Bunnen (og toppen) av boksen består av et rektangel og to halvsirkler.

Arealet av rektanglet er $x \cdot y$.

De to halvsirklene har til sammen radius $\dfrac{x}{2}$ (siden bredden i rektanglet er $x$, er diameteren $x$ og dermed radius $\dfrac{x}{2}$). To halvsirkler med radius $r$ er det samme som én hel sirkel:

Det totale tverrsnittarealet (bunn eller topp) er da:

Volumet av boksen er tverrsnittarealet multiplisert med høyden $h$:

Forklare $y = 10 - x$:

Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være $10 \, \mathrm{cm}$:

Forklare $h = 5 - x$:

Summen av bredden og høyden skal være $5 \, \mathrm{cm}$:

Sette inn i volumformelen:

Vi setter inn $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$:

$\underline{\underline{V(x) = \left(\dfrac{\pi x^2}{4} + 10x - x^2\right)(5-x)}}$

Definisjonsområdet er $0 < x < 5$ (siden $h = 5 - x > 0$ og $x > 0$).

Vi skal finne $x$-verdien som gir størst mulig volum.

Metode: derivasjon

Vi skriver ut $V(x)$:

Vi deriverer:

Vi setter $V'(x) = 0$ og løser (andregradsligning). Det gir to løsninger, og den som ligger i området $0 < x < 5$ er:

Maksimalt volum:

Boksen må være $\underline{\underline{x \approx 2{,}43 \, \mathrm{cm}}}$ bred for at volumet skal bli størst mulig. Maksimalt volum er omtrent $\underline{\underline{59{,}2 \, \mathrm{cm}^3}}$.