Vekstfart fra graf S1 V26

Nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ .

Graf til funksjonen f

Bruk figuren til å bestemme den gjennomsnittlige vekstfarten for $f$ i intervallet $x \in [0,\ 3]$ .

Bruk figuren til å bestemme den momentane vekstfarten når $x=0$ , og når $x=3$ . Forklar hvordan du kommer fram til svarene dine.

Fasit

$-\dfrac{4}{3}$

$f'(0) = 0$ , $f'(3) \approx 2$

Løsningsforslag

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,\ 3]$ er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0,\ f(0))$ og $(3,\ f(3))$ .

Fra grafen leser vi av:

f(0) = 4 \qquad f(3) = -0{,}5

Gjennomsnittlig vekstfart:

\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{0{,}5 - 4}{3} = -\dfrac{-4{,}5}{3}=\underline{\underline{ -\frac{3}{2}}} = -1{,}5

Den momentane vekstfarten i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.

Fra grafen ser vi at $x = 0$ er et toppunkt for $f$ . I et toppunkt er tangenten vannrett (horisontal), og både stigningstallet og den momentane vekstfarten er derfor 0.

Forsøk på avlesning av vekstfart ved x=3

Vi tegner en tangent ved $x=3$ og finner at denne har stigningstall

\frac{1{,}5-(-0{,}5)}{4{,}5-3}=\frac{2}{1{,}5}=\frac{4}{3}

Den momentane vekstfarten ved $x=0$ er $\underline{\underline{ 0 }}$ og den momentane vekstfarten ved $x=3$ er omtrent $\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: vekstfart, derivasjon, tolke grafer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer