R1 — alle oppgaver

Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 478 oppgaver i R1 (Realfaglig matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).

Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/r1-raadata-losning/

Matematikk R1 er realfaglig matematikk om moderne anvendelser av matematikk i realfag.

## Om innholdet

- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat03-02/kompetansemaal-og-vurdering/kv293?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT3-01/Hele/Kompetansemaal/matematikk-r1
- Sist generert: 2026-09-27

## Forklaring på feltene

- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.

---

## V2026 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynom og brøk R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kompetansemål:** Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (KM3119)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $h(x)=3x^2-5+\frac{3}{x-2}$ ved bruk av potens- og brøkregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynom-og-brok/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen $h$ gitt ved

$$
h(x) = 3x^2 - 5 + \frac{3}{x-2}
$$

---

## V2026 del 1 oppgave 2 — Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter for $f(x)=e^x(6-e^x)$, vise at $f'(x)=2e^x(3-e^x)$ og bestemme topp-/bunnpunkter med fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-for-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = e^x(6 - e^x)
$$

a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $f$.
b) Vis at $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$.
c) Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.

---

## V2026 del 1 oppgave 3 — Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Sortere $\log_2 8$, $e^{3\ln 1}$, $\lg 7$, $\sqrt[4]{3^3}$ i stigende rekkefølge og forenkle $\lg(ab)-\lg\frac{a}{b}+\lg(100b^3)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-og-forenkle-logaritmeuttrykk/

### Oppgavetekst

a) Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. Husk å begrunne svaret.

$$
\log_2 8 \qquad e^{3\ln 1} \qquad \lg 7 \qquad \sqrt[4]{3^3}
$$

b) Skriv så enkelt som mulig

$$
\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3)
$$

---

## V2026 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3}$ ved å sammenligne graden i teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-rasjonalt-uttrykk/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer

$$
\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3}
$$

---

## V2026 del 1 oppgave 5 — Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Omvendt funksjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116); Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om påstander om vertikal asymptote for $\frac{ax^2+bx+c}{x-d}$ og omvendt funksjon til $g(x)=e^{x-3}$ er sanne, og begrunne svarene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-asymptote-og-omvendt-funksjon/

### Oppgavetekst

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann.
Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

a) En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}
$$

**Påstand:** Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$.

b) En funksjon $g$ er gitt ved

$$
g(x) = e^{x-3} \qquad \text{der } x \in \mathbb{R}
$$

**Påstand:** Den omvendte funksjonen til $g$ er gitt ved $g^{-1}(x) = \ln(x)+3$ der $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$.

---

## V2026 del 1 oppgave 6 — Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Omvendt funksjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Bruke sammenhengen $g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))}$ til å finne $g'(1)$ for omvendt funksjon $g$ av $f(x)=\ln(x+2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-av-omvendt-funksjon-til-ln/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ gitt ved $f(x) = \ln(x+2)$, har en omvendt funksjon $g$.
Bestem $g'(1)$.

---

## V2026 del 1 oppgave 7 — Vinkel og likebeint trekant med vektorer R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameteren $a$ slik at $\angle BAC=90\degree$ (skalarprodukt = 0) og slik at $|\vec{AB}|=|\vec{AC}|$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-og-likebeint-trekant-med-vektorer/

### Oppgavetekst

Gitt punktene $A(1, -3)$, $B(4, 1)$ og $C(-2, a)$, der $a \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $a$ slik at vinkel $BAC$ blir $90\degree$.
b) Bestem $a$ slik at $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$.

---

## V2026 del 1 oppgave 8 — Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke $\vec{AB}$ og $\vec{PR}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$, vise at $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$ og bestemme lengden av $AB$ gitt $|\vec{PR}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallelle-vektorer-i-trekant-oab/

### Oppgavetekst

Gitt trekanten $OAB$ nedenfor.

![Trekant OAB med punkt P på AB og punkt R på OB](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v26-1-8.avif)

Punktet $P$ er plassert slik at linjestykket $OP$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OA$, og punktet $R$ er plassert slik at linjestykket $OR$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OB$.

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\vec{a} = \vec{OA}$ og $\vec{b} = \vec{OB}$.

a) Uttrykk $\vec{AB}$ og $\vec{PR}$ ved hjelp av $\vec{a}$ og $\vec{b}$.
b) Vis at $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$.
c) Hvor langt er linjestykket $AB$ dersom $|\vec{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$?

---

## V2026 del 1 oppgave 9 — Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111); Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (KM3119)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-kode som søker stasjonære punkter ved numerisk derivasjon, klassifisere topp-/bunn-/terrassepunkt og finne hvilken utskriftslinje som faktisk treffer for $f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{3}x^2+\frac{25}{9}x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-kode-for-stasjonaere-punkter/

### Oppgavetekst

Programkoden nedenfor er ikke helt ferdig.

```python ln
def f(x):
    return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x))/h

x = -4
slutt = 4
dx = 0.002
maks_avvik = 0.000001

while (x < slutt):
    x = x + dx
    if abs(g(x)) < maks_avvik:                #sjekker om g(x) er nær 0

        if g(x - dx) * g(x + dx) > 0:
            print("f har et A for x =", x)

        elif g(x - dx) < g(x + dx):
            print("f har et B for x =", x)

        elif g(x - dx) > g(x + dx):
            print("f har et C for x =", x)
```

a) Forklar sammenhengen mellom $f(x)$ og $g(x)$ i koden.
b) Hvilke tre ulike begreper skal stå i stedet for A, B og C i linje 18, 21 og 24?

Når programmet kjøres, skrives det ut én setning.

c) I hvilken linje står denne setningen? Husk å begrunne svaret.

---

## V2026 del 2 oppgave 1 — Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Logistisk funksjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3114)
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse logistisk modell $V(t)=\frac{C}{1+a\cdot e^{-kt}}$ til fartstabell, finne tidspunkt for $V(t)=100$, største fartsøkning $V'(t)$ og tidsintervall der $V'(t)>2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-for-raketthastighet/

### Oppgavetekst

Tabellen nedenfor viser farten til en rakett noen sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

| Tid (sekunder)          |   $1$   |   $5$   |   $10$   |   $20$   |   $50$   |   $100$   |   $150$   |
|:-----------------------:|:-------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|:---------:|:---------:|
| Fart (meter per sekund) | $7{,}3$ | $9{,}2$ | $10{,}7$ | $25{,}6$ | $61{,}3$ | $183{,}0$ | $218{,}2$ |

a) Lag en modell $V$ på formen

$$
V(t) = \frac{C}{1+a\cdot e^{-kt}}
$$

for farten $V(t)$ meter per sekund, $t$ sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.
b) Hvor lang tid tar det før raketten oppnår en fart på $100\mathrm{~m/s}$?
c) Når er fartsøkningen til raketten størst? Hvor stor er denne fartsøkningen?
d) Hvor lenge øker farten til raketten med mer enn $2\mathrm{~m/s^2}$?

---

## V2026 del 2 oppgave 2 — Skøyteløper og hund med parameterfremstilling R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115); Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Beregne banefart og posisjon for parametrisert linje etter $30\mathrm{~s}$, vise at to linjer ikke krysser, og bestemme ny banefart for å treffe hunden ut fra ny startposisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skoyteloper-og-hund-med-parameterfremstilling/

### Oppgavetekst

En skøyteløper beveger seg over et islagt vann.

> **Info**
> **Banefart** er lengden av fartsvektoren.

I et koordinatsystem der enhetene langs aksene er meter, er posisjonen til skøyteløperen etter $t$ sekunder gitt ved

$$
l: \begin{cases} x = 6t + 120 & \\ y = \dfrac{5}{3}t + 50 \end{cases} \qquad t \in [0, 200]
$$

a) Bestem banefarten og posisjonen til skøyteløperen etter et halvt minutt.

Samtidig med skøyteløperen kommer en hund springende over isen. I det samme koordinatsystemet er posisjonen til hunden etter $t$ sekunder gitt ved

$$
m: \begin{cases} x = \dfrac{13}{2}t + 250 & \\ y = -\dfrac{9}{5}t + 520 \end{cases} \qquad t \in [0, 200]
$$

b) Vis at skøyteløperen ikke vil treffe hunden.

Hunden har vært savnet en stund, og skøyteløperen ønsker å fange den. Skøyteløperen oppdager hunden etter $1$ minutt, og øker da sin banefart uten å endre retning. Hunden endrer verken retning eller banefart.

c) Hvilken ny konstant banefart må skøyteløperen holde fra dette tidspunktet for å fange hunden?

---

## V2026 del 2 oppgave 3 — Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke sidene $AB$ og $AD$ i rektangelet ved $a$ ut fra $f(x)=100\cdot 0{,}8^x$, sette opp arealfunksjonen $A(a)$ og bruke derivasjon for å bestemme maksimalt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-rektangel-under-eksponentialgraf/

### Oppgavetekst

![Graf til $f(x)=100\cdot 0{,}8^x$ med rektangel ABCD](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v26-2-3-1.avif)

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon $f$ gitt ved $f(x) = 100\cdot 0{,}8^x$ og et rektangel $ABCD$.

Punktet $A$ har koordinatene $A(a, f(a))$ der $a \in [0, 5\rangle$. Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $5$, og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $200$.

a) Uttrykk lengden av linjestykkene $AB$ og $AD$ ved $a$.
b) Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få.

---

## V2026 del 2 oppgave 4 — Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118)
- **Kort beskrivelse:** Forklare hvorfor strømprisfunksjonen $f$ må ha delt forskrift med skjæringspunkt ved $x=75$ og være kontinuerlig der, og sette opp uttrykk $f(x)=x$ for $x\le 75$ og $f(x)=0{,}1x+67{,}5$ ellers.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-for-stromstonad/

### Oppgavetekst

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.

> **Info**
> **Støtte til husholdningene**
>
> **Husholdninger**
>
> *Ansvar:* Energidepartementet.
>
> Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.
>
> **Strømstønad til husholdningene**
>
> Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger $75$ øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke $90$ prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil $5\,000$ kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.

> **Spotpris** er den varierende prisen for strøm. Den endrer seg hele tiden, avhengig av hvor mye strøm som produseres, og hvor mye folk bruker.

I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under $5000$ kWh per måned per målepunkt.

La $f(x)$ beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der $x$ er spotprisen i øre/kWh.

a) Forklar hvorfor funksjonen $f$ har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk for $f(x)$.

---

## V2026 del 2 oppgave 5 — Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111); Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (KM3119)
- **Kort beskrivelse:** Finne eksakt tangeringspunkt der tangenten til $f(x)=e^{2x}$ går gjennom origo ved å løse $f'(a)=\frac{f(a)}{a}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-fra-origo-til-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = e^{2x}$ der $x \in \mathbb{R}$.

Grafen til $f$ har én tangent som går gjennom origo.

Bestem eksakte verdier for koordinatene til tangeringspunktet.

---

## V2025 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-eksponential-og-potensfunksjon/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

---

## V2025 del 1 oppgave 2 — Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-ekstremalpunkter-med-produkt/

### Oppgavetekst

En funksjon $g$ er gitt ved $g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$

a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$.
b) Vis at $g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3)$
c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.

---

## V2025 del 1 oppgave 3 — Eksponential- og logaritmelikninger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponential-og-logaritmelikninger/

### Oppgavetekst

Løs likningene

a)

$$
3^{3x+2} - 5 = 76
$$

b)

$$
3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2
$$

---

## V2025 del 1 oppgave 4 — Grenseverdier med algebraisk forenkling

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier-med-algebraisk-forenkling/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdiene

a)

$$
\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}
$$

b)

$$
\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}
$$

---

## V2025 del 1 oppgave 5 — Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuitet-og-deriverbarhet-stykkevis/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad  & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases}
$$

a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.
b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$.

---

## V2025 del 1 oppgave 6 — Vektorer og basketball

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-basketball/

### Oppgavetekst

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J(0,0)$, Nils befinner seg i punktet $N(-1,2)$, og Ahmad befinner seg i punktet $A(1,1)$. Enheten langs aksene er meter.

a) Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(-1, a)$, der $a \in \mathbb{R}$. Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

b) Bestem $a$.

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$. $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $\angle MAJ$, er 90 grader.

c) Bestem koordinatene til $M$.

---

## V2025 del 2 oppgave 1 — Logistisk vekstmodell batteriteknologi

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekstmodell-batteriteknologi/

### Oppgavetekst

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

$$
S(t) = \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}}
$$

a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?
b) Bestem $S'(52)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

- de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
- 500 husstander har batteriet når det lanseres
- flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

c) Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

---

## V2025 del 2 oppgave 2 — Omvendt funksjon og tangentlikninger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-og-tangentlikninger/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1
$$

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \mathbb{R}$.

a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$.
b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$.
c) Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(-10, 3)$. Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

---

## V2025 del 2 oppgave 3 — Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner, Delt forskrift, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118); Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3110)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tredjegradsledd i delt forskrift ved å kreve $C^1$-kontinuitet (verdi + derivert) ved $x=-2$ og $x=1$; gir 4 likninger i 4 ukjente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-med-ukjent-uttrykk/

### Oppgavetekst

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

$$
f(x) = \begin{cases}
-9x - 15\text{,} & x \le -2 \\
\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\
\dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad  & x \ge 1 \end{cases}
$$

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$. Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$.

---

## V2025 del 2 oppgave 4 — Fiskebåt og vektorbevegelse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115); Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fiskebat-og-vektorbevegelse/

### Oppgavetekst

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = [1+5t,\ 4+8t]
$$

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

a) Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$.

b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, -3)$ ved tiden $t = 0$, og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v}(t) = [4, 11]$.

c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(-2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$.

d) Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

---

## V2025 del 2 oppgave 5 — Tangent til ln og trekantareal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Derivasjon, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-ln-og-trekantareal/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \ln x$.

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A(0,0)$.

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $\angle ACB = 90\degree$.

![Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v25-2-5.avif)

a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$.
b) Bestem det eksakte arealet av trekant $ABC$.

---

## H2025 del 1 oppgave 1 — Derivasjon og graffortolkning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon med potensregel og kvotientregel; tolke fortegn til derivert.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-og-graffortolkning/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
$$

Funksjon $g$ gitt ved

$$
g(x) = \frac{2x-3}{e^x}
$$

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$.

b) Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$.
c) Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$?

---

## H2025 del 1 oppgave 2 — Logaritmeligninger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Substitusjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Logaritmelikning via substitusjon; bestemme grunntall fra $\log_a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeligninger/

### Oppgavetekst

a) Løs likningen

$$
(\lg x)^2 - 2\lg x = 8
$$

b) Bestem $a$ slik at

$$
\log_a \frac{1}{64} = -3
$$

---

## H2025 del 1 oppgave 3 — Grenseverdier

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Kontinuitet, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre eksistens av grenseverdi i $x=-2$; bestemme parameter $a$ slik at teller også har nullpunkt i $x=-2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier/

### Oppgavetekst

a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

$$
\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}
$$

b)
   1\) Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:

$$
\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}
$$

   2\) Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$.

---

## H2025 del 1 oppgave 4 — Koordinater, linje og ortogonalitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Skalarprodukt
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Avstand mellom punkter, linjelikning, og ortogonalitet via skalarprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koordinater-linje-og-ortogonalitet/

### Oppgavetekst

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2, 3)$ og $B(3, 2)$.

a) Bestem lengden av linjestykket $AB$.

Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$-aksen i punktet $C$.

b) Bestem koordinatene til $C$.

Et punkt $D$ er gitt ved $D(2, t)$ der $t \in \mathbb{R}$.

c) Bestem $t$ slik at $\angle ABD$ blir $90\degree$.

---

## H2025 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Programmering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $4x^2 \ln x$ for å finne bunnpunkt; tolke pseudokode for halveringsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-og-halveringsmetode/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
$$

a) Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.

En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor:

```python ln
from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)
```

b) Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11–20.
Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet.

---

## H2025 del 2 oppgave 1 — Logistisk vekstmodell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon, Regresjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3114)
- **Kort beskrivelse:** Logistisk regresjon i GeoGebra; tolke $F'$ og $F''$ praktisk; løse $F'(t) = 150$ for vekstintervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-vekstmodell/

### Oppgavetekst

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960–1980.

| År | 1960 | 1961 | 1963 | 1965 | 1967 | 1971 | 1975 | 1977 | 1980 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Folketall | 500 | 604 | 852 | 1043 | 1510 | 2163 | 2544 | 2639 | 2715 |

a) Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen

$$
F(t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

for antall personer $F(t)$ som bodde på dette tettstedet $t$ år etter 1960. Vurder modellens gyldighetsområde.
b) Bestem $F'(12)$ og $F''(12)$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
c) Når økte antall personer som bodde på dette tettstedet, med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?

---

## H2025 del 2 oppgave 2 — Stykkevis funksjon og deriverbarhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner, Delt forskrift
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118); Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3110)
- **Kort beskrivelse:** Stykkevis funksjon: krav om kontinuitet og deriverbarhet i to skjøtepunkter ($x=-2$ og $x=k$).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-og-deriverbarhet/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} ax + b & x \le -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x \quad  & -2 < x < k \\ c & x \ge k \end{cases} \quad \text{der } a, b, c \in \mathbb{R} \text{ og } k \in \langle -2, \rightarrow \rangle
$$

a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x = -2$ dersom $a = 2$ og $b = -2$.
b) Bestem $a$, $b$, $c$ og $k$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar når $x = -2$ og når $x = k$.

---

## H2025 del 2 oppgave 3 — Luktintensitet og logaritmisk modell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Modellering
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Logaritmisk modell $I = 1{,}4 \lg C - 0{,}3$: sette inn verdier; løse $I \le 2$ for $C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/luktintensitet-og-logaritmisk-modell/

### Oppgavetekst

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$. Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ($\mathrm{OU/m^3}$).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

$$
I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3
$$

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

| Luktintensitet ($I$) | Vurdering |
|---|---|
| $< 1$ | uproblematisk |
| $1$–$2$ | akseptabelt |
| $2$–$3$ | kan aksepteres kortvarig |
| $3$–$4$ | plagsom lukt, bør begrenses |
| $> 4$ | plagsomt, tiltak kreves |

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 \mathrm{~OU/m^3}$ og $1400 \mathrm{~OU/m^3}$.

a) Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

---

## H2025 del 2 oppgave 4 — Parameterframstilling og møtepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Parameterframstilling, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115); Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for rett linje; fart fra lengde og tid; møtepunkt via likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-og-motepunkt/

### Oppgavetekst

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0, 300)$ og utsiktspunktet i $U(1200, 400)$. Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.

a) Forklar at parameterframstillingen

$$
I: \begin{cases} x = 1200s &\\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]
$$

gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

Hele turen tar 20 minutter.

b) Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.
c) Regn ut farten til Ina. Gi svaret i $\mathrm{m/s}$.

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon $t$ minutter etter at han startet sin tur, er gitt ved

$$
j: \begin{cases} x = 520 - 20t &\\ y = 310 + 5t \end{cases}
$$

d) Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

---

## H2025 del 2 oppgave 5 — Vektorer, lengde og ortogonalitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Trigonometri, Skalarprodukt
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Lengde av vektorsum via $|\vec{p}|^2 = |\vec a|^2 + 2 \vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2$; ortogonalitet via skalarprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-lengde-og-ortogonalitet/

### Oppgavetekst

For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30\degree$.

Det er gitt at $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$.

a) Regn ut den eksakte lengden av $\vec{p}$.

Det er gitt at $\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}$, der $t \in \mathbb{R}$.

b) Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ blir ortogonale.

---

## H2025 del 2 oppgave 6 — Grafer og dobbeltderivert

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Omvendt funksjon, Vendepunkt
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111); Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere par av funksjon og dobbeltderivert blant 8 grafer ut fra form; vurdere monotoni for invers funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafer-og-dobbeltderivert/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du åtte grafer.

- En av grafene er grafen til en funksjon på formen $a^x$, der $a$ er et positivt helt tall.
- Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $x^b - c$, der $b$ og $c$ er positive hele tall.
- Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

![Åtte grafer](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h25-2-6.avif)

a) Sorter grafene i par.
- De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte av funksjonen.
- Det må komme tydelig fram hvilken graf som er grafen til funksjonen, og hvilken som er grafen til den dobbeltderiverte.

Husk å begrunne svarene.
b) Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?

---

## V2024 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produktregel og ln

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av $4x^2 \cdot \ln(3x)$ med produktregelen og kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produktregel-og-ln/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen.

$$
f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x)
$$

---

## V2024 del 1 oppgave 2 — Logaritmeligningen med substitusjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Løs $(\ln x)^2 - \ln x = 6$ ved substitusjon $u = \ln x$ og faktorisering av andregradsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeligningen-med-substitusjon/

### Oppgavetekst

Løs likningen.

$$
(\ln x)^2 - \ln x = 6
$$

---

## V2024 del 1 oppgave 3 — Grenseverdier av eksponentialfunksjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Grenseverdi
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Bestem grenseverdier for $e^{-x+1}$ når $x \to \pm\infty$ ved å analysere eksponentens fortegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier-av-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = e^{-x+1}, \quad D_f = \mathbb{R}.
$$

Bestem grenseverdiene $\lim_{x\to\infty} f(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ dersom de eksisterer.

---

## V2024 del 1 oppgave 4 — Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Likninger
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Bruk parallelle og ortogonale vektorer til å bestemme $t$ for at tre punkter er kollineære og for at $\angle C = 90°$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-punkter-pa-linje-og-rettvinklet-trekant/

### Oppgavetekst

Vi har gitt tre punkter $A(3, 4)$, $B(-1, -2)$ og $C(3+t, 2t)$ der $t \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $t$ slik at punktene $A$, $B$ og $C$ ligger på en rett linje.
b) Bestem $t$ slik at punktene $A$, $B$ og $C$ danner en trekant slik at $\angle C = 90\degree$.

---

## V2024 del 1 oppgave 5 — Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118)
- **Kort beskrivelse:** Finn størst mulig definisjonsmengde der en stykkevis funksjon er kontinuerlig med uendret verdimengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuerlig-funksjon-med-storst-mulig-definisjonsmengde/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er definert ved

$$
f(x) = \begin{cases} x\text{,}  & 0 \le x \le 2 \\ 5 - x\text{,} \quad  & 2 < x \le 5 \end{cases}
$$

Gi funksjonen $f$ en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig:

- $f$ skal være kontinuerlig.
- Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
- Verdimengden til $f$ skal være uendret.

---

## V2024 del 2 oppgave 1 — Influensaepidemi og logistisk vekst

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logistisk funksjon, Derivasjon, Asymptoter, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Analyser logistisk vekstmodell for influensaepidemi ved å løse likning, derivere og undersøke asymptoter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/influensaepidemi-og-logistisk-vekst/

### Oppgavetekst

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever $S(t)$ etter $t$ dager er tilnærmet gitt ved

$$
S(t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}}.
$$

a) Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?
b) På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?
c) Undersøk om $S$ har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.

---

## V2024 del 2 oppgave 2 — Påstander om logaritme, derivasjon og invers

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Derivasjon, Funksjoner, Argumentasjon, Delt forskrift, Bevis, Kontinuitet
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116); Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118)
- **Kort beskrivelse:** Avgjør og begrunn tre påstander om logaritmeregler, deriverbarhet og invers funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-logaritme-derivasjon-og-invers/

### Oppgavetekst

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

a) **Påstand:** Når $x > 0$, er $e^{k \cdot \ln(x)} = x^k$.
b) En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} x^3 - 2\text{,} & x < 2 \\ 3x^2 - 4\text{,} & x \ge 2 \end{cases}
$$

**Påstand:** Funksjonen er deriverbar i $x = 2$.
c) **Påstand:** En funksjon som er både minkende og voksende i definisjonsmengden sin, kan ha en omvendt funksjon.

---

## V2024 del 2 oppgave 3 — To biler på kryss og motorvei

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112); Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115)
- **Kort beskrivelse:** Beregn avstand mellom to biler med posisjonsvektorer, avgjør motorveibil via fart og finn veikrysset.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-biler-pa-kryss-og-motorvei/

### Oppgavetekst

To biler, A og B, kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil A er gitt ved $\overrightarrow{r_A}(t)$, og posisjonen til bil B er gitt ved $\overrightarrow{r_B}(t)$, der

$$
\overrightarrow{r_A}(t) = \left[\frac{1}{2}(t-4),\ t\right] \quad \text{og} \quad \overrightarrow{r_B}(t) = \left[\frac{1}{2}t,\ \frac{3}{2}\left(t-\frac{1}{5}\right)\right].
$$

Her er $t$ tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

a) Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

b) Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

c) Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

---

## V2024 del 2 oppgave 4 — Momentmagnitudeskala og energi

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Løs logaritmisk formel for energi $E$ fra momentmagnitude $M$, og beregn energiforholdet ved $\Delta M = 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/momentmagnitudeskala-og-energi/

### Oppgavetekst

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ er

$$
M = \frac{2}{3} \lg(E) - 3{,}2.
$$

Energien $E$ måles i joule (J).

a) Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden $M$. Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler $4{,}7$ på momentmagnitudeskalaen.
b) Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom $M$ øker med 1?

---

## V2024 del 2 oppgave 6 — Modell for drivstoffutvikling i Moss

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentiell vekst
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3114)
- **Kort beskrivelse:** Lag lineær og eksponentiell regresjonsmodell for drivstoffutvikling og vurder modellenes gyldighet fremover.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-drivstoffutvikling-i-moss/

### Oppgavetekst

Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010–2022.

a) Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.») $t$ år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.
b) Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.

![Personbiler per drivstofftype i Moss. Kilde: Skjermdump av ssb.no, utdrag fra tabell 07849](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-v24-2-6-moss.avif)

---

## V2024 del 2 oppgave 7 — Innskrevet rektangel og Lars sitt program

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Programmering, Funksjonsdrøfting, Optimering
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Forklar og kjør program som bruker numerisk derivasjon for å maksimere areal av innskrevet rektangel, vurder strategiens generalitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-rektangel-og-lars-sitt-program/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2.
$$

Lars har tegnet grafen til $f$ med et innskrevet rektangel $ABCD$. Lars har også skrevet et program.

![Grafen til $f(x)$](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-v24-2-7.avif)

---

```python ln
def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001
def der_areal(x):
    return (areal(x + h) - areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
    x = x + dx

print(areal(x))
```

a) Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
b) Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon $f$ er?

---

## V2024 del 2 oppgave 8 — Pyramide i halvkule – størst mulig volum

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Derivasjon, Optimering, Volum
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Kort beskrivelse:** Optimer volumet av innskrevet pyramide i halvkule ved $V'(x)=0$ med bibetingelse fra halvsirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-i-halvkule-storst-mulig-volum/

### Oppgavetekst

En kule med radius $r$ deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.

![Halvkule med innskrevet pyramide](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-v24-2-8.avif)

Volumet av en pyramide er gitt ved

$$
V = \frac{h \cdot G}{3},
$$

der $G$ er grunnflaten og $h$ er høyden til pyramiden.

Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.

---

## H2024 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av eksponentialfunksjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=e^{2x}/x$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen

$$
f(x) = \frac{e^{2x}}{x}
$$

---

## H2024 del 1 oppgave 2 — Finne verdi programmet skriver ut

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at while-løkka $O(x+1)>O(x)$ stopper i toppunktet til andregradsfunksjonen; finne toppunktet via $O'(x)=0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-verdi-programmet-skriver-ut/

### Oppgavetekst

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

```python ln
def O(x):
    return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000

x = 0

while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x)
```

---

## H2024 del 1 oppgave 3 — Eksponentiallikning med substitusjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Substitusjon $u=10^x$ gjør $100^x-3\cdot10^x=4$ til andregradslikning $u^2-3u-4=0$; bare positiv løsning er gyldig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
100^x - 3 \cdot 10^x = 4
$$

---

## H2024 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi for rasjonalt uttrykk

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Grenseverdi når $x\to\infty$ av rasjonalt uttrykk med samme grad i teller og nevner — via L'Hôpital eller ved å dele med $x^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-for-rasjonalt-uttrykk/

### Oppgavetekst

Finn grenseverdien hvis den eksisterer.

$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18}
$$

---

## H2024 del 1 oppgave 5 — Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koordinatvektorer-lengde-og-ortogonalitet/

### Oppgavetekst

Fire vektorer er gitt ved $\vec{u} = [3, -2]$, $\vec{v} = [4, -6]$, $\vec{w} = [2, -3]$ og $\vec{p} = [8, 12]$

a) Avgjør om noen av vektorene er
- like lange
- ortogonale

En vektor er gitt ved $\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]$

b) Bestem $a$ og $b$ slik at $\vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5]$

---

## H2024 del 1 oppgave 6 — Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3110)
- **Kort beskrivelse:** Lese av gjennomsnittlig vekstfart på intervall $[0,4]$ og stigningstall til tangent i $x=1$ for å identifisere riktig graf blant tre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifiser-funksjon-fra-vekstfart-og-derivert/

### Oppgavetekst

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, $f$, $g$ og $h$. En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik $\frac{1}{2}$ i intervallet $\left[0, 4\right]$, og derivert lik 1 når $x = 1$.

![Koordinatsystem med tre funksjoner f, g og h](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-h24-1-6.avif)

Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.

---

## H2024 del 2 oppgave 1 — Vannreservoar med eksponentiell funksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3110)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannreservoar-med-eksponentiell-funksjon/

### Oppgavetekst

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved

$$
V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500
$$

Her er $t$ antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

a) Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?
b) Bestem $V'(12)$ og $V''(12)$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
c) Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.

---

## H2024 del 2 oppgave 2 — Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117); Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-grenseverdi-og-deriverbarhet/

### Oppgavetekst

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

a) **Påstand:** Hvis $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)$, så er $f(x) = g(x)$.
b) **Påstand:** Funksjonen $f(x) = |x|$ er deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$, bortsett fra i $x = 0$.
c) **Påstand:** For likningen $a^x = a^y$, der $a \in \mathbb{R}$, er løsningen alltid $x = y$.

---

## H2024 del 2 oppgave 3 — Bestem grunntall i logaritmefunksjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-grunntall-i-logaritmefunksjon/

### Oppgavetekst

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved

$$
f(x) = \log_a(x)
$$

![Graf av logaritmefunksjon med ukjent grunntall](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-h24-2-3.avif)

Bestem $a$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

---

## H2024 del 2 oppgave 3 — Fiskepopulasjon og logistisk modell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logistisk funksjon, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fiskepopulasjon-og-logistisk-modell/

### Oppgavetekst

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

| Måneder etter første registrering | 0 | 1   | 2   | 3 | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  |
|-----------------------------------|---|-----|-----|---|----|----|----|----|-----|
| Antall tusen fisk                 | 1 | 2,5 | 5,5 | 9 | 14 | 22 | 32 | 45 | 60 |

Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen

$$
A(t) = A_0 \cdot k^t
$$

der $A(t)$ er antall tusen fisk $t$ måneder etter første registrering.

a) Bestem $A_0$ og $k$, og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

$$
N(t) = \frac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r \cdot t}}
$$

$B$ er bæreevnen, $N_0$ er antall tusen fisk ved $t = 0$ og $r$ er vekstparameteren.

b) Bestem $N_0$, $B$ og $r$.
c) Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a) og b). Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.
d) Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best? Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?

---

## H2024 del 2 oppgave 5 — Omvendt funksjon fra graf

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-fra-graf/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du grafene til funksjonene $f$, $g$ og $h$.

![Grafene til f, g og h](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h24-2-5.avif)

a) Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.
b) Bestem funksjonsuttrykket og definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene den eksisterer.

---

## H2024 del 2 oppgave 6 — Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115); Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/posisjonsvektorer-for-smafugler-og-rovfugl/

### Oppgavetekst

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

$$
\vec{r}_1(t) = [-10 + 6t,\ 35 - 3t] \quad \text{og} \quad \vec{r}_2(t) = [2 + 5t,\ 4t]
$$

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

a) Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?
b) Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$?
c) På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$. Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

$$
\vec{r}_R(t) = [7t - 10,\ 2t^2 - 6t + 5]
$$

d) Gjør nødvendige beregninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.

---

## V2023 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av eksponential og logaritme

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=e^x+\ln x$ ledd for ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-eksponential-og-logaritme/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen

$$
f(x) = e^x + \ln x
$$

---

## V2023 del 1 oppgave 3 — Grenseverdi når x går mot 2

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Derivasjon, Funksjoner, Asymptoter
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3117)
- **Kort beskrivelse:** Grenseverdi av 0/0-form ved $x\to 2$ løst med L'Hôpitals regel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-nar-x-gar-mot-2/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien

$$
\lim_{ x \to 2 } \frac{x^3-8}{x^2-4}
$$

---

## V2023 del 1 oppgave 3 — Vinkler og vinkelrette vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-og-vinkelrette-vektorer/

### Oppgavetekst

Gitt tre punkt $A(1, 3)$, $B(4, 0)$ og $C(9, 4)$.

a) Bruk vektorregning til å avgjøre om $\angle CBA$ er mindre enn, lik eller større enn $90°$.

Et punkt $P$ ligger på linjen som går gjennom $B$ og $C$.

b) Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet $P$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$.

---

## V2023 del 1 oppgave 4 — Optimering av rektangelareal og program

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Programmering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111); Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-rektangelareal-og-program/

### Oppgavetekst

En elev har fått følgende oppgave:

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = (x^2 - 9)^4, \quad x \in \langle 0, 3 \rangle
$$

Et rektangel $R$ har hjørner i $(0, 0)$, $(t, 0)$, $(t, f(t))$ og $(0, f(t))$.

Bestem den verdien av $t$ som gjør at $R$ har størst areal.

![Figur](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v23-1-4-rektangel.avif)

For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:

```python ln
def A(x):
    return x*(x**2-9)**4

t = 0
d = 0.01

while A(t) < A(t+d):
    t = t + d

print(t)
```

a) Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.
b) Løs oppgaven eleven har fått.

---

## V2023 del 2 oppgave 1 — Timelønn og lønnsvekst

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3114)
- **Kort beskrivelse:** Vekstfaktor fra to tidspunkter, eksponentiell regresjon, summere årslønn med Excel og finne ukjent vekstfaktor med målsøking.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/timelonn-og-lonnsvekst/

### Oppgavetekst

Tabellen nedenfor viser timelønnen til en yrkesgruppe for noen år i perioden 2008-2022.

| Årstall  |  2008  |  2010  |  2013  |  2015  |  2019  |  2022  |
| :------- | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
| Timelønn | 272,55 | 285,50 | 307,30 | 314,00 | 327,60 | 340,10 |

a) Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?

b) Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentiell funksjon $g$ som er en modell for timelønnen til denne yrkesgruppen $x$ år etter 2008.

Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kroner i 2008. Per har hatt en lønnsutvikling tilsvarende tabellen i starten av oppgaven, mens Amalies lønn har steget med 2,3 prosent per år. De har begge jobbet 1700 timer per år.

c) Bestem den samlede lønnen til Amalie i årene 2008 til 2022. Bestem også den samlede lønnen til Per i disse årene.

Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Vi går ut fra at Amalie fortsatt vil ha en lønnsvekst på 2,3 prosent per år.

d) Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år dersom dette kravet skal innfris?

---

## V2023 del 2 oppgave 2 — Parallellogram og vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallellogram-og-vektorer/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktet $A(3, 2)$. Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved

$$
\vec{u} = [4, 3] \quad \text{og} \quad \vec{v} = [2t, 5t]
$$

Et parallellogram $ABCD$ er bestemt ved at $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ og $\overrightarrow{AD} = \vec{v}$.

a) Bestem koordinatene til $B$ og koordinatene til $C$ og $D$ uttrykt ved $t$.
b) Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir $P(8, 11)$.

---

## V2023 del 2 oppgave 3 — Avgjør påstander om funksjoner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Logaritmer, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111); Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avgjor-pastander-om-funksjoner/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

a) Hvis $x > 0$, så er $(\ln x)^4 = 4 \ln x$.
b) Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
c) For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.

---

## V2023 del 2 oppgave 4 — Omvendt funksjon fra grafer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Omvendt funksjon
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-fra-grafer/

### Oppgavetekst

Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner $f$, $g$, $h$ og $k$.

![Grafer](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v23-2-4-grafer.avif)

a) Avgjør og begrunn i hvert tilfelle om funksjonen har en omvendt funksjon.
b) Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den finnes.

---

## V2023 del 2 oppgave 6 — Avstand fra punkt til linje og graf

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Optimering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112); Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-fra-punkt-til-linje-og-graf/

### Oppgavetekst

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(4, -2)$ og $B(6, 6)$.

a) Bestem den eksakte avstanden fra punktet $P(2, 8)$ til linjen $\ell$.

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^2 + 2x
$$

b) Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $\ell$.

---

## V2023 del 2 oppgave 6 — Lydstyrke fra fly

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, CAS, Logaritmer, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmeuttrykk for lydintensitet, beregne prosentvis økning og bestemme minimumsavstand med to formler i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lydstyrke-fra-fly/

### Oppgavetekst

Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ (målt i dB) og lydintensiteten $I$ (målt i $\mathrm{W} / \mathrm{m}^2$) er gitt ved

$$
L=120+10 \cdot \lg I
$$

Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring $130 \mathrm{~dB}$.

a) Bestem lydintensiteten når lydstyrken er $130 \mathrm{~dB}$.

b) Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med $2 \mathrm{~dB}$ ?

Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er $E$, vil lydintensiteten $I$ på en avstand $r$ (målt i m) fra denne lydkilden være

$$
I=\frac{E}{4 \pi \cdot r^2}
$$

Lydstyrken fra et fly er $140 \mathrm{~dB}$ dersom du er $50 \mathrm{~m}$ fra flyet.

c) Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn $130 \mathrm{~dB}$.

---

## V2023 del 2 oppgave 7 — Gjennomsnitt med algoritme og program

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Integrasjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3110)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnitt-med-algoritme-og-program/

### Oppgavetekst

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon $f$ i et intervall $[a, b]$.

> **Merk**
> Algoritme
>

  Velg $N + 1$ tall jevnt fordelt i intervallet $[a, b]$.
>
> La $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b$ være disse tallene.
>
> Avstanden mellom et av tallene og det neste er da $\dfrac{b - a}{N}$.
>
> Regn ut gjennomsnittet $g$ av tallene $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_N)$.
>
> Da er $g$ en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til $f$ i $[a, b]$.
>
> Denne tilnærmingen blir bedre dess større $N$ er.

Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \sqrt{x}
$$

i intervallet $[0, 1]$. Hva blir dette gjennomsnittet?

---

## H2023 del 1 oppgave 1 — Deriver x ln(x)

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-x-ln-x/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonen

$$
f(x)=x^{2} \cdot \ln(x)
$$

---

## H2023 del 1 oppgave 2 — Sorter tallene i riktig rekkefølge

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3098)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sorter-tallene-i-riktig-rekkefolge/

### Oppgavetekst

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.

$$
2 \ln e^{3}\quad, \quad 3 \lg 70 \quad,\quad e^{3 \ln 2}
$$

Husk å begrunne svaret.

---

## H2023 del 1 oppgave 3 — Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-til-a-bestemme-sidekanter-og-vinkler-i-trekant/

### Oppgavetekst

I trekanten $ABC$ er $A(3, 1)$, $B(2, -2)$ og $C(5, 2)$.

a) Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side av trekanten som er kortest.
b) Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene er $90\degree$.

---

## H2023 del 1 oppgave 4 — Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (KM3119)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolk-og-fiks-program-som-finner-bunnpunkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x)=2x^{2}-9x-2
$$

Egil ønsker å lage et program som regner ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$. Han har skrevet koden nedenfor.

```python ln
def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x,h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0

while df(a,h) < 0:
    a = a + 1

print("Bunnpunktet er", (a, f(a)))
```

Programmet gir utskriften `Bunnpunktet er (3, -11)`

a) Forklar hvilken strategi Egil har brukt.

Svaret han får, er ikke riktig.

b) Foreslå en endring i koden som vil gi Egil et riktigere svar.

---

## H2023 del 2 oppgave 1 — Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett (KM3109); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3114)
- **Kort beskrivelse:** Bruke regresjon til å bekrefte eksponentiell modell $f(t)=2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t$, og finne når $f(t)=2{,}0$ og når $f'(t)<0{,}001$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsentrasjon-i-kjemisk-reaksjon/

### Oppgavetekst

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, $t$ sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på $2{,}5 \mathrm{~mmol/L}$.

| Tid (s)                           | 0    | 10    | 20    | 30    | 40    | 50    | 60    |
|-----------------------------------|------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| Konsentrasjon (mmol/L)            | 0    | 0,28  | 0,53  | 0,76  | 0,95  | 1,13  | 1,28  |
| Konsentrasjon $-\,2{,}5$ (mmol/L) | −2,5 | −2,22 | −1,97 | −1,74 | −1,55 | −1,37 | −1,22 |

a) Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t
$$

er en god modell for konsentrasjonen av stoffet $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.
b) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er $2{,}0 \mathrm{~mmol/L}$?
c) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn $0{,}001 \mathrm{~mmol/L}$ per sekund?

---

## H2023 del 2 oppgave 2 — Stykkevis funksjon med parameter k

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Delt forskrift, Funksjoner, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner (KM3118); Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner (KM3116)
- **Kort beskrivelse:** Forklare kontinuitet for alle $k$, finne $k$ som gir deriverbarhet i $x=k$, og bestemme for hvilke $k$ funksjonen har en omvendt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-med-parameter-k/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} -x^2 + (2+k)x\text{,} & x < k \\ x^2 + (2-k)x\text{,} \quad  & x \geq k \end{cases}
$$

der $k \in \mathbb{R}$.

a) Forklar at $f$ er en kontinuerlig funksjon for alle verdier av $k$.
b) Bestem $k$ slik at $f$ blir deriverbar i $x = k$.
c) For hvilke verdier av $k$ har $f$ en omvendt funksjon?

---

## H2023 del 2 oppgave 5 — Ishockeypuck med vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer (KM3115); Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet (KM3112)
- **Kort beskrivelse:** Finne startfart $|\vec r'(0)|$, tidspunkt for treff i vanten (løse $|x|=30$ eller $|y|=15$), og vise at rett-linje-spiller $P+t\vec v$ ikke skjærer banen til pucken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ishockeypuck-med-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

En ishockeybane er $60 \mathrm{~m}$ lang og $30 \mathrm{~m}$ bred. Vi plasserer et koordinatsystem slik at origo er midt på banen. Se figuren nedenfor.

![Ishockeybane](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h23-2-5.avif)

En hockeyspiller sendte av gårde en puck. Vektorfunksjonen $\vec{r}$ gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \left[8(e^{-t}-t),\; 5(e^{-t}-t)\right]
$$

gir puckens posisjon $t$ sekunder etter at den ble sendt av gårde. Denne vektorfunksjonen gir puckens posisjon helt til den treffer vantet (veggen på banen).

a) Hvilken fart hadde pucken idet den ble sendt av gårde?
b) Hvor lang tid gikk det før pucken traff vantet?

En annen hockeyspiller var i posisjonen $P(-18, 11)$ da pucken ble sendt av gårde. Spilleren hadde konstant fart $\vec{v} = [3, -7]$.

c) Begrunn at denne spilleren ikke ble truffet av pucken.

---

## H2023 del 2 oppgave 5 — Kasse uten lokk

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Geometri
- **Kompetansemål:** Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (KM3111)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kasse-uten-lokk/

### Oppgavetekst

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 $\mathrm{dm^2}$.

![Kasse uten lokk](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-h23-2-5.avif)

a) Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?
b) Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 $\mathrm{dm^3}$.

c) Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

---

## H2023 del 2 oppgave 6 — Cauchys middelverdisetning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Programmering, Bevis, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (KM3119)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $c$ konkret fra middelverdisetningen, lage program som finner $c$ for gitte $a,b$, og avgjøre om $c$ alltid er midtpunktet for andregradsfunksjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cauchys-middelverdisetning/

### Oppgavetekst

I 1823 viste matematikeren Augustin Louis Cauchy følgende setning:

> **Info**
> Anta at en funksjon $f$ er kontinuerlig i det lukkede intervallet $[a, b]$ og deriverbar i det åpne intervallet $\langle a, b \rangle$. Da finnes en $c \in \langle a, b \rangle$ slik at
>
> $$
> f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\text{.}
> $$
>

La $f(x) = x^2 + 3x + 1$.

a) Bestem $c$ når $a = 1$ og $b = 3$.
b) Lag et program som bestemmer $c$, når du gir verdier til $a$ og $b$.
c) Bruk programmet til å undersøke om det finnes en sammenheng mellom verdien av $c$ og verdiene av $a$ og $b$.

Anne påstår at dersom $a = 2$ og $b = 8$, så vil $c = 5$ for alle andregradsfunksjoner.

d) Avgjør om Annes påstand er riktig.

---

## H2023 del 2 oppgave 6 — Påstander om tredjegradsfunksjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere tre påstander om tredjegradsfunksjoner ved moteksempel ($x^3$), algebraisk bevis, og symbolsk derivering av generell form.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-tredjegradsfunksjon/

### Oppgavetekst

La $f$ være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

a) Påstand 1: Grafen til $f$ har minst ett ekstremalpunkt.
b) Påstand 2: Alle linjer på formen $y = ax + b$, der $a, b \in \mathbb{R}$, vil skjære grafen til $f$.
c) Påstand 3: Dersom grafen til $f$ har et vendepunkt for $x = 3$, er $f'(1) = f'(5)$.

---

## V2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av to funksjoner R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=x^3+\ln x$ og $g(x)=x \cdot e^{2x}$ med produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-to-funksjoner-r1-v22/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x)=x^3+\ln x
$$

b)

$$
g(x)=x \cdot e^{2x}
$$

---

## V2022 del 1 oppgave 2 — Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $e^{2x}-e^x=2$ ved substitusjon $u=e^x$ og andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon-r1-v22/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
e^{2x}-e^x=2
$$

Løs likningen $e^{2x}-e^x=2$.

---

## V2022 del 1 oppgave 3 — Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$ ved faktorisering av nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-rasjonalt-uttrykk-r1-v22/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien

$$
\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}
$$

Bestem grenseverdien $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$.

---

## V2022 del 1 oppgave 4 — Tre punkter vinkelrett og kollineær R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne parameter $t$ i $C(t,4)$ slik at $\angle BAC=90°$, og deretter slik at $A$, $B$, $C$ er kollineære.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-punkter-vinkelrett-og-kollineaer-r1-v22/

### Oppgavetekst

Vi har tre punkter $A(1,2)$, $B(-1,5)$ og $C(t,4)$ der $t \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $t$ slik at $\angle BAC = 90°$.
b) Bestem $t$ slik at $A$, $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

---

## V2022 del 1 oppgave 5 — Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Funksjoner, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Forklare og analytisk finne maksimum til $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ ut fra en while-løkke som stopper når $f(x) > f(x+h)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-maksimum-av-funksjon-med-while-lokke/

### Oppgavetekst

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

```python ln
def f(x):
    return x/(1+x**2)    # Definerer funksjonen f(x)=x/(1+x^2)

x = 0
h = 0.001
while f(x) <= f(x+h):
    x = x+h

print(x)
```

a) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?
b) Gjør nødvendige beregninger, og bestem svaret som eleven ønsker å finne.

---

## V2022 del 2 oppgave 1 — Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne $t$ for kontinuitet i stykkvis funksjon og avgjøre deriverbarhet i $x=2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuitet-og-deriverbarhet-stykkvis-funksjon-r1-v22/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x < 2 \\ x-t, & x \geq 2 \end{cases}
$$

a) Bestem tallet $t$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.
b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $x=2$ for den verdien av $t$ du fant i oppgave a).

---

## V2022 del 2 oppgave 2 — Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne lengden av $\vec{u}=\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{v}=\vec{a}-6\vec{b}$, og vinkelen mellom dem, gitt $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ og $\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-lengde-og-vinkel-med-prikkprodukt-r1-v22/

### Oppgavetekst

For vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ og $\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$.

Vi lar $\vec{u}=\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{v}=\vec{a}-6\vec{b}$.

a) Bestem lengden av $\vec{u}$ og $\vec{v}$.
b) Bestem vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$.

---

## V2022 del 2 oppgave 3 — Største intervall for omvendt funksjon R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme det største intervallet $I=[a,b]$ med $1 \in I$ slik at $f(x)=x^3-6x$ er injektiv og har en omvendt funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storste-intervall-for-omvendt-funksjon-r1-v22/

### Oppgavetekst

Funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x)=x^3-6x
$$

Bestem det største intervallet $I=[a,b]$ slik at $1 \in I$ og $f$ har en omvendt funksjon når $I$ er definisjonsmengden til $f$.

---

## V2022 del 2 oppgave 5 — Algoritme og kode for rettvinklet trekant R1 V22

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beskrive algoritme og skrive kode som avgjør om tre punkter danner en rettvinklet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algoritme-og-kode-for-rettvinklet-trekant-r1-v22/

### Oppgavetekst

Gitt tre punkter $A(a,b)$, $B(c,d)$ og $C(e,f)$.

a) Beskriv en algoritme som du kan bruke til å avgjøre om $\triangle ABC$ er en rettvinklet trekant.
b) Skriv en kode basert på algoritmen du beskrev i oppgave a). Input skal være koordinatene $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ og $f$. Output skal være en av følgende tekster:

- Punktene danner en rettvinklet trekant.
- Punktene danner ikke en rettvinklet trekant.

---

## V2022 del 2 oppgave 6 — Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstanter i Newtons avkjølingslov og finne tidspunkt for gitt temperatur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/newtons-avkjolingslov-for-kaffe-med-ln-modell/

### Oppgavetekst

Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen $T$ til et objekt etter $t$ minutter være gitt ved

$$
\ln(T - T_0) = -k \cdot t + r
$$

hvor $T_0$ er romtemperaturen, og der $k$ og $r$ er konstanter.

I et rom med temperatur $22\degree\text{C}$ setter vi en kopp med kaffe. Ved tidspunktet $t = 0$ er temperaturen i kaffen $82\degree\text{C}$. Etter 2 minutter er temperaturen $66\degree\text{C}$.

Hvor lang tid tar det før temperaturen i kaffen er mindre enn $40\degree\text{C}$?

---

## V2022 del 2 oppgave 6 — Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Maksimere arealet av trekant $ABP$ der $P(s,g(s))$ ligger på $g(x)=x^3-3x^2-13x+15$ for $s \in \langle 1,5 \rangle$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantareal-med-punkt-pa-tredjegradsgraf-optimering/

### Oppgavetekst

En funksjon $g$ er gitt ved

$$
g(x)=x^3-3x^2-13x+15
$$

Et punkt $P(s,g(s))$ ligger på grafen til $g$, der $s \in \langle 1,5 \rangle$.
Punktene $A(1,0)$, $B(s,0)$ og $P(s,g(s))$ danner en trekant $ABP$.

Bestem den eksakte verdien av $s$ som gir det største arealet til trekanten.
Hvor stort er dette arealet?

---

## V2022 del 2 oppgave 7 — Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bruke posisjonsvektorer til å bestemme banefartsvektor, undersøke om to båter møtes, og finne nødvendig banefart for en tredje båt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/piratbat-og-politibat-posisjonsvektorer/

### Oppgavetekst

Båten til en pirat kjører med konstant fart. Posisjonen $\vec{r}_1$ til båten etter $t$ timer er

$$
\vec{r}_1(t)=[2+24t,\, 4+20t]
$$

Enhetene langs aksene er kilometer.

a) Hvor stor er banefarten til båten?

Politiet ønsker å stoppe piraten. Samtidig som piraten er i punktet $(2,4)$, starter en politibåt sin jakt. Politibåten starter i punktet $(0,10)$ og holder konstant fart langs en rett linje. Posisjon $\vec{r}_2$ til politibåten er

$$
\vec{r}_2(t)=[26t,\, 10-22t]
$$

b) Undersøk om politiet vil møte piraten.

En annen politibåt starter også i $(0,10)$. Denne båten holder også konstant fart.

c) Hvor stor må banefarten til denne båten være dersom de skal treffe piraten i punktet $(8,9)$?

---

## V2022 del 2 oppgave 8 — Tangentpunkt og skjæringspunkt tredjegradsfunksjon og linje

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at $f(x)=2x^3-6x^2+2x+3$ og $g(x)=2x+3$ tangerer i ett punkt og skjærer i et annet, og generalisere sammenhengen mellom vendepunkt og skjæringspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentpunkt-og-skjaeringspunkt-tredjegradsfunksjon-og-linje/

### Oppgavetekst

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

$$
f(x)=2x^3-6x^2+2x+3
$$

$$
g(x)=2x+3
$$

a) Vis at grafene til de to funksjonene tangerer hverandre i ett punkt og skjærer hverandre i et annet punkt.

Einar og Lise har jobbet med slike funksjoner. De påstår å ha funnet en sammenheng:

> Dersom $F(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ og $G(x)=cx+d$, så vil grafene til $F$ og $G$ tangere hverandre.

b) Avgjør om det Einar og Lise har kommet fram til, kan stemme.

Lise har funnet en sammenheng mellom $x$-koordinaten til vendepunktet til $F$ og $x$-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til $F$ og $G$.

c) Hvilken sammenheng kan Lise ha funnet?
Begrunn at denne sammenhengen stemmer.

---

## V2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med kvadratrot av 1-2x og brøk med e

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere $x^2+\ln x$, $x\sqrt{1-2x}$ med produkt- og kjerneregel og $\frac{x}{e^{x^2}}$ med kvotient- og kjerneregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-kvadratrot-av-1-2x-og-brok-med-e/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x)=x^2+\ln x
$$

b)

$$
g(x)=x\cdot\sqrt{1-2x}
$$

c)

$$
h(x)=\dfrac{x}{e^{x^2}}
$$

---

## V2022 del 1 oppgave 2 — Logaritmelikning og eksponentiallikning med 2e opphøyd i minus x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Eksponentialfunksjon, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $\lg x^3-2\lg x=3$ med logaritmeregler og $e^x-2e^{-x}-1=0$ som andregradslikning i $e^x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-og-eksponentiallikning-med-2e-opphoyd-i-minus-x/

### Oppgavetekst

Løs likningene

a)

$$
\lg x^3-2\lg x=3
$$

b)

$$
e^x-2e^{-x}-1=0
$$

---

## V2022 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og tredjegradslikning med rot i x lik 2

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon $(x^3+2x^2-5x-6):(x-2)$ og bruk av resultatet til å løse $x^3+2x^2=5x+6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-tredjegradslikning-med-rot-i-x-lik-2/

### Oppgavetekst

a) Utfør polynomdivisjonen $(x^3+2x^2-5x-6):(x-2)$
b) Løs likningen $x^3+2x^2=5x+6$

---

## V2022 del 1 oppgave 4 — Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Optimering, Volum, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Finne grunnflaten $G=V/h$ ved polynomdivisjon med $x+1$ og minimere andregradsuttrykket.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minst-grunnflate-i-eske-med-volum-som-tredjegradspolynom/

### Oppgavetekst

En eske har form som et rett prisme der volumet $V$ er gitt ved

$$
V(x)=x^3-4x^2+2x+7
$$

Esken har høyde $h=x+1$.

Bestem $h$ slik at arealet av grunnflaten blir minst mulig.

---

## V2022 del 1 oppgave 5 — Grenseverdi av x i andre minus 1 over x minus 1

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ ved faktorisering med konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-x-i-andre-minus-1-over-x-minus-1/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

---

## V2022 del 1 oppgave 6 — Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Delt forskrift, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $k$ som gjør delt forskrift kontinuerlig i $x=2$, og sammenligne ensidige deriverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuitet-og-deriverbarhet-for-delt-forskrift-med-parameter-k/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x<2 \\ x-k, & x\geq 2 \end{cases}
$$

a) Bestem tallet $k$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.
b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $x=2$ når $k$ har verdien du fant i oppgave a).

---

## V2022 del 1 oppgave 7 — Fire sommerdekk plassert på feil plass

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle permutasjoner av fire dekk og finne sannsynligheten for at ingen havner på riktig plass.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fire-sommerdekk-plassert-pa-feil-plass/

### Oppgavetekst

Mari skal skifte fra vinterdekk til sommerdekk på bilen sin. Uheldigvis har hun glemt å merke sommerdekkene med hvor de skal plasseres på bilen (høyre foran, venstre foran, høyre bak og venstre bak).

a) På hvor mange måter kan hun plassere de fire sommerdekkene på bilen?
b) Hva er sannsynligheten for at hun plasserer alle dekkene på feil plass?

---

## V2022 del 1 oppgave 8 — Vinklene u, v og w i sirkel med diameter AB

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vinkler med periferivinkelsetningen, sentralvinkel, Thales og likebeint trekant, med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinklene-u-v-og-w-i-sirkel-med-diameter-ab/

### Oppgavetekst

Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ ligger på en sirkel med sentrum $S$ slik at

- $AB$ er diameter i sirkelen
- $\angle CBS=52\degree$
- $\angle DEB=79\degree$, der $E$ er skjæringspunktet mellom $DC$ og $AB$

![Sirkel med sentrum S, diameter AB og kordene CD, CB og AD, der vinklene u, v og w er markert](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v22-lk06-1-8.avif)

Bestem vinklene $u$, $v$ og $w$.
Husk å begrunne svarene.

---

## V2022 del 1 oppgave 9 — Sirkellikning med sentrum og skjæring med x-aksen

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Fullstendig kvadrat, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Omforme $x^2+y^2-4x-8y=5$ med fullstendige kvadraters metode og løse $y=0$ for skjæring med $x$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkellikning-med-sentrum-og-skjaering-med-x-aksen/

### Oppgavetekst

En sirkel er gitt ved likningen

$$
x^2+y^2-4x-8y=5
$$

a) Vis at $(2,4)$ er sentrum i sirkelen.
Bestem sirkelens radius.
b) Bestem skjæringspunktene mellom sirkelen og $x$-aksen.

---

## V2022 del 1 oppgave 10 — Vinkel mellom parameterframstilt linje og linje gjennom origo

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Lese av retningsvektorer og bruke skalarproduktet til å finne vinkelen mellom to linjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-mellom-parameterframstilt-linje-og-linje-gjennom-origo/

### Oppgavetekst

En linje $\ell$ er gitt ved

$$
\ell:\ \begin{cases} x=2t+4 & \\ y=-t+4 & \end{cases}
$$

En annen linje $m$ går gjennom $(0,0)$ og $(2,4)$.

Bestem vinkelen mellom linjene $\ell$ og $m$.

---

## V2022 del 1 oppgave 11 — Sentrum i sirkel som tangerer parabelen y lik x i andre

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Tangent, Derivasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Finne sentrum som skjæring mellom normalene til $y=x^2$ i tangeringspunktene og $y$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sentrum-i-sirkel-som-tangerer-parabelen-y-lik-x-i-andre/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x)=x^2
$$

En sirkel tangerer grafen til $f$ i punktene $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{4}\right)$ og $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{4}\right)$.

![Grafen til f med en sirkel med sentrum C som tangerer grafen i punktene A og B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v22-lk06-1-11.avif)

Bestem sirkelens sentrum.

---

## V2022 del 2 oppgave 1 — Oppkjøring til førerkort med 7 gutter og 5 jenter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Binomiske sannsynligheter med $p=0{,}74$ for grupper av elever, og minste $n$ med $0{,}74^n<0{,}02$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oppkjoring-til-forerkort-med-7-gutter-og-5-jenter/

### Oppgavetekst

Statistikk viser at 74 prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.

17\. juni 2022 skal 7 gutter og 5 jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.

a) Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
b) Bestem sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen.
c) Bestem sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene består oppkjøringen.
d) Bestem sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen.

Ved en annen videregående skole var det flere elever som hadde oppkjøring 10. mai 2022. Alle disse elevene besto oppkjøringen. Sannsynligheten for at dette skulle skje, er mindre enn 2 prosent.

e) Hvor mange elever ved denne skolen må minst ha hatt oppkjøring denne dagen?

---

## V2022 del 2 oppgave 2 — Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $k$ i $\vec{b}=[k,2]$ fra en lineærkombinasjon og fra kravet om vinkel over $60\degree$ via skalarproduktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorparameter-k-med-lineaerkombinasjon-og-vinkel-storre-enn-60-grader/

### Oppgavetekst

Vi har to vektorer $\vec{a}=[3,1]$ og $\vec{b}=[k,2]$, der $k\in\mathbb{R}$.

a) Bestem $k$ slik at $3\vec{a}+5\vec{b}=[-6,13]$.
b) Bestem $k$ slik at vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ blir større enn $60\degree$.

---

## V2022 del 2 oppgave 3 — Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Vektorfunksjon med $e^{-t/2}$, der $k$ bestemmes fra banefart, banen tegnes og to tidspunkter med samme posisjon finnes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkelbane-med-banefart-13-og-samme-posisjon-to-ganger/

### Oppgavetekst

Posisjonen $\vec{r}$ til en partikkel ved et tidspunkt $t$ er gitt ved

$$
\vec{r}(t)=\left[-12t\,e^{-\frac{t}{2}},\ t^2+k\cdot t\right]
$$

der $-1\leq t\leq 6$ og $k\in\mathbb{R}$.

a) Bestem $k$ slik at banefarten til partikkelen er $13$ når $t=0$.

I resten av oppgaven lar vi $k=-5$.

b) Tegn grafen til $\vec{r}$.

Partikkelen er i samme posisjon ved to ulike tidspunkter.

c) Bestem disse to tidspunktene.

---

## V2022 del 2 oppgave 4 — Koeffisienter i tredjegradsfunksjon fra nullpunkt og vendepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Vendepunkt, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $f(1)=0$, $f(2)=-3$ og $f''(2)=0$ og løse likningssystemet for $a$, $b$ og $c$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koeffisienter-i-tredjegradsfunksjon-fra-nullpunkt-og-vendepunkt/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt på formen

$$
f(x)=ax^3+bx^2+cx+1
$$

der $a,b,c\in\mathbb{R}$.

Om denne funksjonen vet vi at

- $x=1$ er et nullpunkt
- $P(2,-3)$ er vendepunkt

Bruk disse opplysningene til å bestemme eksakte verdier for $a$, $b$ og $c$.

---

## V2022 del 2 oppgave 5 — Arealuttrykk og største areal for trekant ABP under grafen til g

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Polynomdivisjon
- **Kort beskrivelse:** Areal av trekant $ABP$ med $P(s,g(s))$ på $g(x)=x^3-3x^2-13x+15$ og eksakt maksimum ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealuttrykk-og-storste-areal-for-trekant-abp-under-grafen-til-g/

### Oppgavetekst

En funksjon $g$ er gitt ved

$$
g(x)=x^3-3x^2-13x+15
$$

La $s\in\langle 1,5\rangle$. Punktene $A(1,0)$, $B(s,0)$ og $P(s,g(s))$ danner en trekant $ABP$.

a) Bestem et uttrykk for arealet av denne trekanten.
b) Bestem den eksakte verdien av $s$ som gir det største arealet av trekanten.
Hvor stort er dette arealet?

---

## H2022 del 1 oppgave 1 — Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre med begrunnelse om to funksjoner har omvendt funksjon, der én har begrenset definisjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-av-x4-og-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Avgjør for hver av funksjonene nedenfor om den har en omvendt funksjon. Husk å begrunne svaret.

a) $f(x) = x^4$, $D_f = \mathbb{R}$
b) $g(x) = e^{-(x-2)^2}$, $D_g = [2, \to\rangle$

---

## H2022 del 1 oppgave 3 — Sammenlign tre uttrykk med rot, lg og ln

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre med begrunnelse hvilke av $3\sqrt{11}$, $10\lg 9$ og $5\ln 9$ som er mindre enn 10.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenlign-tre-uttrykk-med-rot-lg-og-ln/

### Oppgavetekst

Hvilke av tallene er mindre enn 10? Husk å begrunne svarene.

$$
3\sqrt{11} \qquad 10\lg 9 \qquad 5\ln 9
$$

---

## H2022 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\lim_{h \to 0} \frac{(4+h)^2 - 4^2}{h}$ som er definisjonen av den deriverte i $x=4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-differenskvotient-i-punkt-4/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien

$$
\lim_{h \to 0} \frac{(4+h)^2 - 4^2}{h}
$$

---

## H2022 del 1 oppgave 4 — Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at $\angle APB = 90\degree$ vha. vektorer, og bestemme koordinatene til $Q$ på en linje parallell med $\overrightarrow{AB}$ der $\angle AQB = 90\degree$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-apb-og-punkt-q-pa-linje-gjennom-p/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktene $A(1, 1)$, $B(9, 7)$ og $P(5, 9)$.

a) Vis at $\angle APB = 90\degree$.

En linje $\ell$ er parallell med $\overrightarrow{AB}$ og går gjennom punktet $P$.

Det er også et annet punkt $Q$ på $\ell$ som er slik at $\angle AQB = 90\degree$.

b) Bestem koordinatene til $Q$.

---

## H2022 del 1 oppgave 5 — Tangentlinje funnet med derivasjonsprogram

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese og forstå et Python-program som finner tangentlinjen til $f(x)=\frac{6x-3}{x-1}$ med stigningstall $-3$, og bestemme konstantleddet $b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentlinje-funnet-med-derivasjonsprogram/

### Oppgavetekst

Marianne har skrevet følgende program:

![Program som finner tangentlinje til f(x)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h22-1-5.avif)

Bestem verdien av variabelen $b$ som defineres på linje 12.

---

## H2022 del 2 oppgave 1 — Logistisk modell for Norges energiproduksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lage logistisk modell for energiproduksjon og forbruk, finne veksttoppunkt og vurdere selvforsyningsgrad med elektrisk energi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logistisk-modell-for-norges-energiproduksjon/

### Oppgavetekst

Tabellen nedenfor viser hvor mye elektrisk energi Norge produserte noen utvalgte år.

| År | 1950 | 1960 | 1970 | 1981 | 1990 | 2000 | 2012 | 2020 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Produksjon (GWh) | 16 924 | 31 121 | 57 606 | 93 397 | 121 848 | 142 816 | 147 716 | 154 197 |

a) Bruk tallene fra tabellen til å lage en logistisk modell $g$ som viser oss Norges energiproduksjon $x$ år etter 1950.
b) I hvilket år økte produksjonen raskest ifølge modellen $g$?

Tabellen nedenfor viser forbruket av elektrisk energi i Norge noen utvalgte år.

| År | 1950 | 1960 | 1970 | 1981 | 1990 | 2000 | 2012 | 2020 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Forbruk (GWh) | 16 924 | 31 253 | 56 770 | 88 168 | 105 941 | 123 761 | 129 900 | 133 725 |

c) Bruk tallene fra tabellen til å lage en modell som du mener vi kan bruke til å vurdere om vi på sikt vil være selvforsynte med elektrisk energi.

---

## H2022 del 2 oppgave 2 — Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme omvendt funksjon til $Q(t)=Q_0(1-e^{-2{,}3t})$ og bruke den til å finne ladetiden for 90 % av maksimal ladning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-og-ladetid-for-kamerablits/

### Oppgavetekst

Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen $Q$ i blitsen $t$ sekunder etter at den går av, er gitt ved

$$
Q(t) = Q_0\left(1 - e^{-2{,}3t}\right), \quad t \geq 0
$$

Her er $Q_0$ den maksimale ladningen i blitsen.

a) Bestem den omvendte funksjonen til $Q$.
b) Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen?

---

## H2022 del 2 oppgave 2 — Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme areal av trekant OAB dannet av tangenten til $f(x)=1-x^2$ og koordinataksene, og minimere arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-parabel-og-minste-areal-av-trekant-oab/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 1 - x^2, \quad D_f = [0, 1]
$$

La $a \in \langle 0, 1 \rangle$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P(a, f(a))$ skjærer $x$-aksen i punktet $A$ og $y$-aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

![Graf som viser parabelen $f(x)=1-x^2$ på $[0,1]$ med tangent i $P$ som skjærer aksene i $A$ og $B$](/assets/_resources/s1-h22-2-2.avif)

a) Bestem arealet av $\triangle OAB$ når $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right)$.
b) Bestem det minste arealet $\triangle OAB$ kan ha.

---

## H2022 del 2 oppgave 3 — Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at $C$ ligger på strålen $\ell$, bestemme vinkler og koordinater med vektorregning for punkter på $\ell$ med gitte vinkel- og arealbetingelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/strale-gjennom-origo-og-vinkler-i-trekant/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktene $A(0, 0)$, $B(9, 1)$ og $C(24, 10)$. En stråle $\ell$ er gitt ved parameterframstillingen

$$
\ell: \begin{cases} x = 12t & \\ y = 5t \end{cases}, \quad t > 0
$$

a) Vis at $C$ ligger på $\ell$.
b) Bruk vektorregning til å bestemme $\angle BAC$.

Et annet punkt $D$ ligger på $\ell$ slik at $\angle ADB = 120\degree$.

c) Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til $D$.

Et punkt $E$ ligger på $\ell$ slik at arealet til $\triangle ABE$ er 11.

d) Bestem de eksakte koordinatene til $E$.

---

## H2022 del 2 oppgave 4 — Sannhetsverdi av tre påstander om funksjoner og logaritmer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre med argumentasjon om tre påstander om injektivitet, logaritmevekst og derivasjon av $\ln x$ vs. $\ln(ax)$ er sanne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannhetsverdi-av-tre-pastander-om-funksjoner-og-logaritmer/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann. Husk å argumentere!

a) Hvis $f(a) = f(b)$ for en funksjon $f$, så er $a = b$.
b) Hvis $0 < a < b$, så er $\ln a < \ln b$.
c) Hvis $a > 0$ og $x > 0$, så er $(\ln x)' = (\ln(ax))'$.

---

## H2022 del 2 oppgave 6 — Program for tyngdepunkt i trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Lage et program som beregner og skriver ut koordinatene til tyngdepunktet $T$ i en trekant $ABC$ gitt ved formelen $\overrightarrow{OT}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-for-tyngdepunkt-i-trekant/

### Oppgavetekst

Tyngdepunktet $T$ i en trekant $ABC$ er gitt ved

$$
\overrightarrow{OT} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\right)
$$

der $O$ er origo.

Lag et program hvor du oppgir koordinatene til punktene $A$, $B$ og $C$. Programmet skal skrive ut koordinatene til tyngdepunktet.

---

## H2022 del 2 oppgave 6 — Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Utforske for hvilke $k$ likningen $f'(x)=k$ har løsning, beskrive symmetri i løsningene, og bestemme parametre i en generalisert rasjonal funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-symmetri-i-losninger-av-f-x-k/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 2x + 5 + \frac{1}{x-1}
$$

a) For hvilke verdier av $k$ har likningen $f'(x) = k$ løsning?
b) Velg ulike verdier av $k$, og beskriv symmetrien i løsningene av likningen $f'(x) = k$ for hver av disse verdiene.

La $g$ være en funksjon som kan skrives på formen

$$
g(x) = a \cdot x + b + \frac{1}{x+d}
$$

c) For hvilke verdier av $a$ har likningen $g'(x) = 4$ løsning?

La nå $a = 3$.

d) Utforsk og beskriv løsningene til likningen $g'(x) = k$ for ulike verdier av $k$.
e) Bestem $b$ og $d$ slik at $g'(-1) = g'(5)$ og $g(1) = 7$.

---

## H2022 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med ln x, produkt med e-kjerne og brøk med e i nevner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $2x^3 - \ln x$, $x \cdot e^{-2x^2}$ med produkt- og kjerneregel og $\frac{2x+2}{e^x}$ med brøkregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-ln-x-produkt-med-e-kjerne-og-brok-med-e-i-nevner/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 2x^3 - \ln x
$$

b)

$$
g(x) = x \cdot e^{-2x^2}
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{2x + 2}{e^x}
$$

---

## H2022 del 1 oppgave 2 — Likning med 100 opphøyd i x og lg-likning med lg 6, lg 3 og lg 2

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Andregradslikninger, Logaritmelikning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse $100^x + 10 = 11 \cdot 10^x$ med substitusjon $u = 10^x$, og $\lg x = \lg 6 - 2\lg 3 + \lg 2$ med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-med-100-opphoyd-i-x-og-lg-likning-med-lg-6-lg-3-og-lg-2/

### Oppgavetekst

Løs likningene

a)

$$
100^x + 10 = 11 \cdot 10^x
$$

b)

$$
\lg x = \lg 6 - 2\lg 3 + \lg 2
$$

---

## H2022 del 1 oppgave 5 — Anita og Lars trekkes til teltoppsett eller matlaging

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for at to bestemte personer havner i samme gruppe når tre av åtte trekkes ut.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/anita-og-lars-trekkes-til-teltoppsett-eller-matlaging/

### Oppgavetekst

Kjæresteparet Anita og Lars skal på telttur med seks av vennene sine. På turen skal tre av de åtte vennene sette opp teltene. De fem andre skal lage mat. De trekker tilfeldig ut hvem som skal gjøre de ulike oppgavene.

a) Hva er sannsynligheten for at både Anita og Lars blir trukket ut til å sette opp teltene?
b) Hva er sannsynligheten for at Anita og Lars ikke blir trukket ut til å gjøre samme arbeidsoppgave?

---

## H2022 del 1 oppgave 5 — Tredjegradspolynom med faktor x+6, ekstremalpunkter og skisse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjonsdrøfting, Tredjegradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere $x^3 + 5x^2 - 8x - 12$ via faktoren $(x+6)$, finne ekstremal- og vendepunkt med derivasjon og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradspolynom-med-faktor-x-6-ekstremalpunkter-og-skisse/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + 5x^2 - 8x - 12
$$

a) Vis at $(x + 6)$ er en faktor i $f(x)$. Bestem eventuelle andre lineære faktorer.
b) Begrunn at grafen til $f$ har et bunnpunkt i $\left(\dfrac{2}{3}, f\left(\dfrac{2}{3}\right)\right)$. Bestem eventuelle andre ekstremalpunkter.
c) Bestem $x$-koordinaten til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$. Du kan bruke at $\left(\dfrac{2}{3}, f\left(\dfrac{2}{3}\right)\right) \approx \left(0{,}667 ,\ -14{,}8\right)$.

---

## H2022 del 1 oppgave 8 — Sirkel og linjer x+y=k som skjærer og tangerer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Likningssystem, Tangent, Fullstendig kvadrat
- **Kort beskrivelse:** Finne skjæringspunkter mellom sirkelen $x^2 - 2x + y^2 - 4y = -3$ og en linje, og bestemme $k$ slik at $x + y = k$ tangerer sirkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-og-linjer-x-y-k-som-skjaerer-og-tangerer/

### Oppgavetekst

En sirkel er gitt ved likningen

$$
x^2 - 2x + y^2 - 4y = -3
$$

En linje $\ell_1$ er gitt ved likningen

$$
x + y = 3
$$

a) Bestem skjæringspunktene mellom sirkelen og $\ell_1$.

En annen linje $\ell_2$ er gitt ved likningen

$$
x + y = k
$$

der $k$ er et reelt tall.

b) Bestem to verdier av $k$ slik at $\ell_2$ tangerer sirkelen.

---

## H2022 del 1 oppgave 9 — Likebeint trekant i sirkel med tangent i A og vinkel ADC

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Tangent, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vinkelberegning med periferivinkler og vinkelen mellom tangent og korde i en likebeint trekant innskrevet i en sirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likebeint-trekant-i-sirkel-med-tangent-i-a-og-vinkel-adc/

### Oppgavetekst

En likebeint trekant $ABC$ er plassert slik at hjørnene ligger på en sirkel med sentrum $S$. Tangenten til sirkelen i $A$ skjærer forlengelsen av $BC$ i $D$. Vi lar $v = \angle BAC$ og $u = \angle ACB$. Se skissen nedenfor.

![Likebeint trekant ABC innskrevet i en sirkel med sentrum S, med tangenten i A som skjærer forlengelsen av BC i D](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h22-lk06-1-9.avif)

a) Hvor stor er $\angle ADC$ dersom $u = 110\degree$?
b) Begrunn at $u > 90\degree$ når $S$ ligger utenfor $\triangle ABC$.

---

## H2022 del 2 oppgave 1 — Fem kort uten tilbakelegging og antall hjerter

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for antall hjerter blant fem kort, og telling av hender med minst ett kort av hver type.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fem-kort-uten-tilbakelegging-og-antall-hjerter/

### Oppgavetekst

En kortstokk består av fire typer kort: ruter, kløver, hjerter og spar. Hver type består av 13 kort, med ulike verdier.

Vi trekker tilfeldig fem kort uten tilbakelegging fra en slik kortstokk.

a) Bestem sannsynligheten for at alle de fem kortene er hjerter.
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av de fem kortene er hjerter.
c) Hva er sannsynligheten for at de fem kortene inneholder minst ett kort av hver type?

---

## H2022 del 2 oppgave 3 — Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Optimering, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette opp tangenten til $f(x) = 1 - x^2$ i $x = a$, vise arealformelen for trekanten mot aksene og minimere $T(a)$ med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealfunksjon-t-a-for-trekant-oab-under-tangent-til-parabel/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 1 - x^2 \quad , \quad D_f = [0 , 1]
$$

La $a \in \langle 0 , 1 \rangle$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P(a, f(a))$ skjærer $x$-aksen i punktet $A$ og $y$-aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

![Grafen til f med tangenten i P som skjærer x-aksen i A og y-aksen i B, og trekanten OAB skravert](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h22-lk06-2-3.avif)

a) Vis at arealet $T$ til $\triangle OAB$ er gitt ved

$$
T(a) = \frac{(a^2 + 1)^2}{4a}
$$

b) Bestem det minste arealet $\triangle OAB$ kan ha.

---

## H2022 del 2 oppgave 4 — Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Formlike trekanter, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bevise Pytagoras' setning med kongruens, vinkelsum, formlike trekanter og to uttrykk for arealet av $\triangle ADE$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-pytagoras-med-kongruente-trekanter-og-areal-av-trekant-ade/

### Oppgavetekst

Vi skal i denne oppgaven bevise Pytagoras' setning. Vi starter med en rettvinklet trekant $ABC$ med sidene $a$, $b$ og $c$ som vist på figuren nedenfor.

![Den rettvinklede trekanten ABC til venstre, og til høyre samme trekant med punktene D, E og F og trekantene DEF og ADE](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h22-lk06-2-4.avif)

Vi lar punktet $D$ ligge på forlengelsen av $AB$ slik at $\angle BDC = \angle ACB$. Vi lar $E$ ligge på forlengelsen av $DC$ slik at $DE = AC = c$. Punktet $F$ på $AB$ er slik at $\angle DFE = 90\degree$. Se figuren ovenfor.

a) Begrunn at $\triangle ABC$ er kongruent med $\triangle DEF$.
b) Vis at $\angle ACD = 90\degree$.
c) Vis at $AD = a + \dfrac{b^2}{a}$.
d) Forklar hvordan vi ved arealbetraktninger på $\triangle ADE$ kan komme fram til følgende sammenheng:

$$
\frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}a \cdot \left(a + \frac{b^2}{a}\right)
$$

Bruk dette til å vise at Pytagoras' setning gjelder.

---

## V2021 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produktregel og kvadratrot av 4x i andre minus 5

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere polynom med $\frac{1}{x}$-ledd, produktet $3x^2 \ln x$ og kvadratroten $\sqrt{4x^2-5}$ med kjerneregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produktregel-og-kvadratrot-av-4x-i-andre-minus-5/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x)=3x^3-4x+\dfrac{1}{x}
$$

b)

$$
g(x)=3x^2\cdot\ln x
$$

c)

$$
h(x)=\sqrt{4x^2-5}
$$

---

## V2021 del 1 oppgave 2 — Forenkle rasjonalt uttrykk og logaritmeuttrykk med ln a og ln b

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Fellesnevner, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en brøksum med fellesnevner $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ og et logaritmeuttrykk med logaritmereglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-rasjonalt-uttrykk-og-logaritmeuttrykk-med-ln-a-og-ln-b/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{3x}{x^2-x-2}-\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2}{x-2}
$$

b)

$$
\ln(a\cdot b^2)-8\ln b+2\ln a^3-3\ln\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)
$$

---

## V2021 del 1 oppgave 3 — Ortogonale vektorer og c skrevet som ra pluss sb

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Undersøke ortogonalitet med skalarprodukt og skrive $\vec{c}$ som lineærkombinasjon av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ via likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ortogonale-vektorer-og-c-skrevet-som-ra-pluss-sb/

### Oppgavetekst

Vi har gitt vektorene $\vec{a}=[4,1]$, $\vec{b}=[-1,3]$ og $\vec{c}=[4,14]$.

a) Undersøk om $\vec{a}\perp\vec{b}$.
b) Bestem to tall $r$ og $s$ slik $\vec{c}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}$.

---

## V2021 del 1 oppgave 4 — Feil på mobildeksler fra to maskiner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Total sannsynlighet og Bayes' setning for defekte deksler fra to maskiner med ulik produksjonsandel og feilrate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/feil-pa-mobildeksler-fra-to-maskiner/

### Oppgavetekst

En fabrikk har to maskiner, A og B, som produserer deksler til mobiltelefoner. Maskin A står for 40 prosent av produksjonen, mens maskin B står for 60 prosent av produksjonen.

Det viser seg at det er feil på 20 prosent av dekslene som er produsert av maskin A, og 10 prosent av dekslene som er produsert av maskin B.

Tenk deg at du skal trekke et tilfeldig deksel som er produsert av fabrikken.

a) Hva er sannsynligheten for at det er feil på dekselet?

En kunde har kjøpt et deksel som har en feil.

b) Hva er sannsynligheten for at dekselet er produsert av maskin A?

---

## V2021 del 1 oppgave 5 — Topp- og bunnpunkt og ulikhet for x i tredje minus 14x pluss 15

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Eksakte ekstremalpunkter for $f(x)=x^3-14x+15$ og løsning av $f(x)>0$ med polynomdivisjon og abc-formel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-og-ulikhet-for-x-i-tredje-minus-14x-pluss-15/

### Oppgavetekst

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x)=x^3-14x+15
$$

![Grafen til f](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v21-1-5.avif)

a) Bestem eksakte verdier for $x$-koordinatene til toppunktet og til bunnpunktet.
b) Løs ulikheten $f(x)>0$ eksakt.

---

## V2021 del 1 oppgave 7 — Konstruksjon av firkant ABCD med AC lik 10 cm og vinkel ADC lik 90 grader

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Konstruere firkant med diagonal $AC$, $75\degree$-vinkel ved $A$ og rett vinkel ved $D$ (Thales-sirkel over $AC$), med forklaring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-firkant-abcd-med-ac-lik-10-cm-og-vinkel-adc-lik-90-grader/

### Oppgavetekst

I firkanten $ABCD$ er $AB=3 \mathrm{~cm}$, $AC=10 \mathrm{~cm}$, $CD=9 \mathrm{~cm}$, $\angle ADC=90\degree$ og $\angle BAC=75\degree$

Konstruer firkanten. Husk å skrive en forklaring til konstruksjonen.

---

## V2021 del 1 oppgave 8 — Likesidet trekant og sirkel med bue BD på 108 grader

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Vinkelberegning med periferivinkelsetningen og vinkelsum i trekant for en likesidet trekant og en sirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likesidet-trekant-og-sirkel-med-bue-bd-pa-108-grader/

### Oppgavetekst

Vi har gitt en sirkel og en likesidet trekant $ABC$. Punktene $B$ og $C$ ligger på sirkelen. Et punkt $D$ ligger på sirkelen slik at sirkelbuen $BD$ er $108\degree$. Linjestykket $AB$ skjærer sirkelen i $E$, og linjestykket $ED$ skjærer $BC$ i $F$. Se skissen nedenfor.

![Likesidet trekant ABC og sirkel gjennom B, C, D og E](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v21-1-8.avif)

a) Bestem $\angle BED$.
b) Bestem $\angle CFD$.

---

## V2021 del 1 oppgave 9 — Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for linje gjennom to punkter, skjæring med aksene og avstand fra $S(1,0)$ til linjen som sirkelradius.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-for-linje-og-radius-til-tangerende-sirkel-om-s/

### Oppgavetekst

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(-2,1)$ og $B(4,3)$.

a) Bestem en parameterframstilling for $\ell$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom $\ell$ og koordinataksene.

En sirkel har sentrum i $S(1,0)$ og tangerer $\ell$.

c) Bestem sirkelens radius.

---

## V2021 del 2 oppgave 1 — Tilfeldig trekning av seks ministre i regjeringen

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet med binomialkoeffisienter når 6 av 20 ministre fra tre partier trekkes tilfeldig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilfeldig-trekning-av-seks-ministre-i-regjeringen/

### Oppgavetekst

I tillegg til statsministeren er det 19 ministre i regjeringen. Av disse 20 er 12 medlemmer i Høyre, 4 er medlemmer i Venstre, og 4 er medlemmer i Kristelig Folkeparti.

Ved et arrangement er det bestemt at 6 av ministrene skal være til stede. Disse blir tilfeldig trukket blant de 20 ministrene.

a) Hva er sannsynligheten for at alle de 6 som blir trukket ut, er fra Høyre?
b) Bestem sannsynligheten for at statsministeren er blant dem som blir trukket ut.
c) Bestem sannsynligheten for at 2 fra Høyre, 2 fra Venstre og 2 fra Kristelig Folkeparti blir trukket ut.

---

## V2021 del 2 oppgave 2 — Partikkel med lavest banefart de første fem sekundene

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Tegne vektorfunksjonen $\vec{r}(t)=[t^2-7t+11,\ t^3-6t^2+8t-1]$, finne banefarten $|\vec{v}(t)|$ og dens minimum på $[0,5]$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-med-lavest-banefart-de-forste-fem-sekundene/

### Oppgavetekst

Posisjonen $\vec{r}$ til en partikkel ved et tidspunkt $t$ (målt i sekunder) er gitt ved

$$
\vec{r}(t)=\left[t^2-7t+11,\ t^3-6t^2+8t-1\right], \quad 0\leq t\leq 5
$$

a) Tegn grafen til $\vec{r}$ i et koordinatsystem.
b) Bestem banefarten til partikkelen etter 1 sekund.
c) Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest i løpet av de 5 sekundene?

---

## V2021 del 2 oppgave 3 — Hundealder med logaritmemodell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning, Modellering, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmelikning i modellen $h=16\ln(a)+31$, tegne modellen og sette opp likningssystem for to hunders alder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hundealder-med-logaritmemodell/

### Oppgavetekst

For å beregne «hundealderen» til en hund har det vært vanlig å multiplisere antall år hunden har levd, med 7. På den måten vil hundealderen til en hund som har levd i 5 år, være 35.

Nå har noen forskere kommet fram til modellen

$$
h=16\cdot\ln(a)+31
$$

for sammenhengen mellom hundealderen $h$ og antall år $a$ en hund har levd.

a) Dersom vi bruker denne modellen, vil hundealderen til hunden Dennis være 65. Hvor mange år har Dennis levd?
b) Lag en grafisk framstilling der du lar $a$ gå langs førsteaksen og $h$ langs andreaksen.

Hundene Laika og Fido er venner. Bruker vi forskernes modell, var hundealderen til Laika 20 mer enn hundealderen til Fido for ett år siden. I dag er hundealderen til Laika 10 mer enn hundealderen til Fido.

c) Hva er hundealderen til Laika i dag?

---

## V2021 del 2 oppgave 4 — Utledning av Herons formel med CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Pytagoras, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bruke Herons formel og utlede den via høyden $h$, Pytagoras i to deltrekanter og CAS-forenkling av $\frac{1}{4}c^2(a^2-p^2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utledning-av-herons-formel-med-cas/

### Oppgavetekst

**Herons formel**

Arealet $F$ til en trekant med sidelengder $a$, $b$ og $c$ er

$$
F=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ , \quad \text{der } s=\frac{a+b+c}{2}.
$$

---

![Trekant med sidene a, b og c](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v21-2-4-1.avif)

a) Bruk formelen til å bestemme arealet til en trekant med sidelengder 5, 7 og 8.

Vi vil nå utlede Herons formel.

La $ABC$ være en trekant der $AB=c$, $BC=a$ og $AC=b$. Normalen fra $C$ ned på linjen $\ell$ gjennom punktene $A$ og $B$ skjærer $\ell$ i $D$. Vi setter $h=CD$, $q=AD$ og $p=DB$.

![Trekant ABC med høyden h = CD, der D deler AB i q og p](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v21-2-4-2.avif)

Ved å bruke at $q=c-p$ får vi at

$$
q^2=c^2-2cp+p^2.
$$

b) Bruk formelen over til å vise at $b^2$ kan skrives som $b^2=h^2+c^2-2cp+p^2$.
c) Bruk blant annet resultatet fra oppgave b) til å vise at

$$
p=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}
$$

d) Bruk CAS til å vise at

$$
\frac{1}{4}c^2\left(a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2\right)=s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)
$$

Forklar hvorfor dette beviser Herons formel.

---

## H2021 del 1 oppgave 1 — Deriver logaritme, sjuendepotens og produkt med eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av $\ln x + x^2 + 2$, $(x^2+2)^7$ med kjerneregelen og $3x \cdot e^{2x}$ med produkt- og kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-logaritme-sjuendepotens-og-produkt-med-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x)=\ln x + x^2 + 2
$$

b)

$$
g(x)=(x^2+2)^7
$$

c)

$$
h(x)=3x\cdot e^{2x}
$$

---

## H2021 del 1 oppgave 2 — Forenkle fire rasjonale brøker og sum av ln-uttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en sum av rasjonale uttrykk med felles nevner og en sum av ln-ledd med logaritmesetningene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-fire-rasjonale-broker-og-sum-av-ln-uttrykk/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{2x+2}{x^2-x}-\dfrac{2x+2}{x^2-1}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{x+1}{x^2+x}
$$

b)

$$
\ln(4x)+3\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)+\ln(2x^2)
$$

---

## H2021 del 1 oppgave 3 — Linjene AC og BD – parameterframstilling, skjæringspunkt og normalitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for to linjer gjennom gitte punkter, skjæringspunkt ved regning og normalitet med skalarprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linjene-ac-og-bd-parameterframstilling-skjaeringspunkt-og-normalitet/

### Oppgavetekst

Punktene $A(2,\,2)$, $B(6,\,1)$, $C(6,\,5)$ og $D(2,\,6)$ er gitt.
Linjen $\ell$ går gjennom $A$ og $C$, og linjen $m$ går gjennom $B$ og $D$.

a) Bestem en parameterframstilling for $\ell$ og en parameterframstilling for $m$.
b) Bestem ved regning skjæringspunktet mellom $\ell$ og $m$.
c) Avgjør om $\ell$ og $m$ står normalt på hverandre.

---

## H2021 del 1 oppgave 4 — Største rektangel under grafen til 5 over x i andre pluss 4

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealfunksjonen $A(t)=2t\cdot f(t)$ for et symmetrisk rektangel under $f(x)=\frac{5}{x^2+4}$ og maksimere med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storste-rektangel-under-grafen-til-5-over-x-i-andre-pluss-4/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x)=\frac{5}{x^2+4}
$$

Et rektangel $ABCD$ er gitt ved $A(-t,\,0)$, $B(t,\,0)$ og at punktene $C$ og $D$ ligger på grafen til $f$, slik figuren nedenfor viser. Her er $t>0$.

![Rektangelet ABCD med hjørnene C og D på grafen til f](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-1-4.avif)

Hva er det største arealet rektangelet kan ha?

---

## H2021 del 1 oppgave 5 — Implikasjon eller ekvivalens med lg x i andre og x i andre minus 2x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logikk, Logaritmer, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Velge $\Leftarrow$, $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom $\lg x^2 = 2$ og $x=10$, og mellom $x^2-2x<0$ og $x \in \langle 0, 1\rangle$, med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjon-eller-ekvivalens-med-lg-x-i-andre-og-x-i-andre-minus-2x/

### Oppgavetekst

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Avgjør hvilket av symbolene $\Leftarrow$, $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$ som skal stå i hver av de to rutene. Husk å begrunne svarene.

a)

$$
\lg x^2 = 2 \quad \Box \quad x=10
$$

b)

$$
x^2-2x<0 \quad \Box \quad x\in\langle 0,\,1\rangle
$$

---

## H2021 del 1 oppgave 6 — Siv og Audun i ring rundt juletreet

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle plasseringer av seks personer i ring og på rad, og finne sannsynligheten for at to bestemte personer står ved siden av hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/siv-og-audun-i-ring-rundt-juletreet/

### Oppgavetekst

Siv, Audun og fire venner skal gå hånd i hånd i ring rundt juletreet.

a) Begrunn at det er 120 ulike måter de seks kan plassere seg på i ringen.

Siv er hemmelig forelsket i Audun.

b) Bestem sannsynligheten for at hun får holde Audun i hånden dersom plasseringene i ringen er tilfeldige.

Etter at de har gått rundt juletreet, skal de ta et bilde. De skal stille seg ved siden av hverandre på en linje.

c) Bestem sannsynligheten for at Audun og Siv får stå ved siden av hverandre på bildet dersom de blir plassert tilfeldig.

---

## H2021 del 1 oppgave 7 — Bevis av Ptolemaios setning for syklisk firkant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Formlike trekanter, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise Ptolemaios' setning med periferivinkler og to par formlike trekanter, og bruke setningen på et rektangel til å bevise Pytagoras' setning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-av-ptolemaios-setning-for-syklisk-firkant/

### Oppgavetekst

En firkant som kan innskrives i en sirkel, kaller vi en *syklisk firkant*.

> **Info**
> Ptolemaios’ setning
> I en syklisk firkant er produktet av lengdene til de to diagonalene lik summen av produktene av lengdene til de motstående sidene.
>
> I firkanten $ABCD$ på figuren er
>
>
> $$
> AC \cdot BD = AB \cdot DC + BC \cdot AD
> $$
>

![Syklisk firkant ABCD med diagonalene AC og BD](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-1-7-1.avif)

Vi skal i denne oppgaven bevise Ptolemaios’ setning.

La $ABCD$ være en syklisk firkant, som vist på figur 1 nedenfor.

![Figur 1: Syklisk firkant ABCD med vinklene BAC og BDC markert. Figur 2: Punktet E på BD med trekantene DEC og ABC. Figur 3: Trekantene ACD og BCE](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-1-7-2.avif)

a) Forklar at $\angle BAC = \angle BDC$.

Plasser punktet $E$ på $BD$ slik at $\angle DCE = \angle ACB$. Se figur 2.

b) Forklar at $\triangle DEC \sim \triangle ABC$. Bruk dette til å vise at $ED \cdot AC = AB \cdot DC$
c) Forklar at $\triangle ACD \sim \triangle BCE$. Bruk dette til å vise at $BE \cdot AC = BC \cdot AD$
d) Bruk resultatene fra oppgave b og c til å vise at $AC \cdot BD = AB \cdot DC + BC \cdot AD$
e) Bruk Ptolemaios’ setning og figuren til høyre til å bevise Pytagoras’ setning.

![Rektangel ACBD innskrevet i en sirkel med sidene a og b og diagonalen c](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-1-7-3.avif)

---

## H2021 del 2 oppgave 1 — Partikkelbane med rasjonal posisjonsvektor og største fart

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon, Fart
- **Kort beskrivelse:** Tegne banen til $\vec{r}(t)=\left[\frac{1-t^2}{t^2+1}, \frac{t^2+2t}{t^2+1}\right]$, finne når farten er størst og når $y'(t)=0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkelbane-med-rasjonal-posisjonsvektor-og-storste-fart/

### Oppgavetekst

Posisjonsvektoren $\vec{r}$ til en partikkel er gitt ved

$$
\vec{r}(t)=\left[\frac{1-t^2}{t^2+1}\,,\ \frac{t^2+2t}{t^2+1}\right], \quad -10 \leq t \leq 10
$$

Her er enheten langs aksene meter, og $t$ er målt i sekunder.

a) Tegn grafen til $\vec{r}$.
b) Ved hvilket tidspunkt var farten til partikkelen størst?
c) Ved hvilke tidspunkt beveget partikkelen seg parallelt med $x$-aksen?

---

## H2021 del 2 oppgave 2 — Grønt tall på ruletthjul og rødt i minst 7 av 10

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Komplementsetningen for minst ett grønt tall, minste antall spill for sannsynlighet over 50 %, og binomisk fordeling i to trinn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gront-tall-pa-ruletthjul-og-rodt-i-minst-7-av-10/

### Oppgavetekst

![Ruletthjul med kule](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-2-2.avif)

Når vi spiller med et ruletthjul, havner en kule på et av 37 tall. Av disse tallene er 18 røde, 18 svarte og ett grønt. Sannsynligheten er den samme for at kulen havner på hvert av de 37 tallene.

a) Bestem sannsynligheten for at kulen havner på det grønne tallet i minst 1 av $10$ spilleomganger.
b) Hvor mange ganger må vi minst spille med ruletthjulet dersom sannsynligheten for at kulen skal havne på det grønne tallet minst 1 gang, skal være mer enn $50$ prosent?
c) Forklar hvordan du kan komme fram til at sannsynligheten er $p \approx 0{,}151$ for at kulen havner på et rødt tall i minst 7 av 10 spilleomganger.

Åtte venner skal spille med ruletthjulet. Alle spiller 10 ganger hver.

d) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 3 av dem får rødt tall i minst 7 av de 10 spilleomgangene.

---

## H2021 del 2 oppgave 3 — Grøft fra vei til hytte med ulike meterpriser

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Modellering, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og minimere prisfunksjonen $P(x)=96000-800x+1500\sqrt{x^2+400}$ for en grøft langs vei og i terreng.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/groft-fra-vei-til-hytte-med-ulike-meterpriser/

### Oppgavetekst

Terje skal lage en grøft som han skal legge et rør i. Grøften skal starte i punktet $A$ ved en rettlinjet vei og ende ved en hytte i punktet $D$, slik figuren nedenfor viser. Avstanden fra $D$ til punktet $C$ på veien er 20 meter. Punktet $C$ er 120 meter fra $A$.

![Grøften går fra A langs veien til B og derfra rett til hytta i D, 20 m fra C](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h21-2-3.avif)

Et firma tar 800 kroner per meter for å lage grøft langs veien og 1500 kroner per meter for å lage grøft i terrenget. De graver grøften fra $A$ til et punkt $B$ langs veien. Så går de rett mot hytten fra $B$ til $D$.

Sett $BC = x \mathrm{~m}$.

a) Vis at prisen $P$ som Terje må betale for grøften, er gitt ved $P(x)=96000-800x+1500\sqrt{x^2+400}$
b) Hvor må Terje sette punktet $B$ for at prisen for grøften skal bli lavest mulig? Hva er den laveste prisen?

Et annet firma oppgir andre priser for å lage grøften. De tar 1000 kroner per meter for å lage grøft langs veien. I et tilbud oppgir de at den billigste løsningen er å plassere $B$ 10 meter fra $C$.

c) Hvor mye tar dette firmaet per meter for å lage grøft i terrenget?

---

## H2021 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon med parameter b som tangerer y lik 3x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x)=x^3-2bx^2+(b^2+3)x$ med diskriminanten, finne $b$ som gir topp- og bunnpunkt, og vise tangering med $y=3x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parameter-b-som-tangerer-y-lik-3x/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x)=x^3-2b\cdot x^2+(b^2+3)\cdot x\,, \quad b\in\mathbb{R}
$$

a) Forklar at $f$ kun har ett nullpunkt, uavhengig av verdien av $b$.
b) For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ både toppunkt og bunnpunkt?
c) Vis at grafen til $f$ tangerer linjen $y=3x$ uavhengig av hvilken verdi $b$ har. Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

---

## E2021 del 1 oppgave 1 — Grenseverdi av (x-1) delt på x² pluss x minus 2

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2+x-2}$ ved faktorisering av teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-x-1-delt-pa-x2-pluss-x-minus-2/

### Oppgavetekst

Bestem grenseverdien

$$
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2+x-2}
$$

---

## E2021 del 1 oppgave 2 — Vektorer med lik lengde normalitet og parallellitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om vektorer i planet er like lange, normalt på hverandre eller parallelle ved hjelp av prikkprodukt og lengdeformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-med-lik-lengde-normalitet-og-parallellitet/

### Oppgavetekst

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [2, -5]$, $\vec{b} = [1, -4]$, $\vec{c} = [-2, 10]$ og $\vec{d} = [4, 1]$

a) Avgjør om noen av vektorene har lik lengde.
b) Avgjør om noen av vektorene står normalt på hverandre.
c) Avgjør om noen av vektorene er parallelle.

---

## E2021 del 1 oppgave 4 — Speiling av punkt om linje med vektorregning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorregning til å bestemme koordinatene til speilbildet av et punkt om en gitt linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/speiling-av-punkt-om-linje-med-vektorregning/

### Oppgavetekst

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet vi får når vi speiler $P(6, 1)$ om linjen $y = 2x + 4$.

---

## E2021 del 1 oppgave 5 — Finne toppunkt med while-løkke og derivasjon

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tolke og forklare et Python-program som bruker numerisk derivasjon og while-løkke til å finne toppunktet til $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-toppunkt-med-while-lokke-og-derivasjon/

### Oppgavetekst

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

```python ln
def f(x):
    return x/(1+x**2)

h = 0.0001
x = 0
while (f(x+h)-f(x))/h > 0:
    x = x + 0.01
print("x=", x)
```

a) Hva ønsker eleven å finne ut?
b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva blir resultatet?

---

## E2021 del 1 oppgave 5 — Identifiser riktig graf for f av x lik 4x e i minus x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Identifisere riktig graf for $f(x)=4x \cdot e^{-x}$ blant fire alternativer ved å analysere fortegn, nullpunkter og toppunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifiser-riktig-graf-for-f-av-x-lik-4x-e-i-minus-x/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 4x \cdot e^{-x}
$$

En av grafene nedenfor er grafen til $f$.

![Fire grafer merket I–IV](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e21-1-5.avif)

Begrunn hvilken av grafene nedenfor som er grafen til $f$.

---

## E2021 del 2 oppgave 1 — Fotballsparkenes banefart og toppunkt med vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorfunksjon for ballens posisjon til å bestemme banefart ved spark, tid til bakkenedslag og banefart i toppunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotballsparkenes-banefart-og-toppunkt-med-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

![Fotballbane med ballbane som vektorfunksjon](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e21-2-1.avif)

En fotballspiller tok et frispark. Han sparket ballen i retning av motstandernes mål. Ballens posisjon $t$ sekunder etter at frisparket ble tatt er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}(t) = \left[28t - 3t^2,\ 10t - 5t^2\right]
$$

Enheten langs aksene er meter.

a) Bestem banefarten ballen fikk da den ble sparket.
b) Hvor lang tid tok det fra ballen ble sparket til den traff bakken?
c) Bestem ballens banefart da den var i sitt høyeste punkt.

---

## E2021 del 2 oppgave 2 — Omvendt funksjon for fjerdegradsfunksjon med parameter b

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne verdier av $b$ slik at $f(x)=x^4-b\cdot x^3+2$ har en omvendt funksjon på gitt definisjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omvendt-funksjon-for-fjerdegradsfunksjon-med-parameter-b/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^4 - b \cdot x^3 + 2, \quad D_f = [-3, \to\rangle
$$

For hvilke verdier av $b$ har $f$ en omvendt funksjon?

---

## E2021 del 2 oppgave 3 — Algoritme og kode for punkt på inni eller utenfor sirkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sirkel, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beskrive algoritme og skrive kode som avgjør om et punkt ligger på, inni eller utenfor en sirkel gitt sentrum og radius.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algoritme-og-kode-for-punkt-pa-inni-eller-utenfor-sirkel/

### Oppgavetekst

En sirkel $C$ kan beskrives ved å oppgi sentrum $S(a, b)$ og radius $r$.

a) Beskriv en algoritme som du kan bruke til å avgjør om et gitt punkt $P(s, t)$ ligger på, inni eller utenfor sirkelen $C$.
b) Skriv en kode basert på algoritmen fra oppgave a). Input skal være $a$, $b$, $r$, $s$ og $t$. Output skal være en av følgende tekster:

- Punktet ligger innenfor sirkelen
- Punktet ligger på sirkelen
- Punktet ligger utenfor sirkelen

---

## E2021 del 2 oppgave 4 — Regresjonsmodeller for avkjøling av kaffe

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Vise hvordan eksponentiell regresjonsmodell fremkommer og vurdere gyldighetsområdet til tre ulike modeller for kaffetemperatur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjonsmodeller-for-avkjoling-av-kaffe/

### Oppgavetekst

Temperaturen i en kopp kaffe blir målt hvert fjerde minutt. Temperaturen i rommet der koppen står er $21{,}2 \text{ °C}$. Resultatet av målingene er vist i tabellen nedenfor.

| Tid (minutt) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatur (°C) | 70 | 53 | 42 | 35 | 30 |

En elev har brukt et digitalt verktøy og kommet fram til følgende regresjonsmodeller ut fra tallene i tabellen:

$$
f(x) = -2{,}45x + 65{,}6
$$

$$
g(x) = 0{,}13x^2 - 4{,}45x + 70
$$

$$
h(x) = 21{,}2 + 49 \cdot e^{-0{,}11x}
$$

a) Vis hvordan eleven kan ha kommet fram til modellen $h$.
b) Vurder gyldighetsområdet til de ulike modellene ut fra den praktiske situasjonen.

---

## E2021 del 2 oppgave 5 — Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameterne $a$ og $b$ for at en stykkvis andregradsfunksjon er deriverbar i sammenfestningspunktet, og avgjøre om grafen har vendepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriverbar-stykkvis-funksjon-med-parametere-a-og-b/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 3x + a, & x < 1 \\ -2x^2 + b \cdot x, & x \geq 1 \end{cases}
$$

a) Bestem $a$ og $b$ slik at $f$ blir deriverbar i $x = 1$.
b) Avgjør om grafen til $f$ har vendepunkt.

---

## E2021 del 2 oppgave 5 — Rektangel under kurve optimering

- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $t$ slik at arealet til rektangelet $ABCD$ under grafen til $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ blir størst mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-kurve-optimering/

### Oppgavetekst

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \frac{8}{x^2+4}, \quad x > 0
$$

Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $C$ ligger på grafen til $f$, og punktet $D$ ligger på $y$-aksen. Punktet $B$ har $x$-koordinat $t$. Punktet $A$ ligger i origo.

![Rektangel ABCD under grafen til f](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/s1-e21-2-5.avif)

Bestem $t$ slik at arealet til rektangelet $ABCD$ blir størst mulig.

---

## E2021 del 2 oppgave 6 — Topp- bunnpunkt og vendepunkt for funksjon med parameter C

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Undersøke om $f(x)=e^x/(e^x+C)$ har topp-/bunnpunkt eller vendepunkt, vise en substitusjonsidentitet og beskrive grafens avhengighet av parameteren $C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-bunnpunkt-og-vendepunkt-for-funksjon-med-parameter-c/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{e^x}{e^x + C}
$$

der $C$ er en konstant.

a) Finnes det noen verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et topp- eller bunnpunkt?
b) Undersøk og bestem hvilke verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et vendepunkt.
c) Anta $C > 0$. Vis at $f(x + \ln C) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$.

  Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.
d) Anta $C < 0$. Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.

---

## E2021 del 2 oppgave 7 — Tangent til tredjegradsfunksjon gjennom eksternt punkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bevise og bruke resultat om at tangenten til en tredjegradsfunksjon i midtpunktet mellom to skjæringspunkter med en linje går gjennom det tredje skjæringspunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-tredjegradsfunksjon-gjennom-eksternt-punkt/

### Oppgavetekst

Vi har følgende resultat:

> Anta at grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ skjærer en linje $\ell$ i tre punkter med $x$-koordinater $x_1$, $x_2$ og $x_3$. La $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.
>
> Da vil tangenten til grafen til $f$ i punktet $(m, f(m))$ gå gjennom punktet $(x_3, f(x_3))$.

a) Vis at resultatet stemmer for funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3
$$

og linjen $y = 2x - 1$ når $x_1 = -2$, $x_2 = 1$ og $x_3 = 2$.

La $g$ være en tredjegradsfunksjon. Anta at en linje $y = ax + b$ skjærer grafen til $g$ i $(x_1, f(x_1))$, $(x_2, f(x_2))$ og $(x_3, f(x_3))$.

b) Forklar at vi kan skrive $g$ på formen

$$
g(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) + (ax + b), \quad \text{der } k \in \mathbb{R}.
$$

c) Vis at tangenten til grafen til $g$ i $m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ går gjennom $(x_3, g(x_3))$.

Gitt funksjonen $h(x) = x^3 - 2x + 1$ og punktet $P(2, 5)$. Vi ønsker å tegne en tangent til grafen til $h$ som går gjennom $P$.

d) Forklar hvordan vi kan bruke linjen $y = 2x + 1$ til å bestemme tangeringspunktet.

---

## V2020 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 V20

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner ved bruk av ledd-for-ledd-derivasjon, produktregelen og kvotientregelen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-v20/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene:

a)

$$
f(x) = x^6 + 3x^5 + \ln x
$$

b)

$$
g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x-1}
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{4x-1}{x+2}
$$

---

## V2020 del 1 oppgave 2 — Logaritme- og eksponentiallikninger R1 V20

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmefunksjoner, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmisk likning med logaritmeregler og eksponentiallikning med substitusjon.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritme-og-eksponentiallikninger-r1-v20/

### Oppgavetekst

Løs likningene.

a)

$$
\ln(x^2) + \ln x = 12
$$

b)

$$
e^{2x} - e^x = 6
$$

---

## V2020 del 1 oppgave 3 — Vektorer med parallellitet og vinkelretthet R1 V20

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parallelle vektorer, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameter t slik at to vektorer er parallelle eller ortogonale, gitt prikkprodukt og lengder.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-med-parallellitet-og-vinkelretthet-r1-v20/

### Oppgavetekst

Om vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ får du vite at

- $\vec{u} \cdot \vec{v} = -2$
- $|\vec{u}| = 3$ og $|\vec{v}| = 2$

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved

$$
\vec{a} = 2\vec{u} + 3\vec{v} \quad \text{og} \quad \vec{b} = t \cdot \vec{u} + 5\vec{v}
$$

a) Bestem $t$ slik at $\vec{a}$ blir parallell med $\vec{b}$.
b) Bestem $t$ slik at $\vec{a} \perp \vec{b}$.

---

## V2020 del 1 oppgave 4 — Kubisk polynom med faktorisering, ulikhet og grenseverdier

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere kubisk polynom med polynomdivisjon, løse ulikhet og bestemme grenseverdier for rasjonalt uttrykk.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubisk-polynom-med-faktorisering-ulikhet-og-grenseverdier/

### Oppgavetekst

Polynomet $P$ er gitt ved

$$
P(x) = 6x^3 - 5x^2 - 2x + 1
$$

a) Forklar hvordan vi kan vite at divisjonen $P(x) : (x-1)$ går opp, uten å måtte utføre selve divisjonen.
b) Bruk blant annet polynomdivisjon for å vise at $P(x) = (x-1)(2x+1)(3x-1)$.

Funksjonen $F$ er gitt ved

$$
F(x) = \frac{P(x)}{x^2 - 1}
$$

c) Løs ulikheten: $F(x) \geq 0$
d) Bestem grenseverdiene, dersom de eksisterer:

$$
\lim_{x \to 1} F(x) \quad \text{og} \quad \lim_{x \to -1} F(x)
$$

---

## V2020 del 1 oppgave 5 — Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Kombinasjonsberegning og hypergeometrisk sannsynlighet for å velge riktige bøker blant 8 til undervisning.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boker-i-sekken-kombinatorikk-og-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

Per har alle skolebøkene sine liggende hjemme. Han har én bok i hvert av de 8 fagene han tar. Hver dag har Per undervisning i 3 fag. Han må derfor legge 3 bøker i sekken før han går til skolen.

a) Hvor mange mulige kombinasjoner av bøker kan han legge i sekken?

En dag er Per skikkelig trøtt. Han husker ikke hvilke fag han skal ha den dagen. Han tar derfor med seg 4 av bøkene uten å se hvilke det er.

b) Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til alle fagene den dagen?
c) Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst 2 av fagene den dagen?

---

## V2020 del 1 oppgave 6 — Trapes under parabel med optimalt areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Utlede areal av trapes innskrevet i parabel algebraisk og optimere det med derivasjon.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trapes-under-parabel-med-optimalt-areal/

### Oppgavetekst

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = 9 - x^2
$$

Punktene $A(-3,\ 0)$, $B(3,\ 0)$, $C(x,\ f(x))$ og $D(-x,\ f(-x))$ danner et trapes når $0 < x < 3$.

![Trapes ABCD innskrevet under parabel f(x)=9-x²](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v20-1-6.avif)

a) Vis at arealet $F$ av trapeset $ABCD$ er gitt ved

$$
F(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 27, \quad 0 < x < 3
$$

b) Bestem det største arealet trapeset kan ha.

---

## V2020 del 1 oppgave 7 — Vinkler i sirkel med sentrivinkel og periferivinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre vinkler i en sirkel ved bruk av sentrivinkel-perifervinkel-setningen og vinkelsumregler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-i-sirkel-med-sentrivinkel-og-periferivinkel/

### Oppgavetekst

Skissen nedenfor viser en sirkel med sentrum $S$. Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ ligger på sirkelperiferien.

![Sirkel med sentrum S og punktene A, B, C, D på periferien med gitte vinkler](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v20-1-7.avif)

Bestem vinklene $u$, $v$ og $w$.

---

## V2020 del 1 oppgave 8 — Firkant med like sider og vektormetode

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestemme hjørner i en firkant med like sider der ett hjørne ligger på en gitt linje, ved hjelp av vektorbetingelser.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-med-like-sider-og-vektormetode/

### Oppgavetekst

Punktene $A(-1,\ 1)$ og $C(7,\ 5)$ er hjørner i firkanten $ABCD$. Alle sidene i firkanten er like lange. Punktet $D$ ligger på linja $l$ gitt ved $y = 2x + 1$.

a) Forklar at $\overrightarrow{AD}$ kan skrives på formen $\overrightarrow{AD} = [t+1,\, 2t]$, for en $t \in \mathbb{R}$.
b) Bestem koordinatene til $B$ og $D$ ved regning.

---

## V2020 del 2 oppgave 1 — Elbilandel i Hordaland – binomisk forsøk

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Modellere bilregistrering som binomisk forsøk og beregne sannsynligheter, inkludert minimum antall biler for gitt sannsynlighet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elbilandel-i-hordaland-binomisk-forsok/

### Oppgavetekst

Maria fra Bergen i Hordaland leste teksten nedenfor på nettsiden abcnyheter.no:

*På fylkesnivå er det Hordaland som leder an med en elbilandel på 12,5 prosent av personbilparken. Oslo følger hakk i hæl med 12,1 prosent og Akershus på tredjeplass med 11,5 prosent elbilandel.*

En dag bestemmer hun seg for å føre statistikk over de 100 første bilene som kjører forbi Danmarks plass i Bergen.

a) Hvilke antakelser må vi gjøre for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
b) Bestem sannsynligheten for at minst 15 av bilene er elbiler.
c) Hva er det minste antallet biler hun må føre statistikk over for at sannsynligheten skal være større enn 90 prosent for at minst 20 av bilene er elbiler?

---

## V2020 del 2 oppgave 2 — Middelverdisetning og CAS-bevis for andregradsderiverte

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseverdi, CAS, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Vise middelverdisetningen for andregradsfunksjon ved sekantens stigning og bevise derivasjonformelen med CAS og symmetrisk differenskvotient.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/middelverdisetning-og-cas-bevis-for-andregradsderiverte/

### Oppgavetekst

Funksjonen $p$ er gitt ved

$$
p(x) = x^2 + 3x - 1
$$

a) Vis at linja som går gjennom $(-1,\, p(-1))$ og $(3,\, p(3))$, er parallell med tangenten til grafen til $p$ i punktet $(1, 3)$.

Funksjonen $q$ er gitt ved

$$
q(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c
$$

b) Bruk CAS til å vise at $q'(x) = \dfrac{q(x+h) - q(x-h)}{2h}$ for alle $x$, der $h \neq 0$.

---

## V2020 del 2 oppgave 3 — To partikler med parameterkurver og minste avstand

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og analysere parameterkurver for to partikler, beregne banefart, bestemme felles fartsretning og finne minste avstand.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-partikler-med-parameterkurver-og-minste-avstand/

### Oppgavetekst

Posisjonene $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$ (målt i meter) til to partikler ved et tidspunkt $t$ (målt i sekund) er gitt ved

$$
\vec{r}_1(t) = \left[t^2 - 2,\ t^3 - 2t\right], \quad -2 \leq t \leq 2
$$

$$
\vec{r}_2(t) = \left[2t - 1,\ 4t - 4t^2\right], \quad -2 \leq t \leq 2
$$

a) Tegn grafene til $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$ i samme koordinatsystem.
b) Bestem banefarten til hver av partiklene når $t = -1$.
c) Ved hvilke tidspunkter har de to partiklene samme fartsretning?
d) Hva er den minste avstanden mellom partiklene i løpet av de fire sekundene?

---

## V2020 del 2 oppgave 4 — Pytagoras bevis med speiling og arealbetraktning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Areal og omkrets, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bevise Pytagoras' setning via formlikhet mellom speilte trekanter og arealbetraktning med proporsjonal høyde.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pytagoras-bevis-med-speiling-og-arealbetraktning/

### Oppgavetekst

I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras' setning.

Den rettvinklede trekanten $ABC$ har sidene $a$, $b$ og $c$. La $D$ være fotpunktet til normalen fra $C$ på $AB$.

![Rettvinklet trekant ABC med normal fra C til AB](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v20-2-4-1.avif)

- Vi speiler $\triangle ABC$ om $AB$ og får $\triangle AEB$.
- Vi speiler $\triangle BCD$ om $BC$ og får $\triangle CBF$.
- Vi speiler $\triangle CAD$ om $AC$ og får $\triangle ACG$.

![Trekant ABC med de tre speilte trekantene AEB, CBF og ACG](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v20-2-4-2.avif)

a) Begrunn at trekantene $AEB$, $CBF$ og $ACG$ er formlike med hverandre.

Vi lar $h_1$, $h_2$ og $h_3$ være høydene i trekantene $AEB$, $CBF$ og $ACG$.

Vi setter $k = \dfrac{h_1}{c}$

![Figur med høyder h₁, h₂ og h₃ i de speilte trekantene](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v20-2-4-3.avif)

b) Begrunn at $h_2 = k \cdot a$ og $h_3 = k \cdot b$
c) Bruk arealbetraktninger og resultatet fra oppgave b\) til å bevise Pytagoras' setning.

---

## H2020 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med eksponent rotuttrykk og kvotient

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med produktregelen, kjerneregelen og kvotientregelen, inkludert $e^x$, rotuttrykk og brøk.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-eksponent-rotuttrykk-og-kvotient/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^2 + e^{x}
$$

b)

$$
g(x) = x^3 \cdot \sqrt{2x - 1}
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}
$$

---

## H2020 del 1 oppgave 2 — Logaritmeuttrykk med potenser forenklet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et logaritmeuttrykk med logaritmereglene for produkt, potens og kvotient.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeuttrykk-med-potenser-forenklet/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig:

$$
2\ln(a^3 b^4) - 3\ln a - 3\ln(ab^2)
$$

---

## H2020 del 1 oppgave 3 — Polynomlikning og polynomunlikhet med bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Bekrefte rot, løse polynomunlikhet med fortegnslinje og konstruere ulikhet med gitt løsningsmengde.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomlikning-og-polynomunlikhet-med-bevis/

### Oppgavetekst

a) Vis at $x = 2$ er en løsning av likningen:

$$
x^3 + 2x^2 = 5x + 6
$$

b) Løs ulikheten:

$$
x^3 + 2x^2 < 5x + 6
$$

c) Lag en ulikhet som har løsningsmengden $\langle \leftarrow, -1 \rangle \cup [2, \rightarrow\rangle$

---

## H2020 del 1 oppgave 4 — Partikkelposisjon og akselerasjon med vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Derivere vektorfunksjon for farts- og akselerasjonsvektor, og finne tidspunkt der disse er vinkelrette.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkelposisjon-og-akselerasjon-med-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}(t) = \left[ 4t + 2,\ 2t - 5t^2 \right]
$$

a) Bestem et uttrykk for fartsvektoren og et uttrykk for akselerasjonsvektoren til partikkelen.
b) Når står fartsvektoren vinkelrett på akselerasjonsvektoren?

---

## H2020 del 1 oppgave 5 — Matematisk tyngdepunkt i firkant med vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Lengde av vektor
- **Kort beskrivelse:** Beregne vektor og lengde mellom hjørnepunkter, bestemme matematisk tyngdepunkt med gjennomsnitt av posisjonsvektorer, og løse ukjent hjørnepunkt fra gitt tyngdepunkt.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matematisk-tyngdepunkt-i-firkant-med-vektorer/

### Oppgavetekst

Firkanten ABCD er gitt ved A(1, 1), B(6, 2), C(5, 7) og D(2, 8).

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $|\overrightarrow{AB}|$.

For en firkant PQRS er det matematiske tyngdepunktet T gitt ved

$$
\overrightarrow{OT} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OS}\right)
$$

der O er origo.

b) Bestem koordinatene til det matematiske tyngdepunktet til firkanten ABCD ovenfor.

Vi har gitt punktene E(0, 3), F(2, −2) og G(7, 3). Disse danner sammen med punktet H en firkant EFGH. Det matematiske tyngdepunktet i denne firkanten er T(3, 2).

c) Bestem koordinatene til H.

---

## H2020 del 1 oppgave 6 — Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for to kuler med lik farge ved trekking uten tilbakelegging, og bestemme minste antall røde kuler for at ulik-farge-sannsynlighet er under 50 %.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-krukke-sannsynlighet-for-lik-farge/

### Oppgavetekst

Tore og Mia diskuterer hvem som skal ta oppvasken. De legger 2 røde og 2 blå kuler i en krukke og skal trekke 2 kuler tilfeldig (uten tilbakelegging) fra krukken. Mia foreslår at hun må ta oppvasken dersom de 2 kulene har lik farge, mens Tore må ta oppvasken dersom de 2 kulene har ulik farge.

a) Bestem sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget.

Tore mener at dette er urettferdig. Han foreslår at de skal legge flere røde kuler i krukken.

b) Hvor mange røde kuler må det minst ligge i krukken dersom sannsynligheten for at de to kulene har ulik farge, er mindre enn 50 %?

---

## H2020 del 1 oppgave 7 — Tredjegradsfunksjon stigende med vendepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $f(x) = (x+2)(x^2+x+5)$ er strengt stigende, bestemme vendepunkt og skissere grafen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-stigende-med-vendepunkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = (x + 2)(x^2 + x + 5)
$$

a) Vis at grafen til $f$ er stigende for alle verdier av $x$.
b) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.

---

## H2020 del 1 oppgave 8 — Vinkler i innskrevet trekant med sentralvinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vinklene i innskrevet trekant ABC ved å bruke innskrivingsvinkelen, summen av vinklene i trekant og de gitte vinklene 140° og 30°.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-i-innskrevet-trekant-med-sentralvinkel/

### Oppgavetekst

Punktene A, B og C ligger på en sirkel med sentrum i S, slik skissen viser.

![Innskrevet trekant ABC med sentralvinkel 140° og perifervinkel 30°](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h20-1-8.avif)

Bestem vinklene i trekanten ABC.

---

## H2020 del 1 oppgave 9 — Midtlinjens lengde i trapes bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vektorer, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise med vektorer at midtlinjen MN i et trapes er lik gjennomsnittet av de parallelle sidene AB og DC.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/midtlinjens-lengde-i-trapes-bevis/

### Oppgavetekst

I et trapes ABCD lar vi M være midtpunktet på AD og N være midtpunktet på BC. Se skissen.

![Trapes ABCD med midtlinje MN](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h20-1-9.avif)

Vis at $MN = \dfrac{1}{2}(AB + DC)$

---

## H2020 del 2 oppgave 1 — Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Forklare binomisk beregning av sannsynlighet for 14 soldager, og bruke binomisk fordeling til å beregne sannsynligheter for flerårlig ferieplass og krav til minimum soldager.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/soldager-pa-gran-canaria-og-binomisk-fordeling/

### Oppgavetekst

Agnete planlegger en 14 dagers ferietur til sørkysten av Gran Canaria. Der er det i gjennomsnitt 300 soldager i året.

Hun har gjort noen beregninger og funnet ut at sannsynligheten for at alle de 14 dagene blir soldager, er $6{,}4\,\%$.

a) Forklar hvordan hun kan ha kommet fram til dette resultatet. Hvilke forutsetninger ligger til grunn for beregningene?

En familie vurderer å reise på en 14 dagers tur til sørkysten av Gran Canaria hvert år de neste 8 årene.

b) Bestem sannsynligheten for at de opplever bare soldager på minst 2 av disse 8 framtidige feriereisene. Vi forutsetter at antall soldager i året ikke endrer seg i løpet av disse åtte årene.

Ole planlegger en 4 ukers ferietur til et annet sted i verden. Et reisebyrå oppgir at sannsynligheten for minst 22 soldager på dette feriestedet i løpet av en tilfeldig fireukersperiode er minst 90 %.

c) Hvor mange soldager i året må det minst være i gjennomsnitt på dette stedet for at påstanden fra reisebyrået skal være sann?

---

## H2020 del 2 oppgave 2 — Kulekast modellert med vektorfunksjoner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Analysere og tegne vektorfunksjoner for to kulekast, bestemme kastlengde og avgjøre om kulene treffer hverandre.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kulekast-modellert-med-vektorfunksjoner/

### Oppgavetekst

Rikard kaster en kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen $\vec{r}_A$ til kulen gitt ved

$$
\vec{r}_A(t) = \left[9t,\ 1 + 7t - 5t^2\right]
$$

Enheten på aksene er meter, og $x$-aksen er langs bakken.

a) Hvor langt kaster Rikard kulen i $x$-retning?

Berit står 25 meter fra Rikard. Hun kaster en kule i retning mot Rikard samtidig som Rikard kaster sin kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen $\vec{r}_B$ til Berits kule gitt ved

$$
\vec{r}_B(t) = \left[25 - 8t,\ 1 + 7t - 5t^2\right]
$$

b) Tegn grafene til $\vec{r}_A$ og $\vec{r}_B$ i samme koordinatsystem.
c) Vil de to kulene treffe hverandre?
d) Ville svaret i oppgave c) blitt annerledes dersom Berit hadde stått nærmere Rikard da hun kastet kulen? (Vi går ut fra at Berit kaster kulen med samme kraft og retning som når hun står 25 meter fra Rikard.)

---

## H2020 del 2 oppgave 3 — Rektangel med størst areal under parabel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Maksimere arealet av rektangelet ABCD innskrevet under parabelen $f(x) = 6x - x^2$ ved derivasjon av arealet som funksjon av $a$.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-med-storst-areal-under-parabel/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 6x - x^2, \quad x \in [0, 6]
$$

Nedenfor har vi tegnet grafen til $f$ sammen med rektangelet ABCD. I rektangelet er $A(a, 0)$ og $D(a, f(a))$, der $a \in (0, 3)$. Punktet C ligger på grafen til $f$.

![Parabel med innskrevet rektangel ABCD og punkt D(a,f(a))](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h20-2-3.avif)

Bestem den eksakte verdien til $a$ som gjør at rektangelet får størst mulig areal.

---

## H2020 del 2 oppgave 4 — Krumningsradius til grafpunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestemme krumningsradiusen til en parabel i et gitt punkt ved å sammenligne andrederiverte, bruke formel for krumningsradius og finne minimalt punkt med CAS.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krumningsradius-til-grafpunkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $h$ er gitt ved

$$
h(x) = x^2
$$

En sirkel med radius $r$ og sentrum $(0, r)$ tangerer grafen til $h$ i punktet $(0, 0)$. Se skissen.

![Parabel $h(x) = x^2$ med tangerende sirkel med sentrum (0,r)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h20-2-4.avif)

Nedre halvdel av sirkelen er grafen til funksjonen gitt ved

$$
g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}
$$

a) Bestem $r$ slik at $g''(0) = h''(0)$

Tallet $r$ som du fant i oppgave a), kalles krumningsradiusen til $h$ i $(0, h(0))$.

Generelt gjelder følgende setning: Anta at en funksjon $f$ er dobbeltderiverbar i $x = a$, og at $f''(a) \neq 0$. Da er krumningsradiusen $r(a)$ til grafen til $f$ i $(a, f(a))$ gitt ved

$$
r(a) = \sqrt{\frac{\left(1 + \left(f'(a)\right)^2\right)^3}{\left(f''(a)\right)^2}}
$$

b) Bruk denne formelen til å regne ut krumningsradiusen til grafen til $h$ i $(0, h(0))$.

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \ln(x)
$$

c) Bruk CAS til å bestemme hvilket punkt på grafen til $f$ som har minst krumningsradius. Hva er den minste krumningsradiusen?

---

## V2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynom, produkt og kvotient

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med kjerneregelen, produktregelen og kvotientregelen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynom-produkt-og-kvotient/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^3 + 2x^2 - \sqrt{x}
$$

b)

$$
g(x) = x^2 \cdot \ln(2x-1)
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{4x}{e^{2x}}
$$

---

## V2019 del 1 oppgave 2 — Forenkling av brøkuttrykk med logaritmer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Logaritmer, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forenkle to algebraiske brøkuttrykk med logaritmer og eksponentialfunksjoner.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-brokuttrykk-med-logaritmer/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{1}{x^2-x} + \dfrac{1}{x^2+x} - \dfrac{1}{x^2-1}
$$

b)

$$
\dfrac{(\ln e^3 + 1)^2}{(e^{\ln 3} + 1)^3}
$$

---

## V2019 del 1 oppgave 3 — Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Vise at et polynom er delelig, faktorisere i lineære faktorer og løse polynomunlikhet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynom-med-divisjon-faktorisering-og-ulikhet/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
$$

a) Vis at divisjonen $f(x) : (2x-1)$ går opp.
b) Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.
c) Løs ulikheten $f(x) \geq (2x-1)(x+2)$

---

## V2019 del 1 oppgave 4 — Vektorer og sirkel med diameter AB

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Sirkel, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vektor og lengde mellom to punkter, sirkellikning med diameter, og vurdere om rett vinkel er mulig.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-sirkel-med-diameter-ab/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktene $A(1,\, 3)$ og $B(5,\, -1)$.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $|\overrightarrow{AB}|$.
b) Bestem en likning for sirkelen som har $AB$ som diameter.

Et punkt $C$ ligger på linjen $x = 6$.

c) Avgjør om det er mulig å plassere $C$ slik at trekanten $ABC$ får en rett vinkel i $C$.

---

## V2019 del 1 oppgave 5 — Kombinatorikk med kjønn i finale

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle antall grupper med kombinasjoner og antall grupper med flest kvinner, med hypergeometrisk tankegang.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-med-kjonn-i-finale/

### Oppgavetekst

I TV-programmet «Mesternes mester» er det 10 deltakere. Det er 5 kvinner og 5 menn. Deltakerne konkurrerer mot hverandre og blir slått ut én etter én. Til slutt er det tre deltakere igjen. Disse tre er i finalen.

a) Hvor mange ulike grupper på tre deltakere kan komme til finalen?
b) Hvor mange av gruppene du fant i oppgave a\), inneholder flere kvinner enn menn?

---

## V2019 del 1 oppgave 6 — Identifisere f og f' fra grafene

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Graf, Fortegnslinje, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre hvilken av to grafer som er $f$ og $f'$, og skissere fortegnslinjen til $f''$.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifisere-f-og-f-fra-grafene/

### Oppgavetekst

Nedenfor ser du to grafer. Den ene grafen tilhører funksjonen $f$, mens den andre tilhører funksjonen $f'$.

![Graf A](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v19-1-6-1.avif) ![Graf B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v19-1-6-2.avif)

a) Avgjør hvilken av de to grafene som tilhører $f$. Gjør rede for hvordan du kom fram til svaret.
b) Lag en skisse av fortegnslinjen til $f''$.

---

## V2019 del 1 oppgave 7 — Korder i sirkel og formlike trekanter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at to trekanter er formlike og bruke dette til å bevise produktforholdet $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ for korder.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/korder-i-sirkel-og-formlike-trekanter/

### Oppgavetekst

I figuren nedenfor har vi en sirkel med to korder: $AB$ og $CD$. Kordene skjærer hverandre i punktet $P$.

![Sirkel med korder AB og CD som skjærer hverandre i P](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v19-1-7.avif)

a) Begrunn at $\triangle APC$ og $\triangle BPD$ er formlike.
b) Vis at $AP \cdot PB = CP \cdot PD$

---

## V2019 del 1 oppgave 8 — Implikasjonsretning for ekstremalpunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Argumentasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre korrekt implikasjonsretning ($\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$) mellom betingelse og ekstremalpunkt, med begrunnelse.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjonsretning-for-ekstremalpunkt/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er deriverbar og dobbelderiverbar for alle $x$.

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn et av symbolene $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$. Husk å begrunne svarene.

a) $f'(2) = 0$ $\Box$ Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2,\, f(2))$
b) $f'(3) = 0$ og $f''(3) > 0$ $\Box$ Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(3,\, f(3))$

---

## V2019 del 2 oppgave 1 — Frispark modellert med vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorfunksjon for ballbane til å bestemme banefart, tid til bakken og banefart i høyeste punkt.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/frispark-modellert-med-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

![Fotballspiller tar frispark – ballbane vist i koordinatsystem](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v19-2-1.avif)

En fotballspiller tok et frispark. Han sparket ballen i retning av motstandernes mål. Ballens posisjon $t$ sekunder etter at frisparket ble tatt, er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}(t) = \left[28t - 3t^2,\; 10t - 5t^2\right]
$$

Enheten langs aksene er meter.

a) Bestem banefarten som ballen fikk da den ble sparket.
b) Hvor lang tid tok det fra ballen ble sparket, til den traff bakken?
c) Bestem ballens banefart da den var i sitt høyeste punkt.

---

## V2019 del 2 oppgave 2 — Lotteri på arbeidsplass og binomisk fordeling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Vise sannsynlighet med hypergeometrisk fordeling, bruke binomisk fordeling for gjentatte lotterier og beregne komplementsannsynlighet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lotteri-pa-arbeidsplass-og-binomisk-fordeling/

### Oppgavetekst

På en arbeidsplass er det tolv kvinner og åtte menn. Hver måned arrangerer de et lotteri. Det går ut på at alle legger én lapp med navnet sitt i en eske. De trekker så ut tre tilfeldige lapper fra esken. Lappene legges ikke tilbake mellom hver gang de trekker. De tre som blir trukket ut, vinner en kinobillett hver.

a) Vis at sannsynligheten er $p \approx 0{,}2947$ for at nøyaktig to av de tre vinnerne er menn.

I løpet av et år arrangerer de tolv slike lotterier.

b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av vinnerne er menn i seks av de tolv lotteriene.
c) Bestem sannsynligheten for at de tre vinnerne har samme kjønn i minst ett av de tolv lotteriene.

---

## V2019 del 2 oppgave 3 — Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, CAS, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte og tegne tredjegradsfunksjon, bruke CAS til å finne betingelse for ekstremalpunkter og vise at vendepunkt ligger på fast kurve.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-toppunkt-bunnpunkt-og-vendepunkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 2
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Bestem eksakte verdier for koordinatene til eventuelle toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt på grafen til $f$.

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = x^3 + a \cdot x^2 + 4x + 2, \quad a \in \mathbb{R}
$$

c) Bruk CAS til å avgjøre for hvilke verdier av $a$ grafen til $g$ har både et toppunkt og et bunnpunkt.

Funksjonen $h$ er gitt ved

$$
h(x) = -2x^3 + 4x + 2
$$

d) Bruk CAS til å vise at vendepunktet på grafen til $g$ ligger på grafen til $h$ for alle verdier av $a$.

---

## V2019 del 2 oppgave 4 — Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Bevis, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise kongruens mellom trekanter, likebeinthet og rett vinkel i geometrisk konfigurasjon med kvadrater på katetene.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-kvadrater-og-kongruens/

### Oppgavetekst

I en rettvinklet trekant $ABC$ er $\angle ACB = 90\degree$. La $H$ være midtpunktet på $AB$. La videre $CBFG$ og $ACDE$ være kvadrater på de to katetene. Punktet $I$ er skjæringspunktet mellom forlengelsen av linjestykket $HC$ og linjestykket $DG$. Se figuren nedenfor.

![Rettvinklet trekant ABC med kvadrater CBFG og ACDE på katetene](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v19-2-4.avif)

a) Begrunn at $\triangle ABC \cong \triangle GDC$ (kongruente trekanter).
b) Begrunn at $\triangle AHC$ er likebeint.
c) Vis at $\angle CIG = 90\degree$.

---

## H2019 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynom logaritme og eksponential R1 H19

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av tre funksjoner med kjerneregel, produktregel og brøkregel.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynom-logaritme-og-eksponential-r1-h19/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^4 - 2x + \ln x
$$

b)

$$
g(x) = x^7 \cdot e^x
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{\ln(2x)}{x^2}
$$

---

## H2019 del 1 oppgave 2 — Logaritmeuttrykk forenklet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et logaritmeuttrykk med logaritmeregler til én ln-verdi.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeuttrykk-forenklet/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
4\ln(a \cdot b^3) - 3\ln(a \cdot b^2) - \ln\left(\frac{a}{b}\right)
$$

---

## H2019 del 1 oppgave 3 — Polynom og ulikhet med P(x)

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Polynomdivisjon for å bestemme parameter, faktorisering i lineære faktorer og løsing av polynomunlikhet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynom-og-ulikhet-med-p-x/

### Oppgavetekst

Polynomet $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 + 6x^2 + k \cdot x - 30
$$

a) Begrunn at $k$ må være lik $-1$ for at divisjonen $P(x) : (x-2)$ skal gå opp.
b) Faktoriser $x^3 + 6x^2 - x - 30$ i lineære faktorer.
c) Løs ulikheten $x^3 + 6x^2 \leq x + 30$

---

## H2019 del 1 oppgave 4 — Vektorer i firkant ABCD

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vektorer, vurdere ortogonalitet og finne parameter for vinkelrett vektorer og trapesbetingelse.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-i-firkant-abcd/

### Oppgavetekst

Firkanten $ABCD$ er gitt ved $A(-2,\, 1)$, $B(2,\, -1)$, $C(4,\, 2)$ og $D(t,\, 3)$.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{BC}$.
b) Avgjør om $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$.
c) Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$.
d) For hvilke verdier av $t$ er firkanten $ABCD$ et trapes?

---

## H2019 del 1 oppgave 5 — Komité fra to klasser kombinatorikk

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Kombinatorikk med utvalg fra to klasser og sannsynlighetsberegning for spesifikke utfall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/komite-fra-to-klasser-kombinatorikk/

### Oppgavetekst

I en R1-gruppe kommer 7 elever fra klasse A og 5 elever fra klasse B. Blant disse 12 elevene skal det velges tilfeldig en komité som skal bestå av 3 elever fra klasse A og 2 elever fra klasse B.

a) Hvor mange slike komiteer er det mulig å sette sammen?

Anne og Jens er elever i R1-gruppen. Anne går i klasse A, og Jens går i klasse B.

b) Bestem sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen.
c) Bestem sannsynligheten for at bare én av dem blir med i komiteen.

---

## H2019 del 1 oppgave 6 — Kvartsirkel og rektangelareal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Derivasjon, Optimering, Integrasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at arealuttrykket for fargelagt område er $F(x) = \pi - x\sqrt{4-x^2}$ og finne minimumsverdien ved derivasjon.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvartsirkel-og-rektangelareal/

### Oppgavetekst

Skissen nedenfor viser en kvartsirkel med radius 2. Firkanten $OABC$ er et rektangel, der $O$ er origo, $A$ ligger på $x$-aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$-aksen.

![Kvartsirkel med radius 2 og innskrevet rektangel OABC](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h19-1-6.avif)

a) Vis at arealet $F$ til det fargelagte området er gitt ved

$$
F(x) = \pi - x\sqrt{4 - x^2}, \quad 0 \leq x \leq 2
$$

b) Hva er det minste arealet det fargelagte området kan ha?

---

## H2019 del 1 oppgave 7 — Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Areal og omkrets, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bevise Pytagoras' setning via likebeint trekant, formlike trekanter og arealbetraktninger med innskrevet halvsirkel.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-pytagoras-med-innskrevet-halvsirkel/

### Oppgavetekst

I denne oppgaven skal vi bevise Pytagoras' setning.

I en rettvinklet trekant $ABC$ med sidene $a$, $b$ og $c$ har vi tegnet en innskrevet halvsirkel med sentrum i $D$ og radius $r = DC = DE$. Halvsirkelen tangerer hypotenusen i punktet $E$. Se figuren nedenfor.

![Rettvinklet trekant ABC med innskrevet halvsirkel, sentrum D og radius r](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h19-1-7-1.avif)

a) Begrunn at $\triangle CEB$ er likebeint. Bruk dette til å vise at $EA = c - a$.
b) Begrunn at $\triangle ABC \sim \triangle ADE$. Bruk dette til å vise at $r = \dfrac{a \cdot (c-a)}{b}$.

Vi speiler hele figuren om $AC$ og får en trekant $ABF$ med en innskrevet sirkel.

![Speilet trekant ABF med innskrevet sirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h19-1-7-2.avif)

c) Vis ved arealbetraktninger at $a \cdot b = (a + c) \cdot r$.
d) Bruk resultatene fra oppgave b) og c) til å bevise Pytagoras' setning.

---

## H2019 del 2 oppgave 1 — Betinget sannsynlighet søppelpost

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne totalsannsynlighet og betinget sannsynlighet (Bayes) for søppelpost basert på epostinnhold.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/betinget-sannsynlighet-soppelpost/

### Oppgavetekst

Av alle epostene som blir sendt til Arnt, er 80 % søppelpost (spam), det vil si uønsket reklame som blir sendt via epost. Det viser seg at 85 % av epostene som er søppelpost, inneholder ett eller flere ord fra en bestemt liste. Av eposter som ikke er søppelpost, er det bare 3 % som inneholder ett eller flere ord fra denne listen.

a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt inneholder ett eller flere ord fra listen.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt er søppelpost når den inneholder ett eller flere ord fra listen.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt er søppelpost selv om den ikke inneholder noen ord fra listen.

---

## H2019 del 2 oppgave 2 — Kubikkfunksjon med parameter k

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en kubikkfunksjon med parameter for ekstremalpunkter, bestemme k for gitt toppunkt og finne vendepunkt og maksimal momentan vekstfart.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikkfunksjon-med-parameter-k/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = -x^3 + x^2 + k \cdot x + 2
$$

a) For hvilke verdier av $k$ har grafen til $f$ både et toppunkt og et bunnpunkt?
b) Bestem $k$ slik at grafen til $f$ har et toppunkt i $(2,\, f(2))$.
Bestem også koordinatene til bunnpunktet for denne verdien av $k$.
c) Bestem koordinatene til vendepunktet til grafen, uttrykt ved $k$.
Bestem $k$ slik at største momentane vekstfart til $f$ er 2.

---

## H2019 del 2 oppgave 3 — To golfballer vektorfunksjoner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Analysere to golfballer med vektorfunksjoner — finne landingstid, tegne baner, beregne banefart og tidspunkt for parallelle fartsvektorer.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-golfballer-vektorfunksjoner/

### Oppgavetekst

To golfballer blir slått ut samtidig fra et tak som er 20 meter over bakkenivå.

Posisjonen til ball 1 er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}_1(t) = \left[17t,\; -5t^2 + 29t + 20\right]
$$

Posisjonen til ball 2 er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}_2(t) = \left[24t,\; -5t^2 + 25t + 20\right]
$$

Her er $t$ tiden (målt i sekunder) etter at ballene ble slått ut fra taket, og koordinatene er gitt i meter. Førstekoordinaten er posisjon i horisontal retning, og andrekoordinaten er høyden til ballen over bakkenivå.

a) Hvor lang tid tar det før hver av golfballene treffer bakken?
b) Tegn grafene til $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$.
c) Bestem banefarten til hver av de to golfballene idet de forlater taket.

Ved et tidspunkt vil de to golfballene ha samme fartsretning.

d) Bestem dette tidspunktet.
Hvilken vinkel danner da fartsvektorene med $x$-aksen?

---

## H2019 del 2 oppgave 4 — Parabol med brennpunkt og tangent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** CAS, Derivasjon, Andregradsfunksjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å vise at x-koordinaten til R er $-4p^2/q$ og at tangentene i Q og R er normalt på hverandre.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parabol-med-brennpunkt-og-tangent/

### Oppgavetekst

Figur 1 viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \frac{1}{4p}\,x^2
$$

der $p > 0$ er et reelt tall. Vi kaller grafen til en slik funksjon for en parabel. Punktet $P(0,\, p)$ kaller vi for parabelens brennpunkt.

La $Q(q,\, f(q))$ være et generelt punkt på parabelen, og la $\ell$ være linjen som går gjennom $P$ og $Q$. Linjen $\ell$ skjærer også parabelen i punktet $R$. Se figur 2.

![Parabel med brennpunkt P, punkt Q, skjæringspunkt R og linje ell — Figur 1, 2 og 3](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h19-2-4.avif)

a) Bruk CAS til å vise at $x$-koordinaten til punktet $R$ er $-\dfrac{4p^2}{q}$.
b) Bruk CAS til å vise at tangentene til grafen til $f$ i punktene $Q$ og $R$ står normalt på hverandre. Se figur 3.

---

## V2018 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynom produkt og sammensatt eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=x^4-x+2$, $g(x)=x^3\ln(x)$ og $h(x)=e^{2x^2+x}$ med produkt- og kjerneregel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynom-produkt-og-sammensatt-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^4 - x + 2
$$

b)

$$
g(x) = x^3 \cdot \ln(x)
$$

c)

$$
h(x) = e^{2x^2+x}
$$

---

## V2018 del 1 oppgave 2 — Brøk og logaritmeuttrykk med forenkling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle rasjonalt brøkuttrykk med felles nevner og logaritmeuttrykk med logaritmeregler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brok-og-logaritmeuttrykk-med-forenkling/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{1}{2x-2} + \dfrac{2}{x-3} - \dfrac{x-2}{x^2-4x+3}
$$

b)

$$
2\ln(x \cdot y^3) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{x^4}{y^2}\right)
$$

---

## V2018 del 1 oppgave 3 — Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne vektorer mellom punkter, bruke prikkprodukt til å vise vinkelretthet og bestemme parameter fra parallellitetsbetingelse.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-vinkelrett-betingelse-med-punkter/

### Oppgavetekst

Punktene $A(-2,\,-1)$, $B(-1,\,-3)$, $C(3,\,-1)$ og $D(t,\,t^2+2)$ er gitt, der $t \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{BC}$.
b) Bruk vektorregning til å vise at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$.
c) Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{CD} \parallel \overrightarrow{AB}$.

---

## V2018 del 1 oppgave 4 — Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bruke nullpunkt til å bestemme koeffisient, faktorisere kubikkpolynom med polynomdivisjon og løse rasjonale ulikhet med fortegnslinje.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-rasjonale-ulikheter/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + k \cdot x + 12
$$

a) Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x):(x-1)$ går opp.
b) Sett inn verdien for $k$ fra oppgave a), og bruk blant annet polynomdivisjon til å skrive $f(x)$ som et produkt av lineære faktorer.
c) Løs ulikheten

$$
\frac{x^2 + x - 12}{x-1} \geq 0
$$

---

## V2018 del 1 oppgave 5 — Defekte ladere og betinget sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for kombinert hendelse og bruke Bayes' setning for betinget sannsynlighet ved to leverandører.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/defekte-ladere-og-betinget-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

En butikk kjøper samme type ladere fra to leverandører. Av disse kommer

- 40 % fra leverandør A
- 60 % fra leverandør B

Det viser seg at

- 3 % av laderne fra A er defekte
- 2 % av laderne fra B er defekte

Vi tenker oss at vi velger ut en lader tilfeldig.

a) Bestem sannsynligheten for at laderen kommer fra leverandør A og er defekt.
b) Bestem sannsynligheten for at en lader som er defekt, kommer fra leverandør A.

---

## V2018 del 1 oppgave 6 — Drøfting av eksponentialfunksjon med substitusjonsvinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Nullpunkter, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Full drøfting av $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$ inkludert nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og skisse ved hjelp av substitusjon $u=e^x$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-eksponentialfunksjon-med-substitusjonsvinkel/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3
$$

I denne oppgaven kan du få bruk for følgende tilnærmingsverdier:

$\ln 2 \approx 0{,}69$ og $\ln 3 \approx 1{,}10$

a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$.
c) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.

---

## V2018 del 1 oppgave 7 — Formlike trekanter og Pytagoras bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Bevis, Rettvinklet trekant, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at tre skalerte rettvinklede trekanter er formlike, vise at tre hjørner er kollineære og bevise Pytagoras' setning via rektangelkonstruksjonen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-og-pytagoras-bevis/

### Oppgavetekst

En rettvinklet trekant har sidene $a$, $b$ og $c$, slik figuren nedenfor viser.

![Rettvinklet trekant med sider a, b og c](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v18-1-7.avif)

Vi kan lage tre nye trekanter med utgangspunkt i denne trekanten. Dette gjør vi ved å multiplisere hver av sidene med henholdsvis $c$, $b$ og $a$. Figurene viser de tre nye trekantene og den sammensatte figuren.

a) Begrunn at de tre trekantene er formlike.

Vi setter sammen de tre trekantene som vist på figuren ovenfor.

b) Begrunn at $E$, $D$ og $C$ ligger på en rett linje.
c) Forklar at firkanten $ABCE$ er et rektangel. Hvordan viser dette at Pytagoras' setning gjelder?

---

## V2018 del 2 oppgave 1 — Firkant innskrevet i sirkel og sentrivinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke sentrivinkelsatsen til å uttrykke $\angle DCB$ og bevise at summen av motstående vinkler i en innskrevet firkant er $180°$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-innskrevet-i-sirkel-og-sentrivinkel/

### Oppgavetekst

Figuren viser en sirkel med sentrum i $S$ og en firkant $ABCD$ som er innskrevet i sirkelen. La $u = \angle BSD$.

![Firkant ABCD innskrevet i sirkel med sentrum S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v18-2-1.avif)

a) Forklar at $\angle DCB = 180° - \dfrac{1}{2}u$
b) Vis at $\angle BAD + \angle DCB = \angle CBA + \angle ADC = 180°$

---

## V2018 del 2 oppgave 2 — Sirkellikning med tre punkter og CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp likningssystem fra tre punkter på sirkelperiferien og løse for konstantene $a$, $b$, $c$ i sirkelligningen med CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkellikning-med-tre-punkter-og-cas/

### Oppgavetekst

Likningen til en sirkel kan skrives på formen

$$
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \text{ , der } a\text{, } b \text{ og } c \text{ er konstanter.}
$$

Punktene $A(3,\,8)$, $B(9,\,6)$ og $C(13,\,-2)$ ligger på sirkelperiferien.

a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.
b) Bruk CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$.

---

## V2018 del 2 oppgave 3 — Binomisk fordeling og flyoverbooking

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Vurdere forutsetninger for binomisk modell, beregne $P(X \leq 116)$ ved 122 solgte billetter og finne maksimalt antall billetter ved kravet $P(X \leq 116) \geq 0{,}95$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-og-flyoverbooking/

### Oppgavetekst

Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %.

Vi lar $X$ være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.

a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?

I resten av denne oppgaven går vi ut fra at $X$ er binomisk fordelt.

b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.

Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.

c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?

---

## V2018 del 2 oppgave 4 — Minste veilengde mellom fire byer med CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, CAS, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke samlet veilengde $g(x)$ som funksjon av $x$ og bruke CAS til å minimere $g(x)$ for et veinettverk mellom fire byer i et kvadrat.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minste-veilengde-mellom-fire-byer-med-cas/

### Oppgavetekst

Fire byer $A$, $B$, $C$ og $D$ ligger plassert slik at de danner et kvadrat med side 10. Vi skal lage veiforbindelse mellom disse fire byene. Det viser seg at den samlede veilengden blir minst når veiene legges slik skissen nedenfor viser. De enkelte veistrekningene er markert med blått. Alle mål er gitt i kilometer.

![Veinettverk mellom fire byer A, B, C, D i kvadrat med knutepunkter E og F](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v18-2-4.avif)

Vi lar avstanden mellom $E$ og $F$ være $x$.

a) Vis at den samlede veilengden er gitt ved

$$
g(x) = x + 2\sqrt{(x-10)^2 + 10^2}
$$

b) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at den samlede veilengden blir minst mulig. Hva blir den samlede veilengden da?

---

## V2018 del 2 oppgave 5 — Parameterframstilling og banefart for partikkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Tegne parameterkurve, beregne fartsvektor og banefart, finne $t$ der banefarten er 2 med CAS, og bevise at banefarten har ekstremalverdi der fartsvektoren er normal på akselerasjonsvektoren.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-og-banefart-for-partikkel/

### Oppgavetekst

Posisjonsvektoren til en partikkel ved et tidspunkt $t$ er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = [t^3 - 2t,\ t^2 + 1] \quad , \quad t \in \mathbb{R}
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $\vec{r}$ for $t \in [-2,\ 2]$
b) Bestem fartsvektoren $\vec{v}(-1)$ og banefarten $|\vec{v}(-1)|$. Tegn fartsvektoren inn på grafen i det aktuelle punktet.
c) Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at banefarten til partikkelen blir 2.
d) Vis at banefarten til partikkelen har ekstremalverdi i de punktene på kurven der fartsvektoren står normalt på akselerasjonsvektoren.

---

## H2018 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med produkt logaritme og kvotient

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av tre funksjoner: produkt med $e^x$, produkt $x^2 \cdot \ln x$, og kvotient med $e^{2x+1}$ i nevner
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-produkt-logaritme-og-kvotient/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^2 + 2x + e^x
$$

b)

$$
g(x) = x^2 \cdot \ln x
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{x-1}{e^{2x+1}}
$$

---

## H2018 del 1 oppgave 2 — Løs likningene med eksponential og logaritme

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmefunksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $e^{2x} + 7e^x - 8 = 0$ med substitusjon $u = e^x$, og logaritmisk likning ved logaritmeregler
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-likningene-med-eksponential-og-logaritme/

### Oppgavetekst

Løs likningene

a)

$$
e^{2x} + 7e^x - 8 = 0
$$

b)

$$
\ln(x^2 - 5x - 1) - \ln(3 - 2x) = 0
$$

---

## H2018 del 1 oppgave 3 — Vektorer vektorsum og vinkel med prikkprodukt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Lengde av vektor
- **Kort beskrivelse:** Vektorregning med lineærkombinasjon, lengde og prikkprodukt for å avgjøre om vinkel er spiss, rett eller stump
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-vektorsum-og-vinkel-med-prikkprodukt/

### Oppgavetekst

Gitt vektorene $\vec{a} = [2, 3]$ og $\vec{b} = [-5, 3]$

a) Bestem vektorsummen $2\vec{b} - 3\vec{a}$
b) Avgjør om $|\vec{a}| > 4$
c) Avgjør ved hjelp av vektorregning om vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er spiss, rett eller stump.

---

## H2018 del 1 oppgave 4 — Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Tredjegradspolynom $f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30$: vise at $(x-2)$ er faktor, faktorisere i lineære faktorer og løse ulikheten $-2 \cdot f(x) \geq 0$
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-faktorisering-og-ulikhet/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30
$$

a) Vis at divisjonen $f(x) : (x-2)$ går opp.
b) Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.
c) Løs ulikheten $-2 \cdot f(x) \geq 0$

---

## H2018 del 1 oppgave 5 — Juletrær edelgran og sannsynlighet med Bayes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Totalssannsynlighet for at første salg er edelgran, og betinget sannsynlighet for at lottovinner er kvinne gitt at hun kjøpte edelgran
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/juletraer-edelgran-og-sannsynlighet-med-bayes/

### Oppgavetekst

Andersen selger juletrær. Han selger edelgran og vanlig gran. Av erfaring vet han at 70 % av dem som kjøper juletrær, er menn. Han vet også at 60 % av mennene og 40 % av kvinnene kjøper edelgran.

a) Hva er sannsynligheten for at det første treet han selger en dag, er edelgran?

Alle som kjøper edelgran, får et lodd i et lotteri. På julaften trekkes vinneren av lotteriet.

b) Hva er sannsynligheten for at vinneren av lotteriet blir en kvinne?

---

## H2018 del 1 oppgave 6 — Stykkevis funksjon med to uttrykk og kontinuitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Delt forskrift, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Bestem verdier av $a$ slik at stykkevis funksjon $f$ med $2x^2 - 3x - 2$ for $x \leq a$ og $x^2 + x + 3$ for $x > a$ er kontinuerlig
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-med-to-uttrykk-og-kontinuitet/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x - 2, & x \leq a \\ x^2 + x + 3, & x > a \end{cases}
$$

For hvilke verdier av $a$ blir $f$ en kontinuerlig funksjon?

---

## H2018 del 1 oppgave 7 — Logaritmefunksjon drøfting toppunkt og vendepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Logaritmefunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $g(x) = x - 2\ln(x^2+3)$: vise at $g'(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2+3}$, bestemme topp-/bunnpunkt og vendepunkter
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-drofting-toppunkt-og-vendepunkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = x - 2\ln(x^2 + 3) \,, \quad x \in \mathbb{R}
$$

a) Vis at $g'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 3}$
b) Bestem $x$-koordinaten til eventuelle toppunkt og $x$-koordinaten til eventuelle bunnpunkt på grafen til $g$.
c) Bestem $x$-koordinaten til eventuelle vendepunkt på grafen til $g$.

---

## H2018 del 1 oppgave 8 — Konstruksjon av trekant med innskrevet sirkel og firkant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Sirkel, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Passer- og linjalskonstruksjon av trekant ABC med tre kjente sider, innskrevet sirkel, og utvidelse til firkant ABCD med periferivinkelsatsen
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trekant-med-innskrevet-sirkel-og-firkant/

### Oppgavetekst

I trekanten $ABC$ er $AB = 8 \text{ cm}$, $AC = 5 \text{ cm}$ og $BC = 7 \text{ cm}$.

a) Konstruer trekanten.
b) Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten $ABC$.

Trekanten $ABC$ er del av firkanten $ABCD$ der $AD = 6 \text{ cm}$, $AD < CD$ og $\angle ADC = 30\degree$.

c) Konstruer firkanten. (Hint: Du kan få bruk for periferivinkler.)

---

## H2018 del 2 oppgave 1 — Binomisk fordeling og kombinatorikk med planter

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling $X \sim B(10; 0{,}4)$: sannsynlighet for halvparten og mer enn fem gule blomster, og antall permutasjoner av 4+6 like planter
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-og-kombinatorikk-med-planter/

### Oppgavetekst

Et gartneri produserer og selger en plante som får enten røde eller gule blomster. Sannsynligheten er $p = 0{,}4$ for at en tilfeldig valgt plante får gule blomster.

Astrid kjøper ti tilfeldige planter av denne typen.

a) Bestem sannsynligheten for at halvparten av plantene til Astrid får gule blomster.
b) Bestem sannsynligheten for at flere enn fem av plantene til Astrid får gule blomster.

Stian har fire like planter med gule blomster og seks like planter med røde blomster. Disse skal han plante på én rekke i en blomsterkasse.

c) På hvor mange ulike måter kan han plassere plantene i kassen?

---

## H2018 del 2 oppgave 2 — Vinkelhalvering og formlike trekanter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Argumentasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk bevisrekke om vinkelhalveringslinjen i trekant ABC med parallell linje gjennom A; vise formlikhet, likebeinthet og bisektorsatsen AD/DB = b/a
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkelhalvering-og-formlike-trekanter/

### Oppgavetekst

Trekanten $ABC$ har sidelengder $a$, $b$ og $c$. Vinkelhalveringslinjen til $\angle ACB$ skjærer linjestykket $AB$ i punktet $D$.

En linje gjennom $A$ er parallell med linjestykket $BC$. Linjen skjærer halveringslinjen i punktet $E$. Se skissen til høyre.

![Vinkelhalvering i trekant ABC med parallell linje gjennom A](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h18-2-2.avif)

a) Begrunn at $\angle DEA = \angle DCB$.
b) Begrunn at trekantene $AED$ og $BCD$ er formlike.
c) Begrunn at trekant $AEC$ er likebeint.
d) Forklar at $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{b}{a}$

Sett $a = 6$, $b = 7$ og $c = 10$.

e) Bestem den eksakte verdien til lengden $AD$ i dette tilfellet.

---

## H2018 del 2 oppgave 3 — Vektorfunksjon og avstand til linje

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for linje gjennom $A(3,0)$ og $B(5,5)$, tegne vektorfunksjon $\vec{r}(t) = [t+1, t^2+2]$, og finne minste avstand til linjen ved å bruke at tangenten i nærmeste punkt er parallell med linjen
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorfunksjon-og-avstand-til-linje/

### Oppgavetekst

Gitt punktene $A(3, 0)$ og $B(5, 5)$.

a) Bestem en parameterframstilling for den rette linjen $\ell$ gjennom punktene $A$ og $B$.

Vektorfunksjonen $\vec{r}$ er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = [t+1,\ t^2+2]
$$

b) Tegn grafen til $\vec{r}$ for $-3 \leq t \leq 3$. Tegn linjen $\ell$ i samme koordinatsystem.

La $P$ være det punktet på grafen til $\vec{r}$ som ligger nærmest linjen $\ell$.

Et resultat fra geometrien sier at tangenten til grafen til $\vec{r}$ i punktet $P$ er parallell med $\ell$.

c) Bruk dette resultatet til å bestemme den eksakte verdien for den minste avstanden mellom linjen $\ell$ og grafen til $\vec{r}$.

---

## H2018 del 2 oppgave 4 — Vendetangent og arealforhold for kubikkfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Areal og omkrets, CAS, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Kubikkfunksjon $f(x) = x(x^2-4)$: bruke graftegner, bestemme arealforhold mellom trekantene ABC og ABD, og vise med CAS at arealforholdet er uavhengig av parameteren $r$ for $g(x) = x(x^2-r^2)$
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendetangent-og-arealforhold-for-kubikkfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x(x^2 - 4)
$$

Skissen nedenfor viser grafen til $f$ sammen med vendetangenten $t$ i punktet $B(0, 0)$. Punktet $A$ har koordinatene $(-2, 0)$. Punktet $C$ er skjæringspunktet mellom linjen $t$ og linjen $x = -2$. Punktet $D$ er toppunktet på grafen til $f$.

![Graf av f(x)=x(x²-4) med vendetangent og punktene A, B, C, D](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h18-2-4.avif)

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ sammen med vendetangenten og punktene $A$, $B$, $C$ og $D$.
b) Bestem forholdet mellom arealene av trekantene $ABC$ og $ABD$.

Vi ser nå på det generelle uttrykket

$$
g(x) = x \cdot (x^2 - r^2) \,, \quad r > 0
$$

Punktene $E$, $F$, $G$ og $H$ er definert ved at

- $E$ er venstre nullpunkt
- $F$ er origo
- $G$ er skjæringspunktet mellom vendetangenten og den vertikale linjen gjennom $E$
- $H$ er toppunktet på grafen til $g$

c) Bruk CAS til å vise at forholdet mellom arealene av trekantene $EFG$ og $EFH$ er uavhengig av $r$.

---

## V2017 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med eksponential og rot R1 V17

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=2x^3-5x+4$, $g(x)=x^2 e^x$ og $h(x)=\sqrt{x^2-3}$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-eksponential-og-rot-r1-v17/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 2x^3 - 5x + 4
$$

b)

$$
g(x) = x^2 e^x
$$

c)

$$
h(x) = \sqrt{x^2 - 3}
$$

---

## V2017 del 1 oppgave 2 — Forenkle rasjonalt uttrykk og logaritmeuttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale funksjoner, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{x^2-3}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}+\frac{5}{x-3}$ og $2\ln(a^{-3}b^2)-3\ln\left(\frac{b}{a^2}\right)$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-rasjonalt-uttrykk-og-logaritmeuttrykk/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{x^2-3}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{5}{x-3}
$$

b)

$$
2\ln(a^{-3}b^2)-3\ln\left(\dfrac{b}{a^2}\right)
$$

---

## V2017 del 1 oppgave 3 — Vektorer mellom tre punkter og ukjent punkt D

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$, og finne koordinatene til $D$ fra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-mellom-tre-punkter-og-ukjent-punkt-d/

### Oppgavetekst

Tre punkt $A(-1,\, 6)$, $B(2,\, 1)$ og $C(4,\, 4)$ er gitt.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.

Et punkt $D$ er gitt slik at

$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{0}
$$

b) Bestem koordinatene til $D$.

---

## V2017 del 1 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon vendepunkt faktorisering og eksponentiallikning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Faktorisering, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Begrunne vendepunkt, faktorisere $P(x)=2x^3-6x^2-2x+6$ og løse $2e^{3x}-6e^{2x}-2e^x+6=0$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-vendepunkt-faktorisering-og-eksponentiallikning/

### Oppgavetekst

Funksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 2x + 6
$$

a) Begrunn at $(1,\, 0)$ er et vendepunkt på grafen til $P$.
b) Faktoriser $P(x)$ i lineære faktorer.
c) Løs likningen

$$
2e^{3x} - 6e^{2x} - 2e^x + 6 = 0
$$

---

## V2017 del 1 oppgave 5 — Medianer i trekant med vektorer og skjæringspunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Forklare midtpunktskoordinater, sette opp to vektoruttrykk for $\overrightarrow{AT}$ og bruke dem til å bestemme skjæringspunktet til medianene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medianer-i-trekant-med-vektorer-og-skjaeringspunkt/

### Oppgavetekst

Hjørnene i en trekant er $A(1,\, 0)$, $B(6,\, 2)$ og $C(3,\, 5)$.

Midtpunktene på sidene i trekanten er $D$, $E$ og $F$. Se figuren.

![Trekant med midtpunkter D, E, F og skjæringspunkt T](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v17-1-5.avif)

a) Forklar at koordinatene til punktene $D$, $E$ og $F$ er

$$
D\left(\frac{9}{2},\, \frac{7}{2}\right), \quad E\left(2,\, \frac{5}{2}\right) \quad \text{og} \quad F\left(\frac{7}{2},\, 1\right)
$$

Skjæringspunktet mellom medianene i trekanten er $T$.

b) Forklar at vi kan skrive $\overrightarrow{AT}$ på to måter:

$$
\overrightarrow{AT} = s \cdot \overrightarrow{AD}
$$

$$
\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{BE}
$$

der $s$ og $t$ er reelle tall.
c) Bruk vektorlikningene i oppgave b) til å bestemme $s$ og $t$. Bestem koordinatene til $T$.

---

## V2017 del 1 oppgave 6 — Lyspærproduksjon sannsynlighet og Bayes setning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Vise at sannsynligheten for defekt lyspære er 9,2 % og bruke Bayes' setning til å finne sannsynligheten for at en defekt lyspære er forkastet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lyspaerproduksjon-sannsynlighet-og-bayes-setning/

### Oppgavetekst

En fabrikk produserer lyspærer. Alle lyspærene blir kontrollert. I kontrollen blir 8,0 % av lyspærene forkastet. Nærmere undersøkelser viser at

- 92,0 % av de forkastede lyspærene er defekte
- 2,0 % av de godkjente lyspærene er defekte

a) Vis at sannsynligheten er 9,2 % for at en tilfeldig produsert lyspære er defekt.
b) Bruk Bayes' setning til å bestemme sannsynligheten for at en defekt lyspære blir forkastet i kontrollen.

---

## V2017 del 1 oppgave 7 — Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bruke tangentlengder og arealformler for rettvinklet trekant med innskrevet sirkel til å utlede Pytagoras' setning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-sirkel-i-rettvinklet-trekant-og-utledning-av-pytagoras/

### Oppgavetekst

En rettvinklet $\triangle ABC$ der $\angle C = 90\degree$ er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i $S$ og radius $r$. Sirkelen tangerer trekanten i punktene $D$, $E$ og $F$. Vi setter $AC = b$, $BC = a$ og $AB = c$. Du får oppgitt at $BF = BE$ og $AD = AE$.

![Rettvinklet trekant med innskrevet sirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v17-1-7.avif)

a) Bruk figuren til å forklare at $a = BF + r$ og $b = AD + r$

Av figuren ser vi dessuten at $c = AE + BE$.

b) Vis at $a + b - c = 2r$
c) Forklar at vi kan skrive arealet $T$ av trekanten på to måter:

$$
T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \qquad \text{og} \qquad T = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a+b+c)
$$

d) Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras' setning.

---

## V2017 del 2 oppgave 1 — Kortspill kombinatorikk med fem kort fra kortstokk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved trekking av fem kort fra en 52-korters kortstokk med kombinatorikk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kortspill-kombinatorikk-med-fem-kort-fra-kortstokk/

### Oppgavetekst

I en kortstokk er det 52 kort. Kortene er fordelt på de fire fargene hjerter, ruter, spar og kløver. Hver farge har 13 kort fordelt på verdiene 2 til 10, knekt, dame, konge og ess. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig fem kort fra kortstokken.

a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med verdi 10.
b) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med samme verdi.
c) Bestem sannsynligheten for at alle kortene du kommer til å trekke, har samme farge.

![Tre mulige utfall ved trekking av fem kort](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v17-2-1.avif)

---

## V2017 del 2 oppgave 2 — Partikkel med posisjonsvektor fart og akselerasjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Derivasjon, CAS
- **Kort beskrivelse:** Tegne bane for partikkel med $\vec{r}(t)=[t^2-1,\,t^3-t]$, bestemme farts- og akselerasjonsvektor, og finne minste banefart med CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-med-posisjonsvektor-fart-og-akselerasjon/

### Oppgavetekst

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \left[t^2 - 1,\; t^3 - t\right]
$$

a) Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in \left[-\dfrac{3}{2},\, \dfrac{3}{2}\right]$.
b) Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t)$.
c) Bruk CAS til å bestemme den minste banefarten til partikkelen.

---

## V2017 del 2 oppgave 3 — Stige mot vegg korteste avstand fra fot til stige

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at korteste avstand fra $C$ til stigen er $d=\frac{x\sqrt{49-x^2}}{7}$, og bestemme $x$ som maksimerer $d$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stige-mot-vegg-korteste-avstand-fra-fot-til-stige/

### Oppgavetekst

En stige på $7{,}0 \mathrm{~m}$ er stilt opp langs en vegg. Stigen danner sammen med veggen og bakken en rettvinklet $\triangle ABC$. Se figuren.

Vi setter $AC = x$. Den korteste avstanden fra $C$ til stigen er $d$ meter.

![Stige langs vegg med trekant ABC og avstand d](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v17-2-3.avif)

a) Vis at $d = \dfrac{x\sqrt{49 - x^2}}{7}$
b) Bestem $x$ slik at $d$ blir lengst mulig.
Hvor lang er $d$ for denne verdien av $x$?

---

## V2017 del 2 oppgave 4 — Tre tangenter til kubisk funksjon gjennom eksternt punkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, CAS, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Forklare tangentbetingelse, løse med CAS og drøfte maksimalt antall tangenter til $f(x)=2x^3-6x^2+5x$ gjennom et eksternt punkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tangenter-til-kubisk-funksjon-gjennom-eksternt-punkt/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.

Grafen til $f$ har tre tangenter som går gjennom punktet $A(4,\, 3)$.

b) Forklar at $x$-koordinaten til tangeringspunktene må være løsning av likningen

$$
\frac{f(x) - 3}{x - 4} = f'(x)
$$

c) Bruk CAS til å løse denne likningen. Bestem likningen til hver av tangentene.

La $P(a,\, b)$ være et punkt i planet.

d) Hva er det maksimale antallet tangenter grafen til $f$ kan ha som går gjennom $P$?

---

## H2017 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 H17

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med polynom, produkt- og kjerneregel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-h17/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 3x^2 - 2x + 1
$$

b)

$$
g(x) = x^2 e^x
$$

c)

$$
h(x) = \ln(x^3 - 1)
$$

---

## H2017 del 1 oppgave 2 — Forenkle ln-uttrykk med logaritmeregler

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et sammensatt ln-uttrykk ved bruk av logaritmereglene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-ln-uttrykk-med-logaritmeregler/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
2\ln b - \ln\left(\frac{1}{b}\right) - \ln(ab^2) + \ln\left(\frac{a}{b^2}\right)
$$

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

---

## H2017 del 1 oppgave 3 — Vektorer i planet med parameterverdi

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parallelle vektorer, Lengde av vektor
- **Kort beskrivelse:** Vektorregning med parameterverdi — beregne differansevektorer, prikkprodukt, parallelitet og lengdebetingelse.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-i-planet-med-parameterverdi/

### Oppgavetekst

Vektorene $\vec{a} = [3,\ 1]$, $\vec{b} = [4,\ 2]$ og $\vec{c} = [t+1,\ 3]$ er gitt, der $t \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $\vec{a} - 2\vec{b}$
b) Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$
c) Bestem $t$ slik at $\vec{b} \parallel \vec{c}$
d) Bestem $t$ slik at $|\vec{c}| = |\vec{a}|$

---

## H2017 del 1 oppgave 4 — Trekantareal under andregradsgraf optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Utlede og optimere arealet av en rettvinklet trekant med hjørner på koordinataksene og grafen til $f(x) = 2(x-3)^2$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantareal-under-andregradsgraf-optimering/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 2(x-3)^2 \qquad , \quad 0 < x < 3
$$

En rettvinklet trekant $\triangle ABC$ er gitt ved punktene $A(0,\ 0)$, $B(x,\ 0)$ og $C(x,\ f(x))$. Se skissen til høyre.

![Rettvinklet trekant under grafen til f](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h17-1-4.avif)

a) Vis at arealet $F$ til $\triangle ABC$ kan skrives som

$$
F(x) = x^3 - 6x^2 + 9x
$$

b) Bestem $x$ slik at arealet til $\triangle ABC$ blir størst mulig.
c) Bestem arealet når $x = 2$. Er det andre $x$-verdier som gir dette arealet?

---

## H2017 del 1 oppgave 5 — Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle antall koder for nøkkelbokser med og uten rekkefølge, og optimere antall koder ved å variere kodelengden.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nokkelboks-kombinatorikk-med-og-uten-rekkefolge/

### Oppgavetekst

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

![Nøkkelboks type 1 (Master Lock)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h17-1-5-1.avif)

a) Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

![Nøkkelboks type 2 (med knapper)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h17-1-5-2.avif)

b) Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?
c) Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

---

## H2017 del 1 oppgave 6 — Trekant ABC med midtnormal og parameterframstilling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme midtpunkt og midtnormal til trekantside ved hjelp av vektorer og parameterframstilling, og finne skjæringspunkt mellom to midtnormaler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-abc-med-midtnormal-og-parameterframstilling/

### Oppgavetekst

En $\triangle ABC$ har hjørnene $A(3,\ {-2})$, $B(9,\ 4)$ og $C(1,\ 4)$. Punktet $M$ er midtpunktet på $AC$.

![Trekant ABC med midtnormal ℓ](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h17-1-6.avif)

a) Vis ved vektorregning at $M$ har koordinatene $M(2,\ 1)$.

La $\ell$ være midtnormalen til $AC$.

b) Forklar at

$$
\ell : \begin{cases} x = 2 + 3t & \\ y = 1 + t \end{cases}
$$

er en parameterframstilling for $\ell$.
c) Avgjør om punktet $\left(12,\ \dfrac{9}{2}\right)$ ligger på $\ell$.
d) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og midtnormalen til $AB$.

---

## H2017 del 1 oppgave 7 — Implikasjoner og ekvivalenser mellom utsagn

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Derivasjon, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre riktig logisk symbol ($\Leftarrow$, $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$) mellom to matematiske utsagn og begrunne svaret.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjoner-og-ekvivalenser-mellom-utsagn/

### Oppgavetekst

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Leftarrow$, $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$. Husk å begrunne svarene.

a)

$$
x^2 = 1 \quad \Box \quad x = 1
$$

b)

$$
f(x) = 5x^2 - 1 \quad \Box \quad f'(x) = 10x
$$

---

## H2017 del 1 oppgave 8 — Tangent gjennom origo til e-funksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likningen for tangenten til $f(x) = e^{1-x}$ som går gjennom origo ved å sette opp stigningstallsbetingelsen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-gjennom-origo-til-e-funksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = e^{1-x}
$$

Grafen til $f$ har en tangent som går gjennom origo.

Bestem likningen for denne tangenten.

---

## H2017 del 2 oppgave 1 — Spilleliste med Kygo binomisk fordeling

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Modellere avspillinger fra en spilleliste med binomisk fordeling og bestemme nødvendig antall avspillinger for å oppfylle et sannsynlighetskrav.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spilleliste-med-kygo-binomisk-fordeling/

### Oppgavetekst

Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.

a) Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0{,}2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.
b) Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.
c) Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?

---

## H2017 del 2 oppgave 2 — Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vinkel og tyngdepunkt i trekanter ved hjelp av vektorer og prikkprodukt, samt bestemme ukjent hjørne fra gitt tyngdepunkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-og-tyngdepunkt-i-trekanter-med-vektorer/

### Oppgavetekst

En $\triangle ABC$ har hjørnene $A(3,\ 5)$, $B(6,\ 5)$ og $C(7,\ 9)$.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ og bruk vektorregning til å bestemme $\angle BAC$.

Tyngdepunktet $T$ til en trekant med hjørnene $A$, $B$ og $C$ er generelt gitt ved

$$
\overrightarrow{OT} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \text{, der } O \text{ er origo.}
$$

b) Bestem, ved vektorregning, koordinatene til tyngdepunktet $T$ til $\triangle ABC$.

En $\triangle DEF$ er gitt. To av hjørnene er $D(2,\ 3)$ og $E(-3,\ 5)$. Tyngdepunktet er $S(4,\ 2)$.

c) Bestem koordinatene til hjørnet $F$.

---

## H2017 del 2 oppgave 3 — Logaritmefunksjon med ekstremalpunkt og CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Logaritmefunksjoner, CAS
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x) = 2\ln(x^2+4) - \frac{1}{2}x$ med graftegner og CAS, og undersøke antall ekstremalpunkter for en parametrisert variant $g(x) = 2\ln(x^2+k) - \frac{1}{2}x$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmefunksjon-med-ekstremalpunkt-og-cas/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 2\ln(x^2 + 4) - \frac{1}{2}x
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ når $x \in \langle -4,\ 16\rangle$
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = 2\ln(x^2 + k) - \frac{1}{2}x \qquad , \quad k > 0
$$

c) Bruk CAS til å bestemme $k$ slik at $g$ har et ekstremalpunkt i $x = 1$.
d) Bruk blant annet CAS til å bestemme hvor mange ekstremalpunkt $g$ har for ulike verdier av $k$.

---

## H2017 del 2 oppgave 4 — Skip Euler redningsbåt vektormodell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Modellering, CAS
- **Kort beskrivelse:** Modellere bevegelse av skip og redningsbåter med vektorer i et koordinatsystem, bestemme fart og bruke CAS til å beregne tid til møte.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skip-euler-redningsbat-vektormodell/

### Oppgavetekst

Skipet *Euler* sender ut en melding om at det har fått motorstopp. Kapteinen oppgir at posisjonen er $P_0(80,\ 16)$ i et bestemt koordinatsystem. På grunn av avdriften vil posisjonen $P$ (i nm) $t$ timer senere være gitt ved

$$
\overrightarrow{OP} = [80 + 4t,\ 16 + 3t]
$$

På havet måles avstander i nautiske mil (nm). $1 \mathrm{~nm} = 1852 \mathrm{~m}$.

![Koordinatsystem med skip Euler og posisjoner](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h17-2-4.avif)

a) Hvilken fartsvektor $\vec{v}$ driver skipet med? Hvor stor er farten (banefarten)?

En redningsbåt som ligger i $O$, sier at den er klar til å gå mot skipet og kan være ved *Euler* om 4 timer.

b) Hvor stor fart holder redningsbåten?

En annen redningsbåt er i posisjonen $Q(-10,\ 50)$ når meldingen blir sendt. Den kan holde en fart på 35 nm/h.

c) Bruk CAS til å bestemme hvor lang tid det vil gå før denne redningsbåten kan være framme ved *Euler*.

---

## V2016 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner R1 V16

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynom, sammensatt logaritmefunksjon og rasjonalt uttrykk med kvotientregelen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-r1-v16/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene gitt ved

a)

$$
f(x) = -3x^2 + 6x - 4
$$

b)

$$
g(x) = 5\ln(x^3 - x)
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{x-1}{x+1}
$$

---

## V2016 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet med P(x)

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Vise delelighet med faktorsetningen, faktorisere tredjegradspolynom og løse polynomunlikhet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-faktorisering-og-ulikhet-med-p-x/

### Oppgavetekst

Polynomet $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 - 7x^2 + 14x + k
$$

a) Vis at $P$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $k = -8$.
b) Sett $k = -8$ og faktoriser $P$ ved hjelp av lineære faktorer.
c) Løs ulikheten $P(x) \leq 0$.

---

## V2016 del 1 oppgave 3 — Drøfting av f(x) lik x kvadrat e opphøyd i parentes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = x^2 e^{1-x^2}$ med produktregelen, bestemme ekstrema og antall vendepunkt fra skisse.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-f-x-lik-x-kvadrat-e-opphoyd-i-parentes/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^2 e^{1-x^2} \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Vis at $f'(x) = 2x(1 - x^2)e^{1-x^2}$
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$, når du får vite at $f(x) \to 0$ når $x \to \pm\infty$.
d) Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til $f$ har. Marker vendepunktene på skissen.

---

## V2016 del 1 oppgave 4 — Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Bevis, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne lengder i geometrisk konstruksjon og vise at et forholdstall er lik det gylne snitt $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likesidet-trekant-kvadrat-og-det-gylne-snitt/

### Oppgavetekst

En likesidet $\triangle ABC$ har side lik $6 \mathrm{~cm}$. Høyden fra $C$ treffer $AB$ i $H$. $\Box BEDC$ er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i $C$ og radius $CE$ treffer forlengelsen av $AB$ i punktet $F$. Se figuren nedenfor.

![Likesidet trekant med kvadrat og sirkelbue](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v16-1-4.avif)

a) Bestem lengdene av linjestykkene $CH$, $CF$ og $HF$.
b) Vis at forholdet $\dfrac{AF}{AB}$ er lik «det gylne snitt» $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

---

## V2016 del 1 oppgave 5 — Punkter og vektorer i plan med trapes og vinkelvilkår

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Plan
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorer til å avgjøre kollinearitet, finne $t$ slik at $\angle CDA = 90°$, og finne $t$ slik at $ABCD$ er et trapes.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/punkter-og-vektorer-i-plan-med-trapes-og-vinkelvilkar/

### Oppgavetekst

Punktene $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ og $C(3, 5)$ er gitt.

a) Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.

Punktet $D$ er gitt ved $D(0, t)$.

b) Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $\angle CDA = 90°$.
c) Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $ABCD$ blir et trapes.

---

## V2016 del 1 oppgave 6 — Fagvalg Vg2 kombinatorikk med minst to realfag

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle fagkombinasjoner med nøyaktig og minst to realfag ved hjelp av kombinasjonsformelen og addisjonsprinsippet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fagvalg-vg2-kombinatorikk-med-minst-to-realfag/

### Oppgavetekst

Elevene på Vg1 må velge fag for Vg2. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder.

a) Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag?
b) Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag?

---

## V2016 del 1 oppgave 7 — Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Nullpunkter, Bevis, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Anvende geometrisk sirkelkonstruksjon for å finne nullpunkter til $f(x) = x^2 + px + q$, og vise algebraisk at skjæring med $x$-aksen gir nullpunktene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-konstruksjon-av-nullpunkter-til-andregradsfunksjon/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt på formen

$$
f(x) = x^2 + px + q
$$

Vi kan finne eventuelle nullpunkt til $f$ ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor.

> **Merk**
> 1\) Sett av punktene $A(0, 1)$ og $B(-p, q)$ i et koordinatsystem.
>
> 2\) Konstruer sirkelen som har $AB$ som diameter.
>
> 3\) Skjæringspunktene mellom sirkelen og $x$-aksen er nullpunktene til $f$.

a) Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når $f(x) = x^2 - 2x - 8$. Hva er nullpunktene til $f$, ifølge konstruksjonen?

Vi vil nå se på det generelle tilfellet $f(x) = x^2 + px + q$.

b) Vis at sentrum $S$ og radien $r$ til sirkelen er gitt ved

$$
S\left(-\frac{p}{2},\, \frac{q+1}{2}\right) \qquad \text{og} \qquad r = \sqrt{\frac{p^2 + (q-1)^2}{4}}
$$

c) Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved $p$ og $q$. Vis at sirkelen skjærer $x$-aksen i nullpunktene til funksjonen $f$.

---

## V2016 del 2 oppgave 1 — To bunker med kort og Bayes setning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne betingede sannsynligheter ved trekning uten tilbakelegging fra to bunker, og bruke Bayes' setning til å finne $P(F \mid R)$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-bunker-med-kort-og-bayes-setning/

### Oppgavetekst

Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort.

Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig 2 kort fra denne bunken.

Vi definerer følgende hendelser:

$F$: Vi velger bunke A

$R$: Vi trekker 2 røde kort

a) Bestem $P(F)$, $P(\bar{F})$, $P(R \mid F)$ og $P(R \mid \bar{F})$.
b) Bestem $P(R)$.
c) Bruk Bayes' setning til å bestemme $P(F \mid R)$.

---

## V2016 del 2 oppgave 2 — Rektangel under eksponentialfunksjon maksimalt areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Utlede arealuttrykket $T(x) = 5xe^{-x/2}$ for rektangel under eksponentialkurven og optimere ved å sette $T'(x) = 0$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-eksponentialfunksjon-maksimalt-areal/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 5e^{-\frac{x}{2}} \qquad , \qquad x \geq 0
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.

Rektangelet $OABC$ er gitt ved punktene $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(x, f(x))$ og $C(0, f(x))$.

b) Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved

$$
T(x) = 5x e^{-\frac{x}{2}}
$$

c) Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for $x$.

---

## V2016 del 2 oppgave 3 — Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameterframstilling for linje, utlede $\overrightarrow{AP}$ på parameterform, finne fotpunktet ved skalarprodukt og bruke CAS til å finne punkt med gitt vinkel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-skalarprodukt-og-vinkel-mellom-vektorer/

### Oppgavetekst

Gitt tre punkt $A(1, 3)$, $B(4, 0)$ og $C(5, 5)$.

a) Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$ gjennom $B$ og $C$.
b) Et punkt $P$ ligger på linjen $\ell$. Forklar at vi kan skrive $\overrightarrow{AP} = [3+t,\; -3+5t]$ for en $t \in \mathbb{R}$.
c) Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til $P$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$.
d) Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater $P$ kan ha når $\angle BAP = 45°$.

---

## V2016 del 2 oppgave 4 — Trekant på hyperbelgraf og normallinjer med CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Omvendt proporsjonalitet, Derivasjon, CAS, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise at normallinjen gjennom ett hjørne i en trekant på $f(x) = \frac{1}{x}$ har en bestemt ligning, og bruke CAS til å vise at skjæringen alltid ligger på grafen til $f$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-pa-hyperbelgraf-og-normallinjer-med-cas/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{1}{x} \qquad , \qquad x \neq 0
$$

$\triangle ABC$ har hjørnene $A(r,\, f(r))$, $B(s,\, f(s))$ og $C(t,\, f(t))$ på grafen til $f$, der $r, s, t \in \mathbb{R}$ er tre parametere.

![Trekant med hjørner på hyperbelgraf og to normallinjer](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v16-2-4.avif)

a) Vis at linjen $\ell_1$ gjennom $A$ som står normalt på linjen gjennom $B$ og $C$, er gitt ved

$$
y = st(x - r) + \frac{1}{r}
$$

På samme måte kan vi vise at linjen $\ell_2$ gjennom $B$ som står normalt på linjen gjennom $A$ og $C$, er gitt ved

$$
y = rt(x - s) + \frac{1}{s}
$$

b) Linjene $\ell_1$ og $\ell_2$ skjærer hverandre i et punkt $P$. Bruk CAS til å vise at $P$ alltid vil ligge på grafen til $f$.

---

## H2016 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynom, produktet x·ln x og kvotienten e^(2x)/(x−3).
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 2x^2 - 5x - 6
$$

b)

$$
g(x) = x \ln x
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{e^{2x}}{x - 3}
$$

---

## H2016 del 1 oppgave 2 — Nullpunkter og ekstrema for kubikkfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Nullpunkter, Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finn nullpunkter, topp- og bunnpunkter og skisser grafen til f(x) = (x+1)²(x−2).
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-ekstrema-for-kubikkfunksjon/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = (x+1)^2(x-2)
$$

a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.

---

## H2016 del 1 oppgave 3 — Forenkle og løse rasjonale uttrykk og likninger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Algebra, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle rasjonalt uttrykk ved å faktorisere nevner, deretter løse tilsvarende likning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-og-lose-rasjonale-uttrykk-og-likninger/

### Oppgavetekst

a) Skriv så enkelt som mulig

$$
\frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{4}{2x-10}
$$

b) Løs ligningen

$$
\frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}=\frac{4}{2x-10}
$$

---

## H2016 del 1 oppgave 4 — Løs eksponential- og logaritmelikninger

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løs eksponentiallikning ved logaritmering, og andregradlikning i lg x.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-eksponential-og-logaritmelikninger/

### Oppgavetekst

Løs ligningene

a)

$$
2^{3x-2} - 13 = 3
$$

b)

$$
(\lg x)^2 + \lg x - 2 = 0
$$

---

## H2016 del 1 oppgave 5 — Parameterframstilling og vinkelrett punkt på linje

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sett opp parameterframstilling for linje parallell med AB gjennom C, finn skjæring med x-aksen og punkt E med vinkelrett vinkel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-og-vinkelrett-punkt-pa-linje/

### Oppgavetekst

I et koordinatsystem har vi punktene $A(-3, -2)$, $B(3, 4)$ og $C(-4, 5)$. En linje $\ell$ går gjennom punktet $C$ og er parallell med $AB$.

a) Sett opp en parameterframstilling for $\ell$.

Linjen $\ell$ skjærer $x$-aksen i punktet $D$.

b) Bestem koordinatene til $D$.
c) Bestem koordinatene til et punkt $E$ på linjen $\ell$ slik at $\angle BAE = 90°$.

---

## H2016 del 1 oppgave 6 — Defekte nøkler fra to maskiner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynlighet for defekt nøkkel og bruk Bayes til å finne betinget sannsynlighet for maskin A.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/defekte-nokler-fra-to-maskiner/

### Oppgavetekst

I en fabrikk er det to maskiner, maskin A og maskin B, som produserer samme type nøkler.

- 4 % av nøklene fra maskin A er defekte.
- 1 % av nøklene fra maskin B er defekte.
- Maskin B produserer dobbelt så mange nøkler som maskin A.

En nøkkel blir valgt tilfeldig fra lageret.

a) Bestem sannsynligheten for at nøkkelen er defekt.

Det viser seg at den valgte nøkkelen er defekt.

b) Bestem sannsynligheten for at nøkkelen ble produsert av maskin A.

---

## H2016 del 1 oppgave 7 — Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Bevis, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Vis at to trekanter er formlike, utled lengder med formlikhet, og bevis Pytagoras' setning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-inscribed-i-sirkel-og-pythagoras-bevis/

### Oppgavetekst

En rettvinklet $\triangle ACB$ med sidelengdene $BC = a$, $AC = b$ og $AB = c$ er gitt. Vi tegner en sirkel med sentrum i $B$ og radius $a$. Linjen gjennom $A$ og $B$ skjærer sirkelen i $E$ og $P$. Vi setter $\angle BPC = v$. Se figuren nedenfor.

![Rettvinklet trekant med sirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h16-1-7.avif)

a) Vis at $\angle ACE = v$, og at $\triangle ACP \sim \triangle ACE$.
b) Forklar at $AE = c - a$, og at $AP = c + a$.
c) Bruk formlikheten i oppgave a) til å vise at

$$
\frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a}
$$

d) Bruk resultatet i oppgave c) til å vise at Pytagoras' setning gjelder.

---

## H2016 del 1 oppgave 8 — Identifiser graf, derivert og andrederiverte

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Graftolkning, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Identifiser hvilken av tre grafskisser som tilhører f, f' og f'' ved å analysere stigning og krumning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifiser-graf-derivert-og-andrederiverte/

### Oppgavetekst

Nedenfor er det laget skisser av grafene til en funksjon $f$, den deriverte $f'$ og den andrederiverte $f''$.

![Tre grafskisser av f, f' og f''](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h16-1-8.avif)

Avgjør hva som er grafen til $f$, hva som er grafen til $f'$, og hva som er grafen til $f''$.

---

## H2016 del 2 oppgave 1 — Lottokulekombinatorikk og betinget sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn antall kombinasjoner og sannsynligheter i Lotto med 34 kuler og 7 trekkede tall, inkludert betinget sannsynlighet gitt 4 kjente tall.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lottokulekombinatorikk-og-betinget-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene.

Når du spiller Lotto, krysser du av sju av tallene fra 1 til 34 på en kupong.

a) På hvor mange måter kan du velge ut sju av de 34 tallene?

Tore har levert inn en lottokupong der han har krysset av tallene

$$
3, 5, 11, 18, 21, 25, 32
$$

b) Bestem sannsynligheten for at Tore får nøyaktig 5 rette.

Tore ser lottotrekningen på TV. Etter at det er trukket ut fire tall, går strømmen, og TV-en går i svart. Tallene som til da er trukket ut, er 5, 21, 3 og 11.

c) Bestem sannsynligheten for at Tore får sju rette på lottokupongen sin.

---

## H2016 del 2 oppgave 2 — To ortogonale sirkler

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Vektorer, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestem sentrum og radius, finn skjæringspunkter og undersøk om to sirkler er ortogonale ved vektorregning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-ortogonale-sirkler/

### Oppgavetekst

To sirkler $c_1$ og $c_2$ med sentrum i henholdsvis $S_1$ og $S_2$ er gitt ved

$$
c_1 : (x+5)^2 + y^2 = 80
$$

$$
c_2 : x^2 - 10x + y^2 + 5 = 0
$$

a) Bestem sentrum og radius i sirklene $c_1$ og $c_2$.

La $A$ være et av skjæringspunktene mellom sirklene. Sirklene $c_1$ og $c_2$ kalles *ortogonale* dersom $\overrightarrow{AS_1} \perp \overrightarrow{AS_2}$. Se skissen nedenfor.

![To sirkler med skjæringspunkt A og sentre S₁ og S₂](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h16-2-2.avif)

b) Bestem skjæringspunktene mellom sirklene $c_1$ og $c_2$.
c) Undersøk ved å bruke vektorregning om sirklene $c_1$ og $c_2$ er ortogonale.

---

## H2016 del 2 oppgave 3 — Korteste vei via punkt på vei til hytte

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vis at tidsfunksjonen er korrekt, deretter minimer den med derivasjon for å finne optimalt punkt B.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/korteste-vei-via-punkt-pa-vei-til-hytte/

### Oppgavetekst

Anne skal på hytta. Hun må sette bilen sin på en parkeringsplass $P$ ved en rettlinjet vei. Punktet $C$ er det punktet på veien som ligger nærmest hytta $H$. Avstanden fra $P$ til $C$ er $5{,}0 \text{ km}$. Avstanden fra $C$ til $H$ er $2{,}0 \text{ km}$.

Anne vurderer å følge veien fram til et punkt $B$ før hun svinger ut i terrenget og går rett mot hytta. Se figuren nedenfor.

![Figur med P, B, C, H og distanser](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h16-2-3.avif)

Hun regner med å holde farten $5 \text{ km/h}$ på veien og farten $3 \text{ km/h}$ i terrenget.

Vi setter $PB = x \text{ km}$. Tiden hun bruker fra parkeringsplassen til hytta, målt i timer, kaller vi for $t(x)$.

a) Vis at

$$
t(x) = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{2^2 + (5-x)^2}}{3}
$$

b) Bestem hvor Anne må velge punktet $B$ for å komme raskest fram til hytta. Hva er den korteste tiden hun kan bruke?

---

## H2016 del 2 oppgave 4 — Partikkel i bane med vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Tegn parametrisk bane, beregn posisjon, fart og akselerasjon ved t=1, og finn punkter med fartsvektoren parallell med y-aksen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-i-bane-med-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

En partikkel beveger seg i en bane gitt ved

$$
\vec{r}(t) = [t^3 - 3t + 3,\ t - 1], \quad -2 \leq t \leq 2
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $\vec{r}$ i et koordinatsystem.
b) Bestem posisjonen, banefarten og akselerasjonen når $t = 1$.
c) Bestem de punktene på grafen der fartsvektoren $\vec{v}(t)$ er parallell med $y$-aksen.

---

## H2016 del 2 oppgave 5 — Punkter på parabel med avstand 5 fra origo

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** CAS, Andregradsfunksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruk CAS til å finne eksakte x-koordinater for punkter på f(x)=x²+2x−11 med avstand 5 fra origo.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/punkter-pa-parabel-med-avstand-5-fra-origo/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^2 + 2x - 11
$$

Noen punkter på grafen til $f$ har avstand 5 fra origo. Bruk CAS til å bestemme de eksakte verdiene for $x$-koordinatene til disse punktene.

Bruk CAS til å bestemme de eksakte verdiene for $x$-koordinatene til punktene på grafen til $f$ som har avstand 5 fra origo.

---

## V2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 V15

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med potensregel, logaritmeregel og kjerneregel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-v15/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x
$$

b)

$$
g(x) = \ln(x - 2)
$$

c)

$$
h(x) = (2x^2 - 1)^3
$$

---

## V2015 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og grenseverdi for tredjegradsfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Vise at $(x-2)$ er faktor i $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, faktorisere med polynomdivisjon og bestemme grenseverdi.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-grenseverdi-for-tredjegradsfunksjon/

### Oppgavetekst

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6
$$

a) Vis at $(x - 2)$ er en faktor i $P(x)$.
b) Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ med lineære faktorer.
c) Bestem $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x - 2}$

---

## V2015 del 1 oppgave 3 — Addisjon av rasjonale brøkuttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Forenkle summen $\frac{x-2}{x^2+2x} + \frac{2}{x} + \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{3x}{x^2-4}$ ved å finne fellesnevner og forkorte.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/addisjon-av-rasjonale-brokuttrykk/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
\frac{x-2}{x^2+2x} + \frac{2}{x} + \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{3x}{x^2-4}
$$

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

---

## V2015 del 1 oppgave 4 — Sirkel ved kvadratfullføring

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sentrum og radius for sirkel gitt på formen $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0$ ved kvadratfullføring.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-ved-kvadratfullforing/

### Oppgavetekst

En sirkel er gitt ved likningen

$$
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0
$$

Bestem sentrum $S$ og radius $r$ i sirkelen.

---

## V2015 del 1 oppgave 5 — Vektorer i planet med parallellitet og ortogonalitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parallell, ortogonal og skaleringsvektor til $\vec{v} = [3, 4]$, uttrykke $\vec{v}$ som lineærkombinasjon og skalere til gitt lengde.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-i-planet-med-parallellitet-og-ortogonalitet/

### Oppgavetekst

Vektoren $\vec{v} = [3, 4]$ er gitt.

a) Bestem en vektor $\vec{u}$ som er parallell med $\vec{v}$ og motsatt rettet.
b) Bestem en vektor $\vec{w} \neq \vec{0}$ som står vinkelrett på $\vec{v}$.
c) Bestem konstantene $k$ og $t$ slik at

$$
\vec{v} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{w}
$$

d) Bestem en vektor $\vec{x}$ som har samme retning som $\vec{v}$ og som har lengde lik 7.

---

## V2015 del 1 oppgave 6 — Binomialkoeffisienter og kombinatorisk likning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\binom{12}{2}$, vise at $\binom{n}{1} = n$, og løse en likning med binomialkoeffisienter.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomialkoeffisienter-og-kombinatorisk-likning/

### Oppgavetekst

Binomialkoeffisientene er gitt ved

$$
\binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}
$$

a) Bestem $\dbinom{12}{2}$. Vis at $\dbinom{n}{1} = n$.
b) Bruk det du fant i oppgave a) til å løse likningen

$$
\frac{\dbinom{x}{1} \cdot \dbinom{12-x}{1}}{\dbinom{12}{2}} = \frac{6}{11}
$$

---

## V2015 del 1 oppgave 7 — Funksjonsdrøfting av xe⁻ˣ på lukket intervall

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x) = 3x \cdot e^{-x}$ på $\langle -1, 4 \rangle$ med topp-/bunnpunkter og vendepunkter fra første og andrederiverte.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-xe-x-pa-lukket-intervall/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 3x \cdot e^{-x} \quad , \quad x \in \langle -1,\ 4 \rangle
$$

a) Bruk $f'(x)$ til å avgjøre hvor $f(x)$ vokser og hvor $f(x)$ avtar. Bestem $x$-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter.
b) Bruk $f''(x)$ til å bestemme $x$-verdien til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.

---

## V2015 del 1 oppgave 8 — Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Forklare vinkellikhet og vise at $\frac{b}{\sin B} = 2R$, deretter generalisere til sinusteoremet $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omskrevet-sirkel-og-bevis-for-sinusteoremet/

### Oppgavetekst

En vilkårlig $\triangle ABC$ er gitt. En sirkel har radius $R$ og sentrum i $S$ og omskriver $\triangle ABC$. En normal fra $S$ til siden $AC$ har fotpunkt $D$. Se skissen nedenfor.

![Trekant ABC med omskrevet sirkel og sentrum S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v15-1-8.avif)

a) Forklar at $\angle B = \angle DSA$.

Vi setter $AC = b$.

b) Vis at $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$

Vi setter $BC = a$ og $AB = c$.

c) Bruk tilsvarende resonnement som i oppgave b) til å vise at

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$

---

## V2015 del 1 oppgave 9 — Eksponentiallikning med 9ˣ og substitusjon

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Løse $9^x - 3^x - 12 = 0$ ved å skrive $9^x = (3^x)^2$ og substituere $u = 3^x$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-9x-og-substitusjon/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
9^x - 3^x - 12 = 0
$$

---

## V2015 del 2 oppgave 1 — Sirkel med gitte egenskaper og likning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likning for sirkel der sentrum ligger på $y = x$, er midtpunktet mellom origo og $A(6, 0)$, og der begge disse punktene ligger på periferien.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-med-gitte-egenskaper-og-likning/

### Oppgavetekst

En sirkel har følgende egenskaper:

- Sentrum i sirkelen ligger på linjen $y = x$
- Sentrum i sirkelen ligger like langt fra origo som fra punktet $A(6, 0)$
- Origo og punktet $A$ ligger begge på sirkelperiferien

a) Tegn sirkelen i et koordinatsystem.
b) Bestem en likning for sirkelen.

---

## V2015 del 2 oppgave 2 — Bilkø og optimal gjennomstrømning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Optimering, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bruke modellen $N(v) = \frac{16{,}7v}{4 + 0{,}25v + 0{,}006v^2}$ til å bestemme grafisk optimal fart for maksimal gjennomstrømning i bilkø.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilko-og-optimal-gjennomstromning/

### Oppgavetekst

Bilene i en bilkø holder en fart på $v$ km/h. Ifølge køteori vil antall biler $N$ som passerer et bestemt sted per minutt være gitt ved modellen

$$
N(v) = \frac{16{,}7v}{4 + 0{,}25v + 0{,}006v^2}
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$ for $v \in [0,\ 120]$.
b) Bestem grafisk hva farten bør være for at minst 25 biler skal kunne passere stedet per minutt.
c) Bestem grafisk hva farten må være for at flest mulig biler skal kunne passere stedet per minutt. Hvor mange biler passerer stedet per minutt da?

---

## V2015 del 2 oppgave 3 — To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme banefart og minste avstand mellom to båter med lineære posisjonsvektorer $\vec{r}_A(t) = [18t - 8,\ 10 - 3t]$ og $\vec{r}_B(t) = [10t,\ 20 - 6t]$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-bater-og-minste-avstand-med-posisjonsvektorer/

### Oppgavetekst

Posisjonen til to båter $A$ og $B$ er gitt ved

$$
\vec{r}_A(t) = [18t - 8,\ 10 - 3t]
$$

$$
\vec{r}_B(t) = [10t,\ 20 - 6t]
$$

Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tiden $t$ er gitt i timer.

a) Bestem farten (banefarten) til hver av båtene.
b) Forklar at avstanden $d$ mellom båtene er gitt ved

$$
d(t) = \sqrt{(8t - 8)^2 + (3t - 10)^2}
$$

c) Når er denne avstanden minst? Hvor langt fra hverandre er båtene da?

---

## V2015 del 2 oppgave 4 — Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Derivasjon, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp tre likninger fra betingelsene nullpunkt, vendepunkt og punkt på grafen for $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$, og løse med CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fjerdegradsfunksjon-med-tre-betingelser-og-cas/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$

Om denne funksjonen vet vi at

- $f$ har nullpunkt i $x = 1$
- $x = 2$ er $x$-koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$
- Grafen til $f$ går gjennom punktet $(3, 4)$

a) Sett opp tre likninger som svarer til opplysningene ovenfor.
b) Bruk CAS til å bestemme konstantene $a$, $b$ og $c$.

---

## V2015 del 2 oppgave 5 — Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, CAS, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Vise at tangenten til $g(x) = ax^3 - x^2$ i punktet $P(t, g(t))$ har likning $y = (3at^2 - 2t)x + t^2 - 2at^3$, og bestemme skjæringspunkt $Q$ med CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-tredjegradsfunksjon-med-parameter/

### Oppgavetekst

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = ax^3 - x^2 \quad , \quad D_g = \mathbb{R}
$$

Grafen til $g$ har en tangent i punktet $P(t,\, g(t))$. Tangenten skjærer grafen til $g$ i et annet punkt $Q$. Se skissen nedenfor.

![Graf til g med tangent i P og skjæringspunkt Q](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v15-2-5.avif)

a) Vis at tangenten har likningen

$$
y = (3at^2 - 2t)x + t^2 - 2at^3
$$

b) Bruk CAS til å bestemme koordinatene til $Q$, uttrykt ved $a$ og $t$.

---

## H2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 H15

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Logaritmefunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynom, sammensatt funksjon med kjederegel og produkt av x og ln(x²+3)
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-h15/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 3x^2 + 5x - 2
$$

b)

$$
g(x) = 3 \cdot (x^2 - 2)^4
$$

c)

$$
h(x) = x \cdot \ln(x^2 + 3)
$$

---

## H2015 del 1 oppgave 2 — Fortegnslinje for derivert av eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Finn $f'(x)$ for $f(x) = x \cdot e^{-x}$ og tegn fortegnslinjen til den deriverte
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortegnslinje-for-derivert-av-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x \cdot e^{-x} \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}
$$

Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$.

---

## H2015 del 1 oppgave 3 — Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Bestem k slik at $f(x):(x-1)$ går opp, faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer og løs $f(x) \geq 0$
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubisk-polynom-med-delbarhet-og-ulikhet/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 2x^2 - kx + 6 \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x) : (x - 1)$ går opp.

I resten av oppgaven bruker vi denne $k$-verdien.

b) Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.
c) Løs ulikheten $f(x) \geq 0$.

---

## H2015 del 1 oppgave 4 — Forenkling av logaritmeuttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\lg(a^2 \cdot b^3) + \lg\left(\frac{1}{b^2}\right) - \lg\left(\frac{b}{a}\right)$ ved hjelp av logaritmereglene
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-logaritmeuttrykk/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
\lg(a^2 \cdot b^3) + \lg\left(\frac{1}{b^2}\right) - \lg\left(\frac{b}{a}\right)
$$

---

## H2015 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting av fjerdegradspolynom

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Nullpunkter, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x) = -x^4 + 4x^3$ på $\langle -2, 4 \rangle$ med nullpunkter, ekstrema, vendepunkter og skisse
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-fjerdegradspolynom/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = -x^4 + 4x^3 \qquad , \qquad x \in \langle -2,\, 4 \rangle
$$

a) Bestem eventuelle nullpunkter til $f$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Lag en skisse av grafen til $f$.

---

## H2015 del 1 oppgave 6 — Vinkler i sirkel med diameter og periferivinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bruk geometriske resonnementer (periferivinkelteoremet og halvdiameter) til å bestemme vinklene u og v i en sirkel der BD er diameter
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-i-sirkel-med-diameter-og-periferivinkel/

### Oppgavetekst

Skissen viser en sirkel med sentrum i $S$.

Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ ligger på sirkelen. $BD$ er en diameter.

Vi setter $\angle BDC = 50°$, $\angle BAC = u$ og $\angle CBD = v$.

![Sirkel med punkter A, B, C, D og sentrum S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h15-1-6.avif)

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme størrelsen på vinklene $u$ og $v$.

---

## H2015 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet med blå øyne og kjønn

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheten for blå øyne med total sannsynlighet, og betinget sannsynlighet for å være gutt gitt ikke blå øyne
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-bla-oyne-og-kjonn/

### Oppgavetekst

På en skole er 60 % av elevene jenter. 70 % av jentene og 55 % av guttene har blå øyne. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev ved skolen.

a) Bestem sannsynligheten for at eleven har blå øyne.
b) Eleven som er trukket ut, har ikke blå øyne. Bestem sannsynligheten for at eleven er en gutt.

---

## H2015 del 1 oppgave 8 — Konstruksjon av trekant og innskrevet sirkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Konstruksjon, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruer △ABC med gitte sidelengder, vis at halveringslinjene møtes i ett punkt, og konstruer den innskrevne sirkelen
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-trekant-og-innskrevet-sirkel/

### Oppgavetekst

a) Konstruer en $\triangle ABC$ slik at $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$, $BC = 7{,}0 \mathrm{~cm}$ og $AC = 11{,}0 \mathrm{~cm}$.

En skjæringssetning sier at halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten skjærer hverandre i ett punkt.

b) Demonstrer denne setningen ved å konstruere halveringslinjene til vinklene i $\triangle ABC$.

Halveringslinjene skjærer hverandre i punktet $S$.

c) Konstruer normalene fra $S$ ned på hver av sidekantene i $\triangle ABC$. Fotpunktene til normalene kaller vi $D$, $E$ og $F$.
d) Forklar at $SD = SE = SF$. Konstruer den innskrevne sirkelen i $\triangle ABC$.

---

## H2015 del 1 oppgave 9 — Logaritmilikning med potenser

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løs likningen $\lg(x+2)^2 = \lg x^4$ ved å bruke logaritmeregler og kontrollere gyldige løsninger
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmilikning-med-potenser/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
\lg(x + 2)^2 = \lg x^4
$$

---

## H2015 del 2 oppgave 1 — Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Modellering, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Bestem konstantene c og k i $f(t) = c \cdot e^{k \cdot t}$ fra to datapunkter, finn når befolkningen passerer 10 mrd og bestem fast årlig prosentvekst
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdensbefolkning-med-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

I 1960 var folketallet på jorden $3{,}0$ milliarder. I 2013 var folketallet $7{,}1$ milliarder. En god modell for utviklingen av folketallet er funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(t) = c \cdot e^{k \cdot t}
$$

der $c$ og $k$ er konstanter og tiden $t$ er antall år etter 1960.

a) Bestem konstantene $c$ og $k$.
b) Når vil folketallet passere 10 milliarder ifølge denne modellen?
c) Forklar at folketallet stiger med en fast prosent hvert år ifølge modellen. Bestem denne faste, årlige prosenten.

---

## H2015 del 2 oppgave 2 — Vektorer og trekant i koordinatsystem

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem vektorer, vinkel og areal for trekant ABC med gitte koordinater, og finn punkt E på x-aksen slik at CE ⊥ AB
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-trekant-i-koordinatsystem/

### Oppgavetekst

I et koordinatsystem er punktene $A(-1,\, 0)$, $B(7,\, -1)$ og $C(5,\, 8)$ gitt.

a) Bestem $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CA}$ og $\angle ACB$.
b) Bestem arealet til $\triangle ABC$.
c) Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til et punkt $E$ på $x$-aksen slik at $\overrightarrow{CE} \perp \overrightarrow{AB}$

---

## H2015 del 2 oppgave 3 — Rektangel under kurve og maksimalt areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Vis at arealet av rektangel OABC under $f(x) = 4 - 0{,}125x^3$ er $G(x) = 4x - 0{,}125x^4$, løs $G(x) = 5{,}0$ og finn maksimalt areal
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-kurve-og-maksimalt-areal/

### Oppgavetekst

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = 4 - 0{,}125x^3 \qquad , \qquad 0 < x < 2\sqrt[3]{4}
$$

![Graf av f med rektangel OABC der B ligger på grafen](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h15-2-3.avif)

Rektangelet $OABC$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$.

a) Vis at arealet $G$ til rektangelet kan skrives som

$$
G(x) = 4x - 0{,}125x^4
$$

b) Bestem $x$ slik at rektangelet får areal lik $5{,}0$.
c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha.

---

## H2015 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Likninger, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finn tredje skjæringspunkt og x-koordinatsum mellom kubisk funksjon og linje, og generaliser med CAS til $g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-og-linje-med-cas/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 4x^2 - 9x + 28 \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.

En linje skjærer grafen til $f$ i punktene $(-3,\, -8)$ og $(2,\, 2)$.

b) Bestem det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen. Hva blir summen av $x$-koordinatene til de tre skjæringspunktene?

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
$$

En linje $\ell$ går gjennom punktene $(s,\, g(s))$ og $(t,\, g(t))$.

c) Bruk CAS til å bestemme likningen for linjen $\ell$, uttrykt ved $s$, $t$, $a$, $b$ og $c$.
d) Bruk CAS til å bestemme $x$-koordinaten til det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $\ell$. Bestem summen av $x$-koordinatene til de tre skjæringspunktene.

---

## E2015 del 1 oppgave 1 — Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner ved hjelp av standardregler, produktregelen og kjedeRegelen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-tre-funksjoner-med-kjedel-produktregel-og-kjedel/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(t) = 0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 + 4{,}1
$$

b)

$$
g(x) = x^2 \cdot e^{2x}
$$

c)

$$
h(x) = \ln(x^3 + 1)
$$

---

## E2015 del 1 oppgave 2 — Polynomfunksjon delelig og ulikhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstant slik at polynom er delelig med $(x-1)$, deretter løse polynomunlikhet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjon-delelig-og-ulikhet/

### Oppgavetekst

En polynomfunksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + ax^2 - 13x + 15
$$

a) Bestem $a$ slik at $f(x)$ blir delelig med $(x-1)$
b) Løs ulikheten $f(x) \leq 0$ for denne $a$-verdien.

---

## E2015 del 1 oppgave 3 — Sannsynlighet for representanter fra gruppe

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for utvalg med 2 jenter og 1 gutt fra gruppe på 12 ved kombinatorikk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-representanter-fra-gruppe/

### Oppgavetekst

Fra en gruppe på 7 jenter og 5 gutter skal det trekkes ut 3 representanter.

Bestem sannsynligheten for at 2 jenter og 1 gutt representerer gruppa hvis uttrekket er tilfeldig.

---

## E2015 del 1 oppgave 4 — Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\frac{x+2}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}-\frac{2}{x-4}$ ved faktorisering og fellesnevner.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-rasjonalt-uttrykk-med-fellesnevner/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
\frac{x+2}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}-\frac{2}{x-4}
$$

---

## E2015 del 1 oppgave 5 — Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensuttrykk med negative eksponenter og summe logaritmer med logaritmeregler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potensuttrykk-og-logaritmeuttrykk/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

a)

$$
\dfrac{a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^0}
$$

b)

$$
\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\left(\dfrac{a}{b^3}\right)
$$

---

## E2015 del 1 oppgave 6 — Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $n$ slik at $2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3 = 2^n$ ved potensregler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-n-fra-potenslikning-med-fire-like-ledd/

### Oppgavetekst

Bestem tallet $n$ når

$$
2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3 = 2^n
$$

---

## E2015 del 1 oppgave 7 — Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig logisk symbol ($\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$) mellom $x^2+5x+6=0$ og $x=-2$, og begrunne valget.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjon-eller-ekvivalens-mellom-andregradslikning-og-losning/

### Oppgavetekst

Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.

$$
x^2 + 5x + 6 = 0 \quad \Box \quad x = -2
$$

---

## E2015 del 1 oppgave 8 — Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vektorer $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$, og finne $t$ slik at vektorene er henholdsvis ortogonale og parallelle.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-mellom-tre-punkter-ortogonal-og-parallell/

### Oppgavetekst

Punktene $A(1, 0)$, $B(3, 4)$ og $C(2, t)$ er gitt.

a) Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
b) Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$
c) Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$

---

## E2015 del 1 oppgave 9 — Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x) = x^3 - 3x^2$ på $\langle -1, 4 \rangle$; bestemme null-, topp- og bunnpunkter, tegne skisse og finne vendetangentens likning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-tredjegradsfunksjon-pa-lukket-intervall/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 3x^2, \quad x \in \langle -1,\, 4 \rangle
$$

a) Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Tegn en skisse av grafen til $f$.
c) Bestem likningen for tangenten i det punktet på grafen der $x = 1$. Forklar hvorfor denne tangenten kalles en «vendetangent».

---

## E2015 del 1 oppgave 10 — Garfields bevis for Pytagoras med trapes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bevise Pytagoras-setningen ved å uttrykke trapesets areal på to måter via tre trekantarealer, som i Garfields originale bevis.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/garfields-bevis-for-pytagoras-med-trapes/

### Oppgavetekst

Den tidligere amerikanske presidenten James A. Garfield (1831–1881) er kjent for sitt bevis av Pytagoras-setningen.

På skissen har vi gitt et trapes $ABCD$. $AB = EC = b$, $BE = DC = a$, og $AE = ED = c$.

![Trapes ABCD med diagonaler](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-1-10.avif)

a) Forklar hvorfor $\angle AED = 90°$
b) Bestem uttrykket for arealet av trapeset og arealet av $\triangle ABE$, $\triangle DCE$ og $\triangle AED$ gitt ved $a$, $b$ og $c$.
c) Bruk b) til å bevise Pytagoras-setningen.

---

## E2015 del 1 oppgave 11 — Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sentrum og radius for sirkelen $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ ved fullstendige kvadraters metode.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-sentrum-og-radius-ved-fullstendige-kvadraters-metode/

### Oppgavetekst

En sirkel er gitt ved likningen

$$
x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0
$$

Bestem sentrum og radius i sirkelen.

---

## E2015 del 1 oppgave 12 — Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise arealformel for rettvinklet trekant med innskrevet sirkel og beregne $A_{\triangle ABC}$ og $r$ for $\alpha=3$, $\beta=2$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-sirkel-i-rettvinklet-trekant-areal-og-radius/

### Oppgavetekst

I en rettvinklet $\triangle ABC$ er det innskrevet en sirkel med radius $r$. Trekantens sider tangerer sirkelen i $D$, $E$ og $F$. Vi setter $BE = \alpha$ og $EC = \beta$.

![Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-1-12.avif)

a) Forklar at $CF = \beta$ og $BD = \alpha$, og at arealet av trekanten $ABC$ er gitt ved

$$
A_{\triangle ABC} = (\alpha + \beta) \cdot r + r^2
$$

Pytagoras-setningen brukt på $\triangle ABC$ gir at $(\alpha + r)^2 + (\beta + r)^2 = (\alpha + \beta)^2$

b) Vis at denne likningen kan omformes til

$$
r^2 + (\alpha + \beta) \cdot r = \alpha \cdot \beta
$$

og videre at

$$
A_{\triangle ABC} = \alpha \cdot \beta
$$

c) Vi setter $\alpha = 3$ og $\beta = 2$. Bestem $A_{\triangle ABC}$ og $r$

---

## E2015 del 2 oppgave 1 — Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, CAS, Derivasjon, Kontinuitet
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å forenkle $f(x) = \frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{2}{x-5}$, tegne grafen med asymptoter og bestemme deriverbarhet og kontinuitet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-rasjonalt-uttrykk-med-cas-og-bestem-deriverbarhet/

### Oppgavetekst

Bruk CAS til å skrive funksjonsuttrykket enklere, og tegn grafen til $f$ med alle asymptoter

$$
f(x) = \frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{2}{x-5}
$$

Bestem hvor funksjonen er deriverbar og kontinuerlig.

---

## E2015 del 2 oppgave 2 — Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radius i sirkel innskrevet i trekant med sider 50, 50 og 60 ved hjelp av Pytagoras-setningen, som babylonerne på leirtavle ca. 1700 f.Kr.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/radius-i-sirkel-innskrevet-i-trekant-babylonsk-metode/

### Oppgavetekst

![Trekant med innskrevet sirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-2-2.avif)

Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).

Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!

Bestem radius $r$ i sirkelen ved hjelp av Pytagoras-setningen.

---

## E2015 del 2 oppgave 3 — Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne betinget sannsynlighet $P(B|J)$, $P(B)$ og $P(J|B)$ for hendelsene «jente» og «bukse» ved Bayes' setning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-bukse-og-jente-med-bayes/

### Oppgavetekst

På en skole går det 60 % gutter og 40 % jenter. Alle guttene går med bukser. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt.

Vi definerer to hendelser:

- $J$: Eleven er en jente.
- $B$: Eleven går med bukse.

a) Bestem sannsynlighetene $P(B|J)$ og $P(B)$.
b) Bestem sannsynligheten $P(J|B)$.

---

## E2015 del 2 oppgave 4 — Drakeform areal maksimering med graftegner

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Geometri, Areal og omkrets, Graf
- **Kort beskrivelse:** Vise at arealuttrykket for en drake blir $A(x)=x(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{144-x^2})$ og finne maksimalt areal med graftegner.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drakeform-areal-maksimering-med-graftegner/

### Oppgavetekst

En drake har målene $5{,}0 \mathrm{~dm}$ og $12{,}0 \mathrm{~dm}$. Se figuren nedenfor.

![Drakeform med mål](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-2-4-1.avif)

![Drake](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-2-4-2.avif)

a) Vis at arealet av draken kan beskrives ved funksjonen $A$ gitt ved

$$
A(x) = x\left(\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{144 - x^2}\right)
$$

b) Bruk graftegner til å bestemme det største arealet draken kan ha.

---

## E2015 del 2 oppgave 5 — To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme landingstidspunkt og fart for fly B fra vektorfunksjoner, og avgjøre om flyene kolliderer i skjæringspunktet P.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-fly-vektorfunksjoner-fart-og-kollisjon/

### Oppgavetekst

Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene $\vec{a}(t)$ og $\vec{b}(t)$ gitt ved

$$
\vec{a}(t) = \begin{bmatrix} 70t + 2,\ 140t^2 \end{bmatrix} \qquad ,\quad t \in \left[0,\, t_1\right]
$$

$$
\vec{b}(t) = \begin{bmatrix} -204t + 17,\ 432t^2 - 72t + 3 \end{bmatrix} \quad ,\quad t \in \left[0,\, t_1\right]
$$

Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt $t_1$). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. $x$-aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over landingsbanen måles langs $y$-aksen.

![Kursen til fly A og fly B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-2-5.avif)

a) Bestem tidspunktet $t_1$ for når fly B lander.
b) Bestem farten til fly B når $t = 0{,}08$

Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt $P$.

c) Avgjør om flyene vil kollidere.

---

## E2015 del 2 oppgave 6 — Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, CAS, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke CAS til å vise at $x$-koordinaten til vendepunktet i $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ alltid ligger midt mellom topp- og bunnpunktet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendepunkt-mellom-topp-og-bunn-tredjegradsfunksjon-cas/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \qquad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$

![Graf av tredjegradsfunksjon med topp T, vendepunkt V og bunn B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-e15-2-6.avif)

Grafen til $f$ har toppunkt $T$ når $x = p$ og bunnpunkt $B$ når $x = q$.

Bruk CAS til å vise at $x$-koordinaten til vendepunktet $V$ (infleksjonspunktet) ligger midt mellom $x$-koordinaten til toppunktet og $x$-koordinaten til bunnpunktet.

---

## V2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av ln, produkt og kjerneregel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Logaritmefunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivere tre funksjoner med kjerneregelen, produktregelen og potensregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-ln-produkt-og-kjerneregel/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = \ln(x^2 + x)
$$

b)

$$
g(x) = x \cdot e^x
$$

c)

$$
h(x) = (x^2 + 3)^4
$$

---

## V2014 del 1 oppgave 2 — Polynomfunksjon med nullpunkter og ulikhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Nullpunkter, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter, faktorisere tredjegradspolynom og løse rasjonal ulikhet med fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjon-med-nullpunkter-og-ulikhet/

### Oppgavetekst

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \,, \quad D_P = \mathbb{R}
$$

a) Det kan vises at alle heltallige løsninger av $P(x) = 0$ går opp i konstantleddet $(-8)$. Bruk dette til å finne et nullpunkt.
b) Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
c) Løs ulikheten $\dfrac{x^3 - 7x^2 + 14x - 8}{x^2 - 1} \geq 0$

---

## V2014 del 1 oppgave 3 — Vektorer med parallellitet og lengdebetingelse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parallelle vektorer, Lengde av vektor, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Beregne vektorkombinasjon og prikkprodukt, finne $k$ slik at to vektorer er parallelle, og finne $k$ fra lengdebetingelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-med-parallellitet-og-lengdebetingelse/

### Oppgavetekst

Vektorene $\vec{a} = [-2, 1]$, $\vec{b} = [3, 6]$ og $\vec{c} = [k - 1, 4]$ er gitt, der $k \in \mathbb{R}$.

a) Bestem $-2\vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ved regning.
b) Bestem $k$ slik at $\vec{b} \parallel \vec{c}$.
c) Bestem $k$ slik at $|\vec{c}| = |2\vec{a}|$

---

## V2014 del 1 oppgave 4 — Funksjonsdrøfting av fjerdegradsfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Graf
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter, derivere og bestemme topp- og bunnpunkter for $f(x) = 3x^4 - 6x^2$, og tegne skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-av-fjerdegradsfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 3x^4 - 6x^2 \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bestem $f'(x)$. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Tegn en skisse av grafen til $f$ for $x \in \langle -2, 2 \rangle$.

---

## V2014 del 1 oppgave 5 — Innskrevet trekant i sirkel med sentervinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme innskrevet vinkel $\angle ACB$ i en sirkel ved hjelp av forholdet mellom sentervinkel og innskrevet vinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-trekant-i-sirkel-med-sentervinkel/

### Oppgavetekst

En $\triangle ABC$ er innskrevet i en sirkel med sentrum $S$ der $\angle ABS = 27\degree$.

Bestem $\angle ACB$ ved et geometrisk resonnement.

![Trekant ABC innskrevet i sirkel med sentrum S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v14-1-5.avif)

---

## V2014 del 1 oppgave 6 — Oddetall og differanse mellom kvadrattall

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at $(p+1)/2$ og $(p-1)/2$ er hele tall for oddetall $p > 1$, beregne differansen av kvadratene og skrive 151 som differanse mellom to kvadrattall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oddetall-og-differanse-mellom-kvadrattall/

### Oppgavetekst

La $p$ være et oddetall større enn 1.

a) Forklar at $\dfrac{p+1}{2}$ og $\dfrac{p-1}{2}$ begge er hele tall.
b) Regn ut $\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2$.

Bruk resultatet til å skrive 151 som differansen mellom to kvadrattall.

---

## V2014 del 1 oppgave 7 — Derivasjon av x opphøyd i x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmefunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Vise at $h(x) = x^x = e^{x \ln x}$ og derivere ved hjelp av kjerneregelen og produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-x-opphoyd-i-x/

### Oppgavetekst

Funksjonen $h$ er gitt ved

$$
h(x) = x^x \,, \quad x > 0
$$

a) Forklar at vi kan skrive

$$
h(x) = e^{x \ln x}
$$

b) Bestem $h'(x)$.

---

## V2014 del 2 oppgave 1 — Tre punkter og vektor til punkt på y-akse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parallelle vektorer
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorbetingelse for parallellitet og vektoruttrykk til å bestemme koordinater til punkter $D$, $M$ og $P$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-punkter-og-vektor-til-punkt-pa-y-akse/

### Oppgavetekst

Tre punkter $A(1, 3)$, $B(5, -1)$ og $C(4, 4)$ er gitt.

a) Bestem et punkt $D$ på $y$-aksen slik at $\overrightarrow{CD} \parallel \overrightarrow{BA}$.
b) La $M$ være midtpunktet på $BC$. Bestem koordinatene til $M$.

Punktet $P$ er gitt slik at $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{MP}$.

c) Bestem ved regning koordinatene til $P$.

---

## V2014 del 2 oppgave 2 — Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for akkurat én gutt i tilfeldig gruppe, finne antall gutter fra gitt sannsynlighet, og beregne betinget sannsynlighet $P(A|B)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-med-klasse-og-betinget-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

I en klasse er det 12 gutter og 16 jenter. Det skal trekkes ut en gruppe på 5 elever på en tilfeldig måte.

a) Bestem sannsynligheten for at det blir med akkurat én gutt i gruppen.

Sannsynligheten er $\dfrac{44}{117}$ for at et bestemt antall gutter blir med i gruppen.

b) Hvor mange gutter blir det da med i gruppen?

Arne og Betsy går i klassen. Vi definerer følgende hendelser:

$A$: Arne blir med i gruppen.

$B$: Betsy blir med i gruppen.

c) Forklar at

$$
P(A|B) = \dfrac{\binom{1}{1} \cdot \binom{26}{3}}{\binom{27}{4}}
$$

og bestem sannsynligheten.

---

## V2014 del 2 oppgave 3 — Produktregel og kjerneregel for eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at $f'(x) = \frac{3}{2}(4 - x^2)e^{-x^2/8}$ ved produkt- og kjerneregelen, tegne grafen til $f'$ og bruke den til å finne topp-, bunn- og vendepunkter for $f$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produktregel-og-kjerneregel-for-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 6x \cdot e^{-\frac{x^2}{8}} \,, \quad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Bruk produktregelen og kjerneregelen til å vise at

$$
f'(x) = \frac{3}{2}(4 - x^2) \cdot e^{-\frac{x^2}{8}}
$$

b) Tegn grafen til $f'$ for $x \in \langle -6, 6 \rangle$.
c) Bruk grafen til $f'$ til å bestemme eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$.

---

## V2014 del 2 oppgave 4 — Rett prisme uten lokk med fast overflate

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Volum, Areal og omkrets, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Utlede uttrykk for $h$ fra overflatearealbetingelsen, bestemme gyldige verdier for $x$, og optimere volum $V(x)$ for rett prisme med kvadratisk grunnflate.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-prisme-uten-lokk-med-fast-overflate/

### Oppgavetekst

Vi skal lage et kar med form som et rett prisme uten lokk. Grunnflaten skal være et kvadrat med side $x \mathrm{~dm}$, og karet skal ha høyde $h \mathrm{~dm}$. Vi vil lage karet slik at det samlede overflatearealet blir $12 \mathrm{~dm}^2$.

![Rett prisme uten lokk med kvadratisk grunnflate](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v14-2-4.avif)

a) Forklar at $x^2 + 4xh = 12$. Bestem et uttrykk for $h$.
b) Bestem hvilke verdier $x$ kan ha.
c) Bestem et uttrykk for volumet $V(x)$ av karet.
d) Vi ønsker å fylle vann i karet. Bestem ved regning $x$ slik at karet rommer mest mulig vann. Hvor mange liter blir det da plass til?

---

## V2014 del 2 oppgave 5 — Ball triller fra tak med posisjonsvektor

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke posisjonsvektor for kast fra tak til å finne tid til bakken, tegne bane, beregne fartsvektoren og akselerasjonsvektoren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ball-triller-fra-tak-med-posisjonsvektor/

### Oppgavetekst

En liten ball triller horisontalt utfor et flatt tak, $15{,}0 \mathrm{~m}$ over bakken.

![Koordinatsystem med bygning og ball på taket](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v14-2-5.avif)

Posisjonsvektoren til ballen $t$ sekunder etter at den har forlatt taket, er

$$
\vec{r}(t) = \left[3t,\ 15 - 4{,}9t^2\right]
$$

a) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken?
b) Tegn grafen til $\vec{r}$.
c) Bestem farten til ballen etter $0{,}8 \mathrm{~s}$. Tegn inn fartsvektoren $\vec{v}(0{,}8)$ i det aktuelle punktet på grafen til $\vec{r}$.
d) Bestem akselerasjonen $\vec{a}(t)$. Tegn inn akselerasjonsvektoren $\vec{a}(0{,}8)$ i det aktuelle punktet på grafen til $\vec{r}$.

---

## V2014 del 2 oppgave 6 — Logaritmisk likning med to løsninger

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Omforme og løse likningen $n^n \cdot (x/n)^{\lg x} = x^n$ ved å bruke logaritmeregler til å vise en faktorisert form og finne $x$ uttrykt ved $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmisk-likning-med-to-losninger/

### Oppgavetekst

Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på $x$

$$
n^n \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^n \,, \quad x > 0 \,, \quad n > 0
$$

a) Vis at denne likningen kan omformes til

$$
\lg\left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = \lg\left(\frac{x}{n}\right)^n
$$

b) Vis at likningen videre kan skrives

$$
(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0
$$

c) Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme $x$ uttrykt ved $n$.

---

## H2014 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Produktregelen, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere tredjegradsfunksjon og produkt $x^2 \cdot e^x$ med produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-polynom-og-produkt-med-eksponentialfunksjon/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 5
$$

b)

$$
g(x) = x^2 \cdot e^x
$$

---

## H2014 del 1 oppgave 2 — Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere $P(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8$ i førstegradsfaktorer og løse $P(x) \leq 0$ med fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-og-ulikhet-tredjegradsfunksjon/

### Oppgavetekst

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8 \quad , \quad D_P = \mathbb{R}
$$

a) Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
b) Løs ulikheten $P(x) \leq 0$.

---

## H2014 del 1 oppgave 3 — Lydstyrke desibel og lydintensitet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Manipulere logaritmeuttrykk for desibel-formelen og beregne lydstyrke og lydintensitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lydstyrke-desibel-og-lydintensitet/

### Oppgavetekst

Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ dB (desibel) og lydintensiteten $I \mathrm{~W/m^2}$ er gitt ved

$$
L = 10 \cdot \lg \frac{I}{I_0}
$$

$I_0 = 10^{-12}$ er en konstant.

a) Vis at formelen kan skrives som $L = 10 \cdot \lg I + 120$
b) På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til $10^{-4} \mathrm{~W/m^2}$.
Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen?
c) På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 dB.
Hvilken lydintensitet svarer det til?

---

## H2014 del 1 oppgave 4 — Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Tangent, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Skissere, derivere og bestemme tangentlikning for $f(x) = \frac{2x-4}{x-1}$ med asymptote.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-skisse-derivasjon-og-tangent/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1} \quad , \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}
$$

a) Lag en skisse av grafen til $f$.
b) Bestem $f'(x)$.
c) Bestem likningen til tangenten i punktet $(2, 0)$ på grafen.

---

## H2014 del 1 oppgave 5 — Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Stigningstall, Bevis, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Forklare at $\vec{v} = [1, a]$ er retningsvektor til $y = ax + b$, og bevise $a_1 \cdot a_2 = -1$ for vinkelrette linjer med skalarprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/retningsvektor-og-vinkelrette-linjer-bevis/

### Oppgavetekst

To linjer er gitt ved likningene $y = a_1 \cdot x + b_1$ og $y = a_2 \cdot x + b_2$

a) Forklar at $\vec{v} = [1,\ a]$ er en retningsvektor til linjen $y = ax + b$.
b) Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er $a_1 \cdot a_2 = -1$.

---

## H2014 del 1 oppgave 6 — Eksponentiell likning med andregradseksponent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Løse $\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2-x} = \frac{3}{8}$ ved å skrive om til potenser med samme grunntall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-likning-med-andregradseksponent/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2 - x} = \frac{3}{8}
$$

---

## H2014 del 1 oppgave 7 — To kvadrater doblet areal og konstruksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Konstruksjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise at kvadratet AEFC har dobbelt areal av ABCD ved Pytagoras, og konstruere et kvadrat med areal $50 \mathrm{~cm^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-kvadrater-doblet-areal-og-konstruksjon/

### Oppgavetekst

På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene $ABCD$ og $AEFC$.

Vi setter siden i kvadratet $ABCD$ lik $a$.

![To kvadrater ABCD og AEFC](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h14-1-7.avif)

a) Vis at kvadratet $AEFC$ har dobbelt så stort areal som kvadratet $ABCD$.
b) Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik $50 \mathrm{~cm^2}$.

---

## H2014 del 1 oppgave 8 — Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruke definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$ for $f(x) = x^3 - x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-fra-definisjon-for-kubisk-funksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$.

---

## H2014 del 2 oppgave 1 — Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Analysere eksponentialfunksjon $f(t) = 2{,}50 - 2{,}50 \cdot e^{-0{,}012t}$ for kjemisk konsentrasjon: beregne verdier, tegne graf, finne grenseverdi og reaksjonshastighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjemisk-reaksjon-konsentrasjon-og-reaksjonshastighet/

### Oppgavetekst

Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved

$$
f(t) = 2{,}50 - 2{,}50 \cdot e^{-0{,}012 t}
$$

der $f(t)$ er antall millimol per liter av stoffet, $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

a) Hva er konsentrasjonen etter 15 s?
Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er $2{,}00$ millimol/L?
b) Tegn grafen til $f$.
Hva vil konsentrasjonen nærme seg dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge?

Reaksjonshastigheten på et tidspunkt $t$ er $f'(t)$.

c) Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er $2{,}00$ millimol/L?

---

## H2014 del 2 oppgave 2 — Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Skriv opp primtall opp til 25, beregne sannsynligheten for å trekke akkurat 2 og minst 3 primtall blant 5 kuler uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/primtall-og-kombinatorisk-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

25 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 25, ligger i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging og leser av tallene.

a) Skriv opp alle primtallene fra og med 2 til og med 25.
b) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat 2 primtall.
c) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall.

---

## H2014 del 2 oppgave 3 — Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke vektorregning til å bestemme parameter $t$ for at tre punkter er kollineære, og for at $\angle ACB = 90°$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-kollinearitet-og-rett-vinkel-i-trekant/

### Oppgavetekst

Vi har punktene $A(2,\ 1)$, $B(4,\ 5)$ og $C(t+3,\ t)$.

a) Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at punktene $A$, $B$ og $C$ ligger på en rett linje.
b) Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $\angle ACB = 90°$.

---

## H2014 del 2 oppgave 4 — Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Areal og omkrets, Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vise arealet T(x), minimere arealet, finne x for halvparten av kvadratets areal, og bestemme x slik at parallellogrammet blir et rektangel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallellogram-innskrevet-i-kvadrat-optimering/

### Oppgavetekst

I et kvadrat $ABCD$ med side 4 er det innskrevet et parallellogram $EFGH$. Vi setter $AE = CG = x$ og $BF = DH = 2x$. Se skissen nedenfor.

![Parallellogram EFGH innskrevet i kvadrat ABCD](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h14-2-4.avif)

a) Vis at arealet $T$ av parallellogrammet $EFGH$ er

$$
T(x) = 4x^2 - 12x + 16 \quad , \quad x \in [0,\ 2]
$$

b) Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $EFGH$ blir halvparten av arealet av kvadratet $ABCD$.
c) Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $EFGH$ blir minst mulig. Bestem det minste arealet.

Vi legger figuren inn i et koordinatsystem slik at $A$ ligger i origo og $B$ på positiv $x$-akse.

d) Bestem vektorene $\overrightarrow{HE}$ og $\overrightarrow{HG}$ uttrykt ved $x$ og bruk dette til å bestemme $x$ slik at parallellogrammet $EFGH$ blir et rektangel.

---

## H2014 del 2 oppgave 5 — Trekant med høyder og ortosentrum

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Lineære funksjoner, Vektorer, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bestemme linjelikning for BC, vise høydelinje vinkelrett på AB er $y = -2x + 7$, og bevise at de tre høydene møtes i ortosentrum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-hoyder-og-ortosentrum/

### Oppgavetekst

$\triangle ABC$ har hjørnene $A(-1,\ -1)$, $B(5,\ 2)$ og $C(1,\ 5)$. Se figuren nedenfor.

![Trekant ABC i koordinatsystem](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h14-2-5.avif)

Likningen for linjen gjennom $A$ og $B$ er $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, og likningen for linjen gjennom $A$ og $C$ er $y = 3x + 2$.

a) Bestem likningen for linjen gjennom $B$ og $C$.

I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik $-1$.

b) Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom $C$ og som står vinkelrett på sidekanten $AB$ har likning $y = -2x + 7$.

På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom $A$ og som står vinkelrett på sidekanten $BC$ har likning $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$, og linjen som går gjennom $B$ og som står vinkelrett på $AC$ har likning $y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$.

c) Vis ved regning at de tre høydene i $\triangle ABC$ skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet.

---

## H2014 del 2 oppgave 6 — Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at $\angle BAS = 90° - \frac{u}{2}$ for innskrevet trekant, og at tangentvinkel $v = \frac{u}{2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentvinkel-og-innskrevet-trekant-i-sirkel/

### Oppgavetekst

I en sirkel med sentrum $S$ er det innskrevet en $\triangle ABS$ der $\angle ASB = u$. Sirkelen har en tangent i punktet $A$. Vinkelen mellom tangenten og siden $AB$ er $v$.

![Sirkel med innskrevet trekant ABS og tangent i A](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h14-2-6.avif)

a) Vis at $\angle BAS = 90° - \dfrac{u}{2}$.
b) Vis at $v = \dfrac{u}{2}$.

---

## H2014 del 2 oppgave 7 — Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Bevis, Kjerneregelen
- **Kort beskrivelse:** Bruke logaritmeregelen $\ln f(x) = \ln u - \ln v$ og kjerneregelen til å uttrykke $(\ln f(x))'$, deretter utlede kvotientregelen $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utlede-kvotientregelen-via-logaritmederivasjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{u}{v}
$$

der $u$ og $v$ er funksjoner av $x$. Vi antar i denne oppgaven at $u > 0$ og $v > 0$.

Logaritmeregelen for en brøk gir $\ln(f(x)) = \ln u - \ln v$

a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme $(\ln f(x))'$ uttrykt ved $u$, $v$, $u'$ og $v'$.
b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

---

## V2013 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av sirkelareal og kulevolum

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Derivere $A(r) = \pi r^2$ og $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ med hensyn på $r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-sirkelareal-og-kulevolum/

### Oppgavetekst

Formlene for arealet $A$ av en sirkel og volumet $V$ av en kule med radius $r$ er gitt ved

$$
A(r) = \pi r^2 \quad \text{og} \quad V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3
$$

Bestem $A'(r)$ og $V'(r)$.

---

## V2013 del 1 oppgave 2 — Derivere ln og brøk med eksponential

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Logaritmefunksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $g(x) = 3\ln(x^2-1)$ med kjerneregelen og $h(x) = \frac{2x^2}{e^x}$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivere-ln-og-brok-med-eksponential/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
g(x) = 3\ln(x^2 - 1)
$$

b)

$$
h(x) = \dfrac{2x^2}{e^x}
$$

---

## V2013 del 1 oppgave 3 — Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Vise nullpunkt, faktorisere $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ved polynomdivisjon og løse tilhørende ulikhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-ulikhet-med-kubisk-polynom/

### Oppgavetekst

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
$$

a) Vis at $P(1) = 0$
b) Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
c) Løs ulikheten $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \leq 0$

---

## V2013 del 1 oppgave 4 — Forenkling av logaritmeuttrykk med ln

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\ln(a^2 \cdot b) - 2\ln a - \ln\left(\frac{1}{b}\right)$ ved hjelp av logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-logaritmeuttrykk-med-ln/

### Oppgavetekst

Skriv så enkelt som mulig

$$
\ln(a^2 \cdot b) - 2\ln a - \ln\left(\frac{1}{b}\right)
$$

---

## V2013 del 1 oppgave 5 — Kontinuitet og deriverbarhet fra graf

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre for hvilke $x$-verdier en funksjon $f$ (gitt ved graf) er kontinuerlig og deriverbar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuitet-og-deriverbarhet-fra-graf/

### Oppgavetekst

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon $f$ der $D_f = \langle -1, 4 \rangle$

![Graf av f med domene fra -1 til 4](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v13-1-5-graf.avif)

Avgjør for hvilke $x$-verdier $f$ er kontinuerlig, og for hvilke $x$-verdier $f$ er deriverbar.

---

## V2013 del 1 oppgave 6 — Vendetangent for kubikkfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Vise at grafen til $f(x) = x^3 + 6x^2 - 2$ har en vendetangent i $(-2, f(-2))$ med likning $y = -12x - 10$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendetangent-for-kubikkfunksjon/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 + 6x^2 - 2
$$

Vis at grafen til $f$ har en vendetangent i punktet $(-2, f(-2))$ med likning $y = -12x - 10$

---

## V2013 del 1 oppgave 7 — Vektorer ortogonalitet og linearkombinasjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt
- **Kort beskrivelse:** Undersøke om $\vec{a} \perp \vec{b}$ ved prikkprodukt, og bestemme $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k\vec{a} + t\vec{b}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-ortogonalitet-og-linearkombinasjon/

### Oppgavetekst

Vektorene $\vec{a} = [2, 3]$, $\vec{b} = [-6, 4]$ og $\vec{c} = [3, 11]$ er gitt.

a) Undersøk om $\vec{a} \perp \vec{b}$
b) Bestem ved regning to tall $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k\vec{a} + t\vec{b}$

---

## V2013 del 1 oppgave 8 — Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Konstruksjon, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruere Hippokrates-månefiguren og vise ved regning at månens areal er lik arealet av $\triangle AOC$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hippokrates-manen-konstruksjon-og-arealbevis/

### Oppgavetekst

> Hippokrates fra Khios
> Hippokrates fra Khios (ca. 470–410 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid.
>
> Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (*sirkelens kvadratur*).
>
> *Hippokrates-månen* (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket.
>
> Kilde: Proclus, *Kommentar til Euklid I*

På figuren nedenfor er $ACB$ en halvsirkel med sentrum i $O$, og $AEC$ er en halvsirkel med sentrum i $D$. $\angle CAB = \angle ABC = 45°$

![Hippokrates-månen med halvsirkler og trekant](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v13-1-8-hippokrates.avif)

a) Konstruer figuren nedenfor når du setter $r = 5{,}0 \text{ cm}$. Ta med konstruksjonsforklaring.
b) På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.

Vis ved regning at arealet av *Hippokrates-månen* er lik arealet av $\triangle AOC$ når radien i halvsirkelen $ACB$ er $r$.

---

## V2013 del 2 oppgave 1 — Tredjegradsfunksjon nullpunkter og tangent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $f(x) = a(x^2-1)(x-3)$ fra graf, finne tangentlikning i $(0, 12)$ og beregne tangentens andre skjæringspunkt med grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-nullpunkter-og-tangent/

### Oppgavetekst

Figuren nedenfor viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.

![Graf av tredjegradsfunksjon f](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v13-2-1-graf.avif)

a) Forklar at $f(x)$ er delelig med $(x-1)$, $(x+1)$ og $(x-3)$.

Begrunn at vi da kan skrive

$$
f(x) = a(x^2 - 1)(x - 3) \text{, der } a \text{ er en konstant.}
$$

Bestem $a$ når punktet $(0, 12)$ ligger på grafen til $f$.

b) Bestem likningen til tangenten i punktet $(0, 12)$.
c) Denne tangenten skjærer grafen til $f$ i et annet punkt.

Bestem ved regning koordinatene til dette punktet.

---

## V2013 del 2 oppgave 2 — Trekant med medianer og tyngdepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme midtpunkter og parameterframstillinger for medianer i $\triangle ABC$, og finne tyngdepunktet som skjæringen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-medianer-og-tyngdepunkt/

### Oppgavetekst

Se skissen nedenfor.

![Trekant ABC med midtpunkter M1, M2, M3 og tyngdepunkt T](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v13-2-2-trekant.avif)

a) Midtpunktene på sidekantene i $\triangle ABC$ er $M_1$, $M_2$ og $M_3$.

Vis ved regning at $M_1$ har koordinatene $\left(3, \dfrac{3}{2}\right)$. Bestem koordinatene til $M_2$ og $M_3$ ved regning.

b) Bestem en parameterframstilling til linjen gjennom $A$ og $M_2$ og en parameterframstilling til linjen gjennom $C$ og $M_1$.
c) Tyngdepunktet $T$ i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene. Bestem koordinatene til $T$.

---

## V2013 del 2 oppgave 3 — Partikkel med ln-posisjonsvektor og akselerasjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling, Logaritmefunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tegne banen til partikkel med $\vec{r}(t) = [\ln t, t^2 - 4t]$, bestemme fartsvektoren og vise akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = [-\frac{1}{t^2}, 2]$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-med-ln-posisjonsvektor-og-akselerasjon/

### Oppgavetekst

En partikkel har posisjonsvektoren

$$
\vec{r}(t) = \left[\ln t,\ t^2 - 4t\right], \quad t > 0
$$

a) Tegn grafen til $\vec{r}$ og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved regning.
b) Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $\vec{r}$. Tegn inn $\vec{v}(1)$ på grafen.
c) Vis at akselerasjonsvektoren er $\vec{a}(t) = \left[-\dfrac{1}{t^2},\ 2\right]$. Bestem $\vec{a}(t)$ når $t \to \infty$.

Kommenter svaret.

---

## V2013 del 2 oppgave 4 — Rektangel innskrevet i sirkel areal og omkrets

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Geometri, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Vise arealformelen $T(x) = x\sqrt{25 - x^2}$ og omkretsformelen for rektangel innskrevet i sirkel, og optimere begge ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-i-sirkel-areal-og-omkrets/

### Oppgavetekst

Et rektangel med sider $x$ og $y$ er innskrevet i en sirkel med diameter $AB = 5$.

![Rektangel innskrevet i sirkel med diameter 5](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v13-2-4-rektangel.avif)

a) Vis at arealet $T$ av rektangelet er gitt ved

$$
T(x) = x \cdot \sqrt{25 - x^2}
$$

Forklar hvilke verdier $x$ kan ha.
b) Bestem $x$ og $y$ når arealet er størst mulig. Kommenter svaret.
c) Vis at omkretsen til rektangelet er gitt ved

$$
O(x) = 2 \cdot \sqrt{25 - x^2} + 2x
$$

Bruk $O'(x)$ og bestem $x$ når omkretsen er størst mulig. Kommenter svaret.

---

## V2013 del 2 oppgave 5 — Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for å trekke kuler med og uten lik farge, og bestemme antall svarte kuler som gir lik sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-kuler-uten-tilbakelegging/

### Oppgavetekst

Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:

$A$: Vi trekker to kuler med ulik farge.

$B$: Vi trekker to kuler med samme farge.

Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.

a) Bestem $P(A)$
b) Bestem $P(B)$

Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene $A$ og $B$ skal ha lik sannsynlighet.

c) Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?

---

## V2013 del 2 oppgave 6 — Logaritmisk likning med lgx og n

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse likningen $n^2 \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^2$ for $x$ når $n \in \mathbb{N}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmisk-likning-med-lgx-og-n/

### Oppgavetekst

Løs likningen

$$
n^2 \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^2 \,, \quad n \in \mathbb{N}
$$

---

## H2013 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 H13

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivere eksponentialfunksjon, produkt med logaritme og rasjonalt uttrykk med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-h13/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = 2 \cdot e^{3x}
$$

b)

$$
g(x) = 2x \cdot \ln(3x)
$$

c)

$$
h(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}
$$

---

## H2013 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og ulikhet for kubikkfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Vise divisorskap uten divisjon, utføre polynomdivisjon og løse ulikhet med fortegnslinje for $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-ulikhet-for-kubikkfunksjon/

### Oppgavetekst

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$$
P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
$$

a) Vis at divisjonen $P(x) : (x - 1)$ går opp, uten å utføre divisjonen.
b) Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten $P(x) \geq 0$.

---

## H2013 del 1 oppgave 3 — Konstruksjon av rettvinklet trekant med høyde

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Geometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Konstruere $\triangle ABC$ med gitt $AB$, rett vinkel i $C$ og høyde fra $C$ til $AB$, og begrunne konstruksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-av-rettvinklet-trekant-med-hoyde/

### Oppgavetekst

I $\triangle ABC$ er $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$ og $\angle C = 90°$. Høyden $h$ fra $C$ til $AB$ er $4{,}0 \mathrm{~cm}$.

Konstruer $\triangle ABC$ gitt at $BC$ er den lengste kateten. Forklar hva du har gjort.

---

## H2013 del 1 oppgave 4 — Eksponentlikning med potensuttrykk

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Fullføre løsning av eksponentlikning der $2^{3x-1} = 4 \cdot 2^2$ ved å bruke potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-potensuttrykk/

### Oppgavetekst

En elev skulle løse en likning og begynte slik:

$$
2^{3x-1} = 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
2^{3x-1} = 4 \cdot 2^2
$$

Fullfør løsningen av likningen.

---

## H2013 del 1 oppgave 5 — Vektorer og ortogonalitet med prikkprodukt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Lengde av vektor
- **Kort beskrivelse:** Tegne lineærkombinasjoner av vektorer og avgjøre ortogonalitet ved prikkprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-ortogonalitet-med-prikkprodukt/

### Oppgavetekst

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [1, 3]$, $\vec{b} = [3, 2]$ og $\vec{c} = [-1, 2]$.

a) Tegn vektorene $\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{b} - 2\vec{c}$ i et koordinatsystem.
b) Avgjør ved regning om $\vec{u} \perp \vec{v}$.

---

## H2013 del 1 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med topp- og vendepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2$ med andrederiverte, ekstremalpunkter og vendepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-topp-og-vendepunkt/

### Oppgavetekst

En funksjon $f$ er gitt ved

$$
f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2, \quad D_f = \mathbb{R}
$$

a) Bestem $f'(x)$ og $f''(x)$.
b) Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$. Bruk denne til å avgjøre for hvilke $x$-verdier $f'(x) > 0$ og samtidig $f''(x) < 0$.

---

## H2013 del 1 oppgave 7 — To sirkler som tangerer hverandre

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Tegne to sirkler i koordinatsystem og bestemme for hvilke verdier av $a$ sirklene tangerer hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-sirkler-som-tangerer-hverandre/

### Oppgavetekst

To sirkler $S_1$ og $S_2$ er gitt ved

$$
S_1 : x^2 + y^2 = 25
$$

$$
S_2 : (x - a)^2 + y^2 = 9
$$

a) Tegn sirklene i et koordinatsystem når $a = 6$.
b) For hvilke verdier av $a$ vil sirklene tangere hverandre?

---

## H2013 del 2 oppgave 1 — Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Begrunne og bestemme funksjonsuttrykk for andre-, tredje- og fjerdegradsfunksjoner ut fra grafer med tangering til x-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjoner-med-tangering-til-x-aksen/

### Oppgavetekst

Når grafen til en polynomfunksjon tangerer $x$-aksen i $x = a$, har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i $x = a$.

![Tre grafer med tangering til x-aksen](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h13-2-1.avif)

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist på figur 1. Grafen tangerer $x$-aksen i $x = 2$.

a) Forklar at $f(x) = 2 \cdot (x - 2)^2$

Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist på figur 2. Grafen tangerer $x$-aksen i $x = 3$.

b) Forklar at funksjonsuttrykket til $g$ kan skrives på formen $g(x) = k \cdot (x - 3)^2 \cdot (x + 1)$. Bestem $k$.

Grafen til en fjerdegradsfunksjon $h$ er vist på figur 3. Grafen tangerer $x$-aksen i $x = -2$ og i $x = 2$.

c) Bestem funksjonsuttrykket $h(x)$.

---

## H2013 del 2 oppgave 2 — Rasjonale funksjoner asymptoter og skjæringspunkter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Likninger, Graf
- **Kort beskrivelse:** Bestemme asymptoter og tegne rasjonalt uttrykk, deretter finne skjæringspunkter med lineær funksjon algebraisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonale-funksjoner-asymptoter-og-skjaeringspunkter/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}, \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}
$$

a) Bestem asymptotene til $f$. Tegn grafen til $f$ med asymptoter.

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = x - 1, \quad D_f = \mathbb{R}
$$

b) Bestem skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ ved regning.

---

## H2013 del 2 oppgave 3 — Rektangel innskrevet under parabel optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og optimere arealuttrykk for rektangel $PSRQ$ innskrevet under $f(x) = x^2 + 21$ med fast hjørne i $R(12, 0)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-under-parabel-optimering/

### Oppgavetekst

Figuren viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = x^2 + 21, \quad x \in \langle 0, \to \rangle
$$

Rektangelet $PSRQ$ lages slik at $P$ ligger på grafen til $f$, punktene $S$ og $R$ ligger på $x$-aksen, og $R$ og $Q$ har førstekoordinat $x = 12$. Punktet $S$ ligger mellom origo og $R$.

![Rektangel under parabelgraf med hjørner P, S, R, Q](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h13-2-3.avif)

a) Forklar at arealet av rektangelet $PSRQ$ kan skrives som

$$
A(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 252, \quad x \in \langle 0, 12 \rangle
$$

b) Bestem $A'(x)$ og bruk denne til å bestemme største og minste verdi som arealet av rektangelet kan ha.
c) Tegn grafen til $A$, og kontroller om svarene dine fra oppgave b) stemmer.

---

## H2013 del 2 oppgave 4 — Halvsirkel vektorer og rett vinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Sirkel, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vektorkoordinater fra punkt på øvre halvsirkel og bevise at $\angle APB = 90°$ ved prikkprodukt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halvsirkel-vektorer-og-rett-vinkel/

### Oppgavetekst

En sirkel med radius $r$ og sentrum i origo er gitt ved

$$
x^2 + y^2 = r^2
$$

Punktet $P(x, y)$ er et vilkårlig punkt på den øvre halvsirkelen. Se skissen nedenfor.

![Halvsirkel med punkt P på buen og linjer til A og B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h13-2-4.avif)

a) Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $r$.
Bestem vektorkoordinatene til $\overrightarrow{PA}$ og $\overrightarrow{PB}$.
b) Vis ved vektorregning at $\angle APB = 90°$.

---

## H2013 del 2 oppgave 5 — Sannsynlighet matematikk og fysikk med Bayes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne snitt- og komplementhendelser, betinget sannsynlighet og anvende Bayes' setning for valg av fag.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-matematikk-og-fysikk-med-bayes/

### Oppgavetekst

Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Hendelsene $M$ og $F$ definerer vi slik:

$M$: Eleven velger matematikk.

$F$: Eleven velger fysikk.

Vi får opplyst at $P(M) = 0{,}64$, $P(F) = 0{,}32$ og $P(\overline{M \cup F}) = 0{,}30$.

a) Bestem $P(M \cap F)$ og $P(M \cap \bar{F})$.
b) Bestem $P(F|M)$. Undersøk om hendelsene $M$ og $F$ er uavhengige.
c) Bruk Bayes' setning til å bestemme $P(M|F)$.

---

## H2013 del 2 oppgave 6 — Koordinatgeometri med vektorer og parameterframstilling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vinkel og areal i trekant, finne ukjent punkt ved vinkel- og parallelitetsbetingelse, og bruke parameterframstilling til å lokalisere punkt med lik avstand.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koordinatgeometri-med-vektorer-og-parameterframstilling/

### Oppgavetekst

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-3, -3)$, $B(3, 1)$ og $D(-2, 2)$.

a) Bestem $\angle BAD$ og arealet av $\triangle ABD$.

Et punkt $C$ er gitt ved at $DC \parallel AB$ og $\angle ABC = 90°$.

b) Bestem ved regning koordinatene til $C$.

En parameterframstilling for linjen $l$ som går gjennom $C$ og $D$, er gitt ved

$$
l: \begin{cases} x = -2 + 3t & \\ y = \phantom{-}2 + 2t \end{cases}
$$

Et punkt $E$ har koordinatene $(s,\, 2s - 2)$.

c) Bestem ved regning en verdi for $s$ slik at $E$ ligger på $l$.
d) Bestem koordinatene til punktet $E$ når $|\overrightarrow{AE}| = |\overrightarrow{BE}|$.

---

## H2013 del 2 oppgave 7 — Logaritmisk likning med eksponent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Løse likning der eksponenten er en logaritmefunksjon ved å ta logaritme og bruke potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmisk-likning-med-eksponent/

### Oppgavetekst

Løs likningen med hensyn på $x$

$$
n^2 \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg(x) - 2} = x^2, \quad x > 0 \land n > 0
$$

---

## V2012 del 1 oppgave 1 — Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Polynomdivisjon, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av polynom og eksponential, forenkling av ln-uttrykk, drøfting av kubikkfunksjon, polynomdivisjon og bestemmelse av farts- og akselerasjonsvektor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-og-logaritmeuttrykk-med-polynomdivisjon-og-vektorer/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene gitt ved

1\)

$$
f(x) = 5x^3 + x - 4
$$

2\)

$$
g(x) = 5e^{3x}
$$

b) Skriv så enkelt som mulig

$$
2\ln\left(\frac{a^2}{b}\right) + \ln(ab) - 3\ln a
$$

c) Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x$

1\) Bestem nullpunktene til $f$.

2\) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen til $f$.

3\) Tegn grafen til $f$.

d) Polynomet $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ er gitt. Heltallige løsninger av likningen $P(x) = 0$ går opp i konstantleddet.

Bruk dette til å finne en løsning av $P(x) = 0$ og polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.

e) Posisjonsvektoren til en ball er gitt ved $\vec{r}(t) = \left[\, 3{,}0t \;,\; -4{,}9t^2 \,\right]$

Bestem fartsvektoren og akselerasjonsvektoren.

---

## V2012 del 1 oppgave 2 — Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Stigningstall, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Forklare retningsvektor fra linjens stigningstall, vise at vinkelrette linjer har produktet $a_1 \cdot a_2 = -1$, og bestemme ligning for vinkelrett linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/retningsvektor-og-vinkelrette-linjer-med-stigningstall/

### Oppgavetekst

Likningen for en rett linje er på formen $y = ax + b$

a) Forklar at $\left[\, 1,\, a \,\right]$ er en retningsvektor for linjen.
b) To rette linjer med stigningstall $a_1$ og $a_2$ står vinkelrett på hverandre. Vis at da er

$$
a_1 \cdot a_2 = -1
$$

c) Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på $y = 2x - 1$ og som skjærer $y$-aksen i $y = 5$.
d) Tegn de to linjene fra c) inn i samme koordinatsystem.

---

## V2012 del 1 oppgave 3 — Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tangent, Derivasjon, Areal og omkrets, Omvendt proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Vise tangentligning til $f(x)=1/x$, bestemme akseskjæringer og vise at $\triangle OAB$ har konstant areal uavhengig av $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-f-x-1-delt-pa-x-og-arealet-av-trekant-oab-r1-v12/

### Oppgavetekst

![Grafen til f(x)=1/x med tangent i punktet (a, f(a)) og akseskjæringspunktene A og B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-1-3.avif)

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$ og en tangent i punktet $\left(a,\, f(a)\right)$.

a) Vis at likningen for tangenten er

$$
y = -\frac{1}{a^2} \cdot x + \frac{2}{a}
$$

Tangenten skjærer koordinataksene i $A$ og $B$.

b) Bestem koordinatene til $A$ og $B$.
c) Bestem arealet av $\triangle OAB$. Kommenter svaret.

---

## V2012 del 2 oppgave 4 — Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\angle BAC$ med prikkprodukt og finne punkt $D$ slik at $ABCD$ blir et parallellogram.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-og-parallellogram-med-tre-punkter-i-planet/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktene $A(-3,\,-2)$, $B(6,\,3)$ og $C(2,\,4)$

a) Bestem $\angle BAC$ ved å bruke vektorregning.
b) Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $\Box ABCD$ blir et parallellogram.

---

## V2012 del 2 oppgave 5 — Sirkellikning for to punkter med diameter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise ved regning at likningen til sirkelen med diameter $AB$ er $(x-3)^2+(y-3)^2=2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkellikning-for-to-punkter-med-diameter/

### Oppgavetekst

Punktene $A(2,\,4)$ og $B(4,\,2)$ ligger på en sirkel slik at $AB$ er diameter til sirkelen.

Vis ved regning at likningen til sirkelen er $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 2$

---

## V2012 del 2 oppgave 6 — Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Parameterframstilling for linje gjennom $E(2,4)$ og $F(7,-1)$, skjæringspunkter med aksene og avstand fra $G(6,3)$ til linjen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-linje-skjaeringspunkter-og-avstand-til-punkt/

### Oppgavetekst

a) Bestem en parameterframstilling for en rett linje $l$ som går gjennom punktene $E(2,\,4)$ og $F(7,\,-1)$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom $l$ og koordinataksene.
c) Bestem ved regning avstanden fra punktet $G(6,\,3)$ til $l$.

---

## V2012 del 2 oppgave 7 — Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Vise at arealet av $\triangle OAB$ under $f(x)=\tfrac{5}{2}e^{-x/2}$ er $g(x)=\tfrac{5}{4}xe^{-x/2}$, bestemme maksimum og bruke digitalt verktøy for likebeint tilfelle.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-oab-under-eksponentialfunksjon-maksimalt-areal-og-likebeint/

### Oppgavetekst

![Grafen til f(x) med trekanten OAB der A=(x,0) og B=(x, f(x))](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-2-7.avif)

Figuren viser en del av grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \frac{5}{2} e^{-\frac{x}{2}} \quad , \quad x > 0
$$

a) Vis at arealet av $\triangle OAB$ er gitt ved

$$
g(x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{-\frac{x}{2}}
$$

b) Bestem det største arealet som $\triangle OAB$ kan ha.
c) Bruk digitalt verktøy til å bestemme $x$ slik at trekanten er likebeint.

Hvor stort er arealet da?

---

## V2012 del 2 oppgave 8 — Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Forklare innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse for $\Box ABCD$ innskrevet i sirkel, og vise at $\alpha = \beta$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-innskrevet-i-sirkel-med-innskrevet-vinkel-og-nabovinkelbetingelse/

### Oppgavetekst

![Firkanten ABCD innskrevet i sirkel med vinklene α og β markert](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-2-8.avif)

På skissen ovenfor er $\Box ABCD$ innskrevet i en sirkel.

$\angle A = \alpha$, og nabovinkelen til $\angle C$ kalles $\beta$. Buen $BCD = x$

a) Forklar at $\alpha = \dfrac{x}{2}$
b) Forklar at $180° - \beta = \dfrac{1}{2}(360° - x)$
c) Vis at $\alpha = \beta$

---

## V2012 del 2 oppgave 9 — Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Nullpunkter, Graf, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av funksjonsuttrykket til to ukjente fjerdegradsfunksjoner fra grafskisser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisert-fjerdegradsfunksjon-og-lese-av-fra-graf/

### Oppgavetekst

a) Tegn grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = 2(x+1)(x-1)(x-3)
$$

På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon $g$.

![Grafskisse av g med nullpunkter ved x=-2, 1, 3 og y-skjæring 12](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-2-9-1.avif)

b) Skriv funksjonsuttrykket $g(x)$ på samme form som i a).

På figur 2 er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon $h$.

![Grafskisse av h med nullpunkter ved x=-2 og x=2, og y-skjæring 4](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-2-9-2.avif)

c) Skriv funksjonsuttrykket $h(x)$ på samme form som ovenfor.

---

## V2012 del 2 oppgave 10 — Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lengden av diagonalen $AC$ i kvadrat $OABC$ og beregne det skraverte arealet mellom kvartsirkelen og kvadratet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvartsirkel-med-kvadrat-oabc-og-skravert-areal/

### Oppgavetekst

![Kvartsirkel med radius 3 og kvadratet OABC der A er på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v12-2-10.avif)

På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius $3$. $\Box OABC$ er et kvadrat der $A$ ligger på $x$-aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$-aksen.

a) Bestem lengden til diagonalen $AC$.
b) Bestem arealet av det skraverte området.

---

## V2012 del 2 oppgave 11 — Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sannsynligheter og betinget sannsynlighet for regnvær på aktivitetsdag basert på opplysninger om værmeldingsnøyaktighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aktivitetsdag-betinget-sannsynlighet-og-vaermelding/

### Oppgavetekst

En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på denne tiden av året. Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn 10 % av dagene.

Vi definerer hendelsene:

$A$: Det regner på aktivitetsdagen

$B$: Det er meldt regn på aktivitetsdagen

a) Bestem $P(A)$ og $P(\overline{A})$
b) Bestem $P(B \mid A)$, $P(B \mid \overline{A})$ og $P(B)$

Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag.

c) Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det altså er meldt regn.

---

## H2012 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av tre funksjoner R1 H12

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen
- **Kort beskrivelse:** Derivere kvadratisk, kvadratrot og eksponentialfunksjon med kjedel- og produktregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-tre-funksjoner-r1-h12/

### Oppgavetekst

Deriver funksjonene

a)

$$
f(x) = (2x - 1)^2
$$

b)

$$
g(x) = \sqrt{x^2 - 2x}
$$

c)

$$
h(x) = x^3 \cdot e^{2x}
$$

---

## H2012 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og faktorisering med parameter k

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameter k ved polynomdivisjon og faktorisere som produkt av lineære faktorer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-faktorisering-med-parameter-k/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 3
$$

a) Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x):(x - 3)$ går opp.
b) Bruk polynomdivisjon til å skrive $f(x)$ som et produkt av lineære faktorer (førstegradsfaktorer) når $k$ har verdien du fant i oppgave 2 a).

---

## H2012 del 1 oppgave 3 — Vendepunkt og vendetangent for kubikkfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Finne vendepunkt ved å sette andrederiverte lik null og bestemme likning til vendetangenten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vendepunkt-og-vendetangent-for-kubikkfunksjon/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3
$$

a) Bestem vendepunktet på grafen til $f$.
b) Bestem likningen til vendetangenten.

---

## H2012 del 1 oppgave 4 — Elevbesvarelse og skjæringspunkter mellom parabel og linje

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Nullpunkter, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Kommentere feil i elevbesvarelse og korrekt løse skjæringspunkter mellom andregradsfunksjon og linje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elevbesvarelse-og-skjaeringspunkter-mellom-parabel-og-linje/

### Oppgavetekst

På figuren er det tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

$$
f(x) = (x-1)(x-3) \quad \text{og} \quad g(x) = x - 1
$$

![Grafene til f og g](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-1-4.avif)

En elev skulle bestemme skjæringspunktene mellom grafene ved regning.

Eleven besvarte oppgaven slik:

![Elevens besvarelse](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-1-4-elevbesvarelse.avif)

a) Kommenter elevens besvarelse.
b) Bestem skjæringspunktene mellom grafene ved regning slik du mener oppgaven bør løses.

---

## H2012 del 1 oppgave 5 — Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Vektorer, Bevis, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Vise at diagonalene i et kvadrat er ortogonale og at arealet er halvparten av produktet av diagonalene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadrat-med-diagonaler-ortogonalitet-og-areal/

### Oppgavetekst

Figuren viser et kvadrat $ABCD$ med side $a$. Diagonalene $AC$ og $BD$ skjærer hverandre i punktet $F$.

![Kvadrat ABCD med diagonaler og skjæringspunkt F](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-1-5.avif)

a) Forklar at $AC \perp BD$
b) Forklar at arealet av kvadratet er $\dfrac{1}{2} AC \cdot BD$

---

## H2012 del 1 oppgave 6 — Eksponentlikning og logaritmelikning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse eksponentlikning med logaritme og logaritmelikning med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-og-logaritmelikning/

### Oppgavetekst

Løs likningene

a)

$$
3^{4x} + 7 = 34
$$

b)

$$
\lg x + \lg(x - 1) = \lg 2
$$

---

## H2012 del 1 oppgave 7 — Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke skalarprodukt til å bestemme t slik at vinkel BAC = 90°, deretter beregne avstand fra A til linje BC.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-vinkel-mellom-vektorer-og-avstand-til-linje/

### Oppgavetekst

Vi har gitt punktene $A(3,\, 0)$, $B(7,\, 3)$ og $C(0,\, t)$.

a) Bestem $t$ slik at $\angle BAC = 90\degree$
b) Bestem den minste avstanden fra $A$ til $BC$ for denne $t$-verdien.

---

## H2012 del 2 oppgave 1 — Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke skalarprodukt til å beregne vinkel, bestemme t for parallellogram og for ortogonale diagonaler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skalarprodukt-og-parallellogram-med-fire-hjornepunkter/

### Oppgavetekst

Punktene $A(0,\, 0)$, $B(6,\, 0)$, $C(4,\, 4)$ og $D(t,\, 4)$ er hjørner i $\Box ABCD$.

![Firekantet figur ABCD med hjørnepunktene A, B, C og D](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-2-1.avif)

a) Bruk skalarprodukt til å bestemme $\angle BAC$.
b) Bestem $t$ slik at $\Box ABCD$ blir et parallellogram.
c) Bestem $t$ ved regning slik at $AC \perp BD$.

---

## H2012 del 2 oppgave 2 — Sannsynlighet for jente og buss til skole

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter med snitt, union og betinget sannsynlighet samt teste uavhengighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-jente-og-buss-til-skole/

### Oppgavetekst

En skole har 350 elever, 182 gutter og 168 jenter. Av disse tar 71 gutter og 94 jenter bussen til skolen. En elev blir trukket ut tilfeldig. Vi lar hendelsene $J$ og $B$ være gitt ved

$J$: Eleven er en jente.

$B$: Eleven tar buss til skolen.

a) Bestem $P(J \cap B)$
b) Bestem $P(B)$ og $P(B \mid J)$. Er $J$ og $B$ uavhengige hendelser? Begrunn svaret ditt.
c) Bestem $P(J \mid B)$

---

## H2012 del 2 oppgave 3 — Partikkelposisjon med vektorfunksjon og fart

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne bane til partikkel gitt ved vektorfunksjon, finne akseskjæringer og beregne fart ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkelposisjon-med-vektorfunksjon-og-fart/

### Oppgavetekst

Posisjonen til en partikkel ved tiden $t$ er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \left[\frac{1}{4}t^2 - 3t,\; t + \frac{4}{t} - 5\right]
$$

a) Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in \langle 0,\, 20]$.
b) Bestem skjæringspunktene mellom banen til partikkelen og koordinataksene.
c) Bestem farten $v = |\vec{v}(t)|$ når $t = 5$.

---

## H2012 del 2 oppgave 4 — Innskrevet likebeint trekant og maksimalt areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Optimering, Areal og omkrets, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke formlikhet til å uttrykke høyden h som funksjon av x og maksimere arealet av den innskrevne trekanten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-likebeint-trekant-og-maksimalt-areal/

### Oppgavetekst

$\triangle DEF$ er innskrevet i $\triangle ABC$. Begge trekantene er likebeinte, og $DE \parallel AB$. Vi setter $DE = x$. Høyden fra $C$ til $AB$ er 8, og høyden fra $F$ til $DE$ er $h$. Videre er $AF = FB = 3$. Se figuren.

![Trekant DEF innskrevet i trekant ABC med mål](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-2-4.avif)

a) Forklar at $\triangle ABC \sim \triangle DEC$. Bruk dette til å vise at

$$
h = 8 - \frac{4}{3}x
$$

b) Bestem et uttrykk $T(x)$ for arealet av $\triangle DEF$.
c) Bestem den største verdien av $T(x)$. Forklar at $\triangle ABC$ i dette tilfellet består av fire kongruente trekanter.

---

## H2012 del 2 oppgave 5 — Sirkellikninger med fullstendige kvadraters metode

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sentrum og radius ved fullstendig kvadrat og finne t slik at sirkel tangerer x-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkellikninger-med-fullstendige-kvadraters-metode/

### Oppgavetekst

En sirkel er gitt ved

$$
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 = 0
$$

a) Bestem sentrum og radius i sirkelen ved regning.

En annen sirkel er gitt ved

$$
x^2 + 2tx + y^2 - 4y + 9 = 0, \quad t \in \mathbb{R}
$$

b) Bestem $t$ slik at sirkelen har akkurat ett punkt felles med $x$-aksen.

---

## H2012 del 2 oppgave 6 — Innskrevet firkant i sirkel og like vinkler fra sekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruke periferivinkelsetningen og sekantegenskaper til å vise at $\alpha = \beta$ i innskrevet firkant med diameter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-firkant-i-sirkel-og-like-vinkler-fra-sekant/

### Oppgavetekst

$\Box ABCD$ er innskrevet i en sirkel der $AC$ er diameter. Buen $\widehat{AD} = u$ og buen $\widehat{BC} = v$. Forlengelsene av $AD$ og $BC$ skjærer hverandre i $P$. Vi setter $\angle P = \alpha$. Tilsvarende skjærer forlengelsene av $AB$ og $DC$ hverandre i $Q$, og vi setter $\angle Q = \beta$.

![Innskrevet firkant ABCD i sirkel med sekanter til P og Q](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h12-2-6.avif)

a) La $u = 120\degree$ og $v = 90\degree$. Forklar at da er $\angle BAD = 75\degree$
b) Vis at $\alpha = \beta = 15\degree$ i dette tilfellet.
c) Vis at $\alpha = \beta$ for alle verdier av $u$ og $v$ (når $u \neq v$).

---

## V2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon med kvotientregel, produktregel og kjerneregel, polynomdivisjon, ulikheter, tolke deriverte og logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-deriverte-og-polynomdivisjon-r1-v11/

### Oppgavetekst

a) Vis at den deriverte til funksjonen $O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2$ er $O'(x) = \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2}$

b) Deriver funksjonene
1\)

$$
f(x) = 3\ln(2x)
$$

2\)

$$
g(x) = 3x \cdot e^{x^2}
$$

Vi har gitt polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$

c) 1\) Vis at $f(1) = 0$. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f(x)$ i førstegradsfaktorer.
2\) Løs ulikheten $f(x) \leq 0$

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f(t)$. Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.

Du får vite at: $f(0) = 300$, $f'(10) = 0$ og $f''(10) = -10$

d) Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?

e) Skriv så enkelt som mulig $\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\left(\dfrac{a}{b^3}\right)$

f) Skriv så enkelt som mulig $\dfrac{2x + 10}{x^2 - 25} + \dfrac{x}{x + 5} - \dfrac{2}{x - 5}$

En linje $l$ har parameterframstillingen $l: \begin{cases} x = 1 + 2t & \\ y = 2 + t \end{cases}$

Et punkt $P(4,\, 1)$ ligger utenfor linjen.

g) Regn ut avstanden fra $P$ til linjen $l$.

h) Et linjestykke $AB$ har lengde 10 cm. Konstruer en $\triangle ABC$ der $\angle C = 90\degree$ og $AC = 7 \mathrm{~cm}$

---

## V2011 del 1 oppgave 2 — Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevis at $\angle BFE = 45\degree$ ved å uttrykke vinkler i en rettvinklet trekant med innskrevet sirkel via $u$ og $v$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-sirkel-og-vinkler-i-trekant/

### Oppgavetekst

I en $\triangle ABC$ er $\angle A = 90\degree$. En sirkel med sentrum i $S$ er innskrevet i trekanten. Sidene $AC$ og $BC$ tangerer sirkelen i punktene $D$ og $E$. Linjen gjennom $B$ og $S$ skjærer $DE$ i $F$.

Se skissen nedenfor.

![Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant med punkt F](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v11-1-2.avif)

Du får oppgitt at $DC = EC$.

Vi setter $\angle ABC = v$, $\angle BCA = u$ og $\angle BFE = x$

a) Forklar at $u + v = 90\degree$ og at $\angle DEC = 90\degree - \dfrac{u}{2}$
b) Forklar at $\angle FBE = \dfrac{v}{2}$ og at $\angle BEF = 90\degree + \dfrac{u}{2}$
c) Vis at $x = 45\degree$

---

## V2011 del 2 oppgave 3 — Rett prisme med minimalt overflateareal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Volum, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Optimer overflatearealet til et rett prisme med fast volum ved å sette den deriverte lik null, og sammenlign med et prisme der lengde er tre ganger bredden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-prisme-med-minimalt-overflateareal/

### Oppgavetekst

Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er $200 \mathrm{~cm}^3$. Vi setter bredden lik $x \mathrm{~cm}$. Se skissen.

![Rett prisme med bredde x, lengde 4x og høyde h](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v11-2-3.avif)

a) Vis at $h = \dfrac{50}{x^2}$

b) Vis at overflaten $O$ av prismet kan skrives $O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2$

I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at $O'(x) = \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2}$.

c) Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten $O$ som prismet kan ha.
Hva er lengden, bredden og høyden nå?

Vi har et annet rett prisme der lengden av grunnflaten er *tre* ganger så stor som bredden. Volumet er $200 \mathrm{~cm}^3$.

d) Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha.

---

## V2011 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn $P(A \cap B)$, $P(B)$ og $P(B|A)$ fra en frekvenstabell og avgjør om hendelsene er uavhengige.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-matpakke-og-uavhengighet/

### Oppgavetekst

På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag.

Én elev trekkes ut tilfeldig. La $A$ og $B$ være de to hendelsene

$A$: Eleven er en gutt.

$B$: Eleven har med matpakke hver dag.

a) Forklar med ord hva vi mener med $P(A \cap B)$. Finn denne sannsynligheten.
b) Finn sannsynlighetene $P(B)$ og $P(B \mid A)$.
Er de to hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

---

## V2011 del 2 oppgave 5 — Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Skalarprodukt, Lengde av vektor
- **Kort beskrivelse:** Finn vektorer, prikkprodukt, parameterframstilling for linje, skjæringspunkt med y-aksen og koordinater til punkt på linje med gitt avstand.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektorer-og-linjer-med-punkter-og-parameterframstilling/

### Oppgavetekst

Punktene $A(2,\, -1)$ og $B(5,\, 3)$ er gitt.

a) Finn $\overrightarrow{AB}$ og regn ut $|\overrightarrow{AB}|$.

Vektoren $\overrightarrow{AC} = [-1,\; 2]$ er gitt.

b) Bestem koordinatene til punktet $C$.
c) Regn ut $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$ og kommenter svaret.

En rett linje $l$ går gjennom punktet $P(3,\, -4)$ og er parallell med $\overrightarrow{AC}$.

d) Finn en parameterframstilling for linjen $l$.
e) Finn koordinatene til punktet der $l$ skjærer $y$-aksen.

Punktet $Q(8,\, 6)$ er gitt. En vektor $\overrightarrow{QR}$ har lengden 10, og $R$ er et punkt på linjen $l$.

f) Bestem koordinatene til $R$.

---

## V2011 del 2 oppgave 6 — Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tegn en skisse av en funksjon som er kontinuerlig men ikke deriverbar i $x = 2$, og ikke kontinuerlig i $x = 5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjon-med-kontinuitet-og-deriverbarhet/

### Oppgavetekst

Du får oppgitt at en funksjon $f$ er definert for $x \in \langle 0,\, 10 \rangle$. Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i $x = 2$, og ikke kontinuerlig i $x = 5$.

Tegn en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

---

## V2011 del 2 oppgave 7 — Primtall som differanse mellom kvadrattall

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bevis at alle primtall større enn 2 kan skrives som differansen mellom to kvadrattall ved å uttrykke $n_1$ og $n_2$ ved $p$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/primtall-som-differanse-mellom-kvadrattall/

### Oppgavetekst

I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden:

> *Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.*

a) Skriv av og fyll ut tabellen

| Primtall | Naturlige tall | | Kvadrattall | | Differanse |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $p$ | $n_1$ | $n_2$ | $n_1^2$ | $n_2^2$ | $n_1^2 - n_2^2$ |
| 3 | 2 | 1 | $2^2$ | $1^2$ | 3 |
| 5 | 3 | 2 | $3^2$ | $2^2$ | 5 |
| 7 | 4 | 3 | $4^2$ | $3^2$ | 7 |
| 11 | 6 | 5 | $6^2$ | $5^2$ | 11 |
| 13 | | | | | |
| 17 | | | | | |
| 19 | | | | | |

I tabellen er $p$ primtall, og $n_1$ og $n_2$ er naturlige tall, slik at:

$$
n_1 + n_2 = p
$$

$$
n_1 - n_2 = 1
$$

b) Vis at vi kan skrive: $n_1 = \dfrac{p+1}{2}$ og $n_2 = \dfrac{p-1}{2}$
c) Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig.

---

## V2011 del 2 oppgave 8 — Skomakerkniven og halvsirkler

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Bevis at arealet av skomakerkniven (avgrenset av tre halvsirkler) er lik arealet av en sirkel med diameter $CH = 2\sqrt{R \cdot r}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skomakerkniven-og-halvsirkler/

### Oppgavetekst

Matematikeren Arkimedes (ca. 287–212 f.Kr.) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles *skomakerkniven*.

Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren, har sentrum i $D$ og $E$.

De indre halvsirklene har radius $R$ og $r$. Punktene $D$, $C$ og $E$ ligger på linjestykket $AB$.

![Skomakerkniven med ytre og to indre halvsirkler](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v11-2-8.avif)

a) Vis at lengden av sirkelbuen $AB$ er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene $AC$ og $CB$.

På figuren er $CH \perp AB$.

b) Forklar at $\triangle ACH$ er formlik med $\triangle HCB$.
c) Bruk dette til å vise at $CH = 2\sqrt{R \cdot r}$
d) Vis at arealet av en sirkel med diameter $CH$ er lik arealet av *skomakerkniven*.

---

## H2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjonsregler, polynom, vektorer og sirkelgeometri

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomfunksjoner, Vektorer, Sirkel, Fortegnslinje, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Derivasjonsregler (kjerneregel, produktregel), polynomfaktorisering, logaritme-inversjon, vektorer og sirkelgeometri med buer og innskrevne vinkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjonsregler-polynom-vektorer-og-sirkelgeometri/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene

1\)

$$
f(t) = 0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 + 4{,}1
$$

2\)

$$
g(x) = \sqrt{x^2 - 1}
$$

3\)

$$
h(x) = x^2 \cdot e^{2x}
$$

b) Vi har gitt polynomfunksjonen

$$
P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16
$$

1\) Vis at $x = 2$ er et nullpunkt.

2\) Skriv $P(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer.

3\) Løs ulikheten $P(x) \leq 0$

c) Lag en formel for $x$ når

$$
y = a - b^x
$$

Forklar hvorfor $y < a$

d) Vi har gitt punktene $A(1, 0)$, $B(3, 4)$ og $C(2, t)$

1\) Bestem vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.

2\) Bestem $t$ slik at $\angle A = 90°$

3\) En sirkel har $AB$ som diameter. Bestem likningen til sirkelen.

Fortegnslinjene til $f'(x)$ og $f''(x)$ til en funksjon $f$ er gitt nedenfor.

![Fortegnslinje for f' og f''](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h11-1-1-fortegnslinje.avif)

e)
1\) Bestem hvor grafen til $f$ stiger og synker.

2\) Bestem $x$-verdiene til eventuelle bunn-, topp- og vendepunkter på grafen til $f$.

3\) Tegn en skisse av hvordan grafen til $f$ kan se ut.

f) Funksjonen $f$ er gitt som $f(x) = x^2 + 1$

Bruk at $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ til å vise at $f'(x) = 2x$

En sirkel har sentrum i $O$. $AB$ skjærer av en bue på $60°$, mens $DE$ skjærer av en bue på $20°$. Se skissen nedenfor.

![Sirkel med buer AB og DE](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h11-1-1-sirkelgeometri.avif)

g)
1\) Bestem $\angle ADB$

2\) Bestem $\angle DBE$

3\) Vis at $\angle ACB = 20°$

---

## H2011 del 2 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon drøfting og tangentskjæring

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Tangent, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ på $\langle -1, 3 \rangle$ – nullpunkter, fortegnslinjer, vendepunkt, tangent og skjæringspunkt med tangenten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-drofting-og-tangentskjaering/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x, \quad x \in \langle -1,\, 3 \rangle
$$

a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning. Forklar hvordan vi av utregningen kan se at grafen til $f$ tangerer $x$-aksen i ett av nullpunktene.
b) Tegn fortegnslinjen til $f'$, og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Tegn fortegnslinjen til $f''$, og bruk denne til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Vis ved regning at likningen til tangenten i punktet $P\left(1,\, f(1)\right)$ er gitt ved

$$
y = -x + 2
$$

e) Tegn grafen til $f$ og tangenten i samme koordinatsystem.
f) Grafen til $f$ skjærer tangenten i et annet punkt $Q$.

Forklar at $x$-verdien til $Q$ kan bestemmes av likningen

$$
x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0
$$

Bestem koordinatene til $Q$.

---

## H2011 del 2 oppgave 3 — Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og konstruksjon av sentrum

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise vinkelrelasjoner i rettvinklet trekant med innskrevet sirkel og konstruere sirkelsentrum med passer og linjal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-sirkel-i-rettvinklet-trekant-og-konstruksjon-av-sentrum/

### Oppgavetekst

![Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant ABC](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h11-2-3-innskrevet-sirkel.avif)

En sirkel med sentrum i $S$ er innskrevet i en rettvinklet $\triangle ABC$. Sidene i trekanten tangerer sirkelen i $D$, $E$ og $F$. Linjen $AS$ skjærer $EF$ i $G$ og $ED$ i $H$.

En setning i geometrien sier at da er $AD = AE$.

a)
1\) Forklar at $\angle GHE = 90°$

2\) Bestem $\angle HEG$ og $\angle HGE$
b) I vedlegget er det tegnet en sirkel med to vilkårlige korder.
Lag en konstruksjon på vedlegget med passer og linjal slik at du finner plasseringen til sentrum $S$ i sirkelen.

---

## H2011 del 2 oppgave 4 — To tangerende sirkler med parameterframstilling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Parameterframstilling, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Finne sentrum for to tangerende sirkler, bestemme tangentpunktet, sette opp parameterframstilling for linjen og finne det andre skjæringspunktet med sirkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-tangerende-sirkler-med-parameterframstilling/

### Oppgavetekst

![To tangerende sirkler med linje l](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h11-2-4-tangerende-sirkler.avif)

To sirkler med samme radius har sentrum i henholdsvis $A$ og $B$. Sirklene tangerer hverandre i punktet $P$.

Sirkelen med sentrum i $A$ har likningen

$$
x^2 + y^2 + 6x + 4y - 12 = 0
$$

Sirkelen med sentrum i $B$ har likningen

$$
x^2 + y^2 - 6x - 12y + 20 = 0
$$

a) Vis ved regning at sentrum i sirklene har koordinatene $A(-3, -2)$ og $B(3, 6)$.
b) Forklar at punktene $A$, $P$ og $B$ alle ligger på en rett linje $l$.

Vis at punktet $P$ har koordinatene $P(0, 2)$.
c) Finn en parameterframstilling til $l$.
d) Linjen $l$ skjærer sirkelen med sentrum i $B$ også i punktet $C$.

Bestem koordinatene til punktet $C$.

---

## H2011 del 2 oppgave 5 — Jenter og gutter med bukser – betinget sannsynlighet og Bayes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for kleskoder på en skole, avgjøre uavhengighet og anvende Bayes' setning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jenter-og-gutter-med-bukser-betinget-sannsynlighet-og-bayes/

### Oppgavetekst

På en skole går det 120 jenter og 80 gutter. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt. Alle guttene går med bukser.

Hendelsene $J$ og $B$ er definert ved:

$J$: Eleven er en jente.

$B$: Eleven går med bukse.

a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går med bukse.
b) Bestem $P(B|J)$. Avgjør om hendelsene $J$ og $B$ er uavhengige.
c) Bruk Bayes' setning, og bestem $P(J|B)$.

---

## H2011 del 2 oppgave 6 — Perfekte tall og amikable tallpar

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Vise at 28 er et perfekt tall og finne summen av faktorene i 284 for å avdekke at 220 og 284 er et amikabelt tallpar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/perfekte-tall-og-amikable-tallpar/

### Oppgavetekst

Vi vil se på summen av alle faktorer som går opp i 12. Vi tar med 1, men ikke tallet 12 selv.

Faktorene til 12 blir da

1, 2, 3, 4 og 6.

Summen av faktorene blir

$$
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
$$

For tallet 6 får vi på samme måte

$$
1 + 2 + 3 = 6
$$

Når summen av faktorene er lik tallet selv, sier vi at tallet er perfekt.

Dermed er 6 et perfekt tall, mens 12 ikke er det.

a) Vis at 28 er et perfekt tall.
b) Summen av faktorene i 220 er

$$
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
$$

Finn summen av faktorene i 284.

---

## V2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon eksponentiallikning vektorer og konstruksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter, Vektorer, Eksponentialfunksjon, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon med produktregel og kjerneregel, polynomdivisjon og ulikhet, logisk implikasjon, vektoroperasjoner, eksponentiallikning og geometrisk konstruksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-eksponentiallikning-vektorer-og-konstruksjon/

### Oppgavetekst

#### a) Derivasjon

Deriver funksjonene

1\) $f(x) = x^3 \cdot \ln x$

2\) $g(x) = 4e^{x^2-3x}$

#### b) Polynomdivisjon og ulikhet

Vi har polynomfunksjonen $P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$.

1\) Regn ut $P(2)$. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere uttrykket $P(x)$ i førstegradsfaktorer.
2\) Løs ulikheten $P(x) \leq 0$.

#### c) Logisk implikasjon

Nedenfor er det gitt to utsagn. Skriv av utsagnene i besvarelsen. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$.

Per er fra Bergen. $\quad\Box\quad$ Per er fra Norge.

Forklar hvordan du har tenkt.

#### d) Vektorer

Vi har vektoren $\vec{a} = [3, 5]$.

1\) En vektor $\vec{b}$ er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har motsatt retning av $\vec{a}$. Skriv $\vec{b}$ på koordinatform.
2\) Finn koordinatene til en vektor $\vec{c}$ som står normalt på $\vec{a}$.

#### e) Eksponentiallikning

Løs likningen $4 \cdot \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^4 = 64$.

#### f) Konstruksjon

I en sirkel med radius $r$ er det innskrevet en trekant $ABC$. Lengden til radien er gitt til høyre.

Siden $AB$ i trekanten er $\dfrac{3}{2}r$, og $\angle ABC = 45°$.

Konstruer trekanten. Forklar konstruksjonen.

---

## V2010 del 1 oppgave 2 — Polynomfunksjon derivert vendepunkt og generelt bevis

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Nullpunkter, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Analysere monotoni og ekstremalpunkter fra gitt derivert $f'(x) = 2(x+1)(x-3)$, finne vendepunkt via andrederiverte, og bevise at vendepunktet for $g'(x) = a(x-b)(x-c)$ alltid ligger midt mellom ekstremalverdiene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjon-derivert-vendepunkt-og-generelt-bevis/

### Oppgavetekst

Den deriverte til en polynomfunksjon $f$ er gitt ved

$$
f'(x) = 2(x+1)(x-3)
$$

a) Bruk uttrykket over til å finne ut hvor funksjonen $f$ vokser, og hvor den avtar. Bestem også førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til $f$.
b) Bestem $f''(x)$. Bruk $f''(x)$ til å finne førstekoordinaten til vendepunktet på grafen til $f$.

Den deriverte til en polynomfunksjon $g$ er gitt ved

$$
g'(x) = a \cdot (x-b) \cdot (x-c)
$$

der konstantene $a$, $b$ og $c$ alle er positive. Vi antar at $b < c$. Førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til $g$ er $x_{\text{maks}}$ og $x_{\text{min}}$.

c) Forklar hvorfor grafen til $g$ bare kan ha ett vendepunkt. Vis at førstekoordinaten til dette vendepunktet ligger midt mellom $x_{\text{maks}}$ og $x_{\text{min}}$.

---

## V2010 del 2 oppgave 3 — Tippekupong med kombinatorikk og sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne antall utvalg, antall måter å fylle ut resterende kamper og sannsynlighet for nøyaktig 5 hjemmeseire på tippekupong med 12 kamper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tippekupong-med-kombinatorikk-og-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

På en tippekupong er det 12 fotballkamper. Når man tipper en enkeltrekke, skal man tippe resultatet i hver av de 12 fotballkampene. Utfallet i en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B).

En ivrig tipper la merke til at det i en viss periode ofte var 5 hjemmeseire (H) blant de 12 kampene på tippekupongen.

a) Hvor mange ulike utvalg på 5 kamper kan velges ut blant 12 kamper?
b) Vi har fylt ut 5 kamper som vi tror ender med hjemmeseier. På hvor mange måter kan vi fylle ut de 7 resterende kampene når hver av dem skal fylles ut med enten uavgjort (U) eller borteseier (B)?
c) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utfylt tipperekke skal inneholde nøyaktig 5 hjemmeseire?

---

## V2010 del 2 oppgave 4 — Partikkel med kubikkbane fart og parallell y-akse

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne bane for parameterframstillingen $\vec{r}(t) = [t^3+3,\, t+1]$, bestemme fartsvektor og akselerasjonsvektor, og finne punktet der fartsvektoren er parallell med $y$-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-med-kubikkbane-fart-og-parallell-y-akse/

### Oppgavetekst

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \left[t^3 + 3,\; t + 1\right]
$$

det vil si

$$
\begin{cases} x = t^3 + 3 & \\ y = t + 1 \end{cases}
$$

a) Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in [-2, 2]$.
b) Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t)$. Marker $\vec{v}(1)$ og $\vec{a}(1)$ på kurven til $\vec{r}$.
c) Finn ved regning det punktet på kurven der $\vec{v}(t)$ er parallell med $y$-aksen.

---

## V2010 del 2 oppgave 5-I — Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Polynomdivisjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Vise tangentlikning for $f(x) = x^3$ i $P(1,1)$, finne det andre skjæringspunktet $Q$ mellom grafen og tangenten ved polynomdivisjon, og finne tangeringspunktet til en parallell tangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-kubikkfunksjon-og-parallell-tangent/

### Oppgavetekst

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

**Alternativ I**

På figuren ser du en skisse av grafen til funksjonen $f(x) = x^3$ og tangenten $T_1$ til grafen i punktet $P(1, 1)$. På skissen har aksene ulik målestokk.

![Graf av f(x)=x³ med tangent T₁ og punkter P og Q](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v10-2-5-I.avif)

a) Vis ved regning at likningen til tangenten $T_1$ er

$$
y = 3x - 2
$$

Punktet $Q$ på figuren er et annet fellespunkt mellom grafen til $f$ og $T_1$.

b) Forklar at førstekoordinaten til $Q$ må være en løsning av likningen

$$
x^3 - 3x + 2 = 0
$$

Bruk polynomdivisjon og løs denne likningen ved regning. Finn koordinatene til $Q$.

En annen tangent $T_2$ til grafen er parallell med tangenten $T_1$.

c) Finn tangeringspunktet $R$ mellom grafen til $f$ og $T_2$ ved regning.

---

## V2010 del 2 oppgave 5-II — Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke arealet av kvadrat og likesidet trekant som funksjoner av delingspunktet $x$, og minimere totalarealet $F(x) = F_1(x) + F_2(x)$ for en 10 m ledning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ledning-delt-til-kvadrat-og-likesidet-trekant-optimering/

### Oppgavetekst

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

**Alternativ II**

En ledning er 10 meter lang. Ledningen skal kuttes i to deler. Den ene delen skal formes til sidene i et kvadrat. Den andre delen skal formes til sidene i en likesidet trekant.

Den delen som brukes til å forme trekanten, er $x$ meter lang.

![Eksempler på deling av ledning for x=2, x=5 og x=8](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v10-2-5-II.avif)

a) Forklar at arealet av kvadratet målt i kvadratmeter kan skrives som

$$
F_1(x) = \frac{1}{16}(10-x)^2
$$

b) Forklar at arealet av den likesidete trekanten målt i kvadratmeter kan skrives som

$$
F_2(x) = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot x^2
$$

c) Undersøk hvordan ledningen må kuttes for at summen

$$
F(x) = F_1(x) + F_2(x)
$$

skal få sin minste verdi.

---

## V2010 del 2 oppgave 6 — Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Geometri, Bevis, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $y = 3x$ for en sirkel med sentrum $S$ og radius $r$, der $x = \angle SAD$ og $y = \angle BSC$ med $AD = r$, ved å utnytte likebeinte trekanter og ekstern vinkelsum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-i-sirkel-med-korde-og-tangent-fra-ekstern-punkt/

### Oppgavetekst

Du skal studere en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$.

![Sirkel med sentrum S, radius r, og punkter A, B, C, D der AD=r](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v10-2-6.avif)

På figuren over setter vi $x = \angle SAD$ og $y = \angle BSC$. Du skal vise at det er en sammenheng mellom $x$ og $y$ når $AD = r$.

a) Forklar at $\angle ASD = x$.
b) Vis at $\angle SDC = \angle SCD = 2x$.
c) Vis at $y = 3x$.

---

## V2010 del 2 oppgave 7 — Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Induksjon, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $(4^n - 1)$ er delelig med 3 for alle naturlige tall $n$, ved å bruke faktoriseringen $(4^n - 1) = (2^n - 1)(2^n + 1)$ og egenskaper ved tre konsekutive heltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-at-4n-minus-1-er-delelig-med-3/

### Oppgavetekst

Vi vil undersøke om tallet $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 når $n$ er et naturlig tall.

a) Kontroller at $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 når $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ og $n = 4$.
b) Vis at $\left(4^n - 1\right) = \left(2^n - 1\right) \cdot \left(2^n + 1\right)$.
c) Forklar at $\left(2^n - 1\right)$, $2^n$ og $\left(2^n + 1\right)$ er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av disse tallene er delelig med 3. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3?
d) Bruk b) og c) over til å bevise at $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 for alle naturlige tall $n$.

---

## H2010 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, polynomdivisjon, vektorfunksjon og grenseverdi

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomdivisjon, Vektorer, Grenseverdi, Sannsynlighet, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Deriver to funksjoner, løs tredjegradslikning med polynomdivisjon, analyser vektorfunksjon, beregn sannsynlighet, konstruer trekant og bestem grenseverdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-polynomdivisjon-vektorfunksjon-og-grenseverdi/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene

1\)

$$
f(x) = 2x \cdot e^x
$$

2\)

$$
g(x) = 3\sqrt{x^2 - 1}
$$

b) Vis at $x = 1$ er en løsning av likningen $2x^3 - 6x^2 - 2x + 6 = 0$

Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.

Vi har gitt vektorfunksjonen

$$
\vec{r}(t) = \left[ 6t,\; -5t^2 + 45 \right]
$$

c)
1\) Tegn grafen til vektorfunksjonen når $t \in \left[0,\, 3\right]$

2\) Bestem $\vec{v}(1)$. Tegn fartsvektoren inn på grafen.

3\) Bestem akselerasjonsvektoren. Kommenter svaret ditt.

d) En gjeng består av seks gutter og fire jenter. Vi trekker tilfeldig ut to av dem.

Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut én gutt og én jente?

e) I $\triangle ABC$ er $AB = 10{,}0 \text{ cm}$, $\angle A = 75°$ og $\angle C = 90°$. Konstruer trekanten.

f) Bestem grenseverdiene dersom de eksisterer:

1\)

$$
\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4}{x - 2}
$$

2\)

$$
\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}
$$

---

## H2010 del 1 oppgave 2 — Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Trigonometri, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bevis at $x^2 = y(y + 2r)$ med Pytagoras i en tangent–sekant-konfigurasjon, og bestem $y$ uttrykt ved $r$ når $\angle SCT = 30°$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentlengde-og-sekantstykke-i-sirkel/

### Oppgavetekst

![Sirkel med tangent fra ekstern punkt](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-1-2.avif)

Figuren ovenfor viser en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$. Fra et punkt $A$ utenfor sirkelen trekker vi en linje som tangerer sirkelen i punktet $T$. Linjen som går gjennom $A$ og $S$ skjærer sirkelen i $B$ og $C$.

Vi setter $AT = x$ og $AB = y$

a) Bruk Pytagoras' læresetning i $\triangle SAT$ til å vise:

$$
x^2 = y \cdot (y + 2r)
$$

b) Vi setter $\angle SCT = 30°$. Finn $y = AB$ uttrykt ved $r$ i dette tilfellet.

---

## H2010 del 2 oppgave 3 — Drøfting av 4x² ganger e i minus x

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Utled $f'(x) = 8x e^{-x} - 4x^2 e^{-x}$ ved produktregel, og bruk grafen til $f'$ til å finne topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-4x2-ganger-e-i-minus-x/

### Oppgavetekst

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$
f(x) = 4x^2 \cdot e^{-x}
$$

a) Vis ved regning at $f'(x) = 8x \cdot e^{-x} - 4x^2 \cdot e^{-x}$. Tegn grafen til $f'$.
b) Bruk grafen til $f'$ til å finne eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$.

---

## H2010 del 2 oppgave 4 — Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Geometri, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Finn arealene av $\triangle ABP$ og $\triangle PCD$ uttrykt ved $a$ og $h$, og vis at summen av arealene er konstant uavhengig av hvor $P$ er.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/punkt-i-kvadrat-og-areal-av-to-trekanter/

### Oppgavetekst

![Kvadrat ABCD med punkt P inne i kvadratet](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-4.avif)

Firkanten $ABCD$ er et kvadrat med side $a$. Punktet $P$ er plassert vilkårlig inne i kvadratet. Høyden i $\triangle ABP$ kaller vi $h$.

a) Finn arealene av $\triangle ABP$ og $\triangle PCD$ uttrykt ved $a$ og $h$.
b) Finn et uttrykk for summen av arealene til $\triangle ABP$ og $\triangle PCD$. Beskriv hva du har funnet.

---

## H2010 del 2 oppgave 5 — Trekant med parallell midtlinje og glidende hjørne

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 11
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Parallelle vektorer, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Analyser trekant ABC med vektorer, bevis at DE er parallell med BC og har konstant lengde når A glir langs x-aksen, og finn verdier av $t$ som gir rettvinklet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-parallell-midtlinje-og-glidende-hjorne/

### Oppgavetekst

Punktene $A(-1,\, 0)$, $B(7,\, -2)$ og $C(3,\, 6)$ er hjørner i en trekant.

a) Bestem koordinatene til vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$. Finn $\angle A$ i $\triangle ABC$ ved regning.

Punktet $D$ ligger på $AB$ slik at $\overrightarrow{AD} = \dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AB}$.

Punktet $E$ ligger på $AC$ slik at $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC}$. Se figur 1.

![Trekant ABC med midtlinjepunkter D og E, figur 1](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-5-1.avif)

b) Vis at $\overrightarrow{DE} = [-3,\; 6]$. Forklar at $\overrightarrow{DE} \parallel \overrightarrow{BC}$.

Vi lar nå hjørnet $A$ ha koordinatene $(t,\, 0)$. Ved å variere verdien til parameteren $t$ kan vi få $A$ til å «gli» fram og tilbake på x-aksen. Figur 2 viser hvordan trekanten ser ut når $t = 13$.

![Trekant ABC med glidende hjørne A=(t,0), her t=13, figur 2](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-5-2.avif)

c) Forklar at $\overrightarrow{DE}$ har samme lengde for alle verdier av $t$.
d) Bestem ved regning verdier for $t$ slik at $\angle A = 90°$.
e) Finn ved regning, eller ved hjelp av dynamisk programvare, andre verdier for $t$ slik at $\triangle ABC$ blir rettvinklet.

---

## H2010 del 2 oppgave 6-I — Maur på terningoverflate korteste vei

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Romgeometri, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestem romdiagonalen i terning med side 2, sett opp og minimer strekningstuttrykk for maur langs overflaten, og forklar hvorfor opprullet terningflate gir korteste vei.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maur-pa-terningoverflate-korteste-vei/

### Oppgavetekst

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

**Alternativ I**

![Terning med side 2 og punkt P på kanten EF](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-6-I.avif)

Figuren ovenfor viser en terning med side lik 2.

a) Bestem ved regning lengden av linjestykket $AG$.

Punktet $P$ ligger på sidekanten $EF$. Vi setter $PF = x$.

En maur går fra $A$ til $P$ og videre til $G$ på overflaten av terningen (se figuren).

b) Forklar at mauren tilbakelegger strekningen $s$ gitt ved

$$
s(x) = \sqrt{2^2 + (2-x)^2} + \sqrt{x^2 + 2^2}
$$

c) Bruk kalkulator eller et program på datamaskinen til å finne den korteste strekningen mauren kan gå for å komme fra $A$ til $G$.
d) En elev kommer med følgende påstand: «Hvis jeg svinger opp lokket $EFGH$ om $EF$, så ser jeg med en gang at $s_{\min} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$.»

Tegn en figur og forklar hvordan eleven har resonnert og regnet.

---

## H2010 del 2 oppgave 6-II — Innskrevet vinkel i regulær sekskant teatersal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sirkel, Trigonometri, Geometri, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Analyser innskrevne vinkler fra et sete S til scenekanten AB i en regulær sekskant; bevis at $\alpha = 30°$ i hjørnene, og finn sted for $\alpha = 90°$ og $\alpha = 45°$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-vinkel-i-regulaer-sekskant-teatersal/

### Oppgavetekst

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

**Alternativ II**

![Regulær sekskant ABCDEF som teatersal med sete S og vinkel α](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-6-II.avif)

En teatersal er formet som en regulær sekskant $ABCDEF$ med side 16 m. Scenekanten er siden $AB$ i sekskanten. Et sete er plassert i punktet $S$. $\angle ASB = \alpha$.

a) Finn lengden til $BD$ ved regning.
b) Forklar at $\alpha = 30°$ når setet er plassert i hjørnene $C$, $D$, $E$ eller $F$.

Ikke alle er enige om hvor de beste setene i salen er.

c) Noen mener at det beste setet er der hvor $\alpha = 90°$.
Vis ved hjelp av konstruksjon hvor de beste setene er plassert hvis dette er det eneste kravet.
d) Vis ved hjelp av en skisse, på frihånd eller med digitalt verktøy, hvor vi kan plassere $S$ slik at $\alpha = 45°$.

---

## H2010 del 2 oppgave 7 — Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Sirkel, Tangent, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem skjæringspunkter for tangenten til kvartsirkelen $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$, vis arealformelen $F(a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a\sqrt{9-a^2}}$, og minimer arealet av $\triangle OAB$ med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-kvartsirkel-og-minste-trekantareal-oab/

### Oppgavetekst

![Kvartsirkel med tangent i P som skjærer koordinataksene i A og B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h10-2-7.avif)

Figuren ovenfor viser en kvartsirkel med radius 3 og sentrum i origo. En tangent i punktet $P$ skjærer koordinataksene i $A$ og $B$.

Kvartsirkelen er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$$
f(x) = \sqrt{9 - x^2}, \qquad x \in \langle 0,\, 3 \rangle
$$

Punktet $P$ har førstekoordinat $a$. Det kan vises at likningen for tangenten er

$$
y = \frac{-a}{\sqrt{9 - a^2}} \cdot x + \frac{9}{\sqrt{9 - a^2}}
$$

a) Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $a$.
b) Vis at arealet $F$ av trekanten $OAB$ er

$$
F(a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a\sqrt{9 - a^2}}
$$

c) Tegn en skisse av grafen til $F$. Bruk skissen til å finne det minste arealet av $\triangle OAB$ med tilhørende verdi av $a$.
d) Bestem $F'(a)$ og bruk denne til å finne den eksakte verdien for $a$ som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig.

---

## V2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, grenseverdi, vektorer og logaritmer

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseverdi, Vektorer, Logaritmer, Rasjonale funksjoner, Faktorisering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Blandingsoppgave med kjerneregel, produktregel, grenseverdi, rasjonale uttrykk, vektorer, polynomfaktorisering og logaritmeforenkling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-grenseverdi-vektorer-og-logaritmer/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene:

1\)

$$
f(x) = \left(x^2+1\right)^4
$$

2\)

$$
g(x) = x \cdot e^{2x}
$$

b) Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer

$$
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{x - 2}
$$

c) Trekk sammen

$$
\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{4x}{x^2-4}
$$

d) Gitt punktene $A(-2,\,-1)$, $B(5,\,4)$ og $C(4,\,7)$.

1\) Bestem $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BC}$.

2\) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre.

Gitt polynomfunksjonen $f(x) = 2x^3 + 8x^2 + 2x - 12$.

e)
1\) Regn ut $f(1)$. Faktoriser $f(x)$.

2\) Løs ulikheten $f(x) \leq 0$.

f) Skriv så enkelt som mulig

$$
\lg\left(\frac{1}{a^2}\right) + 3 \cdot \lg a
$$

---

## V2009 del 1 oppgave 2 — Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Geometri, Formlike trekanter
- **Kort beskrivelse:** Bevis Pytagoras' setning ved å vise formlikhet mellom $\triangle ABC$, $\triangle ACD$ og $\triangle CBD$, og utlede $AC^2 = AB \cdot AD$ og $BC^2 = AB \cdot DB$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pytagoras-bevis-med-hoyde-fra-rett-vinkel/

### Oppgavetekst

I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras' setning. På figuren nedenfor har vi tegnet en trekant $ABC$ der $\angle C = 90°$. Fotpunktet for høyden fra hjørnet $C$ til siden $AB$ kalles $D$.

![Trekant ABC med høyde CD til AB](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v09-1-2.avif)

a) Forklar at $\triangle ABC$, $\triangle ACD$ og $\triangle CBD$ er formlike.
b) Bruk a) til å vise at $AC^2 = AB \cdot AD$ og at $BC^2 = AB \cdot DB$.
c) Bruk b) til å bevise Pytagoras' setning.

---

## V2009 del 2 oppgave 3 — Konstruksjon, ln-likning og betinget sannsynlighet mobilproduksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konstruksjon, Logaritmefunksjoner, Betinget sannsynlighet, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Konstruer trekant med innskrevet sirkel, løs $(\ln x)^2 + \ln x^2 = 3$ eksakt, og bruk Bayes til å finne betinget sannsynlighet for defekt telefon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-ln-likning-og-betinget-sannsynlighet-mobilproduksjon/

### Oppgavetekst

a) I en trekant $ABC$ er $AB = 10 \text{ cm}$, $AC = 7 \text{ cm}$ og $\angle C = 90°$.

1\) Bruk passer og linjal eller dynamisk programvare til å konstruere trekanten $ABC$.

