Vipebestand med eksponentielle modeller

Vipe (fugl)

Vipa er kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

År	2013	2022
Vipebestand (par)	9000	2500

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La $x$ være antall år etter 2013.

Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$ . Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$ . Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Tre koordinatsystemer som viser modellen p, modellen p og modellen q sammen, og modellen q alene

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$ . Bestem $p(x)$ og $q(x)$ .

Fasit

$f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000$

$g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x$

$p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x$ , $\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000$

LøsningsforslagKI-generert

Grafer for f og g (lineær og eksponentiell modell) og Egils modeller p og q

Vi bruker de to datapunktene $(0, 9000)$ og $(9, 2500)$ .

En lineær modell har formen $f(x) = ax + b$ .

Siden $x = 0$ svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

b = 9000

Stigningstallet finner vi ved

a = \frac{2500 - 9000}{9 - 0} = \frac{-6500}{9} \approx -722{,}2

Den lineære modellen er

\boxed{f(x) = -\frac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent $\mathbf{722}$ par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt $x \approx 12{,}5$ , dvs. rundt år 2025–2026.

En eksponentiell modell har formen $g(x) = 9000 \cdot b^x$ (startverdi 9000 ved $x = 0$ ).

Vi bruker punktet $(9, 2500)$ :

\begin{aligned} 9000 \cdot b^9 &= 2500 \\ b^9 &= \frac{2500}{9000} = \frac{5}{18} \\ b &= \left(\frac{5}{18}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}867 \end{aligned}

Den eksponentielle modellen er

\boxed{g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. $\mathbf{13{,}3\,\%}$ per år (siden $b \approx 0{,}867$ betyr $1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%$ nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell $q$ har derfor en horisontal asymptote ved $y = 2000$ .

Konstruksjon av $p$ :

Egil lager først modellen $p$ ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

Ved $x = 0$ : $9000 - 2000 = 7000$
Ved $x = 9$ : $2500 - 2000 = 500$

Modellen $p$ er eksponentiell med startverdi 7000:

p(x) = 7000 \cdot c^x

Vi finner $c$ fra punktet $(9, 500)$ :

\begin{aligned} 7000 \cdot c^9 &= 500 \\ c^9 &= \frac{500}{7000} = \frac{1}{14} \\ c &= \left(\frac{1}{14}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}746 \end{aligned}

\boxed{p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x}

Konstruksjon av $q$ :

Egil hever $p$ opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

\boxed{q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000}

Tolkning: Modell $q$ har horisontal asymptote $y = 2000$ : bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjon, modellering, tolke grafer
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar