og overflate av omdreiningslegeme for f(x)=1/x, og undersøke grenseverdiene når a→∞ (Gabriels horn).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gabriels-horn-og-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{x} \quad , \quad x \in \left[1,\, a\right]
$$
Vi dreier grafen til $f$ $360°$ om $x$-aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.
a) Bestem volumet $V(a)$ av omdreiningslegemet.
b) Bestem $\displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$. Omdreiningslegemet har overflateareal $O(a)$. Forklar at $O(a) > \displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$.
c) Vi lar $a \to \infty$. Det omdreiningslegemet vi da får, kalles *Gabriels horn*.
Bestem $\displaystyle\lim_{a \to \infty} O(a)$ og $\displaystyle\lim_{a \to \infty} V(a)$ dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svarene.
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av cosinus og e-funksjon produktregel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere to funksjoner — én med cosinus og kjerneregel, én med e-funksjon og produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-cosinus-og-e-funksjon-produktregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 2\cos(3x)
$$
b)
$$
g(x) = 5e^x \cdot \sin(2x)
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Ubestemte og bestemte integraler med ln
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme et ubestemt polynom-integral og et bestemt integral med x·ln x ved delvis integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ubestemte-og-bestemte-integraler-med-ln/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int (x^3 - 2x)\,dx
$$
b)
$$
\int_1^e x \cdot \ln x\,dx
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Differensiallikning med initialverdi og tangent
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær førsteordens differensiallikning med startbetingelse, deretter bestemme tangentligning i et gitt punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-initialverdi-og-tangent/
### Oppgavetekst
a) Løs differensiallikningen
$$
y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \quad y(0) = \frac{5}{2}
$$
b) Bestem likningen til tangenten i punktet $\left(0,\, \dfrac{5}{2}\right)$ på grafen til $y$.
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ligningen for et plan gjennom tre punkter og finne koordinater til et punkt slik at et tetraeder får gitt volum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plan-gjennom-tre-punkter-og-tetraedervolum/
### Oppgavetekst
Punktene $A(0, 6, 6)$, $B(0, 0, 7)$ og $C(6, 0, 5)$ ligger i planet $\alpha$.
a) Bestem likningen til $\alpha$.
Et punkt $P$ ligger på linjen gjennom punktene $O(0, 0, 0)$ og $A(0, 6, 6)$.
b) Bestem mulige koordinater til $P$ slik at volumet av tetraederet $ABCP$ blir 42.
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Stykkevis funksjon og akkumulert integral
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme verdier og nullpunkt for en akkumulert integralfunksjon definert av en stykkevis lineær funksjon avlest fra graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-og-akkumulert-integral/
### Oppgavetekst
![Stykkevis lineær funksjon f(x) på intervallet [0,9]](/assets/_resources/r2-h14-1-5.avif)
Figuren viser grafen til en funksjon $f(x)$, der $x \in [0, 9]$.
La $g(t) = \displaystyle\int_0^t f(x)\,dx$, der $t \in [0, 9]$
a) Bestem $g(2)$. Forklar at den største verdien til $g(t)$ er 10.
b) Bestem nullpunktet til $g$. Avgjør hvilke verdier av $t$ som gjør $g(t)$ negativ.
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Sinusfunksjon bestem parametre fra graf
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametre A, c, d og φ for sinus- og cosinusfunksjon ved å lese av markerte punkter på graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-bestem-parametre-fra-graf/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f(x) = A\sin(cx + \varphi_1) + d$.
a) Bestem $A$, $c$, $d$ og $\varphi_1$ ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen. Skriv opp funksjonsuttrykket til $f(x)$.
b) Grafen ovenfor kan også være grafen til $g(x) = A\cos(cx + \varphi_2) + d$. Skriv opp funksjonsuttrykket til $g(x)$.
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Induksjonsbevis for produkt med faktor 1 minus 1 over k
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise ved induksjon at produktet av faktorer på formen (1 - 1/k) fra k=2 til k=n+1 er lik 1/(n+1).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-produkt-med-faktor-1-minus-1-over-k/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n): \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} \qquad,\quad n \in \mathbb{N}
$$
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Vise summeformelen for uendelig geometrisk rekke og anvende den på arealer av kvadrater og trekanter i en rettvinklet likebeint trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-og-trekant-med-kvadrater/
### Oppgavetekst
Vi har en uendelig geometrisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ som er konvergent.
a) Vis at summen $S$ av rekken kan skrives
$$
S = \frac{a_1^2}{a_1 - a_2}
$$
Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint $\triangle ABC$ der katetene har lengde 12. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige.
b) Forklar at summen $S$ av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme $S$.
c) $\triangle ABC$ inneholder også uendelig mange rettvinklede og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen.
d) Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement.
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Andre ordens differensiallikning med trigonometrisk løsning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Funksjonsdrøfting, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Løse en andre ordens lineær differensiallikning via karakteristisk likning, bestemme integrasjonskonstanter og drøfte nullpunkter og ekstremalpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andre-ordens-differensiallikning-med-trigonometrisk-losning/
### Oppgavetekst
En differensiallikning er gitt ved
$$
4y'' + 4y' + 5y = 0
$$
a) Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for $y$.
b) Finn integrasjonskonstantene når du får vite at $y(0) = 3$ og $y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0$.
c) Tegn grafen til $y = f(x)$ for $x \in \left[0,\, 3\pi\right\rangle$.
d) Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ når $x \in \left[0,\, 3\pi\right\rangle$.
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Pyramide ABCDT koordinater plan og volum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koordinater til hjørnepunkter i pyramide ved vektor- og vinkelberegning, vise planlikning og finne volumforhold mellom to delpyramider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-abcdt-koordinater-plan-og-volum/
### Oppgavetekst
En pyramide $ABCDT$ er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til $A$, $B$ og $T$ er gitt ved $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$ og $T(0,0,4)$. Punktene $C$ og $D$ ligger i $xy$-planet.
a) Vi setter $\angle BAD = 135°$ og $AD = 4\sqrt{2}$. Vis at $D$ har koordinatene $(-4, 4, 0)$.
b) Punktet $C$ er slik at $\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Vis at $C$ har koordinatene $(2, 4, 0)$.
Punktene $B$, $D$ og $T$ ligger i et plan $\alpha$.
c) Vis at likningen for $\alpha$ er $x + 2y + z - 4 = 0$
Volumet av pyramiden $ABDT$ kalles $V_1$ og volumet av pyramiden $CBDT$ kalles $V_2$.
d) Bestem forholdet $\dfrac{V_1}{V_2}$.
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Optimal skuddvinkel fotballspiller langs linje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at skuddvinkelfunksjonen kan skrives som en brøk med x, og bruke derivasjon til å finne optimal skuddposisjon og tilhørende maksimal vinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimal-skuddvinkel-fotballspiller-langs-linje/
### Oppgavetekst
Et fotballmål har lengde $CD = 7{,}3 \mathrm{~m}$. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket $AB$, slik figuren nedenfor viser. Punktet $B$ ligger $8{,}0 \mathrm{~m}$ fra punktet $C$. Han vil skyte på mål når $\angle\alpha = \angle DAC$ er størst mulig. $\angle\alpha$ avhenger av lengden $x = AB$.
Vi setter $\angle DAB = u$ og $\angle CAB = v$ og lar $f(x) = \tan(\alpha) = \tan(u-v)$
a) Bruk formelen $\tan(u-v) = \dfrac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}$ til å vise at
$$
f(x) = \frac{7{,}3x}{x^2 + 122{,}4}
$$
b) Bestem den største verdien for $f(x)$ og tilhørende verdi for $x$.
Vi vet at $\alpha$ har sin største verdi når $\tan\alpha$ har sin største verdi.
c) Bestem $\alpha_{\text{maks}}$.
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Kule, Plan
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likning for kuleflate med gitt sentrum og tangentplan, finne tangeringspunktet og beregne radien til skjæringssirkelen med et annet plan.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuleflate-tangentplan-og-skjaeringssirkel/
### Oppgavetekst
Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen
$$
2x + y - 2z + 3 = 0
$$
a) Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet $S(11, 2, -6)$ og som har $\alpha$ som tangentplan.
b) Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet $\alpha$.
Et plan $\beta$ er gitt ved
$$
2x + y - 2z = 0
$$
Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel.
c) Bestem radien i denne sirkelen.
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med trig og eksponential
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner: $\cos x$, $\sin(\pi x)$ og produkt $3e^{2x}\cdot\sin(3x)$ med kjerneregel og produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-trig-og-eksponential/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 3\cos x
$$
b)
$$
g(x) = 6\sin(\pi x) + 7
$$
c)
$$
h(x) = 3e^{2x} \cdot \sin(3x)
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Integral med variabelskifte og delbrøkoppspalting
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Substitusjon, Delvis integrasjon, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\int \frac{2x}{x^2 - 4}\,dx$ på to ulike måter: variabelskifte og delbrøkoppspalting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-med-variabelskifte-og-delbrokoppspalting/
### Oppgavetekst
Bestem integralet $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 - 4}\,dx$ ved å bruke
a) variabelskifte
b) delbrøkoppspalting
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Kryss- og prikkprodukt for trekant ABC
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne arealet av $\triangle ABC$ med punktene $A(1,-1,0)$, $B(3,1,1)$, $C(0,0,0)$ via kryssproduktet og via prikkproduktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kryss-og-prikkprodukt-for-trekant-abc/
### Oppgavetekst
Punktene $A(1, -1, 0)$, $B(3, 1, 1)$ og $C(0, 0, 0)$ er gitt.
a) Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Bruk resultatet til å bestemme arealet av $\triangle ABC$.
b) Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Bruk blant annet dette resultatet til å bestemme arealet av $\triangle ABC$.
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Separabel differensiallikning y' lik 6xy
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse den separable differensiallikningen $y' = 6xy$ med startbetingelsen $y(0) = 2$ ved separasjon av variable.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/separabel-differensiallikning-y-lik-6xy/
### Oppgavetekst
Løs differensiallikningen
$$
y' = 6xy \qquad \text{når } y(0) = 2
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Aritmetisk rekke med odde tall
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ledd og sum i rekken $1 + 3 + 5 + 7 + \ldots$, forklare at den er aritmetisk og finne minste $n$ slik at $S_n > 400$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-rekke-med-odde-tall/
### Oppgavetekst
En rekke er gitt ved
$$
S_n = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + a_n
$$
a) Bestem $a_{16}$ og $S_{16}$.
b) Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for $a_n$ og $S_n$.
c) Bestem hvor mange ledd rekken minst må ha for at $S_n > 400$.
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Skisse av graf fra informasjon om f og f'
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lage en skisse av en kontinuerlig funksjon $f$ ut fra opplysninger om fortegn til $f'$ og $f''$, ekstrema og vendepunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skisse-av-graf-fra-informasjon-om-f-og-f/
### Oppgavetekst
Følgende informasjon er gitt om en kontinuerlig funksjon $f$:
- $f(x) > 0$ for alle $x \in \mathbb{R}$
- $f'(x) < 0$ for $x \in \langle\leftarrow, -2\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$
- $f'(x) = 0$ for $x = -2$ og for $x = 2$
- $f''(x) = 0$ for $x = 1$ og for $x = 3$
Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Induksjonsbevis for sum av geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Geometrisk rekke, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise med induksjon at $a + ak + ak^2 + \ldots + ak^{n-1} = a \cdot \frac{k^n - 1}{k-1}$ for $n \in \mathbb{N}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n) \colon \quad a + ak + ak^2 + ak^3 + \ldots + ak^{n-1} = a \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \,, \qquad n \in \mathbb{N}
$$
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Differensiallikning for medisinmengde i kropp
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Modellere medisinmengde i kropp med differensiallikningen $y' = 8 - 0{,}05y$, verifisere løsningsformelen og bestemme grenseverdien.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-medisinmengde-i-kropp/
### Oppgavetekst
En pasient får 8 mL av en medisin hver time. Den totale mengden medisin i kroppen $t$ timer etter at medisineringen startet, er $y(t)$ mL. I løpet av en time skiller kroppen ut 5 % av den totale medisinmengden.
a) Forklar at
$$
y' = 8 - 0{,}05 \cdot y
$$
b) Vis at $y(t) = 160 - 160e^{-0{,}05t}$ når $y(0) = 0$.
c) Bestem $\lim_{t \to \infty} y(t)$. Kommenter svaret.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Dempet sinusfunksjon topp-bunnpunkter og areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Trigonometri, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x) = 12e^{-0{,}5x} \cdot \sin(0{,}5x)$ på $[0, 4\pi]$: tegne graf, bestemme ekstremalpunkter og beregne arealet begrenset av grafen og $x$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dempet-sinusfunksjon-topp-bunnpunkter-og-areal/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 12e^{-0{,}5x} \cdot \sin(0{,}5x) \,, \qquad x \in \left[0,\, 4\pi\right]
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem arealet som er begrenset av grafen til $f$ og $x$-aksen.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Pyramide OABCD i romkoordinatsystem
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan
- **Kort beskrivelse:** Beregne areal av sideflate, bestemme planlikning, avstand fra punkt til plan og vinkel mellom to plan i pyramide OABCD med hjørner i koordinatsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-oabcd-i-romkoordinatsystem/
### Oppgavetekst
Skissen nedenfor viser en pyramide $OABCD$ som er plassert i et romkoordinatsystem.
Hjørnene i pyramiden er $O(0, 0, 0)$, $A(3, 0, 0)$, $B(3, 3, 0)$, $C(0, 3, 0)$ og $D(0, 0, 4)$.
a) Bestem ved regning arealet av sideflaten $ABD$ i pyramiden.
b) Sideflaten $ABD$ ligger i et plan $\alpha$.
Vis ved regning at plan $\alpha$ har likningen
$$
4x + 3z - 12 = 0
$$
c) Bestem avstanden fra punktet $O$ til plan $\alpha$.
d) Bestem ved regning vinkelen mellom de to planene som sideflatene $ABD$ og $BCD$ ligger i.
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koordinater til $C$, linjelikning gjennom $O$ og $C$, og beregne volum av kjegle og kulesegment ved omdreiing av flatestykker $F_1$ og $F_2$ rundt $x$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkelsektor-kjegle-og-kulesegment-ved-omdreiing/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser en sirkelsektor $OBC$ der $C$ ligger i første kvadrant. Buen $\widehat{BC}$ er en del av sirkelen med likning $x^2 + y^2 = 9$. Punktet $A$ har koordinatene $(2, 0)$ og $\angle OAC = 90°$.
a) Vis at koordinatene til $C$ er $(2, \sqrt{5})$.
Bestem likningen for den rette linjen gjennom $O$ og $C$.
b) Når flatestykket $F_1$ ($\triangle OAC$) dreies $360°$ om $x$-aksen, får vi en kjegle.
Bestem volumet av denne kjeglen ved hjelp av integralregning.
c) Når flatestykket $F_2$ dreies $360°$ om $x$-aksen, får vi et kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralregning.
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Trigonometri, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke omkrets og areal av rektangel innskrevet i sirkel som funksjon av vinkel $v$, og vise ved derivasjon at kvadratet gir størst omkrets og størst areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-i-sirkel-optimering-av-omkrets-og-areal/
### Oppgavetekst
På figuren er et rektangel med sider $x$ og $y$ innskrevet i en sirkel. Sirkelen har diameteren $D$. $\angle v$ er vinkelen mellom $x$ og $D$.
a) Forklar at omkretsen $O$ til rektangelet kan skrives som
$$
O(v) = 2D\cos v + 2D\sin v
$$
Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet $A(v)$ av rektangelet.
b) Bruk $O'(v)$ og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$.
c) Bruk $A'(v)$ og vis at det rektangelet som har størst areal, også er et kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$.
---
## V2013 del 2 oppgave 6 — Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme summen av uendelig geometrisk rekke for fjernet areal i Sierpiński-trekanten, og argumentere for at omkretsen av svarte trekanter vokser mot uendelig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sierpinski-trekanten-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
*Sierpiński-trekanten*, som har sitt navn etter den polske matematikeren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lages slik:
1. Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal $A$. Se figur 1.
2. Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørnene i en ny hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2.
3. Vi gjentar denne prosessen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3–5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, kalles *Sierpiński-trekanten*.
Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken
$$
A \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256} + \ldots\right)
$$
a) Bestem summen av rekken ovenfor.
Hva forteller svaret ditt om arealet av *Sierpiński-trekanten*?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik $a$.
Forklar at omkretsen av de svarte trekantene i figurene 2–5 ovenfor er henholdsvis
$$
3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a \quad \text{og} \quad 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a
$$
c) Vi gjør prosessen som forklart i trinn 2 ovenfor $n$ ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene da er lik $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a$.
Forklar at $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a \to \infty$ når $n \to \infty$.
Hva forteller dette om omkretsen til *Sierpiński-trekanten*?
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av trigonometriske funksjoner
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere produktfunksjon og kvotientfunksjon med trigonometriske uttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-trigonometriske-funksjoner/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = 5x\cos x
$$
b)
$$
g(x) = \dfrac{\sin(2x)}{x}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Bestem integraler med eksponentialfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne bestemt integral med $e^{2x}$ og ubestemt integral med delvis integrasjon ($2x \cdot e^x$).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-integraler-med-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int_0^1 2e^{2x}\,dx
$$
b)
$$
\int 2x \cdot e^x\,dx
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Vektorer og volum av tetraeder
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Beregne prikkprodukt og kryssprodukt, finne volum av tetraeder, og bevise planet gjennom tre punkter på aksene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-volum-av-tetraeder/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$, $C(0,0,4)$ og $O(0,0,0)$.
a) Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.
b) Bestem volumet av tetraeder $ABCO$.
c) Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$.
Vis at likningen til planet $\alpha$ kan skrives
$$
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Geometrisk rekke og konvergensområde
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Forklare konvergens og bestemme sum av uendelig geometrisk rekke, deretter finne konvergensområdet for rekke med variabel kvotient.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-og-konvergensomrade/
### Oppgavetekst
a) En rekke er gitt ved
$$
1 + e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} + \ldots
$$
Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av den uendelige rekken.
b) En geometrisk rekke er gitt ved
$$
1 + e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + \ldots
$$
Bestem konvergensområdet og summen av rekken.
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Populasjonsvekst med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme antall individer i en populasjon ved å integrere et gitt uttrykk for $N'(t)$ og bruke initialbetingelsen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/populasjonsvekst-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Antall individer i en populasjon etter $t$ timer kan beskrives av funksjonen $N(t)$.
Vi antar at
$$
N'(t) = 4t + 3 \quad \text{og} \quad N(0) = 800
$$
Bestem antall individer i populasjonen etter 10 h.
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Vendepunkter og vendetangenter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Finne koordinater til vendepunkter og likning for vendetangenter til en fjerdegradspolynomfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendepunkter-og-vendetangenter/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{2}x \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
b) Bestem likningen for eventuelle vendetangenter på grafen til $f$.
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Induksjonsbevis for sum av brøker
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bevise ved induksjon at summen $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$ for alle $n \in \mathbb{N}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-broker/
### Oppgavetekst
Bruk induksjon til å bevise påstanden
$$
P(n): \quad \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1} \,, \qquad n \in \mathbb{N}
$$
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Trapes innskrevet i halvsirkel med optimering
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Trigonometri, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare arealformel for trapes innskrevet i halvsirkel og optimere arealet ved å derivere med hensyn på vinkelen $v$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trapes-innskrevet-i-halvsirkel-med-optimering/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser et trapes $ABCD$ som er innskrevet i en halvsirkel med radius 1.
a) Forklar at arealet $F$ av trapeset er gitt ved
$$
F(v) = (1 + \cos v)\sin v
$$
Hvilke verdier kan $v$ ha?
b) Bestem $\angle v$ ved regning slik at arealet av trapeset blir størst mulig.
Bestem arealet av det største trapeset.
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Trigonometrisk funksjon med nullpunkter og periode
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Bevis, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere $f(x) = \sin(\pi x) + \sin(2\pi x)$, vise algebraisk identitet og bestemme nullpunkter ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-funksjon-med-nullpunkter-og-periode/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \sin(\pi x) + \sin(2\pi x) \,, \quad x \in \left[0,\, 6\right]
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bruk grafen til å vise at $f$ er en periodisk funksjon, og bestem perioden til $f$.
c) Vis at
$$
f(x) = \sin(\pi x)(1 + 2\cos(\pi x))
$$
d) Bruk uttrykket i oppgave c) til å bestemme nullpunktene til $f$ ved regning når $x \in [0,\, 2]$.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Fondsvekst med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Løse differensiallikning for kapitalvekst i fond med fast innskudd og rente, og bruke løsningen til å besvare spørsmål om tid og vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fondsvekst-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
Vi lar $K$ være kapitalen i et fond $t$ år etter første innskudd. Hvert år setter vi inn 20 000 kroner i fondet. Avkastningen i fondet er 8 % per år.
Kapitalen i fondet vokser slik differensiallikningen nedenfor viser
$$
K'(t) = 0{,}08 \cdot K(t) + 20000
$$
a) Løs differensiallikningen. Finn et uttrykk for $K(t)$ når $K(0) = 20\,000$.
b) Bestem størrelsen på kapitalen etter 20 år.
c) Hvor lang tid vil det gå før fondet øker med 35 000 kroner per år ifølge modellen ovenfor?
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Rekke for ln2 og tilnærming
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Integrasjon, Konvergens, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forklare og bevise rekkeutvikling for $-\ln(1-x)$ ved integrasjon av geometrisk rekke, og bruke rekken til å tilnærme $\ln 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekke-for-ln2-og-tilnaerming/
### Oppgavetekst
En uendelig, geometrisk rekke er gitt ved
$$
S(x) = 1 + x + x^2 + \ldots
$$
Når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$, er $S(x) = \dfrac{1}{1-x}$
Det kan vises at $\displaystyle\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \ldots = \int \frac{1}{1-x}\,dx$
a) Forklar at
$$
x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \ldots = -\ln(1-x) + C
$$
Begrunn at $C = 0$.
b) Sett inn $x = \dfrac{1}{2}$ og vis at
$$
\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \ldots = \ln 2
$$
Det generelle leddet i rekken ovenfor er $a_n = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{2^n}$.
Det kan vises at de åtte første desimalene i $\ln 2$ er $0{,}69314718$.
c) Dersom vi summerer de $n$ første leddene $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ i rekken i oppgave b), får vi en tilnærmingsverdi for $\ln 2$.
Hvor mange ledd må vi minst ta med for at vi skal få 6 korrekte desimaler?
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Integraler og omdreiningslegeme med cosinus
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Bestemme nullpunkter og areal for $f(x) = \cos x$ og $g(x) = 1 - k^2 x^2$, vise trigonometrisk identitet, og beregne volum av omdreiningslegeme eksakt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integraler-og-omdreiningslegeme-med-cosinus/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = \cos x
$$
$$
g(x) = 1 - k^2 \cdot x^2\,, \quad k > 0
$$
Skisser av grafene til $f$ og $g$ er tegnet ovenfor.
a) Bestem nullpunktene til $g$ uttrykt ved $k$.
b) Bestem $k$ slik at arealene $A_1$ og $A_2$ på figurene ovenfor er like store.
c) Bruk formelen $\cos(u+v) = \cos u\cos v - \sin u\sin v$ til å vise at
$$
\cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \tag{*}
$$
Når vi dreier flatestykket med arealet $A_1$ 360° om $x$-aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V_1$.
d) Bruk formelen $(*)$ i oppgave c) til å bestemme et eksakt uttrykk for $V_1$ ved regning.
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Linje og plan i rommet med normalvektor
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Bevis, Plan
- **Kort beskrivelse:** Vise likning for linje og plan som skjærer koordinataksene, finne normalvektor, og bruke disse resultatene på et konkret plan parallelt med z-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linje-og-plan-i-rommet-med-normalvektor/
### Oppgavetekst
En rett linje i planet skjærer koordinataksene i $A(a,\, 0)$ og $B(0,\, b)$. Se skissen nedenfor.
a) Vis at likningen til linjen kan skrives
$$
y = -\frac{b}{a}x + b
$$
b) Vis at dette også kan skrives
$$
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
$$
Et plan $\alpha$ i rommet skjærer koordinataksene i $A(a,\, 0,\, 0)$, $B(0,\, b,\, 0)$ og $C(0,\, 0,\, c)$.
c) Vis at normalvektoren til planet $\alpha$ er
$$
\vec{n} = \left[bc,\; ac,\; ab\right]
$$
d) Vis at likningen til $\alpha$ kan skrives
$$
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1
$$
e) Planet $\beta$ skjærer $x$-aksen i $D(5,\, 0,\, 0)$ og $y$-aksen i $E(0,\, 4,\, 0)$. Planet er parallelt med $z$-aksen.
Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d) til å bestemme likningen for planet $\beta$.
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Derivasjon integrasjon differensiallikning og geometrisk rekke
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 13
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Delvis integrasjon, Differensiallikning, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Deriver tre funksjoner, bestem \int x e^{2x}\,dx, vis et bestemt integral, løs en differensiallikning og drøft en geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-integrasjon-differensiallikning-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = 3\sin(2x)
$$
2\)
$$
g(x) = x^2 \cdot \sin x
$$
3\)
$$
k(x) = 5\cos\left(\dfrac{\pi}{12} \cdot x - 2\right) + 7
$$
b) Bestem integralet
$$
\int x \cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x
$$
c) Vis at
$$
\int_{3}^{7} \frac{2x}{x^2 - 4}\,\mathrm{d}x = 2\ln 3
$$
d) Løs differensiallikningen
$$
y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \quad y(0) = 8
$$
Gitt rekken
$$
1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \qquad , \quad x > 0
$$
e)
1\) Forklar at rekken er geometrisk, og at den konvergerer.
2\) Vis at summen er gitt ved
$$
S(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}
$$
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Skalarprodukt og kryssprodukt med to vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Beregn skalarprodukt, kryssprodukt og skalarproduktet av en differanse med en av vektorene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skalarprodukt-og-kryssprodukt-med-to-vektorer/
### Oppgavetekst
Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [3,\ {-1},\ 2]$ og $\vec{b} = [6,\ 4,\ 2]$
Regn ut
a)
$$
\vec{a} \cdot \vec{b}
$$
b)
$$
\vec{a} \times \vec{b}
$$
c)
$$
(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}
$$
---
## V2012 del 1 oppgave 3 — Funksjonsdrøfting av xeˣ og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bestem ekstremalpunkt og vendepunkt for f(x)=xe^x, og bevis ved induksjon at den n-te deriverte er f^(n)(x)=(x+n)e^x.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-xex-og-induksjon/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = x \cdot e^x
$$
a) Bestem $f'(x)$ og $f''(x)$
b) Bestem koordinatene til bunnpunkt og vendepunkt på grafen til $f$.
Det blir påstått at den $n$-te deriverte er gitt ved
$$
f^{(n)}(x) = (x + n) \cdot e^x
$$
c) Bevis formelen for den $n$-te deriverte ved induksjon.
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Automatisk strømbryter og trigonometrisk modell
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Bruk trigonometrisk modell for tidspunkt det begynner å mørkne til å beregne tidspunkt, tegne graf og bestemme periode og amplitude.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/automatisk-strombryter-og-trigonometrisk-modell/
### Oppgavetekst
En automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på når det begynner å mørkne. En modell for dette tidspunktet er gitt ved
$$
f(t) = 19 - 4\cos\left(\frac{\pi}{180} \cdot t\right)
$$
der $f(t)$ er tidspunktet målt i timer etter midnatt og $t$ er antall dager regnet fra nyttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 30 dager.
a) Når begynner det å mørkne 25. mars, ifølge modellen?
b) Tegn grafen til $f$. Bestem likevektslinjen, amplituden og perioden til $f$.
Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på?
c) Bestem når på året lyset slås på klokken 18.00.
d) Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen.
---
## V2012 del 2 oppgave 5 — Optimal synsvinkel til bilde på vegg
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Optimering, Derivasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruk subtraksjonsformel for tangens til å utlede et uttrykk for synsvinkelen og finn optimal avstand fra veggen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimal-synsvinkel-til-bilde-pa-vegg/
### Oppgavetekst
Et bilde har høyde $CD = 3{,}0\ \mathrm{m}$. Bildet henger på en vegg slik at undersiden av bildet er $1{,}0\ \mathrm{m}$ over øyenivå hos personen i $A$ (se skissen). Avstanden fra veggen til personen er $AB = x$.
På skissen er $\angle DAC = \alpha$, $\angle DAB = u$ og $\angle CAB = v$. Vi setter $f(x) = \tan(\alpha) = \tan(u - v)$
a) Bruk formlene for $\sin(u - v)$ og $\cos(u - v)$ til å vise at
$$
\tan(u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}
$$
b) Bruk a) til å vise at
$$
f(x) = \frac{3x}{x^2 + 4}
$$
Vi ønsker å bestemme avstanden $x$ slik at synsvinkelen $\alpha$ blir størst mulig.
c) Bestem største verdi for $f(x)$ og tilhørende verdi for $x$.
d) Bestem den største synsvinkelen $\alpha$.
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Fritidsbåt bremset av vann og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Integrasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestem konstanter i en separabel differensiallikning for farten til en båt som bremses, og integrer for å finne tilbakelagt strekning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fritidsbat-bremset-av-vann-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
En rask fritidsbåt kjører med farten $25\ \mathrm{m/s}$ da motoren plutselig stanser. Båten bremses ned i vannet, og $x$ sekunder etter motorstansen er farten $y\ \mathrm{m/s}$, og akselerasjonen er $y'\ \mathrm{m/s}^2$.
I denne situasjonen gjelder differensiallikningen
$$
y' = k \cdot y^2 \qquad , \quad k < 0
$$
a) Med det samme motoren stanser, er akselerasjonen $-12\ \mathrm{m/s}^2$. Bestem konstanten $k$.
Vis at den generelle løsningen av differensiallikningen er
$$
y = \frac{1}{0{,}02x + C}
$$
der $C$ er en konstant.
b) Bestem konstanten $C$ og farten til båten $3\ \mathrm{s}$ etter motorstansen.
Strekningen båten forflytter seg, er $s(x)$ meter etter motorstansen. Da gjelder:
$$
s' = y
$$
c) Bestem hvor langt båten forflytter seg i løpet av de tre første sekundene etter motorstansen.
---
## V2012 del 2 oppgave 7 — Trappeformet søylefigur og riemannsummer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Rekker, Grenseverdi, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestem areal av en trappeformet søylefigur, vis at summen S_n=(n+1)/(2n), og argumenter geometrisk for at grenseverdien er 1/2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trappeformet-soylefigur-og-riemannsummer/
### Oppgavetekst
En figur består av $n$ søyler med kvadratiske ruter med side $\dfrac{1}{n}$. Den første søylen inneholder én rute, den andre to ruter, og så videre. Søyle nummer $n$ inneholder $n$ ruter.
Figuren nedenfor er tegnet for $n = 5$
a) Bestem arealet av figuren ovenfor.
b) Forklar at det samlede arealet av $n$ søyler er
$$
S_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + n \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2
$$
Vis at summen av rekken kan skrives $S_n = \dfrac{n+1}{2n}$
c) Bruk rekken til å bestemme $S_5$. Kommenter svaret.
d) Vis at $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$
Bruk også et geometrisk resonnement til å begrunne at svaret er riktig.
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Parallelle plan tangent til kule og parameterframstilling
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Plan, Kule, Vektorer, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Bestem to parallelle plan, regn ut avstand mellom dem, finn parameterframstilling for linje gjennom tangentpunkter og bestem kulens ligning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallelle-plan-tangent-til-kule-og-parameterframstilling/
### Oppgavetekst
I et koordinatsystem er det gitt et punkt $P(5,\ {-1},\ 4)$ og et plan
$$
\alpha:\ 2x - 2y + z + 2 = 0
$$
Punktene $A(0,\ 0,\ 4)$, $B(2,\ 0,\ 0)$ og $C(1,\ 1,\ 4)$ ligger i et annet plan $\beta$.
a) Bestem likningen til $\beta$, og forklar at $\alpha \parallel \beta$
b) Regn ut avstanden mellom planene $\alpha$ og $\beta$.
Planene $\alpha$ og $\beta$ er begge tangentplan til en kule. Sentrum $S$ i kula og de to tangeringspunktene $D$ og $E$ ligger på en rett linje $l$ gjennom punktet $P$. Se figurene nedenfor.
c) Sett opp en parameterframstilling for $l$.
d) Bestem koordinatene til $D$ og $E$.
e) Bestem likningen til kula.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Deriver eksponentialfunksjon og sinuspotens
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $e^x \cos x$ med produktregelen og $5(1+\sin x)^3$ med kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-eksponentialfunksjon-og-sinuspotens/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene
a)
$$
f(x) = e^x \cdot \cos x
$$
b)
$$
g(x) = 5(1 + \sin x)^3
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Integral av sinuspotens og x ln x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Substitusjon, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Integrere $\cos x (1+\sin x)^3$ ved substitusjon og bestemt integral av $x \ln x$ ved delvis integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/integral-av-sinuspotens-og-x-ln-x/
### Oppgavetekst
Bestem integralene
a)
$$
\int \cos x \cdot (1 + \sin x)^3 \, dx
$$
b)
$$
\int_1^e x \cdot \ln x \, dx
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Undersøke om en trekant er rettvinklet med skalarprodukt og finne fjerde punkt i et parallellogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-og-parallellogram-i-rommet/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(1, 1, 1)$, $B(2, 1, 5)$ og $C(3, 7, 3)$.
a) Undersøk om $\triangle ABC$ er rettvinklet.
b) Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $ABCD$ blir et parallellogram.
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Andreordens differensiallikning med eksponentialløsning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Verifisere generell løsning av $y'' - y = 0$ ved derivasjon og bestemme konstantene fra initialbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andreordens-differensiallikning-med-eksponentiallosning/
### Oppgavetekst
Vi har gitt differensiallikningen
$$
y'' - y = 0 \quad \text{der } y \text{ er en funksjon av } x.
$$
a) Vis at $y = C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x}$ er løsning av differensiallikningen, når $C_1$ og $C_2$ er konstanter.
b) Bestem $C_1$ og $C_2$ når $y(0) = 5$ og $y'(0) = -1$.
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Konvergens av geometrisk rekke med kvotient en tredel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Begrunne konvergens og finne summen av den uendelige geometriske rekken med kvotient $\frac{1}{3}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konvergens-av-geometrisk-rekke-med-kvotient-en-tredel/
### Oppgavetekst
Vi har gitt den uendelige rekken
$$
1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots
$$
Forklar at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Bestemme konstanter i periodisk sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne $a$, $c$, $\varphi$ og $d$ i $a\sin(cx+\varphi)+d$ ut fra gjennomgangspunkt, bunn- og toppunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-konstanter-i-periodisk-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
En periodisk funksjon $f$ er gitt på formen
$$
f(x) = a \sin(cx + \varphi) + d
$$
Grafen til $f$ går gjennom punktet $A(0, 5)$, den har bunnpunkt i $B(3, 2)$ og toppunkt i $T(5, 8)$. Det er ingen andre ekstremalpunkter i intervallet $\langle 3, 5 \rangle$.
Bestem verdier for konstantene $a$, $c$, $\varphi$ og $d$.
---
## H2012 del 1 oppgave 7 — Ekstremalpunkter for x kvadrat ganger e i minus x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne topp- og bunnpunkter for $x^2 e^{-x}$ med produkt- og kjerneregelen og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ekstremalpunkter-for-x-kvadrat-ganger-e-i-minus-x/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = x^2 \cdot e^{-x}
$$
a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Tegn en skisse av grafen til $f$.
---
## H2012 del 1 oppgave 8 — Induksjonsbevis for sum av n ganger n pluss tre
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Bevise summeformelen $\sum k(k+3) = \frac{n(n+1)(n+5)}{3}$ ved matematisk induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-n-ganger-n-pluss-tre/
### Oppgavetekst
Bevis påstanden ved induksjon
$$
P(n): \; 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \cdots + n \cdot (n+3) = \frac{n(n+1)(n+5)}{3} \,, \quad n \in \mathbb{N}
$$
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Areal under 8e opphøyd minus x ganger sin 2x
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Areal under graf, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $8e^{-x}\sin 2x$, integrere med oppgitt formel og finne samlet areal mellom graf og x-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-under-8e-opphoyd-minus-x-ganger-sin-2x/
### Oppgavetekst
En funksjon er gitt ved
$$
f(x) = 8e^{-x} \cdot \sin 2x
$$
a) Tegn grafen til $f$, og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når $x \in \langle 0, \pi \rangle$.
I en formelsamling for matematikk finner vi formelen
$$
\int e^{ax} \cdot \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}\,(a\sin bx - b\cos bx) + C
$$
b) Bruk formelen til å bestemme $\displaystyle\int f(x) \, dx$. Kontroller svaret ved derivasjon.
c) Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av $x$-aksen og grafen til $f$ når $x \in [0, \pi]$.
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Differensiallikning for sprinterfart og distanse
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en lineær differensiallikning for fart, integrere til distanse og finne tid på 100 m.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-for-sprinterfart-og-distanse/
### Oppgavetekst
Farten $v$ til en sprinter måles i meter per sekund og er en funksjon av tiden $t$. Tiden $t$ er målt i sekunder etter start. Farten $v$ er en løsning av differensiallikningen
$$
v' = 12{,}0 - 1{,}15 \cdot v
$$
a) Løs differensiallikningen og bestem $v(t)$ når du får vite at $v(0) = 0$.
b) Strekningen $s$ måles i meter og er definert ved
$$
s' = v \quad \text{og} \quad s(0) = 0
$$
Bestem en formel for $s(t)$.
c) Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 100 m, ifølge modellen ovenfor?
---
## H2012 del 2 oppgave 3 — Vektorprodukt og areal av trekant ABC
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Tolke skalar- og vektorprodukt geometrisk, utlede en arealformel og bruke den på en trekant i rommet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorprodukt-og-areal-av-trekant-abc/
### Oppgavetekst
Gitt vektorene $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$. Ingen av vektorene er $\vec{0}$.
a) Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre
1\) når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
2\) når $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
3\) når $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$
b) Bruk definisjonen av $\vec{a} \cdot \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ til å vise
$$
(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2
$$
Skisse 1 viser en trekant utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$.
c) Forklar at arealet $F$ av trekanten er
$$
F = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}
$$
Kommenter hvert av de to tilfellene $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ og $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$.
d) Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av $\triangle ABC$ i skisse 2.
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Aritmetisk og geometrisk rekke med sum
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Rekker, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Finne summeformel for rekken av oddetall og løse for antall ledd, og summere en uendelig geometrisk rekke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aritmetisk-og-geometrisk-rekke-med-sum/
### Oppgavetekst
Vi har gitt rekken
$$
1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)
$$
a) Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene, og bestem hvor mange ledd vi må ta med for at $S_n$ skal bli $1\,600$.
En uendelig rekke er gitt ved
$$
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots
$$
b) Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av rekken.
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Volum av ellipsoide ved integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Omforme ellipselikningen og utlede volumformelen for en ellipsoide som omdreiningslegeme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volum-av-ellipsoide-ved-integrasjon/
### Oppgavetekst
En såkalt *ellipse* med sentrum i origo $O$ er gitt ved likningen
$$
\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1
$$
Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen $360\degree$ om $x$-aksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kaller en *ellipsoide*.
a) Vis at likningen for ellipsen kan omformes til $y^2 = b^2 - \dfrac{b^2 x^2}{a^2}$
b) Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er $\dfrac{4}{3}\pi a b^2$
---
## H2012 del 2 oppgave 6 — Tangent til kvadratrotfunksjon og areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Areal under graf, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utlede tangentlikning til $\sqrt{x-2}$, regne areal under grafen og vise et arealforhold på 2 til 1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-kvadratrotfunksjon-og-areal/
### Oppgavetekst
Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \sqrt{x - 2}
$$
På skissen er det også tegnet inn tangenten til grafen i punktet $P(a, f(a))$.
a) Vis at likningen til tangenten er
$$
y = \frac{1}{2\sqrt{a - 2}}\, x + \frac{a - 4}{2\sqrt{a - 2}}
$$
Bestem koordinatene til punktene $A$, $B$ og $C$ på figuren.
b) Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$-aksen fra $B$ til $C$ er
$$
\frac{2}{3}(a - 2)^{\frac{3}{2}}
$$
Bestem også arealet av $\triangle ACP$.
c) Grafen til $f$ deler $\triangle ACP$ i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre.
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, integraler og vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Vektorer, Induksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner, bestemme to integraler, geometrisk integral, vektorer og induksjonsbevis.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-integraler-og-vektorer/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\.
$$
f(x) = 2\sin(2x)
$$
2\.
$$
g(x) = x^2 \cdot \cos(2x)
$$
3\.
$$
h(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{x^2 - 4x}
$$
b) Bestem integralene
1\.
$$
\int x \cdot e^x \, \mathrm{d}x
$$
2\.
$$
\int \dfrac{5x + 3}{x^2 - 9} \, \mathrm{d}x
$$
Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik 1.
c) Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, \mathrm{d}x$
Forklar hvordan du har tenkt.
Vi har gitt to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$.
d) Forklar og tegn figurer som viser hvordan vektorene kan ligge i forhold til hverandre når
1\.
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
2\.
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}
$$
Vi har gitt punktene $A(1, 1, -1)$, $B(2, -1, 3)$ og $C(3, 2, 2)$.
e) Vis ved regning at $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ står vinkelrett på både $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
f) Bevis formelen ved induksjon:
$$
1 + 4 + 16 + \cdots + 4^{n-1} = \frac{4^n - 1}{3}
$$
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Differensiallikning med tangent og startbetingelse
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse lineær førsteordens differensiallikning, bestemme konstant fra startbetingelse og finne tangentlikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/differensiallikning-med-tangent-og-startbetingelse/
### Oppgavetekst
a) Finn den generelle løsningen til differensiallikningen
$$
y' - 2y = 5
$$
der $y$ er en funksjon av $x$.
b)
1\. Bestem konstanten i den generelle løsningen når du får vite at $y(0) = 2$.
2\. Bestem $x$ når $y = \dfrac{49}{2}$. (Du kan få bruk for at $\ln 6 \approx 1{,}8$)
c) Grafen til $y$ har en tangent i punktet $(0, 2)$.
Finn likningen for denne tangenten.
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Kontorstempel som omdreiningslegeme
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Funksjonsdrøfting, Volum, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf, finne bredeste diameter og beregne volum av omdreiningslegeme for en eksponentialfunksjon med rotfaktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontorstempel-som-omdreiningslegeme/
### Oppgavetekst
En fabrikk lager skaft til et kontorstempel. Skaftet ser ut som det omdreiningslegemet vi får når vi dreier grafen til $f$ 360° om $x$-aksen, der
$$
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot e^{-\frac{x}{3}}, \qquad x \in \left[0,\, 4\right]
$$
a) Tegn grafen til $f$. Finn diameteren til skaftet der skaftet er bredest.
b) Bestem volumet av skaftet.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Forklare at trapesarealer danner en geometrisk rekke, vise at den konvergerer, og finne summen to ulike måter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-rekke-fra-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Vi skal se på en rettvinklet trekant $ABC$ der $AB = 8$ og $BC = 16$. Punktet $A_1$ halverer $AC$, $A_2$ halverer $A_1 C$ og så videre. Punktet $B_1$ halverer $BC$, $B_2$ halverer $B_1 C$ og så videre. Se skissen nedenfor.
a)
1\. Forklar at summen av arealene til trapesene $ABB_1A_1$, $A_1B_1B_2A_2$ og så videre kan skrives
$$
48 + 12 + 3 + \cdots
$$
2\. Forklar at dette er en geometrisk rekke, og at rekken konvergerer.
b) Finn summen til den uendelige rekken, både ved å bruke formelen for sum av en rekke og ved å bruke et geometrisk resonnement.
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Vindskeive linjer med parameterframstilling
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Romgeometri
- **Kort beskrivelse:** Finne skjæringspunkter, vise at linjer er vindskeive, og beregne korteste avstand mellom to vindskeive linjer i rommet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vindskeive-linjer-med-parameterframstilling/
### Oppgavetekst
En rett linje $l$ er gitt ved parameterframstillingen
$$
l: \begin{cases} x = 5 - 2t & \\ y = 3 + t \\ z = 4 + 2t \end{cases}
$$
a) Linjen $l$ skjærer $xy$-planet i punktet $A$ og $xz$-planet i punktet $B$.
Regn ut avstanden mellom $A$ og $B$.
En annen rett linje $m$ er gitt ved parameterframstillingen
$$
m: \begin{cases} x = s & \\ y = 1 - s \\ z = 1 + s \end{cases}
$$
b) Vis at linjene $l$ og $m$ ikke er parallelle.
To linjer i rommet som verken er parallelle eller skjærer hverandre, er *vindskeive*. For vindskeive linjer gjelder denne setningen:
Når to linjer $l$ og $m$ er vindskeive, fins det et punkt $P$ på $l$ og et punkt $Q$ på $m$ slik at $\overrightarrow{PQ}$ står vinkelrett på både $l$ og $m$. Avstanden mellom $l$ og $m$ er definert som $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$.
c) Vi lar $P$ være et tilfeldig valgt punkt på $l$ og $Q$ et tilfeldig valgt punkt på $m$.
Vis at vi kan skrive $\overrightarrow{PQ} = \left[s + 2t - 5,\; -s - t - 2,\; s - 2t - 3\right]$
d) Finn koordinatene til $P$ og $Q$ når $\overrightarrow{PQ}$ står vinkelrett på både $l$ og $m$.
e) Finn avstanden mellom linjene $l$ og $m$.
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Trigonometrisk modell for lufttemperatur
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lese av amplitude og periode, tegne fortegnslinjen til f' for å finne ekstremalpunkter, og bruke modellen til å bestemme høyeste og laveste temperatur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometrisk-modell-for-lufttemperatur/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -5\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right) - 5\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right), \qquad x \in \left[0,\, 24\right]
$$
a) Tegn grafen til $f$. Les av amplituden og perioden til $f$.
b) Tegn fortegnslinjen til $f'$ og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
Lufttemperaturen $g$ (målt i grader Celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved
$$
g(x) = 22 - 5\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right) - 5\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right)
$$
der $x$ er antall timer etter midnatt.
c) Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter inntreffer disse temperaturene?
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Funksjonsdrøfting og grenseverdi for eksponentialfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Grenseverdi, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Drøfte f(x)=5x²e^{-x}, vise antiderivativ ved derivasjon, og bruke grenseverdi til å bestemme et uegentlig integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-og-grenseverdi-for-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = 5x^2 \cdot e^{-x}, \qquad x > 0
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b)
1\. Vis at $f'(x) = 5\left(2x - x^2\right) \cdot e^{-x}$. Hvilke derivasjonsregler har du brukt?
2\. Tegn fortegnslinjen til $f'$. Bruk denne til å finne ut hvor $f$ vokser, og hvor $f$ avtar. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Vis ved derivasjon at
$$
\int f(x)\, \mathrm{d}x = -5x^2 \cdot e^{-x} - 10x \cdot e^{-x} - 10e^{-x} + C
$$
d) Du får vite at $\displaystyle\lim_{a \to \infty}\left(a^n \cdot e^{-a}\right) = 0$ for $n \in \mathbb{R}$.
Bruk dette til å bestemme
$$
\lim_{a \to \infty} \int_0^a f(x)\, \mathrm{d}x
$$
---
## H2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Rekker, Trigonometri, Differensiallikning, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Derivere funksjoner, bestemme integraler, arbeide med rekker og delsummer, lese sinusgraf, løse differensiallikning og beregne kryssprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-integrasjon-rekker-og-vektorer/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = x \cdot e^x
$$
2\)
$$
g(x) = 2\sin 2x
$$
3\)
$$
h(x) = 2\sin^2 x
$$
b) Bestem integralene
1\)
$$
\int x \cdot \cos x \, dx
$$
2\)
$$
\int \dfrac{4}{x^2 - 4} \, dx
$$
3\)
$$
\int \sin x \cdot \cos^3 x \, dx
$$
c) Vi har gitt rekken
$$
1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n-1)
$$
Skriv opp $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og bestem $S_{100}$
d) Vi har gitt rekken
$$
1 + 7 + 19 + 37 + \cdots
$$
Skriv opp $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og bestem $S_{100}$
Grafen til en trigonometrisk funksjon av typen $f(x) = a \cdot \sin(cx + \varphi) + d$ er gitt nedenfor.
e)
1\) Bruk grafen til å bestemme amplituden, perioden og likevektslinjen til funksjonen.
2\) Bestem et funksjonsuttrykk for $f(x)$.
f) Løs differensiallikningen
$$
y' - 3y = 5 \quad \text{når} \quad y(0) = 2
$$
Vi har gitt punktene $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, 3)$ og $C(7, 3, 5)$
g)
1\) Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
2\) Vis ved regning at $\left(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right) \perp \overrightarrow{AB}$ og $\left(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right) \perp \overrightarrow{AC}$
---
## H2011 del 2 oppgave 2 — Sinusfunksjon parametere og graf
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tegne graf for f(x)=4sin(2x−2)+5, bestemme ekstremalverdier og skrive om til cosinusform med parametere a, c, φ, d.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinusfunksjon-parametere-og-graf/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 4\sin(2x - 2) + 5
$$
a) Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle 0,\, 2\pi \rangle$
b) Bruk funksjonsuttrykket og egenskaper ved sinus til å forklare at maksimalverdien er lik $9$. Bestem på samme måte minimalverdien. Finn de tilhørende $x$-verdiene.
c) Bestem parametrene $a$, $c$, $\varphi$ og $d$ når vi skriver funksjonsuttrykket på formen
$$
f(x) = a \cdot \cos(cx + \varphi) + d
$$
---
## H2011 del 2 oppgave 3 — Uendelig geometrisk rekke med variabel
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Identifisere, finne konvergensområde og uttrykke summen til en uendelig geometrisk rekke med variabel x, og løse S(x)=k grafisk og ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uendelig-geometrisk-rekke-med-variabel/
### Oppgavetekst
Vi har gitt den uendelige rekken
$$
2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \cdots
$$
a) Hva slags rekke er dette? Begrunn svaret ditt.
b) Bestem konvergensområdet til rekken.
c) Vis at summen av rekken er $S(x) = \dfrac{2x}{x-1}$
d) Tegn grafen til $S(x)$
e) Løs likningen $S(x) = -1$ og $S(x) = 3$ både grafisk og ved regning.
---
## H2011 del 2 oppgave 4 — Areal mellom kurver f og g
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Integrasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Tegne og finne skjæringspunkt mellom f(x)=x²+3 og g(x)=−x³+x²+4x+3, beregne arealene mellom kurvene og vise at to områder er like store.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-mellom-kurver-f-og-g/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 3 \quad \text{og} \quad g(x) = -x^3 + x^2 + 4x + 3
$$
a) Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.
b) Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom $f$ og $g$ ved regning.
To områder blir avgrenset av grafene til $f$ og $g$.
c) Bestem arealene til hvert av disse områdene. Kommenter svaret ditt.
Vi har gitt funksjonen
$$
h(x) = -x^3 + x^2 + cx + 3
$$
Når $c > 0$, vil grafene til $f$ og $h$ avgrense to områder.
d) Vis ved regning at arealene til disse to områdene er like store.
---
## H2011 del 2 oppgave 5 — Kule sentrum og tangentplan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kule, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Vise at en kulelikning har gitt sentrum og radius, finne skjæringspunkt mellom linje og kule, og bestemme likningene til tangentplanene i skjæringspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kule-sentrum-og-tangentplan/
### Oppgavetekst
Likningen til en kule er gitt ved
$$
x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 - 6z - 14 = 0
$$
a) Vis at kula har sentrum i $(2, -3, 3)$. Bestem radien til kula.
En rett linje $l$ gjennom sentrum er gitt ved
$$
l: \begin{cases} x = 2 + 2t & \\ y = -3 + 4t \\ z = 3 + 4t \end{cases}
$$
b) Bestem skjæringspunktene for $l$ og kula.
Planene $\alpha$ og $\beta$ tangerer kula i hvert sitt skjæringspunkt.
c) Bestem likningene til planene $\alpha$ og $\beta$.
---
## H2011 del 2 oppgave 6 — Torricellis lov differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse separabel differensiallikning y'=−k·√y fra Torricellis lov, bestemme konstanter fra startbetingelser og finne tømningstiden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/torricellis-lov-differensiallikning/
### Oppgavetekst
En tank inneholder vann. Vi vil undersøke hvor høyt vannet står i tanken $t$ minutter etter at vannet har begynt å renne ut. Vi lar vannstanden (vannhøyden) være $y(t)$.
Torricellis lov sier følgende:
> Torricellis lov
> Vannstanden avtar med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannstanden.
a) Forklar at Torricellis lov gir differensiallikningen
$$
y' = -k \cdot \sqrt{y} \,, \quad \text{der } k > 0
$$
b) Bruk metoden for løsning av separable differensiallikninger til å vise at den generelle løsningen til likningen i oppgave 6 a) er gitt ved
$$
y = \frac{1}{4}(-kt + C)^2
$$
Du får vite at $y(0) = h$ og $y(10) = \dfrac{h}{4}$
c) Vis at én løsning for konstantene er $C = 2\sqrt{h}$ og $k = \dfrac{\sqrt{h}}{10}$
Bestem hvor lang tid det tar før tanken er tom.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, integraler og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Differensiallikning, Trigonometri, Delvis integrasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Deriver produktfunksjon, bestem ubestemte integraler og løs 1. ordens lineær differensiallikning med startbetingelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-integraler-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen gitt ved $f(x) = x^2 \cdot \cos(3x)$
b) Bestem integralene
1\)
$$
\int 5x \cdot e^{2x} \, dx
$$
2\)
$$
\int \dfrac{6x}{x^2 - 1} \, dx
$$
c) Løs differensiallikningen
$$
y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \qquad y(0) = 2
$$
d) 1) Bruk formlene
$$
\cos(u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v
$$
$$
\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v
$$
til å vise at
$$
\cos u \cdot \cos v = \frac{1}{2}\bigl(\cos(u - v) + \cos(u + v)\bigr)
$$
2\) Bruk 1) til å finne et uttrykk for $(\cos x)^2$. Bestem integralet
$$
\int (\cos x)^2 \, dx
$$
I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen
$$
\int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene $f$, $g$ og $h$.
| $x$ | $f(x)$ | $g(x)$ | $h(x)$ |
|-----|--------|--------|--------|
| $-3$ | $0$ | $6$ | $6$ |
| $1$ | $-2$ | $-\dfrac{7}{2}$ | $-4$ |
| $2$ | $24$ | $28$ | $22$ |
Det opplyses i tillegg at $f(x) = g'(x)$ og $h(x) = g''(x)$.
Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene
e) 1) $\displaystyle\int_{-3}^{2} f(x) \, dx$
2\)
$$
\int_{-3}^{1} h(x) \, dx
$$
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Pyramidevolum og plan gjennom tre punkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Kryssproduktet av to vektorer gir normalvektor til plan; parameterframstilling for normal linje brukes til å finne pyramidevolum uttrykt ved parameter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramidevolum-og-plan-gjennom-tre-punkter/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(3,\, 0,\, -2)$, $B(0,\, 2,\, 0)$ og $C(1,\, -1,\, 4)$.
a) Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.
b) Finn en likning for planet $\alpha$ som går gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
En rett linje $l$ går gjennom punktet $P(5,\, 4,\, 4)$ og står vinkelrett på planet $\alpha$.
c) Vis at en parameterframstilling for $l$ er
$$
\begin{cases} x = 5 + 2t & \\ y = 4 + 2t \\ z = 4 + \phantom{2}t \end{cases}
$$
Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $xz$-planet.
Vi lar $Q$ være et vilkårlig punkt på linjen $l$.
d) Bestem volumet av pyramiden $ABCQ$ uttrykt ved $t$.
e) Bestem koordinatene til $Q$ slik at volumet av pyramiden $ABCQ$ blir 42.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Andregrads differensiallikning dempet svingning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vis via karakteristisk likning at generell løsning er dempet sinusfunksjon, og bruk startbetingelser til å bestemme konstantene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-differensiallikning-dempet-svingning/
### Oppgavetekst
Du skal studere løsningen til differensiallikningen
$$
y'' + \frac{2}{5}\,y' + \frac{26}{25}\,y = 0
$$
a) Bruk løsningen til den karakteristiske likningen til å vise at den generelle løsningen til differensiallikningen er
$$
y = e^{-0{,}2x} \cdot (C\sin x + D\cos x)
$$
der $C$ og $D$ er konstanter.
b) Du får oppgitt at $y(0) = 5$ og $y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0$.
Forklar at løsningen av differensiallikningen da kan skrives
$$
y = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x)
$$
(Du kan få bruk for at $\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ og $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$)
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Funksjonsdrøfting av dempet sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Graf
- **Kort beskrivelse:** Drøft dempet sinusfunksjon f(x)=5e^{−0,2x}(sinx+cosx): nullpunkter, derivert, toppunkter, omskriving på formen A·e^{kx}·sin(x+φ) og innhyllningskurver.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-dempet-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x)$, $\; x \in \langle 0,\, 15 \rangle$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bestem ved regning nullpunktene til $f$.
c) Vis ved regning at
$$
f'(x) = 2e^{-0{,}2x} \cdot (2\cos x - 3\sin x)
$$
d) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$. Bruk denne til å vise at funksjonsverdiene til toppunktene er $6{,}164$, $1{,}754$ og $0{,}499$.
e) Skriv $f(x)$ på formen
$$
f(x) = A\,e^{-0{,}2x} \cdot \sin(x + \varphi)
$$
der $A$ og $\varphi$ er konstanter.
Funksjonene $p$ og $q$ er gitt ved $p(x) = Ae^{-0{,}2x}$ og $q(x) = -Ae^{-0{,}2x}$, der $A$ er konstanten du fant i punkt e) over.
f) Forklar at $q(x) \leq f(x) \leq p(x)$. Tegn grafene til $p$ og $q$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Tallfølger, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
- **Kort beskrivelse:** Vis at nullpunktene danner aritmetisk tallfølge, at toppunktsverdiene danner geometrisk rekke, og finn summen av den uendelige rekken av y-koordinater til toppunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-toppunkter-som-rekker-for-dempet-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen
$$
f(x) = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x)
$$
når definisjonsmengden er $\langle 0,\, \to \rangle$.
a) Forklar at det $n$-te nullpunktet til $f$ kan skrives på formen
$$
x_n = 2{,}356 + (n-1) \cdot \pi
$$
der $n \geq 1$
b) Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvis $x \in \langle 0,\, 30 \rangle$?
c) De tre første funksjonsverdiene til toppunktene på grafen til $f$ er gitt i oppgave 4 d). Alle disse danner også en tallfølge. Vis at denne tallfølgen er geometrisk, og finn det femte leddet i tallfølgen.
Vi summerer $y$-koordinatene til alle toppunktene til høyre for origo.
d) Vil den rekken vi får, konvergere når $x \to \infty$? Finn eventuelt summen av den uendelige rekken.
---
## V2010 del 2 oppgave 6-I — Dempet svingning i fjær og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Trigonometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Modellerer dempet svingebevegelse med Newtons 2. lov og utleder og løser en andregrads differensiallikning for utslaget.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dempet-svingning-i-fjaer-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Et lodd med masse $m$ er festet i en fjær som er festet i veggen. Når loddet er i ro, er det i likevektstilling. Se figur 1.
Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake. Se figur 2 og figur 3.
Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet $t$ er $y(t)$. Se figur 2.
Tida $t$ er målt i sekunder, og $y(t)$ er målt i desimeter.
I horisontal retning virker to krefter på loddet:
- En kraft fra fjæren som er proporsjonal med $y(t)$
- En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten $v(t) = y'(t)$
Akselerasjonen til klossen er $a(t) = v'(t)$
Vi setter $y(t) = y$, $v(t) = v$ og $a(t) = a$.
Newtons 2. lov vil da gi følgende likning
$$
-b \cdot v - k \cdot y = m \cdot a
$$
der $b$, $k$ og $m$ er positive konstanter.
a) Vis at denne likningen kan omformes til
$$
y'' + \frac{b}{m}\,y' + \frac{k}{m}\,y = 0
$$
Vi setter $b = 1{,}0 \; \text{Ns/m}$, $k = 2{,}6 \; \text{N/m}$ og $m = 2{,}5 \; \text{kg}$.
b) Vis at du får differensiallikningen
$$
y'' + \frac{2}{5}\,y' + \frac{26}{25}\,y = 0
$$
Bestem et uttrykk for $y(t)$ når du får oppgitt at $y(0) = 5$ og $y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0$.
c) Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.
d) Vis at det maksimale utslaget $y$ på samme side av likevektsstillingen minker med $71{,}5\,\%$ fra ett utslag til det neste.
---
## V2010 del 2 oppgave 6-II — Induksjonsbevis for sum av kubikktall
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Induksjon, Bevis, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Beviser ved induksjon at summen av de n første kubikktallene er n²(n+1)²/4, og knytter den til kvadratet av trekanttallene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/induksjonsbevis-for-sum-av-kubikktall/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.**
**Alternativ II**
Summen av de $n$ første leddene i en rekke er gitt ved
$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n
$$
a) Forklar at $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Finn $S_8$.
Summen av de $n$ første leddene i en annen rekke er gitt ved
$$
s_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1 + 8 + 27 + \cdots + n^3
$$
b) Bruk digitalt verktøy til å undersøke hvor mange ledd rekken må ha for at summen av rekken skal være større enn 15 000.
Det er blitt påstått at
$$
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$
c) Bevis formelen over ved induksjon. (Spørsmål c) teller som to delspørsmål.)
d) Forklar at
$$
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \bigl(1 + 2 + 3 + \cdots + n\bigr)^2
$$
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, integraler, differensiallikning og vektorer
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 16
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Differensiallikning, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Derivere med produktregel og kjerneregel, bestemme integraler, løse separabel differensiallikning og vektorregning med kryssprodukt og bevis.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-integraler-differensiallikning-og-vektorer/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonene
1\)
$$
f(x) = x^2 \cdot \ln x
$$
2\)
$$
g(x) = \sin^2 x - \cos^2 x
$$
Bestem integralene
b)
1\)
$$
\int \frac{x}{x^2 + 3}\, dx
$$
2\) $\displaystyle\int_0^3 f(x)\, dx$ der figuren nedenfor viser grafen til $f$.
c) Løs differensiallikningen:
$$
y' - 2y^2 = 0 \quad \text{når} \quad y(0) = \frac{1}{2}
$$
Gitt punktene $A(1, 0, 3)$, $B(3, 2, 4)$ og $C(5, 3, 0)$
d)
1\) Bestem $|\overrightarrow{AB}|$ og $|\overrightarrow{AC}|$
2\) Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
3\) Vis at $\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|^2 + \left(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right)^2 = \left|\overrightarrow{AB}\right|^2 \cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|^2$
---
## H2010 del 1 oppgave 2 — Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bestemt integral, Integrasjon, Bevis, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Beregne areal under f(x) = x² og vise at F₂/F₁ = 2, deretter generalisere til g(x) = xⁿ og bestemme G₂/G₁.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-under-x2-og-forholdet-mellom-f1-og-f2/
### Oppgavetekst
Vi har funksjonen $f(x) = x^2$
a) Bestem arealet $F_1$ avgrenset av grafen til $f$, førsteaksen og linjen $x = a$ der $a > 0$.
Rektangelet på skissen ovenfor kan deles i to områder med arealene $F_1$ og $F_2$.
b) Vis at $\dfrac{F_2}{F_1} = 2$
Vi skal nå se på funksjonen $g(x) = x^n$, der $n$ er et naturlig tall. Et tilsvarende rektangel som det ovenfor med funksjonen $g$ kan også deles i to områder med arealene $G_1$ og $G_2$.
c) Forklar at $G_1 = \dfrac{1}{n+1} \cdot a^{n+1}$
d) Bestem $\dfrac{G_2}{G_1}$
---
## H2010 del 2 oppgave 3 — Rekker, geometrisk rekke med variabel kvotient og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 14
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Aritmetisk rekkesum og bevis for Sₙ = n², geometrisk rekke med konvergensanalyse, geometrisk rekke med variabel kvotient og bevis ved induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rekker-geometrisk-rekke-med-variabel-kvotient-og-induksjon/
### Oppgavetekst
a) En rekke er gitt ved
$$
S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n - 1
$$
Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å vise at $S_n = n^2$
b) Vi skal nå se på en annen rekke
$$
S_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}}
$$
1\) Finn et uttrykk for $S_n$.
Finn ved regning hvor mange ledd vi minst må ha med for at $S_n > 1{,}45$
2\) Vi lar nå antall ledd gå mot uendelig. Bestem rekkens sum dersom den finnes.
c) Vi ser på en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient
$$
S(x) = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \cdots
$$
1\) Bestem konvergensområdet til rekken. Finn et uttrykk for $S(x)$.
2\) Løs likningene $S(x) = 4$ og $S(x) = -2$
d) Bevis formelen
$$
1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{n \cdot (n+1)(n+2)}{6}
$$
ved induksjon.
---
## H2010 del 2 oppgave 4-I — Drøfting av trigonometrisk funksjon med areal
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral
- **Kort beskrivelse:** Drøfting av periodisk trigonometrisk funksjon med periode, nullpunkter, topp-/bunnpunkter, vendepunkter og areal under grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-trigonometrisk-funksjon-med-areal/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Den periodiske funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2\sin x + 2\sin x \cdot \cos x, \quad x \in \langle 0,\, 4\pi \rangle
$$
a) Tegn grafen til $f$. Bestem perioden.
b) Finn nullpunktene til $f$ ved regning.
c) Vis ved regning at
$$
f'(x) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2
$$
Bruk $f'(x)$ til å bestemme topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
d) Finn $f''(x)$ ved regning. Bruk $f''(x)$ til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ i intervallet $x \in \langle 0,\, 2\pi \rangle$
e) Bestem ved regning arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til $f$, førsteaksen og linjene $x = 0$ og $x = \pi$
---
## H2010 del 2 oppgave 4-II — Tangentareal til cosinusgraf med optimering
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Bestemt integral, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Areal mellom cosinusgrafen og en tangent, med uttrykk for trekantareal og optimering av det fargelagte arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentareal-til-cosinusgraf-med-optimering/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.**
**Alternativ II**
Vi har tegnet grafen til
$$
f(x) = \cos x
$$
og en tangent til denne i punktet $P(a,\, f(a))$.
Skjæringspunktene mellom tangenten og koordinataksene er $A$ og $B$. Se skissene til høyre.
a) Vis at likningen for tangenten er
$$
y = -(\sin a) \cdot x + a \cdot \sin a + \cos a
$$
b) Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$.
Vis at arealet av $\triangle OAB$ er
$$
F_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}(a \cdot \sin a + \cos a) \cdot \left(a + \frac{\cos a}{\sin a}\right)
$$
c) Forklar at arealet $T$ av det fargelagte området på skissen til høyre kan skrives
$$
T(a) = F_{\triangle OAB} - 1
$$
d) Tegn grafen til $T$ når $a \in \left\langle \frac{1}{5},\, \frac{\pi}{2} \right\rangle$
e) Bestem $T_{\min}$ med tilhørende verdi av $a$. Finn ut hva som skjer med arealet av det fargelagte området når $a \to \dfrac{\pi}{2}$
---
## H2010 del 2 oppgave 5 — Befolkningsvekst modellert med differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse differensiallikning for befolkningsvekst basert på innvandring, utvandring og fødte/døde, og bruke modellen til å besvare spørsmål om fremtidig befolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/befolkningsvekst-modellert-med-differensiallikning/
### Oppgavetekst
I 2008 var innvandringen til Norge $1{,}4\%$ av folketallet $y$, mens utvandringen var $0{,}5\%$ av $y$. Dette året ble det født 60 000, mens antall døde var 42 000.
Vi antar at disse dataene for befolkningsendringen holder seg konstant noen år. Vi lar innbyggertallet i Norge være $y(t)$, der $t$ er antall år etter 1. januar 2009. Det vil si at $y(0)$ er folketallet i begynnelsen av 2009, $y(1)$ er folketallet i begynnelsen av 2010, og så videre.
a) Forklar at befolkningsendringen kan beskrives ved differensiallikningen
$$
y' = 0{,}009 \cdot y + 18\,000
$$
b) Bestem folketallet det året befolkningen vokser med 72 000.
c) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ved regning.
d) Folketallet i Norge 1. januar 2009 var 4 800 000. Bestem konstanten i løsningen av differensiallikningen.
e) Hvor lang tid vil det ta, ifølge modellen ovenfor, før innbyggertallet i Norge er 6 000 000?
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, rekker, vektorer og integraler
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Uendelig rekke, Vektorer, Differensiallikning, Substitusjon, Delvis integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Seks deloppgaver: derivasjon av $\ln$- og trigonometrisk funksjon, uendelig geometrisk rekke, vektorer i 3D, differensiallikning og ubestemte integraler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-rekker-vektorer-og-integraler/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen $f(x) = 2(\ln x + 1)^3$.
b) Gitt funksjonen $f(x) = x \cdot \cos x$.
1\) Ligger grafen over eller under $x$-aksen når $x = \pi$?
2\) Stiger eller synker grafen når $x = \pi$?
(Du kan få bruk for at $\sin \pi = 0$ og $\cos \pi = -1$.)
c) Bestem summen av den uendelige rekka $2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27} + \cdots$
Gitt punktene $A(2, 3, 7)$, $B(3, 5, 2)$, $C(1, 1, 5)$ og $D(3, 5, t)$.
d)
1\) Bestem en verdi for $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$.
2\) Undersøk om det finnes en verdi for $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$.
e) Løs differensiallikningen $y' + 4x \cdot y = 0$, der $y(0) = 5$.
f) Bestem integralene
1\)
$$
\int x \cdot \sin(2x)\, dx
$$
2\)
$$
\int \frac{4}{x^2 - 4}\, dx
$$
---
## V2009 del 1 oppgave 2 — Kryssprodukt, pyramide og plan
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ og vis at arealet av trekanten $ABC$ er $\frac{3}{2}$, bestem volumet av pyramide $ABCD$ og finn planlikningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kryssprodukt-pyramide-og-plan/
### Oppgavetekst
Vi har gitt punktene $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 2)$, $C(1, 1, 2)$ og $D(4, 1, -3)$.
a) Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Vis at arealet av trekanten $ABC$ er lik $\dfrac{3}{2}$.
b) Bestem volumet av pyramiden $ABCD$.
c) Finn likningen for planet $\alpha$ som går gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Temperaturmodell for badekar
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Grenseverdi, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Modellér avkjøling av badekar med differensiallikning $y' = k(y-21)$, løs ved regning, bestem $k$ fra gitt temperatur og finn grenseverdien.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturmodell-for-badekar/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen $38\ ^\circ\text{C}$. Romtemperaturen er konstant lik $21\ ^\circ\text{C}$.
Vi lar $y(t)$ være vannets temperatur i grader celsius etter $t$ timer.
a) Forklar hva $y'(t)$ forteller oss, og hvorfor $y'(t)$ er negativ i denne oppgaven.
Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen $y(t)$ og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er $k$.
b) Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er
$$
y' = k(y - 21)
$$
c) Forklar hvorfor $y(0) = 38$. Løs differensiallikningen ved regning.
d) Etter 3 timer er vanntemperaturen $27\ ^\circ\text{C}$. Bruk dette til å bestemme $k$.
e) Bestem $\displaystyle\lim_{t \to \infty} y(t)$. Kommenter svaret.
---
## V2009 del 2 oppgave 4-I — Drøfting av sinuskvadratfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Drøft $f(x)=2\sin^2 x$, bevis at funksjonen kan skrives som en forskjøvet sinuskurve, og finn ekstremal- og vendepunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-sinuskvadratfunksjon/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2 \cdot (\sin x)^2$.
a) Tegn grafen til $f$ når $x \in [0,\, 2\pi\rangle$.
b) Grafen er en sinuskurve. Bruk grafen til å vise at vi tilnærmet kan lese av at $f$ kan skrives på formen
$$
f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 1
$$
c) Bruk formelen for $\sin(u - v)$ til å vise at uttrykket i b) stemmer med $f(x) = 2 \cdot (\sin x)^2$.
d) Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ når $x \in \langle 3\pi,\, 4\pi \rangle$.
---
## V2009 del 2 oppgave 4-II — Dempet sinusfunksjon og differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Differensiallikning, Graf
- **Kort beskrivelse:** Drøft $f(x)=4e^{-0{,}2x}(4\sin 2x+3\cos 2x)$, skriv den som $K e^{-0{,}2x}\sin(2x+\varphi)$ og bestem en differensiallikning den løser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dempet-sinusfunksjon-og-differensiallikning/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*
Gitt funksjonen $f(x) = 4 \cdot e^{-0{,}2x} \cdot \bigl(4\sin(2x) + 3\cos(2x)\bigr)$ når $x \in \langle 0,\, 5\pi \rangle$.
a) Skisser, eller ta en utskrift av, grafen til $f$.
b) Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til $f$ når $x \in \langle 0,\, \pi \rangle$.
Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen $f(x) = K \cdot e^{-0{,}2x} \cdot \sin(2x + \varphi)$.
c) Finn konstantene $K$ og $\varphi$.
d) $y = f(x)$, der $f(x)$ er funksjonen ovenfor, er en løsning av differensiallikningen
$$
y'' + ay' + by = 0
$$
Bestem konstantene $a$ og $b$.
---
## V2009 del 2 oppgave 5 — Trekanttall og induksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Rekker, Induksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Utled formelen $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ for trekanttall, finn tredjegradsuttrykk for $S_n$ ved regresjon og bevis $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ ved induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanttall-og-induksjon/
### Oppgavetekst
Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekanttall. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_1$, $a_2$ og $a_3$.
$S_n$ er summen av de $n$ første trekanttallene.
a) Skriv opp de fem første trekanttallene $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ og $a_5$ og de fem første summene $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og $S_5$.
b) Forklar at $a_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$. Bruk dette til å vise at $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
c) Bruk regresjon på de fem første summene $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og $S_5$ til å finne et tredjegradsuttrykk for $S_n$. Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av
$$
S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}
$$
Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de fem første summene $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ og $S_5$. Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle $n$-verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis.
d) Bruk induksjon til å bevise at formelen $S_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ er riktig.
---
## H2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, differensiallikninger og rekker
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Differensiallikning, Rekker, Geometrisk rekke, Integrasjon, Bevis, Induksjon, Polynomdivisjon
- **Kort beskrivelse:** Seks deloppgaver: derivasjon, radianer, differensiallikning, partialbrøk og integrasjon, geometrisk rekke og induksjonsbevis.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-differensiallikninger-og-rekker/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen $f(x) = x^2 \cdot \sin x$
b) Forklar hva det betyr at en vinkel er målt i radianer. Hvilken sammenheng er det mellom radianer og grader?
c) Løs differensiallikningen $y' + 2y = 3x$ når $y(0) = 3$
Vi har polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$
d)
1\) Vis at $f(x)$ er delelig med $(x-1)$ og faktoriser $f(x)$.
2\) Vis at $\dfrac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - x^2 - 4x + 4}$ kan skrives $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-2}$
3\) Bestem integralet
$$
\int \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - x^2 - 4x + 4} \, \mathrm{d}x
$$
e) I en rekke er $a_1 = x - 1$, $a_2 = 2x$ og $a_3 = 4x + 8$. Bestem $x$ slik at rekken blir geometrisk.
Summen av de $n$ første leddene i en generell geometrisk rekke er
$$
S_n = \frac{a_1 \left(k^n - 1\right)}{k - 1}
$$
f) Bevis denne formelen ved induksjon.
---
## H2009 del 1 oppgave 2 — Vektorer og plan i rommet med tre punkter
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Kryssprodukt, normalvektor og planlikning for tre gitte punkter i rommet; parameterframstilling og skjæringspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-plan-i-rommet-med-tre-punkter/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 3)$ og $C(2, 7, 5)$.
a) Finn $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
b) Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$.
c) Finn likningen til planet $\alpha$. Undersøk om punktet $D(2, 2, 3)$ ligger i planet $\alpha$.
d) Bestem en parameterframstilling for en linje $l$ som går gjennom punktet $D$, og som står vinkelrett på planet $\alpha$. Finn skjæringspunktet $S$ mellom $l$ og $\alpha$.
---
## H2009 del 2 oppgave 3 — Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Bevis, Argumentasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk bevis i rettvinklet trekant og tetraeder: vise $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$ og romlig Pytagoras-arealsetning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-og-tetraeder-med-arealsetning/
### Oppgavetekst
Vi har en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$. Høyden ned på hypotenusen kalles $h$. Se figuren til høyre.
a) Forklar at $a \cdot b = c \cdot h$
Bruk Pytagoras' setning og vis at
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{h^2}
$$
Vi vil nå studere tetraederet $OABC$. Hjørnet $O$ er plassert i origo, $A(a, 0, 0)$ på $x$-aksen, $B(0, b, 0)$ på $y$-aksen og $C(0, 0, c)$ på $z$-aksen. Se figuren nedenfor.
b) Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ uttrykt ved $a$, $b$ og $c$. Finn arealet av trekanten $ABC$.
En arealsetning som er oppkalt etter Pytagoras, sier at
$$
F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2 + F_{\triangle OBC}^2 + F_{\triangle OAB}^2
$$
Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.
c) Kontroller at arealsetningen er riktig.
d) Avstanden fra $O$ til $\triangle ABC$ kalles $h$. Forklar at vi kan skrive
$$
F_{\triangle ABC} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2h}
$$
e) Bruk c) og d) til å vise at
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}
$$
---
## H2009 del 2 oppgave 4-I — Periodisk cosinusfunksjon og areal over linje
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametere i en periodisk cosinusfunksjon fra gitte ekstrema, drøfte den og beregne arealet mellom grafen og en horisontal linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/periodisk-cosinusfunksjon-og-areal-over-linje/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Vi vil studere en periodisk funksjon $f$ gitt på formen
$$
f(x) = a\cos(cx - \varphi) + d \quad \text{når} \quad x \in \langle 0, 12 \rangle
$$
Her er $a$, $c$, $d$ og $\varphi$ konstanter.
Det oppgis at grafen til $f$ har toppunkt i $(1, 6)$, og at det nærmeste bunnpunktet er $(3, -1)$.
a) Forklar at grafen til $f$ må ha toppunkt også i $(5, 6)$. Skriv koordinatene til ett toppunkt og to bunnpunkter til. Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
b) Hvor avtar funksjonen raskest?
c) Finn nullpunktene til funksjonen ved regning.
d) Tegn grafen til $f$. Finn det samlede arealet av flatestykkene som er avgrenset av grafen til $f$ og linjen $y = 5$, og som ligger på oversiden av linjen.
---
## H2009 del 2 oppgave 4-II — Omdreiningsvolum om variabel akse
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omdreiningslegeme, Bestemt integral, Integrasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Beregne volum av omdreiningslegeme om x-aksen og om en variabel horisontal akse, og optimere for å finne aksen som gir minst volum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omdreiningsvolum-om-variabel-akse/
### Oppgavetekst
**Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ II**
Vi har funksjonen
$$
f(x) = x^{\frac{1}{2}}, \quad D_f = \left[0, 9\right]
$$
a) Bestem volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom grafen til $f$ dreies $360^\circ$ om $x$-aksen.
En linje $l$ er gitt ved likningen $y = k$, der $k$ er en konstant $k \in \left[0, 3\right]$.
b) Forklar at volumet av det omdreiningslegemet vi får når grafen til $f$ dreies $360^\circ$ om linjen $l$, er gitt ved
$$
V(k) = \pi \int_0^9 \left(x^{\frac{1}{2}} - k\right)^2 \, \mathrm{d}x
$$
c) Finn $V(k)$.
d) Bestem hvilken verdi for $k$ som gir det minste volumet.
---
## H2009 del 2 oppgave 5 — Ball i fritt fall med luftmotstand
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse differensiallikning for fart ved luftmotstand, finne strekning som funksjon av tid og bestemme startfart for gitt falltid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-i-fritt-fall-med-luftmotstand/
### Oppgavetekst
En ball med masse $m = 2 \mathrm{~kg}$ slippes fra en høyde $h = 30 \mathrm{~m}$. Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten $v$. Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er $40 \mathrm{~m/s}$. Vi lar tyngdeakselerasjonen være $10 \mathrm{~m/s^2}$.
*I denne oppgaven vil vi regne uten benevning.*
Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten $v$ må tilfredsstille differensiallikningen
$$
v' + \frac{1}{4}v = 10
$$
der $v = v(t)$ er farten etter $t$ sekunder.
a) Forklar at $v(0) = 0$ og løs differensiallikningen.
Etter $t$ sekunder har ballen falt strekningen $s$ gitt ved $s'(t) = v(t)$.
b) Finn et uttrykk for $s(t)$.
c) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?
I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten $v_0$.
d) Hva må $v_0$ være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?
---
## E2008 del 1 oppgave 1 — Mange derivasjoner og integrasjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Integrasjon, Uendelig rekke, Differensiallikning, Tallfølger, Induksjon, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Diverse derivasjonsoppgaver (kjerneregel, produktregel), uendelig geometrisk rekke, integrasjon med partialbrøk, tangent og areal, vinkler med vektorer, differensiallikning, tallfølge med induksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mange-derivasjoner-og-integrasjon/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen $\quad f(x) = 2x\cos(3x)$
b) Deriver funksjonen $\quad f(x) = 3\left(e^{4x}+1\right)^2$
Gitt funksjonen $\quad f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - 4x^2 + x + 2$
c)
1\) Ligger grafen over eller under $x$-aksen når $x = 1$?
2\) Stiger eller synker grafen når $x = 1$?
3\) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når $x = 1$?
d) Finn summen av den uendelige rekka: $\quad 9 + 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \cdots$
e) Bestem integralet $\quad \displaystyle\int \frac{4}{x^2-1}\,\mathrm{d}x$
Funksjonen $f(x) = \dfrac{24}{\sqrt{x}}$ er gitt.
f)
1\) Vis at likningen for tangenten i punktet $\left(4,\, f(4)\right)$ er gitt ved $y = -\dfrac{3}{2}x + 18$.
2\) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til $f$, tangenten i $\left(4,\, f(4)\right)$ og linja $x = 2$.
g) Gitt punktene $A(1,1,1)$, $B(3,3,2)$ og $C(2,1,2)$. Finn $\angle BAC$.
h) Løs differensiallikningen $\quad y' + (\cos x)\cdot y = 0 \quad$ når $\quad y(0) = 4$
En rekke er gitt ved at $a_1 = 2$ og $a_{n+1} = a_n + n + 2$ der $n \in N$.
i)
1\) Skriv opp de 5 første leddene i rekken.
2\) Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er $a_n = \dfrac{n(n+3)}{2}$
---
## E2008 del 2 oppgave 2 — Drøfting og integrasjon av kubisk sinusfunksjon
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Integrasjon, Bestemt integral, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Funksjonsdrøfting og integrasjon av $f(x) = 3(\sin x)^3$ inkludert nullpunkter, fortegnslinje, og bestemt integral via gitt antiderivert.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-og-integrasjon-av-kubisk-sinusfunksjon/
### Oppgavetekst
Gitt funksjonen $\quad f(x) = 3(\sin x)^3 \quad$ der $\quad x \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$
a) Tegn grafen til $f$, og finn nullpunktene til funksjonen.
b) Tegn fortegnslinja til $f'(x)$ og bruk den til å finne eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til $f$.
Det kan vises at $\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x = a(\cos x)^3 + b\cos x + c$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter.
c) Vis at $a = 1$ og $b = -3$.
d) Bruk c) til å bestemme arealet som er avgrenset av grafen til $f$ og som ligger over $x$-aksen.
---
## E2008 del 2 oppgave 3 — Tetraeder og plan med arealsetning i rommet
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum
- **Kort beskrivelse:** Romgeometri med fire punkter: avstand, kryssprodukt, tetraedervolum, Pythagoras arealsetning, planligninger og grenseverdi av plan når $t \to \infty$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tetraeder-og-plan-med-arealsetning-i-rommet/
### Oppgavetekst
I et koordinatsystem har vi punktene $O(0,0,0)$, $A(3,0,0)$, $B(0,4,0)$ og $C(0,0,5)$.
a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Finn avstanden fra $A$ til $B$.
b) Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$, og bruk svaret til å finne volumet av tetraederet $OABC$.
En arealsetning oppkalt etter Pytagoras sier at:
$$
F^2_{\triangle ABC} = F^2_{\triangle AOC} + F^2_{\triangle BOC} + F^2_{\triangle AOB}
$$
Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.
c) Regn ut de fire arealene, og kontroller at arealsetningen stemmer i dette tilfellet.
Planet $\alpha$ går gjennom punktene $A$, $B$ og $C$.
d) Bestem likningen til planet $\alpha$.
Et annet plan $\beta$ er gitt ved
$$
\beta:\quad x + y - z = 5
$$
e) Finn vinkelen mellom planene $\alpha$ og $\beta$.
Vi lar nå punktet $C$ få koordinatene $(0,0,t)$. Vi antar at $t \neq 0$.
f) Forklar at likningen til planet $\alpha$ da kan skrives på formen
$$
\alpha:\quad \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{t} = 1
$$
g) Finn likningen for det planet som $\alpha$ nærmer seg til når $t \to \infty$. Hva kan du si om dette planet?
---
## E2008 del 2 oppgave 4-I — Fallskjermhopp og differensiallikning for fart
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Modellering, Substitusjon, Funksjoner, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Modellerer fallskjermhopp med separabel differensiallikning ut fra Newtons 2. lov — vis, løs og tolk fart og akselerasjon før og etter at fallskjermen åpnes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fallskjermhopp-og-differensiallikning-for-fart/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ I**
Newtons 2. lov sier at $F = m \cdot a$, der $F$ er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse $m$ og akselerasjon $a$.
Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden.
Newtons 2. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp.
En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen $m$. La $v(t)$ være farten til hopperen ved tiden $t$ etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at $v(0) = 0$. Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften $m \cdot g$ og luftmotstanden som er $-k_1 \cdot v(t)$ når fallskjermen er lukket. Her er $k_1$ en konstant og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter.
a) Vis at Newtons 2. lov kan omformes til følgende differensiallikning:
$$
v'(t) + \frac{k_1}{m}v(t) = g
$$
Vi setter $m = 80$, $g = 10$ og $k_1 = 16$.
b) Vis at $v(t) = 50 - 50 \cdot e^{-0{,}2t}$ er en løsning av differensiallikningen i a).
c) Finn farten og akselerasjonen til hopperen når $t = 4$.
Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir $-k_2 \cdot v(t)^2$. Vi setter $g = 10$ og $k_2 = 8$.
d) Bruk Newtons 2. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet.
e) Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter $v$ i stedet for $v(t)$. Vis at vi kan skrive differensiallikningen som:
$$
\left(\frac{1}{10-v} + \frac{1}{10+v}\right)\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 2
$$
f) Finn et uttrykk for $v$ ved å løse differensiallikningen i e).
---
## E2008 del 2 oppgave 4-II — Løsningsfamilier til homogen differensiallikning
- **Fag:** R2
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Differensiallikning, Funksjoner, Bevis, Graf
- **Kort beskrivelse:** Utforsker løsningsfamilier til en homogen differensiallikning ved å verifisere oppgitte løsninger, skissere grafene for ulike konstanter og løse en initialverdioppgave ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/losningsfamilier-til-homogen-differensiallikning/
### Oppgavetekst
**Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.**
**Alternativ II**
Vi har gitt differensiallikningen
$$
y' - \frac{x}{x^2-1} \cdot y = 0 \qquad \text{der} \quad x \neq -1 \text{ og } x \neq 1
$$
a)
1\) Vis at $y = C\sqrt{1-x^2}$ er en løsning når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$.
2\) Skisser grafene til $y$ for $C = 1$ og for $C = -1$.
3\) Velg andre verdier for $C$ og skisser grafene til $y$. Kommenter.
b)
1\) Vis at $y = C\sqrt{x^2-1}$ er en løsning når $x \in \langle\leftarrow,\,-1\rangle \cup \langle 1,\,\rightarrow\rangle$.
2\) Velg ulike verdier for $C$ og skisser grafene til $y$. Kommenter.
c)
1\) Løs differensiallikningen ved regning
$$
y' - \frac{2}{x^2-1} \cdot y = 0 \qquad \text{når} \quad y(0) = C
$$
2\) Velg ulike verdier for $C$, og tegn de tilhørende grafene til $y$.
---
## Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre
- **Fag:** 1T, R1, R2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Temaer:** Trigonometri, Utforskning, Geometri
- **Kilde:** https://www.youtube.com/watch?v=s5TuVu3Qg2E
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-sirkel-og-kvadrat-som-skjaerer-hverandre/
### Oppgavetekst
Et kvadrat har sidekant 1 m. En sirkel er tegnet på innsiden av kvadratet slik at sirkelen toucher to sidekanter og et hjørne. Se figuren under.
Hva er størrelsen av det fargede området?
---
## Rart integral
- **Fag:** S2, R2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Temaer:** Utforskning, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner (KM3126)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rart-integral/
### Oppgavetekst
$$
\int \smallint \, \mathrm{d}\smallint
$$