2\) Konstruer den innskrevne sirkelen i trekanten.

b) Finn den eksakte løsningen til likningen ved regning

$$
(\ln x)^2 + \ln x^2 = 3
$$

En bedrift produserer mobiltelefoner. Avdeling A står for 70 % av produksjonen, og avdeling B står for de resterende 30 %. Det har vist seg at 5 % av produksjonen fra avdeling A har feil, mens 10 % av produksjonen fra B har feil.

c)
1\) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil.

2\) Hva er sannsynligheten for at en telefon som har feil, er produsert i avdeling A?

---

## V2009 del 2 oppgave 4-I — Kubikkfunksjon med bunnpunkt, vendepunkt og tangenter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Drøft $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 11$ med gitt bunnpunkt: bestem koeffisienter, finn topp- og vendepunkter med fortegnslinje, tangenter med gitt stigningstall og antall løsninger av $f(x) = 9x+b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikkfunksjon-med-bunnpunkt-vendepunkt-og-tangenter/

### Oppgavetekst

Du skal besvare **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 11$.

Grafen til funksjonen $f$ har et bunnpunkt i $(-1,\,-16)$.

a) Vis at $a = 3$ og $b = 9$.
b) Finn $f'(x)$, og bruk denne til å tegne fortegnslinja for $f'(x)$. Bruk fortegnslinja til å finne ut hvor grafen stiger og hvor den synker. Hva blir koordinatene til eventuelle toppunkter på grafen til $f$?
c) Finn $f''(x)$, og bruk denne til å tegne fortegnslinja for $f''(x)$. Bruk fortegnslinja til å finne eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.
d) Finn likningene for tangentene med stigningstall 9.
e) Tegn grafen til $f$. Bruk grafen og resultatene i d) til å avgjøre for hvilke verdier av $b$ likningen $f(x) = 9x + b$ har tre forskjellige løsninger.

---

## V2009 del 2 oppgave 4-II — Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Utforsk fjerdegradsfunksjoner ved å finne vendepunkter, linja gjennom dem, skjæringspunkter og forholdet $ST/TQ$ for to ulike funksjoner; kommenter mønsteret.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fjerdegradsfunksjon-med-vendepunkter-og-linje-gjennom-dem/

### Oppgavetekst

Du skal besvare **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*

I denne oppgaven skal du studere fjerdegradsfunksjoner som har to vendepunkter.

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{1}{12}\left(x^4 - 2x^3 - 12x^2\right)$.

La $S$ og $T$ være de to vendepunktene, med $S$ lengst til venstre på grafen.

a) Tegn grafen til $f$.
b) Finn $f''(x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S$ og $T$.
c) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S$ og $T$. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.
d) Vi lar $Q$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\dfrac{ST}{TQ}$.

En annen fjerdegradsfunksjon $g$ er gitt ved $g(x) = x^4 - 6x^2$.

La $S_1$ og $T_1$ være de to vendepunktene, med $S_1$ lengst til venstre på grafen.

Du skal gjennomføre tilsvarende oppgaver som i a), b), c) og d):

e)
1\) Tegn grafen til $g$.

2\) Finn $g''(x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S_1$ og $T_1$.

3\) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S_1$ og $T_1$. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $g$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.

4\) Vi lar $Q_1$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\dfrac{S_1 T_1}{T_1 Q_1}$. Kommenter resultatet.

---

## V2009 del 2 oppgave 5 — Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Bevis, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vis med vektorer at medianene i en trekant skjærer hverandre i punktet $S\left(\frac{a+b}{3},\frac{c}{3}\right)$ og at hvert median deles i forholdet $2:1$ fra hjørnet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/medianer-i-trekant-skjaerer-i-tyngdepunkt/

### Oppgavetekst

En vilkårlig trekant $OAB$ settes inn i et koordinatsystem med siden $OA$ langs $x$-aksen. Koordinatene til hjørnene er $O(0,\,0)$, $A(a,\,0)$ og $B(b,\,c)$.

Medianene $OM_1$, $AM_2$ og $BM_3$ skjærer hverandre i $S$. Se figuren.

![Trekant OAB med medianer og skjæringspunkt S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v09-2-5.avif)

a) Vis at koordinatene til midtpunktene er

$$
M_1\left(\frac{a+b}{2},\,\frac{c}{2}\right), \quad M_2\left(\frac{b}{2},\,\frac{c}{2}\right) \quad \text{og} \quad M_3\left(\frac{a}{2},\,0\right)
$$

b) Forklar at det finnes tall $x$ og $y$ slik at

$$
\overrightarrow{OS} = x \cdot \overrightarrow{OM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{AM_2}
$$

c) Vis at spørsmål b) gir oss likningssettet

$$
x \cdot \frac{a+b}{2} = a + y \cdot \left(\frac{b}{2} - a\right) \quad \text{og} \quad x \cdot \frac{c}{2} = y \cdot \frac{c}{2}
$$

Finn $x$ og $y$.

d) Forklar at koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene er

$$
S\left(\frac{a+b}{3},\,\frac{c}{3}\right)
$$

e) Bestem forholdene

$$
\frac{|\overrightarrow{OS}|}{|\overrightarrow{OM_1}|}, \quad \frac{|\overrightarrow{AS}|}{|\overrightarrow{AM_2}|} \quad \text{og} \quad \frac{|\overrightarrow{BS}|}{|\overrightarrow{BM_3}|}
$$

Kommenter.

f) Bestem koordinatene til punktet $B$ i det tilfellet at $O(0,\,0)$, $A(6,\,0)$ og $S(1,\,4)$.

---

## H2009 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, logaritmeuttrykk, vektorer og grenseverdi R1 H09

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer, Grenseverdi, Vektorer, Kontinuitet, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av eksponential og logaritmeprodukt, tredjegradslikning med divisjon, logaritmeuttrykk, kontinuitet og deriverbarhet fra graf, grenseverdi, kvadrat i koordinatsystem og parameterframstilling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-logaritmeuttrykk-vektorer-og-grenseverdi-r1-h09/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonen $\quad f(x) = 5e^{3x}$
b) Deriver funksjonen $\quad g(x) = x^3 \cdot \ln(2x)$
c) Likningen $2x^3 - 10x^2 - 2x + 10 = 0$ har tre løsninger. Vis at $x_1 = 1$ er en løsning og finn de to andre.
d) Skriv så enkelt som mulig $\quad \lg(a^2 b) - \lg\left(\dfrac{1}{ab}\right)$

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon.

![Graf av stykkevis funksjon](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h09-1-1-funksjon.avif)

e)
1\) Bestem $x$-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt.
2\) Bestem $x$-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er deriverbar. Begrunn svaret ditt.
f) Bestem grenseverdien $\quad \displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 - x}{x + 1}$

Et kvadrat $OABC$ med side $a$ er plassert i et koordinatsystem. Hjørnet $O$ er i origo, og $A$ ligger på førsteaksen. Se figuren til høyre.

![Kvadrat OABC i koordinatsystem](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h09-1-1-kvadrat.avif)

g)
1\) Bestem koordinatene til punktene $A$, $B$ og $C$ uttrykt ved $a$.
2\) Vis at diagonalene i kvadratet står vinkelrett på hverandre.

Vi har punktene $A(1,\, 2)$, $B(2,\, 4)$ og $C(6,\, 2)$.

h)
1\) En linje $l$ går gjennom $A$ og $B$. Bestem en parameterframstilling for $l$.
2\) En linje $m$ går gjennom $C$ og er parallell med vektoren $\begin{bmatrix} -2, & 1 \end{bmatrix}$. Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $m$ ved regning.

---

## H2009 del 1 oppgave 2 — Vivianis setning og bevis med areal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Bevis, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Formulere og bevise Vivianis setning ved å uttrykke arealet av en likesidet trekant på to måter og bruke at summen av avstandene fra et innvendig punkt til sidene er lik høyden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vivianis-setning-og-bevis-med-areal/

### Oppgavetekst

Den italienske matematikeren Vincenzo Viviani (1622–1703) har fått følgende setning i geometrien oppkalt etter seg:

> Et punkt $P$ plasseres vilkårlig inne i en likesidet trekant $ABC$. Da er summen av avstandene fra $P$ til hver av trekantens sider lik høyden i trekanten.

a) Tegn en figur, sett på aktuelle symboler (bokstaver) og formuler Vivianis setning med matematiske symboler.
b) Skriv arealet av trekanten på to forskjellige måter, og bruk dette til å bevise Vivianis setning.

---

## H2009 del 2 oppgave 3 — Sykdomstest og betinget sannsynlighet med Bayes

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Betinget sannsynlighet, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bruke total sannsynlighet og Bayes' setning for å beregne sannsynligheter knyttet til sensitivitet, spesifisitet og prediktiv verdi av en medisinsk test.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykdomstest-og-betinget-sannsynlighet-med-bayes/

### Oppgavetekst

Vi bruker en test for å undersøke om en person har en bestemt sykdom.

Vi definerer hendelsene:

$T$: Testen tyder på at personen har sykdommen.

$S$: Personen har faktisk sykdommen.

a) Vi har $P(T \mid S) = 0{,}96$ og $P(T \mid \overline{S}) = 0{,}05$. Forklar hva disse sannsynlighetene forteller oss. Bestem $P(\overline{T} \mid S)$.

Vi antar at 3 % av befolkningen har denne sykdommen. En tilfeldig valgt person skal testes.

b) Bestem $P(T)$.
c) Dersom testen tyder på at personen har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at denne personen faktisk har sykdommen?
d) Dersom testen tyder på at personen ikke har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen?

---

## H2009 del 2 oppgave 4-I — Partikkel med eksponential posisjonsvektor og fart

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Parameterframstilling
- **Kort beskrivelse:** Derivere en vektorfunksjon med eksponentielle komponenter for å finne farts- og akselerasjonsvektor, beregne fart og toppunkt, og bestemme vinkelen mellom posisjons- og fartsvektoren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/partikkel-med-eksponential-posisjonsvektor-og-fart/

### Oppgavetekst

Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

Posisjonen til en partikkel etter $t$ sekunder er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \begin{bmatrix} 4t - 3t \cdot e^{-t}, & 5t \cdot e^{-t} \end{bmatrix} \quad \text{der} \quad t \geq 0
$$

Enheten langs aksene er meter. Andrekoordinaten er høyden over bakken.

a) Hva er posisjonen til partikkelen etter ett sekund? Tegn grafen til $\vec{r}$.
b) Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren ved regning.
c) Bestem farten (absoluttverdien av fartsvektoren) etter to sekunder.
d) Finn ved regning når partikkelen er i det høyeste punktet.
e) Bestem vinkelen mellom posisjonsvektoren og fartsvektoren i det høyeste punktet.

---

## H2009 del 2 oppgave 4-II — Tangentpunkt på sirkel og konstant vinkel CSB

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Undersøke og bevise at vinkelen CSB er konstant for alle plasseringer av tangentpunktet A på buen mellom D og E, ved å vise kongruens mellom trekantpar og bruke halveringsegenskapen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangentpunkt-pa-sirkel-og-konstant-vinkel-csb/

### Oppgavetekst

Du skal svare på **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

*I denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy.*

Vi har en sirkel med sentrum i $S$ og et punkt $M$ utenfor sirkelen. Hver av sidene i trekanten $CMB$ ligger på en tangent til sirkelen.

Tangentene gjennom $M$ og $D$ og gjennom $M$ og $E$ ligger fast. Tangenten gjennom $B$ og $C$ kan varieres. Denne tangenten tangerer sirkelen i punktet $A$. $A$ ligger på den korteste buen mellom $D$ og $E$. Se figuren nedenfor.

![Sirkel med tangenter og punkt A på buen](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h09-2-4-II-sirkel.avif)

I denne oppgaven skal du undersøke om denne sammenhengen gjelder:

> For alle mulige plasseringer av tangeringspunktet $A$ er $\angle CSB$ konstant.

a) Bruk dynamisk programvare eller passer og linjal til å konstruere en figur som stemmer med beskrivelsen ovenfor. Flytt punktet $A$, og observer hver gang størrelsen til $\angle CSB$. Hvor godt stemmer sammenhengen ovenfor med dine observasjoner?
b) Forklar at:
1\) trekantene $SDB$ og $SAB$ er kongruente (like)
2\) trekantene $SEC$ og $SAC$ er kongruente (like)
3\)

$$
\angle CSB = \dfrac{1}{2} \cdot \angle ESD
$$

c) Bruk resultatene i b) til å forklare at $\angle CSB$ er konstant.

---

## H2009 del 2 oppgave 5 — Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Areal og omkrets, Lineære funksjoner, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke arealet av trekanten OAB som funksjon av stigningstallet $a$, derivere og bruke fortegnslinje til å minimere arealet analytisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linje-med-negativt-stigningstall-og-minimalt-trekantareal/

### Oppgavetekst

En rett linje med stigningstall $a$ går gjennom punktet $(2,\, 1)$. Linjen skal synke mot høyre.

![Linje gjennom (2,1) med skjæringspunkter A og B](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h09-2-5-linje.avif)

a) Vis at ligningen til linjen kan skrives som $y = ax - 2a + 1 \quad , \quad \text{der } a < 0$

Vi kaller skjæringspunktet med $x$-aksen for $A$ og skjæringspunktet med $y$-aksen for $B$. Vi lar $F(a)$ være arealet av trekanten $OAB$. $O$ er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for $a = -5$, $a = -2$, $a = -0{,}5$ og $a = -0{,}1$.

![Trekanter OAB for ulike verdier av a](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h09-2-5-grafer.avif)

I denne oppgaven skal du finne ut hvilken $a$-verdi som gjør arealet minst.

b) Vis at $F(a) = -\dfrac{(2a-1)^2}{2a}$
c) Tegn grafen til $F$. Velg $a$-verdier i intervallet $\left[-5,\, -\dfrac{1}{10}\right]$. Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen.
d) Vis ved regning at $F'(a) = \dfrac{(2a-1) \cdot (-2a-1)}{2a^2}$
e) Tegn fortegnslinjen til $F'(a)$ og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen når arealet er minst?

---

## V2008 del 1 oppgave 1 — Derivasjon polynomdivisjon grenseverdi og logaritme R1 V08

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomdivisjon, Grenseverdi, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon med produktregel, polynomdivisjon, grenseverdi, logaritmeforenkling og funksjonsdrøfting av $x \cdot e^{-x}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-polynomdivisjon-grenseverdi-og-logaritme-r1-v08/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonen

$$
f(x) = x^2 \cdot \ln x
$$

b) Utfør polynomdivisjonen

$$
(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x - 2)
$$

c) Bestem grenseverdien

$$
\lim_{x \to 8} \frac{x^2 - 64}{2x - 16}
$$

d) Skriv så enkelt som mulig

$$
\lg(x \cdot y^2) - 2\lg y + \lg\left(\frac{x}{y^2}\right)
$$

e) Vi har funksjonen $f(x) = x \cdot e^{-x}$

1\) Vis at $f'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$. Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.

2\) Bruk $f''(x)$ til å finne eventuelle vendepunkter på grafen til $f$.

(I denne oppgaven kan du få bruk for $e^{-1} \approx 0{,}37$, $e^{-2} \approx 0{,}14$ og $e^{-3} \approx 0{,}05$)

---

## V2008 del 1 oppgave 2 — Ortosenter i trekant med vektorer og parameterframstilling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Parameterframstilling, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vise at vektorer er ortogonale, bruke parameterframstilling for høyder i trekant og finne ortosenter som skjæringspunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ortosenter-i-trekant-med-vektorer-og-parameterframstilling/

### Oppgavetekst

a) Vi har gitt vektorene $\vec{u} = [a,\, b]$ og $\vec{v} = [-b,\, a]$. Vis at vektorene står vinkelrett på hverandre.

Punktene $A(1, 0)$, $B(5, 1)$ og $C(3, 4)$ er hjørner i en trekant. Fotpunktene til høydene fra hjørnene $A$, $B$ og $C$ er $F_1$, $F_2$ og $F_3$. Se skissen nedenfor.

![Trekant ABC med høyder og fotpunkter](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v08-1-2.avif)

b) Forklar at

$$
l: \begin{cases} x = 3 - t & \\ y = 4 + 4t \end{cases}
$$

er en parameterframstilling for linja gjennom $C$ og $F_3$.
c) Finn en parameterframstilling for linja gjennom $A$ og $F_1$.
d) Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene $CF_3$ og $AF_1$.
e) Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja gjennom $B$ og $F_2$.
Hvilken setning fra geometrien er dette et eksempel på?

---

## V2008 del 2 oppgave 3 — Fem kort fra kortstokk kombinatorikk og betinget sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle korthender med kombinatorikk, beregne sannsynlighet for hendelser og vurdere uavhengighet via $P(A|B)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fem-kort-fra-kortstokk-kombinatorikk-og-betinget-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

En kortstokk består av 52 kort: 13 spar, 13 hjerter, 13 ruter og 13 kløver. Spar og kløver er svarte kort. Hjerter og ruter er røde kort.

Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd.

a) Hvor mange mulige korthender er det?

Vi definerer følgende hendelser:

- *A*: Korthånden består av 5 spar.
- *B*: Korthånden består av 5 svarte kort.

b) Bestem $P(A)$ og $P(B)$.
c) Finn $P(A|B)$. Er hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

---

## V2008 del 2 oppgave 4-I — Polynomdrøfting fra derivertgraf med integrasjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av vekst, ekstremalpunkter og vendepunkt fra graf av $f'$, finne uttrykk for $f'$ og bekrefte $f(x) = -\tfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x$ ved integrasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdrofting-fra-derivertgraf-med-integrasjon/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten **Alternativ I** eller Alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

I denne oppgaven skal du drøfte en polynomfunksjon $f$ av tredje grad. På figuren har vi tegnet grafen til den *deriverte* av funksjonen.

![Graf av f'(x)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v08-2-4-I.avif)

a) Bruk grafen til $f'$ til å avgjøre hvor funksjonen $f$ vokser og hvor den avtar.
b) Bruk grafen til $f'$ til å finne førstekoordinaten til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$.
c) Bruk grafen til $f'$ til å finne et funksjonsuttrykk for $f'$.
d) Grafen til $f$ går gjennom origo. Forklar at

$$
f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x
$$

Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle 0, 4 \rangle$.

---

## V2008 del 2 oppgave 4-II — Likebeint trekant innskrevet i sirkel areal og optimering

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Geometri, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Utlede arealformel $F(x) = (1+x)\sqrt{1-x^2}$ for likebeint trekant i enhetssirkel og finne maksimalt areal ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likebeint-trekant-innskrevet-i-sirkel-areal-og-optimering/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten Alternativ I eller **Alternativ II**. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

Figuren nedenfor viser en likebeint trekant $ABC$ innskrevet i en sirkel med sentrum $S$ og radius 1. Linjestykket $CD$ er en høyde i trekanten. Vi setter $SD = x$.

![Likebeint trekant ABC innskrevet i enhetssirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v08-2-4-II.avif)

a) Forklar at arealet $F$ av trekanten $ABC$ er gitt ved

$$
F(x) = (1 + x)\sqrt{1 - x^2}
$$

b) Tegn grafen til $F$. Bruk grafen til å finne det største arealet av trekanten $ABC$.
c) Vis at $x = \dfrac{1}{2}$ er en løsning av likningen $F'(x) = 0$. Kommenter svaret.
d) Regn ut lengden av sidene i trekanten $ABC$ når $x = \dfrac{1}{2}$. Kommenter svaret.

---

## V2008 del 2 oppgave 5 — Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$ for tre parvis tangerende sirkler som alle tangerer samme linje, og konstruere figuren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-tangerende-sirkler-og-sammenheng-mellom-radiene/

### Oppgavetekst

Tre sirkler med sentre i $S_1$, $S_2$ og $S_3$ har radiene $a$, $b$ og $c$. Alle sirklene tangerer linja $l$. Tangeringspunktene er $A$, $B$ og $C$. Sirklene tangerer hverandre parvis i punktene $D$, $E$ og $F$, slik figur 1 viser.

![Tre tangerende sirkler – figur 1](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v08-2-5-fig1.avif)

a) Forklar at $S_1S_2 = a + b$. Finn også $S_1S_3$ og $S_2S_3$ uttrykt ved radiene.
b) Bruk Pytagoras og vis at $AC = 2\sqrt{ab}$. Se figur 2.

![Pytagoras-figur for AC – figur 2](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v08-2-5-fig2.avif)

c) Vis på tilsvarende måte at $AB = 2\sqrt{ac}$ og $BC = 2\sqrt{bc}$.
d) Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende sammenheng mellom radiene i sirklene:

$$
\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}
$$

e) Vi setter $a = b = r$. Finn $c$ uttrykt ved $r$.
f) Konstruer figuren når $r = 4 \mathrm{~cm}$, enten med passer og linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan du har utført konstruksjonen.

---

## H2008 del 1 oppgave 1 — Derivasjon linje polynom og trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Parameterframstilling, Faktorisering, Ulikheter, Rettvinklet trekant, Graftolkning, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Derivere eksponential- og logaritmefunksjoner, parameterframstilling for linje, faktorisere polynom og løse ulikhet, undersøke rettvinklet trekant, tolke graf av funksjon og derivert.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-linje-polynom-og-trekant/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene

1\)

$$
f(x) = 3 \cdot e^{2x}
$$

2\)

$$
h(x) = x \cdot \ln x
$$

b) En rett linje $l$ går gjennom punktene $A(1, 2)$ og $B(3, 7)$.

1\) Sett opp en parameterframstilling for linja $l$.

2\) Finn skjæringspunktene mellom $l$ og koordinataksene.

c) Vi har gitt polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$

1\) Vis at $f(x)$ er delelig med $x + 1$. Faktoriser $f(x)$ i førstegradsfaktorer.

2\) Løs ulikheten $f(x) \geq 0$

d) Hjørnene i trekanten $ABC$ er gitt ved $A(2, 0)$, $B(4, 1)$ og $C(3, 5)$.

1\) Bestem lengden av sidene i trekanten.

2\) Undersøk om trekanten er rettvinklet.

Figuren viser grafen til en funksjon $f$ og grafen til den deriverte av funksjonen.

![Graf av funksjon og derivert](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-1-1e.avif)

e)
1\) Forklar hvilken graf som er grafen til funksjonen $f$ og hvilken som er grafen til den deriverte.

2\) Bruk figuren til å tegne fortegnslinjene for $f(x)$, den førstederiverte og den andrederiverte.

---

## H2008 del 1 oppgave 2 — Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Beregne midtpunkter i firkant, vise at de danner parallellogram, og generalisere beviset for vilkårlig firkant med koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/midtpunktsparallelogram-i-vilkarlig-firkant/

### Oppgavetekst

Vi skal studere en firkant som er vist på figuren nedenfor.

![Firkant ABCD med midtpunkter](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-1-2.avif)

Hjørnene i firkanten $ABCD$ er gitt ved $A(0, 0)$, $B(3, 0)$, $C(4, 3)$ og $D(-1, 5)$.

a) Regn ut koordinatene til midtpunktene $M_1$, $M_2$, $M_3$ og $M_4$ i sidekantene i firkanten. Se figuren.

b) Vis at firkanten $M_1M_2M_3M_4$ er et parallellogram.

Hjørnene i en vilkårlig firkant er gitt ved $E(0, 0)$, $F(a, 0)$, $G(b, c)$ og $H(d, e)$. Midtpunktene i sidekantene i firkanten er $N_1$, $N_2$, $N_3$ og $N_4$.

c) Vis at firkanten $N_1N_2N_3N_4$ er et parallellogram.

---

## H2008 del 2 oppgave 3 — Sannsynlighet med kort og mynter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet uten tilbakelegging, hypergeometrisk fordeling, total sannsynlighet og Bayes' setning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-kort-og-mynter/

### Oppgavetekst

I en bunke med kort er det 16 svarte og 14 røde kort.

a) Gunhild trekker tilfeldig ut to kort. Hva er sannsynligheten for at de to kortene er svarte?

b) Ali trekker tilfeldig ut 10 kort. Hva er sannsynligheten for at han trekker ut 7 svarte og 3 røde kort?

I en eske med mynter er 40 % av myntene laget før 1940. Av disse er 45 % kobbermynter og 55 % sølvmynter. Av dem som er laget etter 1940, er 35 % kobbermynter og 65 % sølvmynter. Det trekkes tilfeldig ut én mynt.

c) Hva er sannsynligheten for at mynten er en kobbermynt?

Mynten som ble trukket ut, var en kobbermynt.

d) Hva er sannsynligheten for at mynten er laget før 1940?

---

## H2008 del 2 oppgave 4-I — Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt I

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Lineære funksjoner, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Maksimere arealet av rektangel med hjørner på to linjer $y_1 = -5x + 6$ og $y_2 = 4x$ ved derivasjon av arelalfunksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-mellom-linjer-maksimalt-areal-alt-i/

### Oppgavetekst

Du skal besvare **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

![Rektangel ABCD mellom to linjer](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-2-4-I.avif)

Firkanten $ABCD$ er et rektangel. Hjørnene $A$ og $B$ ligger på den positive førsteaksen. Hjørnet $C$ ligger på linja $y_1 = -5x + 6$. Hjørnet $D$ ligger på linja $y_2 = 4x$. Se figuren.

Vi vil undersøke hvor stort arealet av rektanglet kan bli.

a) Sett førstekoordinaten til punktet $A$ lik $u$. Forklar at $D(u, 4u)$, og at andrekoordinaten til $C$ er $4u$.

b) Sett førstekoordinaten til $C$ lik $x$. Forklar at $x = \dfrac{6 - 4u}{5}$

c) Vis at arealet av rektanglet er gitt ved

$$
F(u) = -\frac{36}{5}u^2 + \frac{24}{5}u
$$

d) Finn ved regning hvor stort arealet av rektanglet $ABCD$ kan bli.

---

## H2008 del 2 oppgave 4-II — Rektangel mellom linjer maksimalt areal alt II

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Maksimere arealet av rektangel med hjørner på to linjer $y_1 = x - 1$ og $y_2 = -x + 6$ ved å bestemme andregradsfunksjonen og finne toppunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-mellom-linjer-maksimalt-areal-alt-ii/

### Oppgavetekst

Du skal besvare **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

![Rektangel ABCD mellom to linjer](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-2-4-II.avif)

Firkanten $ABCD$ er et rektangel. Hjørnene $A$ og $B$ ligger på den positive førsteaksen. Hjørnet $C$ ligger på linja $y_2 = -x + 6$. Hjørnet $D$ ligger på linja $y_1 = x - 1$. Se figuren.

Vi vil undersøke hvor stort arealet av rektanglet kan bli.

Vi ser først på tilfellet $A(2, 0)$.

a) Vis at da er $D(2, 1)$ og $C(5, 1)$.

b) Vis at arealet av rektanglet er lik 3.

Sett førstekoordinaten til punktet $A$ lik $x$. Arealet av rektanglet er da $F(x)$.

c) Skriv av tabellen i besvarelsen din. Fyll ut tabellen.

![Tabell for F(x)](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-2-4-II-tabell.avif)

d) Arealet er en funksjon på formen $F(x) = ax^2 + bx + c$. Bestem konstantene $a$, $b$ og $c$. Finn det største arealet til rektanglet og den tilhørende verdien av $x$. Bestem koordinatene til alle hjørnene for den $x$-verdien som gir størst areal.

---

## H2008 del 2 oppgave 5 — Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Rettvinklet trekant, Bevis, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $a + b - c = 2r$ for innskrevet sirkel i rettvinklet trekant, forklare vinkelbisektorer og konstruere figuren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-sirkel-i-rettvinklet-trekant/

### Oppgavetekst

![Rettvinklet trekant med innskrevet sirkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h08-2-5.avif)

Trekanten $ABC$ er rettvinklet, med katetene $a$ og $b$ og hypotenusen $c$. I trekanten er det innskrevet en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$. Tangeringspunktene mellom sirkelen og sidene i trekanten er $D$, $E$ og $F$. Se figuren.

a) Forklar at $AD = AE$ og at $BF = BE$.

Vi setter nå $AD = AE = x$ og $BF = BE = y$

b) Finn sidene i trekanten uttrykt ved $r$, $x$ og $y$.

c) Bruk resultatet i b) til å vise at

$$
a + b - c = 2r
$$

Formuler denne egenskapen ved rettvinklede trekanter med egne ord.

d) Trekk ei linje fra hvert av hjørnene i trekanten til sentrum $S$ i den innskrevne sirkelen. Forklar at disse linjene halverer $\angle A$, $\angle B$ og $\angle C$.

e) Konstruer en tilsvarende figur som den ovenfor med passer og linjal eller med dynamisk programvare når $r = 2 \text{ cm}$ og $a = 5 \text{ cm}$. Gi en forklaring på konstruksjonen.

---

## V2007 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, ulikhet og vektorfunksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Ulikheter, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Produktregel og kjerneregel, funksjonsdrøfting av fjerdegradspolynom, forenkling av rasjonalt uttrykk, polynomulikhet og vektorfunksjon med fart og akselerasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-ulikhet-og-vektorfunksjon/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonen

$$
f(x) = x^2 \cdot e^{2x}
$$

b) Gitt funksjonen

$$
g(x) = x^4 - 4x^3
$$

1\) Finn eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til $g$.

2\) Finn eventuelle vendepunkter på grafen til $g$. Tegn grafen.

c) Skriv så enkelt som mulig

$$
\frac{x^2 + x}{x^2 - 4} - \frac{2}{4 - 2x}
$$

d) Vis at $x = 1$ er en løsning på ligningen $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$.

Bruk dette til å løse ulikheten $x^3 + 2x^2 - x - 2 \leq 0$.

Posisjonen til en partikkel er gitt ved vektorfunksjonen

$$
\vec{r}(t) = \left[t^2 + 2t,\ \frac{1}{2}t^2\right]
$$

e)
1\) Finn et uttrykk for farts- og akselerasjonsvektoren.

2\) Undersøk om det finnes $t$-verdier som gjør at fartsvektoren står vinkelrett på akselerasjonsvektoren.

---

## V2007 del 1 oppgave 2 — Bevis for periferivinkelsetningen

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise at en periferivinkel er halvparten av sentralvinkelen som spenner over samme bue, ved å bruke likebeinte trekanter og diameteren som hjelpelinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-periferivinkelsetningen/

### Oppgavetekst

![Sirkel med periferivinkel og sentralvinkel](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v07-1-2.avif)

$\angle APB$, som spenner over buen $AB$, kaller vi en periferivinkel.

$\angle AOB$, som spenner over buen $AB$, kaller vi en sentralvinkel.

a) Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen $AB$.

En setning i geometrien sier:

> En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelen som spenner over samme bue.

For å bevise denne setningen tegner vi diameteren $PQ$.

b) Forklar at $\triangle POA$ og $\triangle POB$ er likebeinte.
c) Bruk b) til å forklare at

$$
\angle BOQ = 2 \cdot \angle BPO
$$

$$
\angle AOQ = 2 \cdot \angle APO
$$

d) Bruk c) til å bevise setningen ovenfor.

---

## V2007 del 2 oppgave 3 — Volleyballag og betinget sannsynlighet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Kombinatorisk sannsynlighet for lagutvelging, betinget sannsynlighet og test for uavhengighet i idrettslag med kjente tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volleyballag-og-betinget-sannsynlighet/

### Oppgavetekst

På en volleyballtrening er det 23 elever, 9 gutter og 14 jenter. Det skal velges et lag på 6 elever.

a) Hva er sannsynligheten for at det blir like mange gutter som jenter på laget, dersom elevene trekkes ut tilfeldig?

I idrettslaget er det 736 medlemmer, 348 gutter og 388 jenter. Av disse er det 63 gutter og 47 jenter som spiller volleyball.

En person trekkes ut tilfeldig. La $A$ og $B$ være de to hendelsene

$A$: Personen er en gutt $\qquad$ $B$: Personen spiller volleyball

b) Forklar med ord hva vi mener med $P(A \cap B)$. Finn denne sannsynligheten.
c) Finn sannsynlighetene $P(B)$ og $P(B|A)$. Er de to hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

En avis ønsker å intervjue to personer i idrettslaget, én som spiller og én som ikke spiller volleyball. De trekker tilfeldig ut én volleyballspiller og én som ikke spiller volleyball.

d) Hva er sannsynligheten for at de to personene er jenter?

---

## V2007 del 2 oppgave 4-I — Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Grenseverdi, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Analysere rasjonale funksjon $f(x) = (x^3+1)/(x^2-1)$ med grenseverdier, asymptote, topp-/bunnpunkter og krumning; deretter komposisjon med $e^x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-asymptote-og-komposisjon/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

En funksjon $f$ er definert ved

$$
f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \,, \quad x \neq -1 \text{ og } x \neq 1
$$

a) Undersøk ved regning om grenseverdiene $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x)$ og $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ eksisterer.

Forklar hvorfor grafen til $f$ bare har én vertikal asymptote. Finn ligningen for den vertikale asymptoten til grafen.
b) Vis ved regning at

$$
f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}
$$

Bruk den deriverte til å finne koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem $f''(x)$ ved regning. Bruk den andrederiverte til å avgjøre hvor grafen til $f$ vender den hule siden opp og hvor grafen vender den hule siden ned.
d) Tegn grafen til $f$.

Funksjonen $g$ er gitt ved

$$
g(x) = f\left(e^x\right) = \frac{e^{3x} + 1}{e^{2x} - 1} \,, \quad x \neq 0
$$

e) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.

---

## V2007 del 2 oppgave 4-II — Andregradsfunksjon parameterstudium a b og c

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Utforske hvordan parameterne $a$, $b$ og $c$ i $f(x) = a x^2 + bx + c$ endrer grafen; finne kurven som bunnpunktene til en parameterfamilie ligger på.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-parameterstudium-a-b-og-c/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

Alle andregradsfunksjoner kan skrives på formen $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$. I denne oppgaven skal vi se på hvordan parameterne $a$, $b$, og $c$ endrer grafen til $f$.

Vi starter med å studere betydningen av parameteren $c$.

a) Skisser grafene til $f(x) = x^2 + 2x + c$ for $c$-verdiene $c \in \{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Så studerer vi betydningen av parameteren $a$.

b) Skisser grafene til $f(x) = a \cdot x^2 + 2x + 1$ for $a$-verdiene $a \in \{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.

Til slutt studerer vi betydningen av parameteren $b$.

c) Skisser grafene til $f(x) = x^2 + b \cdot x + 1$ for $b$-verdiene $b \in \{-8,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,8\}$ i samme koordinatsystem. Sammenlign grafene og kommenter.
d) Finn koordinatene til bunnpunktet på hver av grafene i c). Hvilken kurve ser det ut til at bunnpunktene ligger på?
e) Finn formelen for den kurven som bunnpunktene ligger på.
f) Gjenta det du gjorde i c), d) og e) for funksjonen $f(x) = -2x^2 + b \cdot x - 8$ for $b$-verdiene $b \in \{-8,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,8\}$. Gi et forslag til hvilken kurve bunn- eller toppunktene til grafen til $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ ligger på.

---

## V2007 del 2 oppgave 5 — Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Vår 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Vektorer, Geometri, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bevise mediansetningen for trekant $ABC$ med $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(1,4)$ ved å sette opp og løse en vektorligning for skjæringspunktet mellom to medianer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mediansetning-i-trekant-abc-med-vektorregning/

### Oppgavetekst

En median er et linjestykke som går fra et hjørne i en trekant til midtpunktet på motstående side.

En setning i geometrien sier at de tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Denne setningen heter mediansetningen.

En trekant $ABC$ er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. Ved å bruke vektorregning skal vi vise at mediansetningen gjelder for denne trekanten.

![Trekant ABC med medianer og skjæringspunkt S](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-v07-2-5.avif)

$M_1$ er midtpunktet på siden $AB$, og $M_2$ er midtpunktet på siden $AC$.

a) Skriv opp koordinatene til $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BC}$.
b) Vis ved regning at koordinatene til punktet $M_1$ er $(2,\, 0)$, og punktet $M_2$ er $\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)$.

Vi kaller skjæringspunktet mellom $CM_1$ og $BM_2$ for $S$. En metode for å finne koordinatene til $S$ består i å skrive $\overrightarrow{CS}$ på to måter. To ulike veier fra $C$ til $S$ gir

$$
\overrightarrow{CS} = k \cdot \overrightarrow{CM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}
$$

Dette gir oss følgende vektorligning:

$$
k \cdot \overrightarrow{CM_1} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}
$$

c) Sett inn koordinatene til $\overrightarrow{CM_1}$, $\overrightarrow{CB}$ og $\overrightarrow{BM_2}$, og vis at vektorligningen kan skrives som

$$
\left[k,\; -4k\right] = \left[3 - \frac{7t}{2},\; -4 + 2t\right]
$$

d) Løs vektorligningen i c).
e) Bestem $\overrightarrow{CS}$ og koordinatene til punktet $S$.
f) Vis at den tredje medianen går gjennom punktet $S$.

---

## H2007 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, grenseverdi, logaritme og potensforenkling

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseverdi, Logaritmer, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Sammensatte deloppgaver om derivasjon av ln og eksponential, grenseverdi, eksponential- og logaritmelikninger, potensforenkling og bevis med Cevas setning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-grenseverdi-logaritme-og-potensforenkling/

### Oppgavetekst

a) Deriver funksjonene

1\)

$$
f(x) = x \cdot \ln x
$$

2\)

$$
g(x) = 3e^{x^2+1}
$$

b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}
$$

c) En funksjon $f$ er kontinuerlig, men ikke deriverbar i punktet $(1, 2)$. Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon $f$.

d) Finn de eksakte løsningene av likningene

1\)

$$
2\ln x - 4 = 0
$$

2\)

$$
e^{2x} - 3e^x + 2 = 0
$$

e) Skriv så enkelt som mulig

1\)

$$
\dfrac{2^{-4} \cdot 2^3}{2^{-2}}
$$

2\)

$$
\dfrac{\sqrt{a} \cdot \left(ab^2\right)^{\frac{1}{3}} \cdot b}{\left(a^2b\right)^2 \cdot b^{-\frac{1}{3}}}
$$

Vi har gitt en trekant $ABC$. Punktet $D$ ligger på $AB$, punktet $E$ ligger på $BC$, og punktet $F$ ligger på $AC$. Se figuren.

![Trekant ABC med linjestykkene AE, BF og CD](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h07-1-1-ceva-trekant.avif)

> Cevas setning
> Linjestykkene $AE$, $BF$ og $CD$ skjærer hverandre i ett punkt hvis og bare hvis
>
> $$
> \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1
> $$
>

f) Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

---

## H2007 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon, ulikhet og tredjegradslikning med parameter

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere tredjegradspolynom ved polynomdivisjon, løse rasjonal ulikhet med fortegnslinje, og bestemme parameter i tredjegradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-ulikhet-og-tredjegradslikning-med-parameter/

### Oppgavetekst

a) Vis at polynomet $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ er delelig med $x - 2$.
b) Skriv $f(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer.
c) Løs ulikheten

$$
\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x^2 - 9} > 0
$$

d) Bestem $a$ slik at likningen $x^3 - 2x^2 - 5x + a = 0$ får en løsning lik $1$. Løs likningen for denne verdien av $a$.

---

## H2007 del 2 oppgave 3 — Betinget sannsynlighet for R1 og fysikk på Vg2

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Betinget sannsynlighet, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Formulere og beregne betingede sannsynligheter for fagvalg blant jenter og gutter, inkludert Bayes' setning for sannsynligheten for R1 gitt fysikk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/betinget-sannsynlighet-for-r1-og-fysikk-pa-vg2/

### Oppgavetekst

På en skole er det 55 % jenter og 45 % gutter på Vg2. Av jentene har 25 % valgt matematikk R1. Av guttene har 30 % valgt R1.

a) Formuler de to siste opplysningene i teksten ovenfor som betingede sannsynligheter.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er en gutt som har valgt R1.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt R1.

Av alle elevene på Vg2 har 30 % valgt fysikk. Blant dem som har valgt R1, er det 80 % som har valgt fysikk.

d) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt fysikkelev har valgt R1.

---

## H2007 del 2 oppgave 4-I — Parameterframstilling og fart for partikkel i planet

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Parameterframstilling, Derivasjon, Vektorer
- **Kort beskrivelse:** Analysere bevegelse med parameterframstilling $\vec{r}(t) = [t^2, t^3 - 3t]$; finne skjæringspunkter, fartsvektoren, punkter med parallell fartsvektor og minimumsfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parameterframstilling-og-fart-for-partikkel-i-planet/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ I**

En partikkel beveger seg i planet. Posisjonen til partikkelen ved tiden $t$ er gitt ved

$$
\vec{r}(t) = \left[t^2,\ t^3 - 3t\right] \quad \text{der } t \in [0, 2]
$$

a) Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen.
b) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.
c) Finn et uttrykk for fartsvektoren $\vec{v}$. Hva er $t$ når $|\vec{v}(t)| = 3$?
d) Bestem koordinatene til de punktene på kurven der fartsvektoren er parallell med koordinataksene.
e) Bestem koordinatene til det punktet der farten er minst.

---

## H2007 del 2 oppgave 4-II — Tangent til hyperbelgren og areal av trekant OAB

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tangent, Derivasjon, Areal og omkrets, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Studere tangenter til $f(x) = \frac{1}{x}$ analytisk; finne tangentens skjæring med aksene og vise at arealet av $\triangle OAB$ er konstant lik $2$ for alle $a > 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-hyperbelgren-og-areal-av-trekant-oab/

### Oppgavetekst

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

**Alternativ II**

I denne oppgaven kan det være naturlig å bruke dynamisk programvare, men oppgaven kan også løses ved å bruke grafisk lommeregner. I løsningen av oppgaven vil det være aktuelt å skissere flere grafer.

a) Tegn grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $x > 0$.

Tangenten til grafen i punktet $(a, f(a))$ skjærer $x$-aksen i punktet $A$ og $y$-aksen i punktet $B$. Punktet $O$ er origo.

b) Bestem arealet av $\triangle OAB$ for $a = 2$ enten grafisk eller ved regning.
c) Gjenta det du gjorde i b) for $a = \dfrac{1}{2}$ og $a = 3$. Kommenter svarene.

Vi skal nå studere størrelsen av arealet av $\triangle OAB$ analytisk.

d) Bestem $f'(x)$. Finn likningen for tangenten til funksjonen $f$ i punktet $(a, f(a))$.
e) Bestem koordinatene til skjæringspunktene $A$ og $B$ mellom tangenten og koordinataksene. Hva blir arealet av $\triangle OAB$?

---

## H2007 del 2 oppgave 5 — To baller på bord – geometri og konstruksjon

- **Fag:** R1
- **Eksamen:** Høst 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Bevis, Konstruksjon, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Bevise geometriske egenskaper ved trekanten $ABC$ dannet av berøringspunktene til to tangerende sirkler på et underlag, inkludert $AB = 2\sqrt{Rr}$ og $\angle ACB = 90°$, og konstruere figuren med passer og linjal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-baller-pa-bord-geometri-og-konstruksjon/

### Oppgavetekst

![To baller som ligger inntil hverandre på et bord](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h07-2-5-baller.avif)

Bildet viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene $R$ og $r$. Berøringspunktet mellom ballene og bordet kalles henholdsvis $A$ og $B$. Berøringspunktet mellom ballene kalles $C$.

I denne oppgaven skal vi undersøke egenskaper ved $\triangle ABC$.

![Figur 1 – snitt gjennom sentrene M og N](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/r1-h07-2-5-figur1.avif)

Figur 1 viser et snitt gjennom sentrene i ballene, $M$ og $N$.

a) Forklar at $\angle BAM = \angle NBA = 90°$, og at $\angle MNB = 180° - \angle AMC$.
b) Vis at $AB = 2\sqrt{Rr}$. (Tips: Bruk Pythagoras' setning.)

Vi setter $\angle AMC = v$, $\angle BCN = u$ og $\angle ACM = w$.

c) Vis at $u + w = 90°$, og at $\angle ACB = 90°$.

I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med $R = 4 \mathrm{~cm}$ og $r = 1 \mathrm{~cm}$.

d) Bruk b) til å finne lengden av $AB$.
e) Konstruer med passer og linjal figur 1 med $R = 4 \mathrm{~cm}$ og $r = 1 \mathrm{~cm}$. Skriv en forklaring til konstruksjonen.
f) Slå en halvsirkel med $AB$ som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom $C$.

---

## Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre

- **Fag:** 1T, R1, R2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Temaer:** Trigonometri, Utforskning, Geometri
- **Kilde:** https://www.youtube.com/watch?v=s5TuVu3Qg2E
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-sirkel-og-kvadrat-som-skjaerer-hverandre/

### Oppgavetekst

Et kvadrat har sidekant 1 m. En sirkel er tegnet på innsiden av kvadratet slik at sirkelen toucher to sidekanter og et hjørne. Se figuren under.

 Hva er størrelsen av det fargede området?

![Kvadrat med side 1 m og en sirkel som overlapper hverandre. Sirkelen tangerer kvadratets høyre og øvre side og går gjennom nedre venstre hjørne, slik at den stikker utenfor kvadratet nede og til venstre. Området som ligger i bare én av de to figurene, er farget blått.](https://matematikkoppgaver.no/assets/_resources/sirkel-og-kvadrat.avif)